精品解析：江苏省苏州市苏州大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

苏大附中2026-2027学年第一学期10月阶段诊断高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 试题范围：数列、直线的方程 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是2和18的等比中项，则实数的值是（ ） A. 6 B. 或6 C. 10 D. 或10 2. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，若，，则n的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设是等差数列，且公差不为零，其前n项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为数列的前n项和，下列说法正确的是（ ） A. 若对，，有，则数列是等差数列 B. 若对，，有，则数列是等比数列 C. 已知，则是等差数列 D. 已知，则是等比数列 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 的前项和为 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 14. 若数列和数列同时满足，，，，则______，______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）若数列，求数列的最大值； （3）若，，求数列的前n项和． 18. 已知数列的前n项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 19. 记等比数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，其中． （i）求，，； （ii）证明：，，，…，成等差数列，并指出其首项和公差； （iii）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏大附中2026-2027学年第一学期10月阶段诊断高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 试题范围：数列、直线的方程 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是2和18的等比中项，则实数的值是（ ） A. 6 B. 或6 C. 10 D. 或10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质有，即可求参数值. 【详解】由题设. 故选：B 2. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，，得数列的周期，利用周期性求解. 【详解】，，，，， 故是周期为的周期数列，且， 记数列的前项积为，所以. 5. 在数列中，，若，，则n的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】通过累加法求得，进而可求解. 【详解】，，， 即，，则有，， 又时，成立， 所以，， 又，，，整理得， 解得或（舍）， 则. 6. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 7. 设是等差数列，且公差不为零，其前n项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别从充分性和必要性进行证明即可判断. 【详解】充分性：因为数列是等差数列，且对，不妨设，当时，，此时，并不能推出为递增数列，所以充分性不成立； 必要性：因为数列是等差数列，设公差为，由为递增数列可得：， 则对恒成立，则，因为公差，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合题意；若，则由且数列为单调递增数列，则对，符合题意，也即，所以必要性成立， 则“，”是“为递增数列”的必要不充分条件， 故选：. 8. 定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为数列的前n项和，下列说法正确的是（ ） A. 若对，，有，则数列是等差数列 B. 若对，，有，则数列是等比数列 C. 已知，则是等差数列 D. 已知，则是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. 【详解】解：对A，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A正确； 对B，若，满足，，但不为等比数列，故B错误； 对C，当时，，当时，，时符合该式，易知是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对D，当时，，时，，时符合该式，易知是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用与的关系求得的通项公式，可判断B选项，再令，计算可判断A选项，由的通项公式可知是以为首项，公差的等差数列，利用等差数列的前和公式可得,可判断C选项，先求出的通项公式，然后利用分组求和法计算前10项和，可判断D选项. 【详解】对于B，①， 时，②， 两式相减得，整理得， 时，则，满足， 故，，B选项正确. 对于A，时，，A选项错误. 对于C，，， 是以为首项，公差的等差数列， 其前项和，C选项正确. 对于D，， 的前项和 ，D选项正确. 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式. 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条斜率存在的直线垂直时，斜率乘积为，求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 14. 若数列和数列同时满足，，，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将，相加，相减分别可得为等差数列，为等比数列，即可求解. 【详解】因为，， 令前式后式，化简可得①， 令前式+后式，化简可得② 由①，且，故是首项为1，公差为2的等差数列. 可得， 由②，且，故是首项为1，公比为的等比数列. 可得 所以， 故答案为: ；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知等式用等比数列通项公式转化为关于公比的一元二次方程，结合正项条件求得，即可得到的通项公式； （2）先化简得到为等差数列，利用分组求和法，分别计算等比数列和等差数列的前项和，相加得到. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去​） . 所以数列的通项公式为： . 【小问2详解】  由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得. 计算：， 计算：， 因此. 16. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列通项公式列式求，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，则， 整理得，且，即． 又因为，则， 解得，所以． 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， ． 两式相减得 ， 所以． 17. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）若数列，求数列的最大值； （3）若，，求数列的前n项和． 【答案】（1）当时，由前项和定义得：， 已知，则， 是正项数列，故，，则， 又，故是首项为1，公差为1的等差数列， 由等差数列通项得，故， 当时，， 当时，，符合上式， 故． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对已知等式变形，证为等差数列求出，再由与关系求通项； （2）作商比较与的大小，判断数列增减性，找到最大值； （3）通过递推式作差得到隔项等差，分n为奇数、偶数两类，分组求和求前n项和． 【小问1详解】 略，． 【小问2详解】 ，则，令，则， 解得， 故时，，数列递增； 时，，数列递减； 故数列先增后减，最大值为第3项，． 【小问3详解】 由得，两式相减得：， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为2的等差数列， 由，则， ①当为偶数时，设， 奇数项共项，首项1，公差2，和为； 偶数项共项，首项0，公差2，和为； 故； ②当为奇数时，， 则， 综上可得． 18. 已知数列的前n项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 【答案】（1） （2）存在，与 （3）由得， 对，，时取等号，两边平方得， 故， 则， 故，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用前项和与作差，得到相邻项比值关系，累乘求通项，验证首项后得出通项公式； （2）对裂项相消求出，根据等差数列性质列式，结合正整数范围枚举得到； （3）先化简，放缩不等式对通项进行放大，转化为等比数列求和，证明和小于4． 【小问1详解】 已知，当时，，两式相减得： ，整理得，即， 故， 时，符合此式， 故． 【小问2详解】 ， 则， 若，，成等差数列，则， 故，化简整理得， 由为正数，且，得，即，结合： 当时，，满足； 当时，，满足； 故存在两组解，与． 【小问3详解】 略 19. 记等比数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，其中． （i）求，，； （ii）证明：，，，…，成等差数列，并指出其首项和公差； （iii）求． 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：对任意 当时，，即数列首项为， 当时，为定值， ，，，…，是首项为，公差为的等差数列. （iii） 【解析】 【分析】（1）令得到关于的方程组，求出，然后写出的通项公式. （2）（i）结合（1）得到的的项，根据的分段定义直接计算. （ii）根据等差数列的定义，证明指定区间内数列相邻两项的差为定值，同时确定首项和公差. （iii）先计算等比数列前项和，将求和区间拆分为多个等差数列区间，分别计算每个区间的和，再通过错位相减法计算求和. 【小问1详解】 记等比数列的公比为， 时，① 时，② 联立①②，解得，. 【小问2详解】 （i）由（1）得， ，对应，故， ，对应，故， 满足，对应，故， 即. （ii）略 （iii）等比数列的前项和， 求和区间可拆为到的个等差数列区间， 第个等差数列的项数为：， 该区间的和为：， . 设③， ④， ③④得：， 整理得：，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $