精品解析：上海市宝山区教育学院附属中学2025-2026学年八年级数学上学期12月月考试卷

宝教院附中2025学年第一学期第二次阶段测试试卷八年级数学 （考试时间：60分钟 满分：100分） 考生注意： 1．作答前，在答题纸指定位置写上姓名、班级、座位号等个人信息，将核对后的条码贴在答题纸指定位置． 2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分． 3．选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹的钢笔、水笔或圆珠笔作答． 一、选择题：（本大题共7题，每题3分，满分21分） 1. 下列代数式中，其中的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一元二次方程的两个实数根为、，则二次三项式在实数范围内的分解式是（ ）． A. B. C. D. 3. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么m的值为（     ） A. B. C. D. ，且 5. 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（ ） A. B. C. D. 6. 已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（　　） A. 在BC边的垂直平分线上 B. 在BC边的高上 C. 在BC边所对角的平分线上 D. 在BC边的中线上 7. 在中，，、是斜边上的高和中线，，则长为（ ）. A. 25cm B. 5cm C. 15cm D. 10cm 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 8. 计算：________． 9. 方程的解为________． 10. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是________． 11. 在实数范围内分解因式：________． 12. 有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是_____. 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，已知BC=8cm，BD=4.5cm，则点D到AB的距离是______cm. 14. 如图，在△ABC中，∠ABC=56°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE=_____度． 15. 如图，中，为中点，，则________度． 16. 如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，若BE=2，∠B =22.5°，则AC的长为_______． 17. 如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段________． 三、简答题：（19-21题每题6分，22题7分，满分25分） 18. 计算：． 19. 解方程：． 20. 用配方法解方程：． 21. 先化简：，再求当，时的值． 四、解答题（本大题共3题，每题8分，满分24分） 22. 如图，求作点P，使得点P到点的距离相等，且到两边的距离相等． 23. 如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： （1）求鸡场的长和宽各为多少米？ （2）若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 24. 已知:如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，DG⊥CE 于点G，求证:∠B=2∠BCE 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝教院附中2025学年第一学期第二次阶段测试试卷八年级数学 （考试时间：60分钟 满分：100分） 考生注意： 1．作答前，在答题纸指定位置写上姓名、班级、座位号等个人信息，将核对后的条码贴在答题纸指定位置． 2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分． 3．选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹的钢笔、水笔或圆珠笔作答． 一、选择题：（本大题共7题，每题3分，满分21分） 1. 下列代数式中，其中的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 【详解】解：∵由平方差公式，， ∴的一个有理化因式是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 2. 如果一元二次方程的两个实数根为、，则二次三项式在实数范围内的分解式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由因式分解法可知，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则，即可得到二次三项式在实数范围内的分解式． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∴二次三项式在实数范围内的分解式是：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键． 3. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 4. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么m的值为（     ） A. B. C. D. ，且 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 且解得：且 故选D. 5. 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降价的百分率），把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元， 所以可列方程为． 故选：D． 6. 已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（　　） A. 在BC边的垂直平分线上 B. 在BC边的高上 C. 在BC边所对角的平分线上 D. 在BC边的中线上 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质推出P在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF， ∴P在∠BAC的角平分线上， 故选C． 【点睛】考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键． 7. 在中，，、是斜边上的高和中线，，则长为（ ）. A. 25cm B. 5cm C. 15cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=AE，可求得DE，则可求得BD． 【详解】∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线， ∴AE=BE=CE=AC=10cm， ∴△ACE为等边三角形， ∵CD⊥AE， ∴DE=AE=5cm， ∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm， 故选C． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键． 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 8. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式= ． 故答案为：． 9. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ，． 故答案为：，． 10. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．当一元二次方程根的判别式小于零时，方程没有实数根，据此解答即可． 【详解】解：∵方程 没有实数根， ∴， 即， 解得 ． 故答案为：． 11. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是_____. 【答案】x(x-1)=132 【解析】 【分析】设有x人，每两人之间互送照片，即除自己外，每个人都要送出（x-1）张，所以全组共送出x(x-1)张，由送照片总数为132张为等量关系，列出方程即可. 【详解】设这群大四学生共有x人，则每人应送出(x-1)张照片，根据题意得， x(x-1)=132. 故答案为：x(x-1)=132 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确表示x人送出的总照片数是解答此题的关键. 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，已知BC=8cm，BD=4.5cm，则点D到AB的距离是______cm. 【答案】3.5 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到点D到AB的距离等于CD的长度. 【详解】解：过点D作DE⊥AB ∵BC=8cm，BD=4.5cm ∴CD= BC-BD=8-4.5=3.5cm ∵AD是∠BAC的平分线,∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=CD=3.5 故答案为：3.5 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线的性质并应用是本题的解题关键. 14. 如图，在△ABC中，∠ABC=56°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE=_____度． 【答案】28 【解析】 【分析】过点E作EG⊥AD于G，作EH⊥BF于H，作EK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EG=EK，EH=EK，从而得到EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BE平分∠ABC，然后求解即可． 【详解】如图，过点E作EG⊥AD于G，作EH⊥BF于H，作EK⊥AC于K， ∵∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴EG=EK，EH=EK， ∴EG=EH， ∴BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC=×56°=28°． 故答案为28． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记性质并作出辅助线判断出BE是角平分线是解题的关键． 15. 如图，中，为中点，，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，从而求出，利用三角形的内角和定理求出的度数，然后相减求解即可． 【详解】解：，为中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，若BE=2，∠B =22.5°，则AC的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=2，故∠EAB=∠B=22.5°，由三角形外角的性质得出∠AEC的度数，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC边于点E，BE=2，∠B=22.5°， ∴AE=BE=2， ∴∠EAB=∠B=22.5°， ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°． ∵∠C=90°， ∴∠AEC=∠CAE=45°， ∴AC=CE， ∴， ∴AC=． 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 17. 如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 三、简答题：（19-21题每题6分，22题7分，满分25分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法，再算加减即可． 【详解】解： ． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．将方程左边展开并移项化为标准一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】解： ∴． 移项，得． 因式分解，得． ∴或． 解得，． 20. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程转化为完全平方形式后开平方求解，即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 21. 先化简：，再求当，时的值． 【答案】原式，当，时，原式 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式． 四、解答题（本大题共3题，每题8分，满分24分） 22. 如图，求作点P，使得点P到点的距离相等，且到两边的距离相等． 【答案】如图，点为所求作． 【解析】 【分析】本题考查角平分线和垂直平分线的尺规作图，角平分线和垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线，再作的垂直平分线，两线相交于，利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点满足条件． 【详解】解：作的平分线，再作的垂直平分线，两线相交于，利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点满足条件． 23. 如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： （1）求鸡场的长和宽各为多少米？ （2）若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【答案】（1）长是米，宽是米 （2）至少为米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，不等式的应用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题． （1）设鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据面积为平方米，可列方程求解． （2）如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米，则只能取（1）中时，米这种情况，由此进一步分析得出答案即可． 【小问1详解】 解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 由题意得：， 即， 解得：或， 当时，，符合实际意义； 当时，，不符合实际意义，舍去． 答：养鸡场的长是米，宽是米； 【小问2详解】 解：如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米， 由（1）知即垂直墙的长度为米，平行于墙的长度为米， ∴米， 此时养鸡场的长至少为米． 24. 已知:如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，DG⊥CE 于点G，求证:∠B=2∠BCE 【答案】 证明：如图，连接DE， ∵G是CE的中点，DG⊥CE ∴DG垂直平分CE ∴DE=DC ∵AD⊥BC，CE是边AB上的中线， ∴DE是Rt△ABD斜边上的中线,即DE=BE=AB， ∴BE=DE=CD， ∴∠B=∠BDE，∠DEC=∠DCE， ∴∠B=∠BDE=2∠BCE. 【解析】 【分析】连接DE，由中垂线的性质可得DE=DC，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE，进而得到BE=DE=CD，再由等边对等角和三角形外角的性质即可得证. 【详解】略. 【点睛】本题考查了中垂线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，以及等腰三角形和三角形外角性质，推出BE=DE=CD是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $