精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年七年级上学期10月学情自测数学试题

数学 时间：60分钟 满分：100分 一．单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场隆重举行，其中，中心体育场建筑面积约平方米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组单项式中不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 一件商品标价元，先涨价元，又打了九折，最终售价为（ ）元． A. B. C. D. 4. 下列语句中错误的是（ ） A. 是一次单项式 B. 的系数是 C. 有可能是正数 D. 是二次三项式 5. 有理数、在数轴上的位置如图，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，两种量成反比例关系的是（ ） A. 长方形周长一定，长和宽 B. 时间一定，路程和速度 C. 总价一定，单价和数量 D. 圆周长一定，直径和圆周率 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若，则①④两块长方形的周长之和为（ ） A. 8 B. C. D. 16 10. 如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50个图形中，黑色箭头▲的个数为（ ） A. 72 B. 73 C. 75 D. 76 二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 小明参加社区的便民跳蚤市场活动，卖出几件玩具，收入元，记为元，后来又买了一本喜欢的书，支出元，应记为 _____元． 12. 比较大小（用“>” “<”或者“＝”填写）：_____；____ 13. 近似数精确到________位． 14. 请写出一个系数为，只含有字母和的三次单项式：________． 15. 已知代数式的值为，则的值为________． 16. 一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式：________． （年） … … 17. 若a、b为有理数，且ab≠0，则＝_____． 18. 对于正整数，定义，其中表示的首位数字的平方与末位数字的平方之差的绝对值，例如：，． 规定：，（为正整数）， 例如：，． 按此定义，________，________． 三．解答题（共54分，19题20分，20题10分，21~24题各6分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 化简： （1） （2） 21. 已知、为整式，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 22. 有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． （1）结合数轴可知：________（填“”、“”或“”）； （2）结合数轴化简：． 23. 如图，、、、、、、、是个等间距的住宅，它们与学校位于同一条直线上．每个住宅各有一名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在其中一个住宅处等待学生上车，其余学生需要步行到这个住宅后一起乘坐校车沿这条直线抵达学校．在每两个住宅间，校车行驶需要分钟，学生步行需要分钟．校车从住宅行驶到学校需要分钟．若一个学生的上学时间是他从自己的住宅走到上车地点的时间与校车从上车地点行驶到学校的时间之和（不考虑其他因素），记这名学生的上学时间之和为分钟． 请回答下列问题： （1）当，，时： ①若校车在住宅处等待学生上车，则住宅处的学生的上学时间为________分钟； ②要让取最小值，则校车应在住宅________处等待学生上车； （2）设当校车在住宅处等待学生上车时，；当校车在住宅处等待学生上车时，．若，则与需要满足的数量关系为：________． 24. 如图，我们将一条数轴在原点和点处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折线数轴”，其中为“折线数轴”的原点，在“折线数轴”上，每个点对应的数就是把“折线数轴”拉直后对应的数，其中点到点的距离仍为、、的长度之和． 图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在“折线数轴”上的距离为．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： （1）动点从点运动至点需要________秒； （2）、两点相遇于点，点所对应的数为________； （3）在到达原点之前，当_______时，、两点在数轴上的距离与、两点在数轴上的距离相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 时间：60分钟 满分：100分 一．单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场隆重举行，其中，中心体育场建筑面积约平方米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数；据此表示即可． 【详解】解：． 故选：D． 2. 下列各组单项式中不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 3. 一件商品标价元，先涨价元，又打了九折，最终售价为（ ）元． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：商品涨价10元后价格为元，打九折后最终售价为元． 4. 下列语句中错误的是（ ） A. 是一次单项式 B. 的系数是 C. 有可能是正数 D. 是二次三项式 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：是常数，不含字母，次数为0，不是一次单项式，该语句错误． 选项B：的系数是，该语句正确． 选项C：当为负数时，是正数，故有可能是正数，该语句正确． 选项D：最高次为2次，有3个项，是二次三项式，该语句正确． 5. 有理数、在数轴上的位置如图，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由数轴可得，且， ∴，，， ∴只有B选项正确，符合题意． 6. 下列选项中，两种量成反比例关系的是（ ） A. 长方形周长一定，长和宽 B. 时间一定，路程和速度 C. 总价一定，单价和数量 D. 圆周长一定，直径和圆周率 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． 设长方形周长为，长为，宽为，则． ∵ 为定值时，与的和为定值，乘积非定值， ∴ 长和宽不成反比例关系． B． 设路程为，速度为，时间为，则． ∵ 为定值时，与的比值为定值， ∴ 路程和速度成正比例关系，不符合题意． C． 设总价为，单价为，数量为，则． ∵ 为定值时，与的乘积为定值， ∴ 单价和数量成反比例关系，符合题意． D． 设圆周长为，直径为，圆周率为，则． ∵是定值，不是变量， ∴ 直径和圆周率不成反比例关系． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项：，计算正确． B选项：，计算错误． C选项：与不是同类项，不能合并，计算错误． D选项：，计算错误． 8. 按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】把各选项的值代入运算程序计算即可得出答案． 【详解】解：A选项，当，时，输出为，故该选项不符合题意； B选项，当，时，输出为，故该选项符合题意； C选项，当，时，输出为，故该选项不符合题意； D选项，当，时，输出为，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的思想，把各选项的值代入运算程序计算是解题的关键． 9. 如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若，则①④两块长方形的周长之和为（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以分别求出①④两块长方形的长和宽，从而可以表示出①④两块长方形的周长之和，从而可以解答本题． 【详解】解：∵②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若， ∴小长方形①的长为2－a，宽为b，小长方形④的长为2－b，宽为a， ∴①④两块长方形的周长之和是：（2－a）×2＋2b+2（2－b）+2a ＝4﹣2a+2b+4－2b＋2a ＝8； 故选：A． 【点睛】本题考查整式的加减，长方形的性质及周长等知识，解题的关键是表示出小长方形①和④的长和宽． 10. 如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50个图形中，黑色箭头▲的个数为（ ） A. 72 B. 73 C. 75 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形，得出规律第（为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得： 第1个图形中黑色箭头▲的个数为， 第2个图形中黑色箭头▲的个数为， 第3个图形中黑色箭头▲的个数为， 第4个图形中黑色箭头▲的个数为， 第5个图形中黑色箭头▲的个数为， 第6个图形中黑色箭头▲的个数为， …， 故第（为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为； 故第50个图形中，黑色箭头▲的个数为， 故选：D． 二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 小明参加社区的便民跳蚤市场活动，卖出几件玩具，收入元，记为元，后来又买了一本喜欢的书，支出元，应记为 _____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数的意义．据此解答即可． 【详解】解：∵收入元，记为元， ∴支出元，应记为元． 故答案为：． 12. 比较大小（用“>” “<”或者“＝”填写）：_____；____ 【答案】 ①. > ②. < 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据两个负数相比较绝对值大的反而小可得答案，再去括号，去绝对值，并比较即可． 【详解】解：因为，且， 所以； 因为，且， 所以． 故答案为：． 13. 近似数精确到________位． 【答案】 千 【解析】 【分析】将科学记数法表示的近似数还原为原数，判断最后一个有效数字对应的数位，即可得到精确到的数位． 【详解】解：先还原原数，得 ， 中末位有效数字 ，对应原数 的千位，因此近似数 精确到千位． 14. 请写出一个系数为，只含有字母和的三次单项式：________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】已知系数为，单项式只含字母和，次数为，根据单项式系数与次数的定义构造即可． 【详解】解：∵系数为，只含有字母和的三次单项式， ∴，符合要求． 15. 已知代数式的值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 对所求代数式变形得， 将代入上式得． 16. 一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式：________． （年） … … 【答案】 【解析】 【分析】观察表格中和的对应数据，总结变化规律，推导得到关系式． 【详解】解： ∵ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ 与的关系式为． 17. 若a、b为有理数，且ab≠0，则＝_____． 【答案】3或﹣1 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，分情况进行计算即可． 【详解】分情况讨论： ①当a＞0，b＞0时，原式＝1+1+1＝3； ②当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1； ③当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1； ④当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1． 故答案为3或﹣1． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 18. 对于正整数，定义，其中表示的首位数字的平方与末位数字的平方之差的绝对值，例如：，． 规定：，（为正整数）， 例如：，． 按此定义，________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】按照定义依次计算前几个的值，找出循环规律，再根据规律计算目标结果． 【详解】解：根据定义可得：， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ……， 由此可得，从开始，每次计算为一个循环，依次为， 计算得， ， 余数为，对应循环中第个数值，即． 三．解答题（共54分，19题20分，20题10分，21~24题各6分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）合并同类项，系数相加减，字母不变样； （2）合并同类项，系数相加减，字母不变样． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 已知、为整式，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用整式的加减运算法则求出的结果，再代入求值即可； （2）根据题意得到，，则可得到，，把两式相加即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， 当，时，原式； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22. 有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． （1）结合数轴可知：________（填“”、“”或“”）； （2）结合数轴化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据a、b在数轴上的位置可得得，，，然后根据绝对值的性质可得结论； （2）根据a、b在数轴上的位置进行绝对值的化简，然后合并． 【小问1详解】 解：由数轴得，，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，正数的绝对值是它本身， ∴； ∵， ∴，负数的绝对值是它的相反数， ∴； ∵， ∴，负数的绝对值是它的相反数， ∴． 将上述结果代入原式计算： ． 23. 如图，、、、、、、、是个等间距的住宅，它们与学校位于同一条直线上．每个住宅各有一名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在其中一个住宅处等待学生上车，其余学生需要步行到这个住宅后一起乘坐校车沿这条直线抵达学校．在每两个住宅间，校车行驶需要分钟，学生步行需要分钟．校车从住宅行驶到学校需要分钟．若一个学生的上学时间是他从自己的住宅走到上车地点的时间与校车从上车地点行驶到学校的时间之和（不考虑其他因素），记这名学生的上学时间之和为分钟． 请回答下列问题： （1）当，，时： ①若校车在住宅处等待学生上车，则住宅处的学生的上学时间为________分钟； ②要让取最小值，则校车应在住宅________处等待学生上车； （2）设当校车在住宅处等待学生上车时，；当校车在住宅处等待学生上车时，．若，则与需要满足的数量关系为：________． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据两点之间的距离进行求解； ②根据题意，求出逐个住宅点学生用的总时间，然后进行比较； （2）表示出两个时间，然后列出等式进行整理即可． 【小问1详解】 解：①住宅到住宅的间距是4，住宅到住宅的间距是3， ∴住宅处的学生的上学时间为分钟； ②当校车停在住宅处时， （分钟）； 当校车停在住宅处时， （分钟）； 当校车停在住宅处时， （分钟）； 当校车停在住宅处时， （分钟）； 当校车停在住宅处时， （分钟）； 当校车停在住宅处时， （分钟）； 当校车停在住宅处时， （分钟）； 当校车停在住宅处时， （分钟）； ∴要让取最小值，则校车应在住宅处等待学生上车； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，我们将一条数轴在原点和点处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折线数轴”，其中为“折线数轴”的原点，在“折线数轴”上，每个点对应的数就是把“折线数轴”拉直后对应的数，其中点到点的距离仍为、、的长度之和． 图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在“折线数轴”上的距离为．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： （1）动点从点运动至点需要________秒； （2）、两点相遇于点，点所对应的数为________； （3）在到达原点之前，当_______时，、两点在数轴上的距离与、两点在数轴上的距离相等． 【答案】（1）19 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，分别计算各段所用的时间，相加即可得答案； （2）首先判断出P、Q两点相遇在线段于M处，设，根据相遇时P，Q运动所用的时间相等，列出方程求解即可； （3）分三种情况讨论，分别根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（秒）， 答：动点P从点A运动至C点需要19秒． 【小问2详解】 解：根据题意得，点P到达点O的时间为（秒），点P到达点B的时间为（秒）， 点Q到达点B的时间为（秒），点Q到达点O的时间为（秒）， ∴P、Q两点相遇在线段上于M处， 设， 根据题意得， 解得 答：点所对应的数为； 【小问3详解】 解：①当动点P在上，动点Q在上时，即时， 根据题意得， 解得； ②当动点P在上，动点Q在上时，即时， 根据题意得， 解得； ③当动点P在上，动点Q在上时，即时， 根据题意得， 解得； 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $