精品解析：广东省梅州市梅县区广东梅县外国语学校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测试卷

数学 （满分120分 考试用时120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分．每小题给出四个选项，其中只有一个是正确的）． 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 轴对称图形 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分每一组对角 3. 如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如表．从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） -1 0 1 2 3 4 5 13 23 A. B. C. D. 5. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 7. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 1.6 10. 如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 一元二次方程的一次项系数为_______． 12. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 14. 如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 15. 观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是__________． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程：． 17. 阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； （2）请你写出正确的解答过程． 18. 如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 四、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分) 19. 2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 20. 如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求长． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 五、解答题三（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 （1）如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； （3）在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （满分120分 考试用时120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分．每小题给出四个选项，其中只有一个是正确的）． 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 轴对称图形 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分每一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形和矩形的性质进行判断便可． 【详解】解：A、对角线相等既是正方形的性质也是矩形的性质，故选项A不符合题意； B、正方形与矩形都是轴对称图形，故选项B不符合题意； C、正方形与矩形的对角线都互相平分，故选项C不符合题意； D、对角线平分每一组对角是正方形与菱形的性质，非正方形的矩形不具有该性质，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和矩形的性质，熟记与理解正方形和矩形的性质是解题的关键． 3. 如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； B选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形中， ，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意； 选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意． 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如表．从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） -1 0 1 2 3 4 5 13 23 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程解的定义，结合表格中代数式的符号变化确定正数解的大致区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程的一个正数解的大致范围是． 5. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 6. 如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标，得出，，再结合菱形的性质，利用勾股定理，得出，即可得解． 【详解】解：、两点的坐标分别是，， ，， 四边形为菱形， ，， ， 菱形的周长为． 7. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出m的值，代入方程后解方程即可． 【详解】解：∵方程常数项为， ∴由题意得，解得：， ∵， ∴， ∴方程为：， 提公因式得：， ∴或， ∴方程的两个根为，， 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 9. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 1.6 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴． 10. 如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点M作于点E，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点E， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 一元二次方程的一次项系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念．根据一元二次方程的一般形式，一次项系数是． 【详解】解：方程中，一次项系数为， 故答案为：． 12. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 14. 如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵此时， ∴． 15. 观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】每4个数一轮，2009÷4=502余1，则2009个位数为2 【详解】观察发现这组数是4个一轮，2009÷4=502余1， 则2009个位数为2 故本题答案应填2． 【点睛】规律题的思路在于寻找规律，规律找到后就比较容易了． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左边因式分解，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程因式分解得， 可得或， 解得，． 17. 阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）； （2） 解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法求解，核心是掌握配方法的规范步骤：移项、化二次项系数为1、等式两边同时加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式后开平方求解． （1）分析小王的解题过程，配方时仅在左边加4，右边未同步加4，违反等式的基本性质，因此步骤③开始出错； （2）严格按照配方法的正确步骤逐步计算即可得到方程的解． 【小问1详解】 解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 18. 如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）54 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∴菱形的面积为． 四、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分) 19. 2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） 月平均增长率为 （2） 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【解析】 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 20. 如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求长． 【答案】（1）证明：四边形为菱形， ， 点为中点， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形． （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形综合，熟练掌握菱形性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 根据菱形性质得到，结合中点性质得到，根据得到四边形为平行四边形，结合垂线性质，即可得出结论； 由菱形的性质得，，结合中点性质得到，中由勾股定理得到，由矩形的性质得到，，得到，中由勾股定理得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为菱形， ，， ， 点为的中点， ， ，， ， 由(1)知，四边形是矩形， ，， ． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 五、解答题三（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 23. 综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 （1）如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； （3）在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下， 由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． （2） （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）利用对称的性质与矩形的性质求解即可； （2）根据勾股定理求出线段的长，再根据对称的性质得到，设，再利用勾股定理求解即可； （3）根据题意将点在线段上和在线段的延长线上分两类讨论，根据对称的性质与矩形的性质，利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：见答案 【小问2详解】 解：由对称的性质得， 又∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 【小问3详解】 解：情况1：当点在线段上，F，E，D三点共线时，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； 情况2：当点在线段的延长线上，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $