精品解析：广东佛山市南海区南海实验中学2026-2027学年九年级上学期一检数学试题

2026-2027学年九年级上学期一检数学试题 满分120分，时间120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 2. 根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（ ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 3. 菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，对角线的长为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 5 7. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（ ） A. 一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B. 一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C. 不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D. 不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 9. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 12. 已知，若，且，则_________． 13. 我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 14. 如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 15. 如图，在四边形中，．若E是边上的一个动点，则当______时，与相似． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 18. 如图，某儿童乐园的场地是长、宽分别为的矩形（阴影部分），现将该儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将原场地的长、宽增加相同的长度后形成一个新矩形场地，若扩充后的新矩形场地面积为，求长和宽增加的相同长度． 19. 如图，四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 20. 如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）几秒后，的长度为？ 21. 如图，在矩形中，点，分别是，边上的点，，， （1）求证：； （2）若，求矩形的周长． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 23. 如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形． （1）当点E落在上时，则线段的长度等于 ； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期一检数学试题 满分120分，时间120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 2. 根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（ ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 3. 菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设另一条对角线长为 cm， ∵菱形的面积为，一条对角线是， ∴， ， ． 4. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边加，得， 即. 6. 如图，在菱形中，，对角线的长为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 7. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 8. 如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（ ） A. 一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B. 一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C. 不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D. 不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用勾股定理计算出各边长度，再验证三边是否成比例． 设方格边长为1，用勾股定理算出和三边的长度．计算两组三角形对应边的比值，发现三组对应边比例相等．根据“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理，得出两三角形一定相似的结论．对照选项，选出正确答案． 【详解】解：设每个小方格的边长为1， 在中： ，， 在中： ，， ，， ∴三组对应边的比例相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可以判定与一定相似． A．仅为直角三角形不能判定相似，还需要对应边成比例或对应角相等，故本选项不符合题意； B．因为两个三角形的对应边成比例，满足相似三角形的判定条件，故本选项符合题意； C．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； D．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质和角平分线定义推出，结合等角对等边求得，进而求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，  平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，  为的中点，， 是斜边上的中线， ． 10. 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，为等腰三角形，过点作的垂线，可以得到，结合矩形的性质，，在中，由勾股定理得，设，在中，，列出一元一次方程，最后求解出． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，交于点，过点作的垂线交于点， ，，， ． 在正方形中，， 又， 四边形为矩形． ， ， ， ， 四边形为矩形， ∴． 在矩形中，， ． ∵将沿翻折，得到， ∴，， 在中，， 设，则，， ． 在矩形中，． 在中，， ，解得， ． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得﹣2•x1=﹣6，所以x1=3． 12. 已知，若，且，则_________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意求得，，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， 提取公因式得， 解得． 13. 我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 解得或（舍去）, ． 14. 如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】连接，交于点，设，则，，根据矩形的性质，可得，从而可得点是的中点，进而垂直平分，最后根据垂直平分线的性质，得，则． 【详解】解：连接，交于点， 设，则，， 矩形， 和相等且互相平分， ， ，， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ． 15. 如图，在四边形中，．若E是边上的一个动点，则当______时，与相似． 【答案】或1或6 【解析】 【分析】设的长为x，分两种情况讨论，①当时，②当时，分别列方程求解即可． 【详解】解：设的长为x，则． ， ∴分两种情况讨论： ①当时，，则， 解得． 经检验，是该分式方程的解，且符合题意； ②当时，，则， 解得， 经检验，和都是该分式方程的解，且符合题意． 综上所述，的长为或1或6． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 17. 如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，， ∴ 又， ∴（两角对应相等的两个三角形相似） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 18. 如图，某儿童乐园的场地是长、宽分别为的矩形（阴影部分），现将该儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将原场地的长、宽增加相同的长度后形成一个新矩形场地，若扩充后的新矩形场地面积为，求长和宽增加的相同长度． 【答案】长和宽增加的相同长度为5米 【解析】 【分析】设长和宽都增加米，表示出新矩形的长和宽，即可建立方程求解． 【详解】解：设长和宽都增加米，由题意得， 整理得， 即， 解得，（不合题意舍去）。 ∴长和宽增加的相同长度为5米． 19. 如图，四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由（1）得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）几秒后，的长度为？ 【答案】（1）2秒或4秒 （2）3秒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 勾股定理，能够表示出线段和的长是解答本题的关键． （1）分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为8列出方程求得时间即可； （2）利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设秒后，的面积等于，根据题意得： ， ， 解得：或4． ， 故2秒或4秒后，的面积等于． 【小问2详解】 解：根据勾股定理可得， 故可得， 解得（舍去）， 故3秒后，的长度为． 21. 如图，在矩形中，点，分别是，边上的点，，， （1）求证：； （2）若，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， 又， 在和中 ； （2）矩形的周长为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，进而证明，即可得到； （2）由得到，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)知， ∴， 四边形是矩形 四边形是正方形 ∴矩形的周长． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】（1）不是邻根方程 （2）或 （3）t的最大值为0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． （1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出最大值； 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， ，不符合邻根方程的定义， 不是邻根方程； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 关于的方程是邻根方程， ∴， 解得， 故或； 【小问3详解】 解：关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ， 由根与系数的关系：， ， ， ， ， 当时，； ∴的最大值为0． 23. 如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形． （1）当点E落在上时，则线段的长度等于 ； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】（1）2 （2） （3） ，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P， 由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； （4）的最大为12 【解析】 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【小问1详解】 解：当落在上时，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当点E落在上时，过点B作于点M， 在中，由勾股定理得： , ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q， ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $