精品解析：上海民办华曜宝山实验学校2026-2027学年上学期八年级数学第一次阶段检测试题

华曜宝山2026—2027学年度第一学期 八年级数学阶段测试试卷 一．选择题（每题4分，共24分） 1. 在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030 二．填空题（每题4分，共48分） 7. 填空：的平方根是___________． 8. 比较大小：________（填写“”、“”、或“”）． 9. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 10. 在实数范围内因式分解：_________． 11. 等式成立的条件是______． 12. 方程的根是_______． 13. 方程有两个实数根，则的取值范围是________． 14. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 15. 化简：＝__________． 16. 我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 17. 一元二次方程的两根是．则___________． 18. 已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……则的值为__________． 三．解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）． 21. 解答下列各题 （1）已知、满足，求的值． （2）若，是有理数，且满足，求的算术平方根． 22. （1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 23. 实验基地有一长为米的墙，研究小组想利用墙和长米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为米的门． （1）小徐按图的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长． （2）小祝按照图的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，求出围成的面积最大时的长，并说明理由． 24. 对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．如：，． （1）填空：________，________； （2）如果，求的值． （3）解方程． 25. 阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． （1）请通过计算判断方程是否是“差根方程”． （2）若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华曜宝山2026—2027学年度第一学期 八年级数学阶段测试试卷 一．选择题（每题4分，共24分） 1. 在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】先把能化简的根式化简，再根据无理数是无限不循环小数这个定义，逐个判断，区分开有限小数、循环小数、分数这类有理数，最后统计无理数个数． 【详解】解：，， 有理数有，，，， 无理数有，（每两个之间依次增加一个），，共个． 2. 下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4. 下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可．选项A、B、C的等式均需满足特定条件才成立，而选项D的变形符合二次根式的除法性质，在且时恒成立，因此正确． 【详解】解： A．：仅当且时成立，即，否则不一定成立，故等式不成立； B．：当，时，左边，右边，故等式不成立； C．：，不一定等于，故等式不成立； D．：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立，故正确． 故选：D． 5. 某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 二．填空题（每题4分，共48分） 7. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 8. 比较大小：________（填写“”、“”、或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】两个分数分母相同，只需比较分子大小，确定的取值范围，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 9. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 10. 在实数范围内因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，当时，通过求解一元二次方程，得，结合，即可得到答案． 【详解】 当时，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 11. 等式成立的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据，得出，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 12. 方程的根是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ， 解得：，． 13. 方程有两个实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：且； 故答案为：且． 14. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设运输这批公粮原计划每日行，根据“运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站”，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故答案为：． 15. 化简：＝__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、利用二次根式的性质化简，通过分母有理化，将每一项化为差的形式，再利用裂项相消即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 16. 我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程． 由方程可得两根分别为和．根据两根距离为3，得 ，即．解此绝对值方程，得到或．代入所求表达式 ，即可求得值． 【详解】方程 的两根为，． 两根距离为． 即， 解得或， 所以或． ． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 17. 一元二次方程的两根是．则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值．首先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求分式通分，利用代数恒等变形，代入已知值计算． 【详解】解：一元二次方程的两根为， 由根与系数的关系，得 其中， ∴原式 故答案为：． 18. 已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……则的值为__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律，准确计算、发现规律是解题的关键． 先计算前几组数据，然后发现每三次变换为一个循环，然后运用规律解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ∴每3次变换一个循环，且，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2025． 三．解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每一项二次根式化简，利用处理根号平方，再合并同类二次根式； （2）隐含条件：，（根式有意义），利用二次根式乘除法则，系数和根号内分别运算，再化简根式． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）． 【答案】（1）， （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）先把二次项系数化为，移项，配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再直接开平方求解一元二次方程； （2）先确定最简公分母，方程两边同乘公分母化为整式方程，解整式方程后必须检验，发现解使得分母等于0，是增根，因此原分式方程无解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘得， 解得， 当时，，故原方程无解． 21. 解答下列各题 （1）已知、满足，求的值． （2）若，是有理数，且满足，求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值都是非负数，几个非负数相加等于0则各自为0，列出方程组求出a，b，再对代数式通分化简，代入求值； （2）先去括号整理等式，把有理数部分、含的无理部分分开，因为x，y是有理数，所以有理数部分、无理数部分分别相等，列方程组求出x，y，再算出，求它的算术平方根． 【小问1详解】 解：，，， ，， ，解得， ； 【小问2详解】 解， ， ，是有理数， ，解得， ， 的算术平方根为． 22. （1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 23. 实验基地有一长为米的墙，研究小组想利用墙和长米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为米的门． （1）小徐按图的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长． （2）小祝按照图的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，求出围成的面积最大时的长，并说明理由． 【答案】（1）米 （2）不能，时围成的面积最大 【解析】 【分析】（1）设，，利用篱笆和1米门得到，由墙长限制，根据面积列一元二次方程，求出根之后检验长边是否不超过米，舍去不合理解； （2）设，，利用篱笆和1米门得到，令面积等于，通过一元二次方程判别式小于0判定无法围成，再利用得到面积最大时的长． 【小问1详解】 解：篱笆长米， ， ， 矩形种植园的面积为， ， ， ， ， 或， 墙长为米， 当时，；当时，（舍去）， 米； 【小问2详解】 解：设，， 篱笆长米， ， ， 要使矩形种植园的面积为， 则有， ， ， 不能围成面积为的矩形种植园， 设矩形种植园的面积为， ， ， ， ， ， ， 当时，矩形种植园的面积最大，此时符合题意， 当围成的面积最大时，． 24. 对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．如：，． （1）填空：________，________； （2）如果，求的值． （3）解方程． 【答案】（1），； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接求平均数、比较实数的大小即可得到答案； （2）分，两种情况，结合题意，列出方程即可求解； （3）分，，两种情况，结合题意，列出方程即可求解 【小问1详解】 解：由题意得：； ∵ ∴； 【小问2详解】 解：①当时，， ∵， ∴，解得：， ②当时，， ∵， ∴，解得：； 【小问3详解】 解：①当时，即时，， ∵， ∴，解得：或（舍去）； ②当时即时，， ∵， ∴，解得：（舍去）或 综上所述：或 25. 阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． （1）请通过计算判断方程是否是“差根方程”． （2）若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2），， （3）方程是“差根方程”，它的根是，或， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $