精品解析：陕西省神·榆·靖区域联考2025-2026学年高二上学期第2次月考数学试题

“神·榆·靖”区域联考 2025~2026学年度第一学期高二年级试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（ ） A. B. C. D. 5. 光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，定点，动点到直线的距离为1，且满足，则符合要求的点的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于点为原点，则（ ） A. B. C. D. 以线段为直径的圆与相离 11. 已知前项和为的数列满足，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 数列不可能是等比数列 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________. 13. 龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为__________. 14. 双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程. 16. 已知数列为等差数列，其前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 18. 已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 19. 设，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且． （1）求点的轨迹C的方程； （2）设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，试证：的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “神·榆·靖”区域联考 2025~2026学年度第一学期高二年级试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：A． 2. 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 3. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将椭圆的方程转化为椭圆的标准方程，进而结合的范围得，再根据离心率公式计算即可得答案. 【详解】椭圆变形为， 因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，， 所以离心率，解得. 故选：D. 4. 某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的意义求解． 【详解】根据导数定义， 令，即，得， 故选：B． 5. 光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 6. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】确定圆心和半径，求出直线过的定点，判断其在圆内，结合圆的几何性质以及弦长公式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即，故圆心，半径， 直线，即，故直线恒过定点， 由，则点在圆内， 当直线与垂直时，过点M的弦的弦心距最大， 此时弦最小，此时， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值. 【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，定点，动点到直线的距离为1，且满足，则符合要求的点的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得到点轨迹为以为圆心，半径的圆，再求出圆心到直线距离，与半径比较大小，判断满足要求的点的个数. 【详解】∵定点， ∴线段的中点为，且， ， ∴点轨迹为以为圆心，半径的圆， ∵圆心到直线的距离， ∴圆上到直线距离为1的点有3个. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于点为原点，则（ ） A. B. C. D. 以线段为直径的圆与相离 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，即可判断A；代入抛物线方程可得，即可判断B；进而可得，即可判断C；根据抛物线定义可得的中点到准线的距离为，即可判断D. 【详解】因为抛物线的方程为：，则，准线为：， 又因为，即，故A正确； 则，解得，故B错误； 可得，故C正确； 设的中点为，则，则， 可得的中点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，故D错误. 故选：AC. 11. 已知前项和为的数列满足，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 数列不可能是等比数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析可知，对于A：可得，即可判断数列的单调性；对于B：根据题意结合数列的单调性分析判断；对于C：假设数列是等比数列，分析可知为定值，结合，推出矛盾；对于D：整理可得，结合累加法分析判断. 【详解】因为，所以整理得， 且，可得. 对于选项A：因为，即， 所以数列为递减数列，故A错误； 对于选项B：因为，且，则， 又因为为递减数列，所以，故B正确； 对于选项C：若是等比数列，则，可知为定值，即为定值， 又因为，则，可得，即， 这与矛盾，所以数列不可能是等比数列，故C正确； 对于选项D：因为，则，整理可得， 则， 累加可得：， 即， 且，所以，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 13. 龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】利用等比数列的前n项和公式求出数列的首项，再根据等比数列的通项公式，以及对数运算，即可得答案. 【详解】从最下层开始，往上每一层“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以. 故答案为：13 14. 双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由双曲线的性质写出，由题中等式求得.根据题意得到，由勾股定理建立方程，整理化简后得到离心率. 【详解】由题意可知，∴， 在双曲线中，设，则，， 又∵，即，∴ 由可得，即， ∴， 即， ∴，即，∴. 故答案为： 【点睛】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据圆的定义可得，可得圆心和半径，即可得方程； （2）设直线的方程为，结合直线与圆的位置关系列式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心，可得， 即，解得， 故圆心，半径， 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 由（1）可知：圆心，半径， 设直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 若直线与圆相切，则， 即，可得或. 所以直线的方程为或. 16. 已知数列为等差数列，其前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式求，即可得通项公式； （2）根据的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 则，即的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，， 令，解得，则； 令，解得，则； 当时， 则； 当时，则； 所以. 17. 已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 18. 已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）不存在，理由如下： 由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. 【小问1详解】 由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. 【小问2详解】 因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. 【小问3详解】 略 19. 设，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且． （1）求点的轨迹C的方程； （2）设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，试证：的面积为定值． 【答案】（1） （2） 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于、两点， ∴由可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵， ∴， 即的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的模的几何意义、椭圆的定义、椭圆的标准方程运算即可得解. （2）利用直线与椭圆的位置关系、点到的直线距离公式、三角形面积公式运算即可得解. 【小问1详解】 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为，即. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：直线与椭圆的相交弦长的求解方法： 1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. 2.当直线的斜率存在时，斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： （1）； （2）（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $