精品解析：陕西榆林市第三中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

榆林市第三中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在圆外，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 椭圆的焦距为4，则m的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 10. 瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（    ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 三、填空题 12. 以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 13. 已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 14. 设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 17. 设为实数，圆的方程为． （1）若圆和圆的公共弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 18. 设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 19. 动圆与直线交于两点. （1）证明动圆必过两定点；并求. （2）当时，过原点O的直线与圆C交于不同两点，且直线不过C圆心.过分别作圆C的切线，求证：在一条定直线上. （3）是否存在轨迹，在上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出轨迹方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市第三中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的斜率与方向向量的关系列式计算. 【详解】由题意，经过，两点的直线的斜率为, 又直线的方向向量为，则得. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，因此该直线方程为. 因此该直线的倾斜角为. 3. 若点在圆外，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 4. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】两直线平行条件：， 代入系数：，解得， 代入检验发现当时，，两直线重合，故舍去， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 5. 已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求得△MON面积最小时的横、纵截距，转化为斜截式即可得到直线方程. 【详解】设直线的截距式方程为，其中，， 因为直线过点，将点代入方程得：， 的面积， 根据基本不等式，有：  将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，， 将代入截距式方程，得， 整理为斜截式得. 6. 在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出将军出发点关于河岸所在直线的对称点，再连接交河岸所在直线于点，则由对称性可知为最短距离，求解即可． 【详解】解：如图， 设关于河岸线所在直线的对称点为， 根据题意，设军营所在区域为以圆心为，半径的圆上和圆内所有点，为最短距离，先求出的坐标， 的中点为，，直线的斜率为1， 则，解得，，，又， 所以， 故选：C． 7. 设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，得到对称后的直线方程，再利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解即可. 【详解】 如图所示，由对称性可得点关于直线的对称点为， 由于点在对称轴上，因此直线关于对称的直线即为直线， 直线的斜率，则直线方程为，整理为， 已知圆的圆心为，半径，直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 即，展开整理得，解得， 结合题干给出的条件，最终得的取值范围为. 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 二、多选题 9. 椭圆的焦距为4，则m的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】AD 【解析】 【分析】分椭圆的焦点在轴，或在轴，根据椭圆方程，即可求解. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则，，， 由，得； 若椭圆的焦点在轴，则，，，由，得， 故选：AD 10. 瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（    ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意求出的垂直平分线可得的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围判断D． 【详解】 对于A，由题意，的欧拉线即的垂直平分线， ，，的中点坐标为， 且直线的斜率， 则的垂直平分线方程为，即， 由“欧拉线”与圆：相切， 到直线的距离， 则圆的方程为，圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的最大距离为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为， 所以圆心在直线上，且圆的半径为， 所以圆上存在两个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得，所以的最小值是，故C正确； 对于D，圆的圆心坐标，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点， 则圆心距的范围为，即，解得，故D错误． 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 对于A，圆心C到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得，当时取等号， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以四边形面积为，故B错误； 对于C，因为，所以， 在直角三角形中，，所以，设， 因为，整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，故C正确； 对于D，， 所以当时，即，面积最大值为， 此时四边形为正方形，则满足要求，故D正确. 三、填空题 12. 以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 13. 已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】辅助图形找到满足条件的临界值即可求出答案. 【详解】如图所示： 设直线与直线的倾斜角分别为与，由题可知满足条件的直线在图中阴影部分区域，则直线的倾斜角的取值范围是 . ，，，. 直线的倾斜角的取值范围是. 14. 设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解即可. 【详解】关于的方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根. 所以的图象与函数的图象有两个交点. 的图象恒过定点，且直线的斜率，作出的图象，如图所示. 当直线经过点时，直线与的图象恰好有两个交点，此时直线的斜率. 当直线与半圆相切于点时，此时圆心到直线的距离，解得. 由图象可得，当直线的斜率由逐渐增大到时，此时直线与半圆始终有两个交点，符合题意，故的取值范围是. 四、解答题 15. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先由的斜率结合垂直关系得的斜率，再用点斜式求的方程； （2）先联立求交点，再分截距为0和不为0两种情况求的方程. 【小问1详解】  直线整理为斜截式方程得，故的斜率，因为与垂直，所以的斜率， 又过点，由点斜式方程得：，整理得 【小问2详解】 联立，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为，将代入得，解得，故方程为，即； ② 当在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为，即，将代入得，故方程为，即； 综上，的方程为或. 16. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【小问1详解】 如图所示，将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求； 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 【小问3详解】 当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，与圆显然相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ，即， 由圆心到切线距离等于半径得，整理得 ，解得，代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 17. 设为实数，圆的方程为． （1）若圆和圆的公共弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 【答案】（1）1或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出两圆公共弦所在直线方程为，结合弦长求得； （2）结合已知条件求出圆的方程，求出圆心和半径，设出圆的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆半径相等即可求解. 【小问1详解】 由题知两圆相交， 将圆与圆相减可得， 即两圆公共弦所在直线方程， 圆心到直线的距离为， 所以，解得或， 所以实数的值为或. 【小问2详解】 将点代入圆，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆的圆心为，半径为， 设圆的标准方程为， 因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线， 所以直线的方程为，即， 将点代入得①，又点在圆上， 则，即②， 由①②两式解得，，， 所以圆的标准方程为. 18. 设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程； （2）①设，，由余弦定理得，根据公式求的面积； ②设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆； 【小问2详解】 ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ； ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为. 19. 动圆与直线交于两点. （1）证明动圆必过两定点；并求. （2）当时，过原点O的直线与圆C交于不同两点，且直线不过C圆心.过分别作圆C的切线，求证：在一条定直线上. （3）是否存在轨迹，在上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：因为方程为，即， 由，解得或，则动圆C恒过两定点的坐标为或； 易知圆C的圆心坐标为，圆C的半径为， 所以圆C的圆心到直线的距离为， 此时两点间的距离， 整理得，设，其对称轴为， 所以，则. （2） 此时C：，设， 易计算：过D点的切线方程为， 同理过E的切线方程为， 因为，故，. 所以在直线上，即直线DE为. 又因为，故，即，所以F在定直线上. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据分离参数整理圆的方程，等价转化为圆与直线相交，联立方程组求定点坐标，再利用圆的方程，表示出圆心与半径，利用弦长公式，可得答案； （2）由题意整理圆的方程，写出切线方程，并整理直线的方程，代入原点，可得答案； （3）联立圆与直线方程，写出韦达定理，表示出向量坐标，利用数量积的坐标表示，整理方程，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，， 设，联立， 并整理得，由题意可得，由韦达定理得， 设，此时， 所以， 即， 因为，所以， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 令为常数. 故存在定直线，即，其上任意点K满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $