精品解析：广东惠州市惠阳区东王实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

惠州市惠阳区2026-2027学年九年级数学上册第一次月考卷 注意事项： 本试卷满分 120 分，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.考试范围：第25-26章． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 3. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，则k的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 4. 已知二次函数，且，，则一定有（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线先向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 9. 为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图，其对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a＋2b＋c＞0；④3b－2c＞0；⑤关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝a（a≠0）有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的最大值是______． 12. 若关于、的方程组没有实数解，那么的取值范围是___________． 13. 函数是二次函数，则m＝_____． 14. 二次函数的顶点坐标为_______． 15. 某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，三月份的营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是，那么可列出的方程是__________________． 16. 如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为，则关于x的一元二次方程的解为__________． 三、解答题（共72分） 17. 按要求解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的最大整数值． 19. 已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求此时方程的根． 20. 已知二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … -3 -4 -3 0 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出该二次函数图象与轴的交点坐标. 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元. （1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. （2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 22. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当 时，求二次函数 的最大值和最小值； （3）点 P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点 P 作轴，点Q的横坐标为 ．已知点 P 与点 Q不重合，且线段的长度随m的增大而增大，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市惠阳区2026-2027学年九年级数学上册第一次月考卷 注意事项： 本试卷满分 120 分，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.考试范围：第25-26章． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，进行解答即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的判别式为：， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程根的情况是解本题的关键．一元二次方程根的情况与判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 3. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，则k的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 【答案】D 【解析】 【分析】把x＝2代入方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0得关于k的方程，解方程即可确定k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2， ∴k×22﹣2（k﹣2）+4＝0， 即2k＝﹣8， ∴k＝﹣4， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4. 已知二次函数，且，，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得到当x=-2时y>0，判断图象与x轴一定有两个交点，即． 【详解】解：∵，且，， ∴当x=-2时y>0， ∴抛物线与y轴交于正半轴， ∴图象与x轴一定有两个交点，即， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，中a>0时开口向上，当a<0时抛物线开口向下；c是图象与y轴交点的纵坐标；b值决定图象的对称轴． 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式，直接确定对称轴即可. 本题考查了抛物线顶点式确定对称轴，熟练掌握顶点式是解题的关键. 【详解】解：抛物线的解析式为， 故抛物线对称轴为直线. 故选：D. 6. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 7. 把抛物线先向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【详解】将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为， 将向左平移2个单位，则函数解析式变， 故选：A． 8. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把二次项的系数化为1，再配方，从而可得答案． 【详解】解： ， 故选：D. 【点睛】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键． 9. 为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一季度包含1、2、3三个月，需分别表示出每月产量，再根据第一季度总产量列方程． 【详解】解：∵一月份生产零件万个，平均每月增长率为， ∴二月份生产零件数量为 万个， ∴三月份生产零件数量为 万个， ∵第一季度共生产零件万个，第一季度总产量为三个月产量的和， ∴可列方程． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图，其对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a＋2b＋c＞0；④3b－2c＞0；⑤关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝a（a≠0）有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的图像与性质逐一分析即可，由开口方向可以判断①，由对称轴可以判断②，令x=2可以判断③，令x=-1可以判断④，联合直线y=a可以判断⑤． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴是直线x=1， ∴， ∴， ∵图像与y轴交点在y轴正半轴， ∴c＞0， ∴①abc＞0错误； 由图像可知抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴②成立； 二次函数的对称轴是：x=1, 根据二次函数的对称性可知： ∵当x=2与x=0的函数值相同，则有， ∴③成立； 由图可知，当x=-1时，y＜0， ∴， ∴， ∴④3b-2c＞0成立； ∵a＜0， ∴抛物线与直线y=a有两个交点， ∴⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根成立， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质，解题关键是能根据图像的开口方向、图像与坐标轴的交点等情况求出解析式中的字母参数的取值条件． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】二次函数的顶点式在时有最值，时有最小值为，时有最大值为，即可得出答案． 【详解】∵， ∴有最大值， 当时，有最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键． 12. 若关于、的方程组没有实数解，那么的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次不等式．先将方程组消去转化为关于的一元二次方程，再根据根的判别式求得的取值范围． 【详解】解：由得 整理得 方程无解 解得． 故答案为：． 13. 函数是二次函数，则m＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义可得m-4=2，再解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 14. 二次函数的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 15. 某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，三月份的营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是，那么可列出的方程是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设月平均增长的百分率是x，则某超市一月份的营业额是100万元，三月份的营业额是364万元，据此列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设月平均增长的百分率是，则该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 依题意可得：． 故答案为：． 16. 如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为，则关于x的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称轴和点P的坐标可以得出与x轴的另一交点坐标，从而得出结论． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（−2，0）， ∴关于x的一元二次方程的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是对二次函数性质的掌握和运用． 三、解答题（共72分） 17. 按要求解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）按照配方步骤即可解得． （2）把求根公式代入即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 【点睛】此题考查一元二次方程，解题的关键是根据题目要求按照步骤进行计算求解． 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的最大整数值． 【答案】1 【解析】 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=8﹣4m＞0， 解得m＜2， 故整数m的最大值为1． 【点睛】此题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 19. 已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出的值． 【小问1详解】 解：（1）关于的方程有两个实数根， ， 解得：且； 【小问2详解】 解：当时，方程为：，即， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握利用判别式判断根的个数是解题的关键． 20. 已知二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … -3 -4 -3 0 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出该二次函数图象与轴的交点坐标. 【答案】（1）；（2）（3，0）和（-1，0）. 【解析】 【分析】（1）由已知的三点坐标得到二次函数的对称轴，然后设顶点式即可求出二次函数的解析式； （2）由二次函数表达式即可得． 【详解】（1）由抛物线经过三点（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，抛物线对称轴为直线,顶点坐标为(1，-4). 设抛物线表达式为 将(0,-3)点代入，解得 ∴二次函数的表达式为 （2）二次函数图象与轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）. 【点睛】本题考查的知识点是求二次函数的解析式，解题关键是熟记二次函数的性质. 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元. （1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. （2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y==-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元. 【解析】 【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值； （2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可； 【详解】解：（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）； （2）由（1）知，y=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）． ∵-10＜0， ∴当x==4时，y最大=1960元； ∴每件商品的售价为34元． 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元. 【点睛】本题考查了二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价． 22. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 【答案】（1）；； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标； （2）根据A，B，C的坐标求出，长，即可求出的值． 【小问1详解】 解：令，则， ∴； 令，则， 解得：，， ∴；． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当 时，求二次函数 的最大值和最小值； （3）点 P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点 P 作轴，点Q的横坐标为 ．已知点 P 与点 Q不重合，且线段的长度随m的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的性质： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）根据两点间的距离公式写出的关系式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解： 将， 点代入 得： 解得：， ∴二次函数的解析式为： 【小问2详解】 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵ ∴当时， 值最大为：； ∴当 时， 的值最小为：； 【小问3详解】 当 时，，的长度随m的增大而增大， 当 时，的长度随m增大而减小． 满足题意， 解得： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $