精品解析：江苏省淮阴中学2026-2027学年高一上学期十月份月考数学试卷

高一数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， 若， 则 （ ） A. - 1 B. 0 C. 1 D. 0 或1 【答案】B 【解析】 【分析】使用集合中元素的互异性求解. 【详解】由题知， 若，则（舍）； 若，则，故. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】存在量词命题“，”的否定为全称量词命题“，”. 3. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为全集，， 或， 所以或，故. 4. “”是“函数的定义域为”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先求解函数定义域为时的取值范围，再通过两个范围的包含关系判断充分性和必要性. 【详解】若函数的定义域为，则对任意恒成立， ①当时，不等式化为恒成立，满足题意； ②当时，若对任意恒成立， 则，解得：， 综上所述，若函数的定义域为，则的取值范围为：， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当即时取“”. 所以的最小值为8. 6. 已知函数满足，则的值为（ ） A. 8 B. 81 C. 9 D. 92 【答案】D 【解析】 【详解】先用换元法求出函数的解析式，然后计算即可. 令，则， 所以， 所以函数， 所以，. 7. 已知集合 满足⫋的集合 C 的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别求集合，再根据条件分析集合的元素特征，再根据子集个数公式，即可求解. 【详解】，即，得或， 则，， 因为⫋，所以集合里面的元素有和，则集合的元素个数为集合的非空子集个数，即. 8. 函数的定义域是，值域是，则符合条件的数组的组数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】,所以.将看成整体,则的图象是开口向上以为对称轴的抛物线.一下分三种情况讨论: 当时,.两式相减整理可得.因为,所以上式不可能成立,故舍; 当时,所以最小值即为顶点，.此时有两种可能 （i）, 即离对称轴更远,此时所以最大值为,矛盾,故舍. （ii）即离对称轴更远,此时最大值为,解得（舍去小于1的根）. 当时,此时最大值是,最小值是.由（ii）可知的值分别为.必有一个小于1,矛盾,故舍. 综上可得.故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质及真假命题判断，可通过举反例、作差法、不等式同向可加性等方法逐一分析选项. 【详解】对于A，举反例：取，，满足，但，故A错误； 对于B，对移项通分得，已知，则，要使分式的值小于，需分母，故B正确； 对于C，作差比较：，由得，，即差值为负，因此，故C错误； 对于D，由得，与同向相加，得，即，故D正确. 10. 已知正实数 ， 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A：因为， 所以（舍去）或. 所以，当且仅当时取“”.故A正确； 对B：因为， 所以（舍去）或（当且仅当时取“”）.故B错误； 对C:由， 因为，均为正实数，且，所以，. 所以，所以.故C正确； 对D：因为，且，， 所以，当且仅当即时取“”.故D正确. 11. 已知函数， 则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. C. 若，则必有 D. 存在，满足，使得⫋ 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数的图象，以及函数的性质求函数的值域，判断A，再结合函数的新定义，判断BCD. 【详解】A.当时，单调递增，，时，， 当时，单调递减，，所以函数的值域是，故A正确； B.，且，所以由单调性可知，，得或，解得：或，即，故B正确， C.若，则不存在，使，即任意，，则为函数的最大值，最大值为3，即，故C错误； D. 由B可知，当时，，， 由C可知，当时，，，当，这时⫋，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的定义域为，则 的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】据的定义域求出内层表达式的取值范围，该范围即为的定义域. 【详解】 ∵ 的定义域为，即， 得， ， 因此的定义域为. 13. 实数满足集合，则 的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合相等的元素一致性和集合元素的互异性，先后求解参数、的值，再代入目标式计算. 【详解】已知实数满足集合， 由两集合相等的性质可知，两集合的元素完全相同，右侧集合含元素，因此左侧集合中必存在元素， 由于分式有意义，故，因此仅可能，解得， 将代入两集合，得左侧集合为，右侧集合为， 根据集合元素的互异性，得；又两集合元素完全相同，故剩余非公共元素满足，解得（违反互异性，舍去）， 将代入目标式计算： . 14. 关于的不等式 的解集中恰有2个整数解，则 的范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造二次函数，由开口向上且不等式有解，先通过判别式确定或两大分类；再结合特殊点函数值判断零点分布，进而列不等式组求解；最后得到的取值范围即可. 【详解】设，若不等式有解， 需判别式，解得或. 当时，此时，， 方程两根一正一负，解集包含整数. 要恰有2个整数解，只能是和，需满足：，， 可得，解得， 当时，此时，两根都大于，若恰有2个整数解， 只能是和，需满足，，，， 得到，解得 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知函数的定义域为集合A，集合 （1）当时，求及(; （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式求得集合，再将代入求得集合，再根据交集，补集和并集的意义即可求解； （2）分和两种情况，结合，列出m所满足的条件，进而计算可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由，得，所以， 解得，所以，所以或. 当时，， 所以，或. 【小问2详解】 由（1）知. 当时，满足条件，此时，解得； 当时，由，得，不等式组无解； 综上所述：实数m的取值范围为. 16. 已知命题p: ，命题 （1）若命题p 为假命题，求a的取值范围； （2）若命题p，q一真一假，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求p 为真时a的取值范围，再求p 为假命题，a的取值范围； （2）分类讨论即可 【小问1详解】 先求p 为真时a的取值范围，若，命题化为，成立， 若，则 且，即且，计算得，综上所述，p 为真时a的取值范围为，命题p 为假命题，a的取值范围为. 【小问2详解】 ，若为假，，即， 所以，所以大于或等于的最大值， ，由对勾函数的性质，在单调递减， 在上的最大值为，所以， 结合p 为真得a的取值范围为， 若为真，得，结合p 为假，得a的取值范围为， 综上所述，a的取值范围为. 17. 已知 均为正实数. （1）若，比较与的大小； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，对两式相减后的结果因式分解，结合已知条件判断因式符号，从而得到两式的大小关系； （2）先对条件等式变形，构造出“1”，运用“1”的代换展开式子，再利用基本不等式求解最小值，解题过程需要验证等号成立的条件. 【小问1详解】 作差并变形：. 由题设均为正实数，因此；又已知，故. 两个正数的乘积为正，即差，因此. 【小问2详解】 已知，且，将等式两边同时除以正数，可得：， 所以. 因为，所以，，由基本不等式得， 因此，当且仅当，​即时取等号， 代入，解得，，符合条件. 故的最小值为6. 18. 已知函数满足：. （1）求的解析式: （2）若在的最小值为6，求m的值 （3）对任意实数，都有恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，换元可求的解析式: （2）先求得的解析式，分，和三种情况讨论可求得m的值； （3）利用分离变量法得，利用基本不等式求得的最小值即可. 【小问1详解】 令，则， 由，得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得. 当，即时，， 所以，解得，符合题意； 当，即时，， 所以，解得，不符合题意； 当，即时，， 所以，解得，不符合题意； 综上所述：. 【小问3详解】 因为对任意实数，都有恒成立， 所以对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立. 又，当且仅当，即时取等号. 所以a的取值范围为. 19. 已知关于x的函数 （1）若关于x的不等式 的解集为或，求实数的值 （2）若实数满足，求关于 x 的不等式的解集(结果用含有字母的形式表示): （3）若关于 x 的方程有两个正实数根且满足 求 的最小值 【答案】（1），. （2）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，确定方程的两根，结合韦达定理与抛物线开口方向，求解参数的值. （2）代入将不等式因式分解，先按二次项系数的符号分类，再比较两根与的大小关系，分情况求解不等式的解集. （3）由韦达定理结合根的平方和条件，推导与的关系式，结合正实根条件与判别式限定的取值范围；通过换元将目标式转化为对勾型结构，利用基本不等式求解最小值. 【小问1详解】 由不等式的解集为或， 可知方程的两根为和，且. 由韦达定理得，解得，. 【小问2详解】 由，代入不等式得， 因式分解为 . 当时，不等式变形为，此时，解集为. 当时，不等式化为，解集为. 当时，，开口向上，解集为. 当时，不等式化为，解集为. 当时，，开口向上，解集为. 【小问3详解】 方程有两个正实根，由韦达定理得 ， 由两根为正得，，由，变形得 ， 代入得 ，整理得. 由判别式，结合得. 将代入目标式，得到 ， 令，由，得， 则，代入化简得 由基本不等式可得，当且仅当即时取等号. 而，满足定义域，故 ，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， 若， 则 （ ） A. - 1 B. 0 C. 1 D. 0 或1 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数的定义域为”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 6. 已知函数满足，则的值为（ ） A. 8 B. 81 C. 9 D. 92 7. 已知集合 满足⫋的集合 C 的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 函数的定义域是，值域是，则符合条件的数组的组数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知正实数 ， 满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数， 则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. C. 若，则必有 D. 存在，满足，使得⫋ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的定义域为，则 的定义域为________. 13. 实数满足集合，则 的值为_________. 14. 关于的不等式 的解集中恰有2个整数解，则 的范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知函数的定义域为集合A，集合 （1）当时，求及(; （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知命题p: ，命题 （1）若命题p 为假命题，求a的取值范围； （2）若命题p，q一真一假，求a的取值范围. 17. 已知 均为正实数. （1）若，比较与的大小； （2）若，求的最小值. 18. 已知函数满足：. （1）求的解析式: （2）若在的最小值为6，求m的值 （3）对任意实数，都有恒成立，求a的取值范围. 19. 已知关于x的函数 （1）若关于x的不等式 的解集为或，求实数的值 （2）若实数满足，求关于 x 的不等式的解集(结果用含有字母的形式表示): （3）若关于 x 的方程有两个正实数根且满足 求 的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $