精品解析：江苏省天一中学2026～2027学年度第一学期10月学情调研高一数学试题

江苏省天一中学2026~2027学年度第一学期10月学情调研 高一数学 命题人：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 命题“， ”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】改为，再否定结论即可. 【详解】的否定为：. 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 【答案】D 【解析】 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30，  可得：  ，解得， 因此只看的人数为人. 5. 若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知：， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：D 6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果. 【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件. 故选：C. 7. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 8. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　) A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，a，b都是正偶数时, 这种情况下集合M有7个元素；a，b都为正奇数时, 这种情况下集合M有8个元素；当a=1，b=16，或a=16，b=1时,则满足ab=16，即构成集合M有2个元素，所以集合M有17个元素． 【详解】（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有7个元素； （2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素； （3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素； ∴集合M的元素个数是7+8+2=17． 故答案为：B． 【点睛】考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，则下列表达式中存在最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】整理可得.对于A：可得，结合不等式性质分析判断；对于B：整理可得，结合基本不等式求最小值；对于C：整理可得，结合基本不等式求最小值；对于D：整理可得，结合二次函数分析判断. 【详解】由 得，，故. 选项A：因为, 且，则, 可得，无最小值，故A错误； 选项B：因为， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以存在最小值，故B正确； 选项C：由 得，则， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以 取得最小值，故C正确； 选项D：由题意可知：，且， 则，所以无最小值，故D错误. 10. 已知关于的不等式，下列结论错误的是（　　） A. 当时，不等式的解集非空 B. 当时，不等式的解集可以写为的形式 C. 不等式的解集恰为，那么 D. 不等式的解集恰为，那么 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解不等式，即可判断选项A；在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线、直线，由图象分析，即可判断选项B；由题意得到，且，求出的值，分析或两种情况是否符合题意，即可判断选项C、D. 【详解】令，则． 选项A：因为，已知，则，故的解集为，即A错误； 选项B：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象以及直线、. 由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误； 选项C：由不等式的解集恰为，可知，即， 因为，，所以是的两个解，故. 由，解得或. 当时，，解得或，均不满足，不合题意，故C错误； 选项D：当时，，解得或，满足，此时，故D正确. 11. 已知，若，且 ，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则且 B. 若，则的最小值为3 C. 若，则有两个不同的取值 D. 不存在，使得均为正数 【答案】AC 【解析】 【分析】将原式化简，然后用换元法转变为一元二次方程，判断根的个数. 【详解】将展开合并得，记，，， 则：，已知，而，所以，则①，这是关于的一元二次方程. A选项，若，则①式变为，即：，所以，，所以A选项正确； B选项，若，则，， 所以和是关于的一元二次方程的两个根， 所以，解得：，所以最小值为，所以B选项错误； C选项，方程①判别式， 若，则，方程有两个不相等的实数根，也就是有两个不同的取值，所以C选项正确； D选项，取，，此时，，满足题意， 所以存在，使得均为正数，所以D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】直接根据定义求出集合中的元素即可. 【详解】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 13. 已知方程 的两个根为、，且、，则 的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用韦达定理，求出，与，的关系，再计算得出，结合不等式的基本性质、重要不等式可得出的取值范围. 【详解】方程 的两个根为、，且、， 由韦达定理可得， 故， 因为、，则，， 因为，，所以，则， ， 故； 又， 故，即的取值范围为. 14. 已知，则的最小值为__________． 【答案】48 【解析】 【分析】转化条件得，根据函数单调性确定的取值范围后即可得解. 【详解】由题意得 ， 令，，由在上单调递增， 可知，所以当时，得到取得最小值48. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分类计算即可得. 【小问1详解】 若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； 【小问2详解】 若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①当，则,符合题意； ②当，则， 此时，此时 ，解得； 或，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 16. 已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【小问1详解】 若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 17. 今年春节一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补. 企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出. 注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. （1）求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； （2）当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 【答案】（1）； （2）4万元. 【解析】 【分析】（1）由收益=销售金额+政府专项补贴-成本，即可得的解析式； （2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得答案. 【小问1详解】 解：由题意可得销售金额为（万元）； 政府补贴为（万元），成本为（万元）， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当政府的专项补贴为4万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大. 18. （1）请证明Cauchy不等式：并说明取等条件； （2）已知，求的取值范围； （3）求证：，且． 【答案】（1）证明：由于， 故，当且仅当（当时等价于）时，等号成立. （2） （3）证明：先证糖水不等式：. 因为都是正数，且， 所以，，可得，所以. 取，则，故有， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 【解析】 【分析】（1）采用作差配方法，展开化简后化为完全平方式，利用实数平方非负证得不等式；写等号条件时，分式比例式需要注明分母不为0，保证逻辑严谨； （2）先用基本不等式求最小值，再利用对勾函数值域构造不等式，同向相加得到上界，需验证等号能够同时取到，得到最终取值范围； （3）先证明糖水不等式作为放缩基础，构造一组同向不等式，将原式乘积与放大后的乘积相乘，通过错位约分得到平方的上界，开根号完成证明. 【详解】（1）略 （2） 由基本不等式，，可得， 所以，当且仅当，，即时等号成立． ，可以取到，故最小值为2. 由 ，得 ， 所以 ，. 令，y在的图象如图所示： 所以，所以，即． 同理， 两式相加：，所以． 当，时，两个不等式等号同时成立，上界可取. 综上，的取值范围为. （3）略 19. 已知二次函数（，，为实数）． （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求的最大值； （3）若对任意恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得a，b，c的关系，化简不等式后，求解即得； （2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值； （3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得ab的最大值，并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立． 【小问1详解】 因为的解集， 所有的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即，即， 即，解得， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 依题意， ∵恒成立， 所以， ∴，∴， 令，∵，∴，从而， ∴，令． ①当时，； ②当时，， ∴的最大值为． 【小问3详解】 令，则，所以， 对任意恒成立， 所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当且仅当时取“=”， 此时成立； 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2026~2027学年度第一学期10月学情调研 高一数学 命题人：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“， ”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 5. 若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　) A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，则下列表达式中存在最小值的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式，下列结论错误的是（　　） A. 当时，不等式的解集非空 B. 当时，不等式的解集可以写为的形式 C. 不等式的解集恰为，那么 D. 不等式的解集恰为，那么 11. 已知，若，且 ，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则且 B. 若，则的最小值为3 C. 若，则有两个不同的取值 D. 不存在，使得均为正数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是__________． 13. 已知方程 的两个根为、，且、，则 的取值范围__________． 14. 已知，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16. 已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 17. 今年春节一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补. 企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出. 注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. （1）求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； （2）当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 18. （1）请证明Cauchy不等式：并说明取等条件； （2）已知，求的取值范围； （3）求证：，且． 19. 已知二次函数（，，为实数）． （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求的最大值； （3）若对任意恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $