精品解析：广东佛山市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次教学质量检测数学试卷

佛山一中2026学年上学期第一次教学质量检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 考试范围：必修一第一章集合与逻辑用语，第二章一元二次函数、方程、不等式，第三章函数的概念，少量初高衔接教材内容 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2. 设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义结合图象一一判定即可. 【详解】对于A，当时，在中无元素与之对应，不满足定义，A不能； 对于B，集合中的每个值，在集合中均有唯一值与之对应，符合函数的定义，B能； 对于C，当或时，对应元素，不满足定义，C不能； 对于D，当时，在中有两个元素与之对应，不满足定义，D不能. 故选：B 3. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 故选：C. 4. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解. 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题， 则，得， 故选：D 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，结合包含关系理解充分必要条件. 【详解】因为，则， 又因为，则，即， 因为是的真子集， 据此可知：“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 6. 下面各组函数中是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合同一函数的概念逐项判断即可得解. 【详解】对于A，函数，所以两函数对应关系不同，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，故C错误； 对于D，两函数定义域和对应法则均相同，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了同一函数的判定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 7. 若，则有（ ） A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】凑项，利用基本不等式可得最值． 【详解】，. ， 当且仅当时取等号，明显无最小值. 故选：D. 8. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集确定，，且是方程的两根，由韦达定理得到，再由基本不等式逐项判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两根， 则，解得． 对于A，，故A正确； 对于B，由A知，，而， 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，结合AB，有，当且仅当时取等号， 则的最小值为4，故C错误； 对于D，由A知，，而， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3，故D正确． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先将不等式化为一元二次不等式的标准形式，再根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识来逐一分析选项. 【详解】由题可知，是方程的两根，∴，，A选项正确； 由图可知，当时，，，B选项错误； 当时，，.C选项错误； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选:AD 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用将转化为关于的关系式，代入，利用基本不等式即可求出对应的最小值；对于B，利用基本不等式，并将代入即可求出对应的最小值；对于C，对运用基本不等式，再解不等式即可得求出对应的最大值；对于D，把关于的关系式代入，利用因式分解和基本不等式即可求出对应的最小值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对； ，当且仅当时，即当，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，B错； 因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，C对； ， 当且仅当即，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】解含绝对值符号的不等式即可得解. 【详解】不等式等价于，即，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 13. 已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可 【详解】因为p是q的必要而不充分条件， 所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集， 即或， 故或 故答案为：或 14. 某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择．经测量，，．在方案1中，若设，，则x，y满足的关系式为，在方案2中，，比较两种方案，沙坑面积最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；由基本不等式求得，结合矩形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、矩形面积公式求方案二最大值，比较大小即可. 【详解】方案1：连接，由，，，，得， 在中，，由，得， 显然在上单调递减，则 所以满足的关系式为（，）；    设沙坑的面积为， 由上分析得，解得， 当且仅当，即，时取等号，此时； 方案2：设沙坑的面积为，取的中点，则得， 连接，，设，，因，则， 在中，，即， 因，解得， 当且仅当时取等号，此时， 因， 所以选择第一种方案，此时沙坑面积最大，其最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）由必要不充分条件可知集合是集合的真子集，再分、讨论，即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，又. 当时，，解得； 当时，，即时， 有或，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，若集合是集合的真子集，则有（②式与③式等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 利用不等式的知识解答以下题目： （1）设m，n为实数，比较与的值的大小，并说明理由； （2）已知函数，当时，解关于x的不等式． 【答案】（1），理由如下： 因为， 所以，当且仅当时取等号； （2）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为全体实数集； 当时，不等式的解集为或 【解析】 【分析】（1）利用作差比较法和配方法进行判断证明即可； （2）根据解一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ， 因为， 所以当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为全体实数集； 当时，不等式的解集为或. 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，且， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，，且， 则 ， 即， 当且仅当，即或时，取等号， 的最小值为. 18. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. （2）若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. （3）当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】（1）； （2）的取值范围为； （3）当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【解析】 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题知， 又，解得， 所以. 【小问2详解】 由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. 【小问3详解】 由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求的值并证明：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1）， （2），证明：由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的3个元素为0，，，所以只能与0或或重合， 而，故即. （3）1350 【解析】 【分析】（1）根据题目所给新定义，写出集合即可； （2）根据题目所给新定义，以及题干所给元素大小关系，求出元素差的大小关系，在根据条件列出方程，求出结果即可； （3）根据题目所给新定义，判断集合中元素满足的性质，分别讨论元素满足的条件，列出集合中元素个数满足的不等式，求出结果即可. 【小问1详解】 因为集合，所以由，，，可得； ，，，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设满足题意，设， 则， ，又，， ，，即， ， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ，即， . 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故的最小值为675， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山一中2026学年上学期第一次教学质量检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 考试范围：必修一第一章集合与逻辑用语，第二章一元二次函数、方程、不等式，第三章函数的概念，少量初高衔接教材内容 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下面各组函数中是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 若，则有（ ） A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 最小值为 D. 最大值为 8. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是_______. 13. 已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________________________． 14. 某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择．经测量，，．在方案1中，若设，，则x，y满足的关系式为，在方案2中，，比较两种方案，沙坑面积最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 利用不等式的知识解答以下题目： （1）设m，n为实数，比较与的值的大小，并说明理由； （2）已知函数，当时，解关于x的不等式． 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 18. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. （2）若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. （3）当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求的值并证明：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $