第3章圆章节期中复习讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027苏科版 圆专题复习——期中版 第1部分 基础 【2025鼓楼T19】 如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点． 求证：． 【2025鼓楼T24】 已知AB，CD是的弦，点与AB，CD位置如图所示，． （1）求证． （2）仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线，说明理由． （3）若之间的距离为39，求的半径． 【2025玄武T21】如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 【2025玄武T23】如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 【2025秦淮T21】如图，内接于，．连接并延长，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若的半径为5，，求的长． 【2025秦淮T24】如图，是的边上一点，以为直径作．已知，，． （1）求证：与相切； （2）若与也相切，则的周长为 ． 【2025建邺T21】如图，点在上，，．求证． 【2025联合体T19】如图，点A，B，C，D在上，．分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）求证：． 【2025联合体T22】如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． （1）求证：； （2）若，，求的半径 第2部分 培优 【2025鼓楼T25】如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． （1）求该纸帽的底面半径． （2）如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【2025玄武T25】已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 （1）在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； （2）点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 【2025玄武T26】如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点 （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【2025秦淮T26】已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图（1），点在上； （2）如图（2），点不在上． 【2025建邺T23】 如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求的长． 【2025建邺T24】已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 【2025联合体T25】如图，矩形内接于，点E在上，． （1）连接，求证：； （2）若分别交，于点F，G，，，求的半径． 【2025联合体T26】如图，在中，，，，，垂足为D． （1）利用直尺和圆规作，使分别切，于点D，E； （2）求的半径； （3）判断与的位置关系，并说明理由． 第3部分 压轴 【2025鼓楼T27】 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下的定义；若图形上存在点和点，使得，则称点是图形的勾股点．如图（1），已知点，连接MN． （1）①在点中，线段的勾股点是__________． ②如图（2），以线段为直径作，若点是的勾股点，求所有点组成的区域的面积． （2） 如图（3），将点M，N沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，顺次连接点，，得到矩形．若点是矩形的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组成的区域，无须说明理由． 【2025玄武T27】如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥底面圆的半径为______cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【2025秦淮T27】 一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（ ） A． B． C． D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 【2025建邺T26】（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【2025建邺T27】某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 【2025联合体T27】在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． （1）如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． （2）如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． （3）的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027苏科版 圆专题复习——期中版 第一部分基础 【2025鼓楼T19】如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点．求证． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明即可． 【详解】证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵弦平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【2025鼓楼T24】已知AB，CD是的弦，点与AB，CD位置如图所示，． （1）求证． （2）仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线，说明理由． （3）若之间的距离为39，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∴． （2） 如图，为的垂直平分线； 连接交于P点，连接并延长，与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点和点都在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线． （3）25 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）连接，通过圆周角定理得到，再根据平行线的性质即可得证； （2）连接交于P点，如图，根据圆周角定理得到，则，由于，根据线段垂直平分 线的性质定理的逆定理得到点P和点O都在的垂直平分线上，从而判断垂直平分； （3）连接、，交于E点，交于F点，设的半径为r，，则，根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程，解方程组即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，设的半径为r，，则， ∵，， ∴， ∴，， 在中，，即， 在中，，即， 联立方程①②，解得：（负值已舍去）． 【2025玄武T21】如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 【2025玄武T23】如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，由是的直径，是的中点，得，，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线； （2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，设交于点， 是的直径，是的中点， ，， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图2， 是的直径，且的半径为2， ，， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形 ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 【2025秦淮T21】如图，内接于，．连接并延长，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分； （2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接、， ∵内接于， ∴， ∵， ∴， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【2025秦淮T24】如图，是的边上一点，以为直径作．已知，，． （1）求证：与相切； （2）若与也相切，则的周长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、切线的判定、切线长定理、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据即可得证； （2）记与切点为M，由切线长定理可得，，设，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， 在中，， ∴， ∵为直径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：如图，记与切点为M， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【2025建邺T21】如图，点在上，，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得，由得，则，求出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【2025联合体T19】如图，点A，B，C，D在上，．分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 解：， ． ， ． ． （2） 解：连接． ， ． ． ． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，则，又因为，证明，故，即可证明． （2）根据，得，再结合圆周角定理得出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【2025联合体T22】如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． （1）求证：； （2）若，，求的半径 【答案】（1） 证明：连接． ， ． ， ． 是的切线， ，即． 在中，， ． ． ． （2）的半径为3 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证； （2）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ． ． 在中，，设的半径为r，则，， ． 解得．即的半径为3． 第二部分 培优 【2025鼓楼T25】如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． （1）求该纸帽的底面半径． （2）如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 【2025玄武T25】已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 （1）在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； （2）点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，角平分线，切线的判定和性质； （1）构造正方形，作直线，即可； （2）连接，过点作的垂线，作的角平分线，分别交于点，延长交于点，则，根据圆的对称性可得，则弦，，即为所求． 【小问1详解】 如图，点即为所求； 【小问2详解】 如图，线段，即为所求． 【2025玄武T26】如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点 （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线性质、圆周角定理、等腰三角形性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键． （1）连接，，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质可证得垂直平分，进而证得，从而得出结论； （2）连接、，根据等腰三角形的性质，结合圆周角定理证得，进而证得，从而得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，，延长交于点， 点A在的垂直平分线上． 点O在的垂直平分线上 垂直平分 即 即 ； 【小问2详解】 证明：连接、，如图： ， ， ． 【2025秦淮T26】 已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图（1），点在上； （2）如图（2），点不在上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理． （1）如图①，如图①，过点O作，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求； （2）连接，过点O作于点E，以O为圆心，为半径作弧交于点J，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求． 【小问1详解】 如图（1），线段即为所求； 由作法可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图②，线段即为所求． 由作法可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【2025建邺T23】如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，连接交于点H，连接，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定定理可得出答案； （2）连接根据勾股定理求出的长，过点D作出直角三角形斜边上的高，用面积法求出这个高，再利用题目给出的平行，结合（1）中的结论能够推出全等的三角形，再根据垂径定理得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，连接交于点H，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，延长交于点M，过点D作，G为垂足， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角定理，垂径定理，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，用面积法求高，题目的综合性很强． 【2025建邺T24】已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，过圆外一点，作圆的切线，线段的垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点与圆的位置关系，垂径定理． （1）如图①，以P点为圆心，的长为半径画弧交于点Q、点，则和满足条件； （2）先过O点作于E点，再以O点为圆心，的长为半径作圆，接着连接，再作的垂直平分线得到的中点F，然后以F点为圆心，的长为半径作圆交半径为的圆于G、Q点，直线交于C、D两点，直线交于两点，则和满足条件． 【小问1详解】 解：如图①，和为所作； 【小问2详解】 解：如图②，和为所作． 由作图知是半径为的圆的切线，切点分别为点，点， ∴，， 连接，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，得． 【2025联合体T25】如图，矩形内接于，点E在上，． （1）连接，求证：； （2）若分别交，于点F，G，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，． ． ， ． ，即． ． ． （2）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、弧、弦之间的关系、圆周角的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、弧、弦之间的关系、圆周角的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接，则有，然后可得，通过证明可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ， 是直径． ． ， ． ， ． ． ． 在中，． ，，， ． ． ． 在中，． 的半径为． 【2025联合体T26】如图，在中，，，，，垂足为D． （1）利用直尺和圆规作，使分别切，于点D，E； （2）求的半径； （3）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：所作如图所示： （2）的半径 （3） 解：与的位置关系是相离，理由如下： 过点O作于点F，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，， ∴， ∴， ∴与的位置关系是相离． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、角平分线的尺规作图、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质、角平分线的尺规作图、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意可作的角平分线，交于点O，然后以点O为圆心，长为半径作圆即可求解； （2）由勾股定理先得到，连接，然后根据等积法及切线的性质可得，进而问题可求解； （3）过点O作于点F，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则有， ∵，，，， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴； 即的半径； 【小问3详解】 略 第三部分 压轴 【2025鼓楼T27】 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下的定义；若图形上存在点和点，使得，则称点是图形的勾股点．如图（1），已知点，连接MN． （1）①在点中，线段的勾股点是__________． ②如图（2），以线段为直径作，若点是的勾股点，求所有点组成的区域的面积． （2）如图（3），将点M，N沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，顺次连接点，，得到矩形．若点是矩形的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组成的区域，无须说明理由． 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，理解勾股点的定义是解答本题的关键． （1）①根据直径所对的圆周角是直角可知，当点在以为直径的圆上或圆内时符合题意； ②由①知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点，然后求出当点P在圆外时使时的最大值即可求解． （2）分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点． 【小问1详解】 如图，在圆上取一点P，则， ∵圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角， ∴当点P在以为直径的圆上或圆内时，线段存在点A和点B，使得， ∴点D是线段的勾股点，点F不是线段的勾股点． ∵， ∴点E在圆上， ∴点E是线段的勾股点． 综上可知，线段的勾股点是， 故答案为：； 【小问2详解】 由①知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点． 当点P在圆外时，如图，在圆上取点A和点B，使，在直线上取点P，使是等腰直角三角形，以为直角边构造等腰直角三角形，连接， 则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴的最大值是， ∴所有点组成的区域的面积是以点O为圆心，以为半径的圆，围成的区域， ∴所有点组成的区域的面积； （3）分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点． 【2025玄武T27】如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥底面圆的半径为______cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）5 （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 解得 故答案为：； 【小问2详解】 （i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 【2025秦淮T27】 一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（ ） A． B． C． D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 【答案】（1）C；（2）①③；（3）等腰三角形，理由见解析；（4）①；②半径长为或2或或或或． 【解析】 【分析】此题考查“准接圆”的定义，全等三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理等， （1）根据“准接圆”的定义直接判断即可； （2）根据“准接圆”的定义判断各选项； （3）结合题意画出图形，证明，推出，由此得到如果一个三角形存在强准接圆，那么为等腰三角形； （4）①如图，由（3）结论可知，由此得到四边形是正方形，即可得到； ②根据“准接圆”的定义，分六种情况，理由勾股定理分别求解． 【详解】解：（1）选项A经过三个顶点，不与边相切，不符合题意； 选项B与三边相切，但不经过定点，不符合题意； 选项C经过两个顶点，且与边相切，符合题意； 选项D与两边相切，但只经过定点C，不符合题意； 故答案为: C; （2）①根据定义可知任意三角形都存在准接圆，故①为真命题; ②如图，当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，故②为假命题; 当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，其直径等于以其经过的两个顶点为端点的边， 如图，此时为直径，， ， 此时满足三角形准接圆的直径大于以其经过的两个顶点为端点的边，故③正确； 故答案为：①③； （3）如果一个三角形存在强准接圆，则这个三角形为等腰三角形，理由如下： 如图，为的“强准接圆”， 连接， 根据题意可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （4）①如图，由（3）结论可知， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ②第一种情况：圆经过顶点B，C，且与边相切，此时； 第二种情况：圆经过顶点A，C，且与边相切，此时； 第三种情况，圆经过顶点B，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第四种情况，圆经过顶点A，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第五种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 则， ∴ 在中，， ∴， 解得； 第六种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 此时， ∴ 在中，， ∴， 解得； 综上，半径长为或2或或或或． 【2025建邺T26】（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】（1）54；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论． 【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为； 故答案为：54； （2）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴扇环的面积为 ， ∵， ∴扇环的面积为； （3）设图形的高为h， 由（2）得， ∵等于的长，等于的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【2025建邺T27】某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接正方形性质，利用等腰直角三角形直接求解即可． （2）根据轴对称的性质，判定正方形的中心为线段的中点，过点O分别作正方形的两条对角线与两圆的交点即可确定最大内接正方形． （3）为使三台路由器覆盖范围内接正方形最大，另三台路由器采用等边三角形布放且边长等于每台路由器的覆盖半径，利用三台路由器的覆盖范围为轴对称图形，作等边的外接正方形，且正方形的定点在覆盖区域的边缘上，再利用正方形对角线的长度即可求解正方形边长的最大值． 小问1详解】 解：如图，正方形为内接正方形． 根据题意正方形场地为路由器覆盖的圆形内接正方形，则为等腰直角三角形． ∴正方形边长． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，设点O为中点，直线交内接正方形于E，F， ∵正方形是轴对称图形， ∴点O为对角线和的交点， 设正方形边长， ∵和为等腰直角三角形，点为与的切点， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 解得， 则． 故此时正方形场地的边长为． 【小问3详解】 解：为使内接正方形最大，三台路由器P、Q、R按照等边三角形布放，且．如图所示， 则，为等边三角形， 连接并延长交于点A，分别连接并延长交于点B、点D， 由于三个圆围成的区域关于直线对称， 则，为等腰直角三角形． 又∵， ∴四边形为正方形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识点，熟练应用轴对称图形的性质是解答本题的关键． 【2025联合体T27】在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． （1）如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． （2）如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． （3）的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】（1） ①如图， ∵， ∴， ∴， 又∵的半径为1， ∴点在上， ∵交于点， ∴为的“点A关联三角形”； ② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理求出，推出点在上，由图可知交于点，再根据“点A关联三角形”的定义即可说明；②当点A在y轴右侧时，先过点C作的切线，连接，可知，和，过点A作轴于H，可求得，再由对称性可得点A的横坐标取值范围为，即可求解； （2）由题意可得线段和除点A外不与有交点，当与相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当时，线段除点A外不与有交点；当点B恰好在上，即点B在处，记作点，结合为等边三角形，求得，过点作轴于G，进一步求得，在上取一点M，连接，使得，可求得，，则，在中利用勾股定理可求得，则有，即可得到m的取值范围； （3）分三种情况讨论：①当与有交点，直到点落在上时；②当与相切时；③当与相交时，且点在内，分别求出三种情况的临界的值，再结合图象动态分析即可得出r的取值范围． 【小问1详解】 解：①略 ②过点C作的切线，连接， 当点A在y轴右侧时，则，， ∴， 过点A作轴于H， 则， ∴， ∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得， ∴， ∴a的最小值为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2， ∵为的“点A关联三角形”， ∴线段和除点A外不与有交点， 当与相切时， ∴轴，此时，点A的横坐标为1， 则点C的横坐标为1，即， ∴时，线段除点A外不与有交点； 当点B恰好在上，即点B在处，记作点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， 过点作轴于G， ∴，， ∴， 在上取一点M，连接，使得， ∴， 在中，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴时，线段除点A外不与有交点； ∴综上所述，m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵为的“点A关联三角形”， ∴分如下情况讨论： ①当与有交点，直到点落在上时， ∵直线与在第一象限的交点为A， ∴， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 解得，此时不满足题意， ∴； ②当与相切时，如图， 由图可知，点与点重合， ∵， ∴， ∴， 当时，与有两个交点，不符合题意， ∴； ③当与相交时，且点在内，即， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 同理可证， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴点在外， ∴与必有一个交点，符合题意， ∴； ∴综上所述，r的取值范围为或． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度直角三角形、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点和分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 学科网（北京）股份有限公司 $