专题07正多边形与圆、扇形期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题07正多边形与圆、扇形期中复习讲义 ✵复习目标 1.认识正多边形的中心、半径、边心距、中心角；会计算正多边形的中心角，能利用半径、边心距、边长一半构成的直角三角形进行基础计算。 2.掌握弧长公式、扇形面积两个公式，能灵活选用公式计算弧长、扇形面积。 3.会计算弓形面积，能用割补法求阴影面积，将不规则图形转化为扇形与三角形面积的和差求解。 4.掌握正多边形对称性考点，能判断对称轴数量、图形是否为中心对称图形。 5.规范几何计算题的书写格式，能运用本章知识解决相关选择、填空与简单解答问题。 ✵高频题型梳理 题型1.求正多边形的中心角 题型2.尺规作图——正多边形 题型3.已知正多边形的中心角求边数 题型4.正多边形和圆的综合 题型5.求弧长 题型6.求扇形半径 题型7.求圆心角 题型8.求某点的弧形运动路径长度 题型9.求扇形面积 题型10.求图形旋转后扫过的面积 题型11.求弓形面积 题型12.求其他不规则图形的面积 题型13.求圆锥侧面积 题型14.求圆锥底面半径 题型15.求圆锥的高 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型17.圆锥的实际问题 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 题型19.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正多边形的有关概念 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二、正多边形的画法 正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。 1. 用量角器等分圆：先用量角器画一个度数为的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n个等分点，顺次连接各等分点，就得到圆的内接正n边形。 2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图。如正方形、正八边形的画法：在⨀O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形。 知识点三、正多边形的计算 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 1.多边形的内角的度数：＝180°－。 2.正多边形的中心角的度数： 3.正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 4.正多边形的周长：C＝n·a 5.正多边形的面积：S=nar=C·r 知识点四、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 知识点五、扇形 1.扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2.扇形的面积：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 知识点六、圆锥的概念及其侧面积和全面积 1.圆锥和母线 圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。 2.圆锥的侧面积和全面积：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为=×2πr·l=πrl,圆锥的全面积为=πrl+π ✵典例精讲 题型1.求正多边形的中心角 1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 2．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】 36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 3．补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】45；8， 画出图形如图所示： 【分析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 【详解】解：步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 答案为：45；8． 题型2.尺规作图——正多边形 1．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 2．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 3．已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在中，，，下面给出以为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法： ①以C为圆心，的长为半径画圆，与的延长线交于点D； ②再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交点记为点E； ③再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G； ④连接，，，，得正五边形． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，正五边形即为所求， 【分析】根据题中步骤作图作图即可． 【详解】略 题型3.已知正多边形的中心角求边数 1．若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查正多边形中心角的计算公式．正边形的中心角有个，每个中心角度数为． 【详解】解：已知正边形的中心角为，代入公式得． 2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 3．“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． (1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； (2)当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； (3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)裁剪次数为1．裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置（在原长与宽的位置小于原长与宽的一半处）裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸． (2)476 (3) 【分析】（1）由矩形的性质及折叠的性质得出裁剪方案即可； （2）由勾股定理求出，则可得出答案； （3）由全等的等腰直角三角形得出，即，则可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形．设这些直角三角形在宽上的直角边长为m，在长上的直角边长为n， ∵八边形的各边长相等， ∴， 即， ∴八边形的边长为， 根据勾股定理，得， 化简，得． ∵， ∴， ∴， ∴得到的八边形卡纸的面积是． （3）解：∵正八边形的八条边相等， ∴若能裁剪得到，可同理（2），得， 又∵正八边形的八个角都相等，都为， ∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为， 即这4个三角形是全等的等腰直角三角形， 此时，，即， 综上，当时，能够经裁剪得到的八边形卡纸的形状是正八边形． 题型4.正多边形和圆的综合 1．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 2．如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 【答案】4 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 3．如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【分析】过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 题型5.求弧长 1．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可． 【详解】解：将，代入 ． 2．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 3．用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 【答案】45.1m 【分析】首先根据正方形面积计算出边长，然后根据的角和两条半径构成等边三角形确定圆弧半径的长度，最后结合圆弧周长计算公式（n为圆弧所对圆心角，r为半径）和正方形三条边长进行求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形边长为m． ∵， ∴弧（优弧）所对圆心角为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴圆弧的半径m， ∴圆弧的长度， ∴花坛底部的周长m， 取，， 则m． 题型6.求扇形半径 1．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得米， ∵裙长为米， ∴米， ∴（米）． 2．有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是，则这段圆弧所在圆的半径R约是___________米（取3.14，结果保留小数点后一位）． 【答案】8.5 【分析】已知弧长和弧所对圆心角度数，利用弧长公式计算半径即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 答：这段圆弧所在圆的半径R约是8.5米． 3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 【答案】10 【分析】本题考查了求圆锥的母线长． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用扇形弧长公式与底面周长相等建立方程求解母线长． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 底面直径为6，则底面半径，底面周长， 侧面展开图的圆心角为， 则扇形弧长， 由，得， 解得． 故答案为：10． 题型7.求圆心角 1．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 2．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用三角形的内角和定理即可得证； （3）过点作于点，作于点，先求出，从而可得，都是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵弧长是周长的， ∴， ∴，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴在中，， 在中，， 在中，，解得， 在中，，解得， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 题型8.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 2．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 3．如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 【答案】 【分析】先得出点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，再求出的长和的度数，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，如图所示： ∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴的长度为， 即点经过路径的长是． 题型9.求扇形面积 1．如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，的半径为6， ∴． 2．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 3．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，求扇面（阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵外侧两竹条，的夹角为，即， ∴扇面（阴影部分）的面积为 ． 题型10.求图形旋转后扫过的面积 1．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键． 线段扫过的轨迹为圆环，求出、到线段的距离，根据圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求解． 【详解】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 2．一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【答案】 【分析】先求出从下午到时针转过的圆心角度数，确定扇形的半径，再代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵时针每小时转过的度数为， 从下午到，经过小时， ∴时针转过的圆心角为． ∵时针长为扇形的半径，即， ∴ （）． 3．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得：， 由旋转可得，， 线段扫过部分的面积为： ． 题型11.求弓形面积 1．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 【答案】 【分析】根据弓形的面积求解． 【详解】解：如图：过作， ， ， ， ， ，， 此弓形的面积是． 3．如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 题型12.求其他不规则图形的面积 1．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵ ∴ . 3．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积和周长． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵为直径， ， ∵， ， 又， ∴为的中位线， ； ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线； (2)面积为；周长为 【分析】（1）连接，可证明，则可证明，可推出为的中位线，进而证明，据此可证明是的切线； （2）由直角三角形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到；过点O作于点G，则，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 如图所示，过点O作于点G，则， ∴， ∴阴影部分面积， 阴影部分的周长． 题型13.求圆锥侧面积 1．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 2．已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 【答案】 【分析】已知圆锥底面半径和母线长，直接代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长， 将，代入公式，得， 该圆锥的侧面积为． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，求这个圆锥的侧面积． 【答案】这个圆锥的侧面积为 【分析】圆锥的侧面积（其中r为底面圆半径，l为母线长），据此求解即可． 【详解】解：， 答：这个圆锥的侧面积为． 题型14.求圆锥底面半径 1．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：． 2．若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥侧面积公式计算结果． 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴由勾股定理可得，圆锥底面圆的半径 ， ∵圆锥侧面积公式为 ，其中是母线长， ∴代入得 ． 3．如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不规则图形的面积，弧长公式，圆锥的侧面积，旋转的性质，三角形全等的性质，掌握扇形面积公式，弧长公式和圆锥侧面积公式是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，先求出长，再根据圆锥侧面积公式即可求解； （2）由旋转的性质得到，得到，根据图形可得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到， ∵， 的长为， ， ； （2）解：根据图形得， 是旋转得到的， ， ， ． 题型15.求圆锥的高 1．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：∵半圆的半径， ∴半圆的弧长为， ∴圆锥的底面周长为 设圆锥底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 2．一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，根据圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为半圆半径，半圆弧长等于底面周长，由此求出底面半径，再根据勾股定理计算高即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的高， ∵侧面展开图是半径为10的半圆， ∴母线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，一个扇形的半径为，圆心角为，用这个扇形做圆锥的侧面，求圆锥的底面半径和高． 【答案】圆锥的底面半径为，高为． 【分析】先求出扇形的弧长，进而根据“用扇形做圆锥侧面时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面的周长”，“圆锥的母线长等于原扇形的半径”计算即可． 【详解】解：扇形的弧长公式为：，其中圆心角，扇形半径，代入得：， 设圆锥底面半径为，圆的周长公式为， ∵用扇形做圆锥侧面时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面的周长， ∴， 解得：， 即圆锥的底面半径为， 设圆锥的高为， ∵圆锥的母线长等于原扇形的半径，圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，满足勾股定理， ∴， 即高为． 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图的圆心角度数为x，再根据圆锥的底面圆的周长进行求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为x， ∵圆锥的底面圆的周长为， ∴ 解得． 