27.3实际问题与反比例函数第三课时分层训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 反比例函数在物理、化学中的应用分层训练 一、反比例函数在力学中的应用 1.一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 2.某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 3.如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 4.某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)若，求二氧化碳密度的变化范围． 7.工人师傅要在刚刚浇注过的水平水泥地面上进行作业，为了不破坏地面，常常要在地面上铺垫一些木板．某工人的重力是，不计木板的重力． (1)写出用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式． (2)如果此工人站立时双脚与地面的接触面积约是，那么他对地面的压强约是多大？ (3)如果木板的面积是，此工人站在木板上对地面的压强是多大？ (4)为什么工人师傅铺垫木板后，地面就不容易被破坏？请说明理由． 8.杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围． 二、反比例函数在光学中的应用 1.如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 2.在探索凸透镜成像的实验中，某数学兴趣小组尝试用数学的知识和方法来探究凸透镜成像规律．在实验室中固定一个凸透镜，设物距为u、像距为v和焦距为f，取值时保证，画出如图1所示的光路图，根据实验数据研究绘制了如图2所示的之间的函数图象，下列说法错误的是（     ） （1）当时，物体成倒立、放大的实像，即． （2）光路原理：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． A．当时，像距v随物距u的增大而减小 B．当时，物体通过凸透镜成像为倒立、放大的实像 C．当时，物体通过凸透镜成像为倒立、等大的实像 D．改变物距u、存在 3.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 三、反比例函数在电学中的应用 1.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（   ） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B．当时，甲醛检测仪会报警 C．当时，的阻值为 D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 3.某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．电功率是电阻的一次函数 B．电功率关于电阻的函数解析式为（） C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到 D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为 4.电风扇是我们生活的常用电器，数学小组的一名学生在使用电风扇时，突然产生一个疑问：为什么电风扇的风速可以调节？好奇的他进行了探究，发现与电风扇的实际功率有关．由物理学中的公式和可知，实际功率的大小是由电阻的大小决定的．于是他将滑动变阻器和电风扇串联，通过调整滑动变阻器的电阻，改变电风扇的风速．实验测得数据如下： 总电阻 15 12 9 6 3 电流强度 0.4 0.5 0.7 1 2 (1)数学老师指出：该学生测量的数据大部分都是正确的，个别有误差．你能发现哪几组数据有误吗？说说你的理由． (2)求I关于R的函数表达式； (3)如果将电阻调大，电风扇的风速将发生什么变化？ (4)如果电风扇的电阻为，电路中滑动变阻器的电阻控制在到（包括5，15）时，电路中电流应该控制什么范围？ 5.某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 四、反比例函数在电学中的应用 1.化学实验室要配制一些氯化钠溶液，当溶质氯化钠的质量固定不变时，溶液的总质量（单位：）与溶质的质量分数成反比例函数，其函数图象如图所示．当溶液总质量时，质量分数为______%． 2.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 3.有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为，室内甲醛含量为，开机后净化器开始消耗净化药物． 当时，室内甲醛含量保持室内起始甲醛含量不改变； 当时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为（），并有以下两种工作模式： 模式Ⅰ：室内甲醛含量与净化药物的消耗量成反比，且当时，； 模式Ⅱ：净化药物的消耗量与时间的关系式为，计时后甲醛的减少量与时间的关系式为．（室内甲醛含量＝室内起始甲醛含量－甲醛的减少量） (1)在模式Ⅰ下： ①求出与的关系式（不写的取值范围）； ②如果要求甲醛含量不高于达标，求净化药物的消耗量的最小值； (2)在模式Ⅱ下： ①用表示为：______； ②求与的关系式为：______；（不写的取值范围） (3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果好？请同学计算说明理由． 1.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 2.【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 3.数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求电阻的值． (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 1.（2026·江苏南通·中考真题）在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 2.（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（ ） B．C．D． 3.（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A．B．C．D． 4.（2026·浙江·中考真题）【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（      ）． A． B． C． D． 5.（2026·江苏盐城·中考真题）某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 6.（2026·江苏宿迁·中考真题）小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 反比例函数在物理、化学中的应用分层训练答案 一、反比例函数在力学中的应用 1. 2 2. 8 3. 4.B 5.A      6.（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； （2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 7. （1）解：根据压强、受力面积、压力之间的关系可得：， 用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式为； （2）解：当工人站立时双脚与地面的接触面积约是， 工人对地面的压强为； （3）解：当工人站在面积为的木板上时， 对地面的压强是； （4）解：铺垫木板后，工人对地面的压力大小不变，受力面积增大， 根据，压力一定时，受力面积越大，压强越小， 地面不容易被破坏. 8. （1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即． （2）解：由（1）知，， 则，即， 可得， 每当增加一克，增加， 故杆秤上的刻度线是均匀的，当每增加相同的数值，的增加量是否也相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 二、反比例函数在光学中的应用 1.B  2.D  3.（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）解：时， ， ， ∴， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 三、反比例函数在电学中的应用 1.B   2.B  3.D  4.（1）解：由变形得，电路电压为定值，因此所有正确数据的乘积都相等. 计算各组的值： ； ； ； ；； 只有这一组的乘积不等于6，因此该组数据有误； （2） 解：由上述计算可得定值电压，代入可得：； （3） 解：函数中，，当时，随的增大而减小. 电阻调大后电流减小，电风扇实际功率减小，因此风速变小； （4）解：由题意可知，总电阻电风扇电阻滑动变阻器电阻. 已知电风扇电阻为，滑动变阻器电阻范围为，因此总电阻范围为： ，即， 因为中随增大而减小，代入端点得： 当时，； 当时，； 因此电路中电流的范围为． 5. （1）补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20 阻值与压力的函数关系式为； （2） 电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； （3）． 四、反比例函数在电学中的应用 1. 5 2.（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2）解：当x≥3时，设， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为： ； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L， 理由如下： 当x=15时，=0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 3.解:（1）①设与的关系式为， 将当时，代入得：，解得：， ∴与的关系式为； ②∵甲醛含量不高于达标，且根据题意有x非负， ∴， ∴，解得：， ∴净化药物的消耗量的最小值为． （2）①根据题意得：， 将代入得：， 故答案为：． ②∵， ∴， 将代入得：， 整理得∶ ． （3）当时， 模式Ⅱ：，解得：，（舍）， 当时， 模式Ⅰ：， ∵， ∴模式Ⅰ去除甲醛的效果好． 1.B     2.（1）解：①由平衡式知，不称重物时左侧为定值， 记常数 ，则 ； ∵克时，， ∴ ， ∴； ②秤砣最大滑动距离为，即，代入， 解得， ∴最小质量为12.5克； （2）解：①称重物时，新增重物质量克， 根据杠杆平衡原理，总平衡式为：​， 整理得， 把，克代入得： ， 化简得； ②由变形得， 则是的一次函数，一次项系数为40，即每增加，对应增加40克； （3）解： 对于， 物体A真实质量为120克（克），用100克秤砣时，代入，得； 换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量满足，代入，得； 偏差为真实质量减测量值：． 3. （1）解：由图3可知，可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系，设， 把，代入解析式得：， 解得， ∴， 当时，； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知，， 代入解析式，可得：， 解得：； （3）解：由（2）知电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 此时取得最大值为； 当时，取得最小值，最小值为， 此时取得最小值为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取得最小值2时，取得最大值， 把代入得：， 解得：， 所以该电子秤所称物品质量的最大值为． 1.A  2.C 3.D    4.C    5.减小 6. 学科网（北京）股份有限公司 $