2．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 3．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查圆锥的几何性质． （1）求出底面周长即为这个圆锥的侧面展开图中弧的长度 （2）侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离． 【详解】（1）解：弧的长度=底面圆的周长； （2）解：设的度数为n． ， 解得， 所以，的度数为； （3）解：连接，过B作于D， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即这根绳子的最短长度是 题型17.圆锥的实际问题 1．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 【详解】解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 2．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 3．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：灯罩的铁皮的面积是． 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 2．如图，圆锥的母线长是，底面圆的半径是，是底面圆周上的一点，从点出发绕侧面一周再回到点的最短路线的长是______． 【答案】 【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出，即，在中，计算出，于是得到，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长． 【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，作，设， 根据题意得， 解得 ， 即， ∵，， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为． 3．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 2．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥侧面积为， 底面积为， 全面积为． 4．如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出母线长，再求出圆锥侧面积和底面积，然后求出全面积即可． 【详解】解：∵圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面半径为，高， ∴母线长， ∴圆锥的侧面积为，底面积为 ∴圆锥的全面积为． 5．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 二、填空题 6．一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 【答案】 6 /度 【分析】已知扇形弧长和面积，先根据扇形面积公式求出半径，再利用弧长公式计算圆心角度数即可． 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积，扇形面积公式为， ∴代入得， 解得：， ∵扇形弧长公式为， ∴将，代入公式得， 两边约去后整理得：， 因此扇形半径为，圆心角度数为． 7．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 【答案】 【分析】如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 8．如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 9．如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 【答案】 【分析】沿过点A的母线将圆锥侧面展开，根据底面半径求出侧面展开的扇形的圆心角，再由两点之间线段最短确定最短路线，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：沿过点A的母线将圆锥侧面展开，如图所示，则的长是最短的路线长， 底面半径是2， 底面圆的周长为， 即圆锥侧面展开得到的扇形弧长为， 圆锥的母线长是8， 圆锥侧面展开得到的扇形半径为8， 设圆锥侧面展开的扇形圆心角为，则， 解得， 即扇形的圆心角为． ， 在中，由勾股定理得， 即最短的路线长是． 三、解答题 10．如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【答案】(1) (2)正六边形的周长为18cm，面积为 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【详解】（1）解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 11．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形性质求出，进而得到劣弧所对的圆心角的度数，再结合弧长公式（n为圆心角，r为半径）计算． （2）观察图形可知，阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积，扇形面积利用公式（n为圆心角，r为半径）计算，三角形面积公式可通过辅助线作高进行计算． 【详解】（1）解：， ， ， ． ， 的半径为4， 的长． （2）如图，过点D作于点H． 在中，，， ∴，则， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 12．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 【答案】剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 【分析】连接，先根据圆周角所对的弦为直径，确定为的直径，长度为，通过勾股定理算出扇形的半径的长度，再利用圆的面积公式算出整块圆形铁皮的总面积，用扇形面积公式算出剪下的扇形面积，两者作差，得到剩余部分的面积，最后根据扇形的弧长和圆锥底面的周长相等，通过弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立方程，求解出圆锥的底面圆半径．注意剩余部分的面积和圆锥的底面圆半径均按要求保留两位小数． 【详解】解：连接，如图 由可知，为的直径，， 根据勾股定理，在中，， 在扇形中，， ， 圆形铁皮直径为， 圆形铁皮的半径为， 圆形铁皮的总面积， 剪下的扇形面积， 剩余部分面积， 扇形的弧长， 设圆锥底面圆的半径为，则，即， 解得． 答：剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 13．如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， (1)求它的侧面展开图的圆心角． (2)当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 【答案】(1)它的侧面展开图的圆心角为； (2)． 【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后求出的值即可； （2）连接，如图，根据两点之间线段对短得到为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径，然后利用为等腰直角三角形得到的长． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 而， 所以，解得， 所以它的侧面展开图的圆心角为； （2）连接，如图， 此时为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07正多边形与圆、扇形期中复习讲义 ✵复习目标 1.认识正多边形的中心、半径、边心距、中心角；会计算正多边形的中心角，能利用半径、边心距、边长一半构成的直角三角形进行基础计算。 2.掌握弧长公式、扇形面积两个公式，能灵活选用公式计算弧长、扇形面积。 3.会计算弓形面积，能用割补法求阴影面积，将不规则图形转化为扇形与三角形面积的和差求解。 4.掌握正多边形对称性考点，能判断对称轴数量、图形是否为中心对称图形。 5.规范几何计算题的书写格式，能运用本章知识解决相关选择、填空与简单解答问题。 ✵高频题型梳理 题型1.求正多边形的中心角 题型2.尺规作图——正多边形 题型3.已知正多边形的中心角求边数 题型4.正多边形和圆的综合 题型5.求弧长 题型6.求扇形半径 题型7.求圆心角 题型8.求某点的弧形运动路径长度 题型9.求扇形面积 题型10.求图形旋转后扫过的面积 题型11.求弓形面积 题型12.求其他不规则图形的面积 题型13.求圆锥侧面积 题型14.求圆锥底面半径 题型15.求圆锥的高 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型17.圆锥的实际问题 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 题型19.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正多边形的有关概念 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二、正多边形的画法 正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。 1. 用量角器等分圆：先用量角器画一个度数为的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n个等分点，顺次连接各等分点，就得到圆的内接正n边形。 2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图。如正方形、正八边形的画法：在⨀O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形。 知识点三、正多边形的计算 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 1.多边形的内角的度数：＝180°－。 2.正多边形的中心角的度数： 3.正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 4.正多边形的周长：C＝n·a 5.正多边形的面积：S=nar=C·r 知识点四、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 知识点五、扇形 1.扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2.扇形的面积：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 知识点六、圆锥的概念及其侧面积和全面积 1.圆锥和母线 圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。 2.圆锥的侧面积和全面积：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为=×2πr·l=πrl,圆锥的全面积为=πrl+π ✵典例精讲 题型1.求正多边形的中心角 1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 3．补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 题型2.尺规作图——正多边形 1．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 2．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 3．已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在中，，，下面给出以为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法： ①以C为圆心，的长为半径画圆，与的延长线交于点D； ②再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交点记为点E； ③再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G； ④连接，，，，得正五边形． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）． 题型3.已知正多边形的中心角求边数 1．若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 3．“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． (1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； (2)当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； (3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 题型4.正多边形和圆的综合 1．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 3．如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 题型5.求弧长 1．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 3．用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 题型6.求扇形半径 1．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是，则这段圆弧所在圆的半径R约是___________米（取3.14，结果保留小数点后一位）． 3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 题型7.求圆心角 1．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 3．如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 题型8.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 3．如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 题型9.求扇形面积 1．如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 3．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，求扇面（阴影部分）的面积． 题型10.求图形旋转后扫过的面积 1．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 2．一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 3．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 题型11.求弓形面积 1．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 3．如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 题型12.求其他不规则图形的面积 1．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 3．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积和周长． 题型13.求圆锥侧面积 1．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 2．已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，求这个圆锥的侧面积． 题型14.求圆锥底面半径 1．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 2．若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 3．如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 题型15.求圆锥的高 1．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 2．一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是___________． 3．如图，一个扇形的半径为，圆心角为，用这个扇形做圆锥的侧面，求圆锥的底面半径和高． 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 3．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 题型17.圆锥的实际问题 1．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 3．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 2．如图，圆锥的母线长是，底面圆的半径是，是底面圆周上的一点，从点出发绕侧面一周再回到点的最短路线的长是______． 3．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 2．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（     ） A． B． C． D． 3．一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 7．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 8．如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 9．如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 三、解答题 10．如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 11．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长； (2)求阴影部分的面积． 12．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 13．如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， (1)求它的侧面展开图的圆心角． (2)当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $