精品解析：河南新乡市辉县市百泉镇初级中学2026～2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

百泉镇初级中学第一次练笔 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在年植树造林亩，计划年植树造林亩，设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 5. 已知m是方程的一个根，那么代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 7. 实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ） A. B. C. D. 0 8. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 0 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 计算：______． 13. 若，则的值为______． 14. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 15. 如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为12，则输入的x的值为________． 三、解答题（8小题，共30分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 20. 某网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求七月到九月月销售量的月平均增长率． （2）该网点十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（农产品进价每袋25元，原售价为每袋40元） 21. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 22. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长． （1）若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？ （2）养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 百泉镇初级中学第一次练笔 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、故本选项错误，不符合题意； 故选：C 2. 某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在年植树造林亩，计划年植树造林亩，设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为． 设植树造林面积的年平均增长率为x，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设植树造林面积的年平均增长率为x，根据题意可列出方程为： ． 故选：A． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程特点，用“因式分解法”进行求解即可． 【详解】解方程， 原方程可化为：， ， ∴或， 解得：． 故选C． 【点睛】本题主要考查会用“因式分解法”解一元二次方程，会用“因式分解法”解一元二次方程是解答本题的关键． 5. 已知m是方程的一个根，那么代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】把x=m代入方程得：，进而问题可求解． 【详解】解：把x=m代入方程得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 7. 实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用二次根式的性质化简，实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上的位置判断各数的符号以及绝对值的大小．首先结合数轴确定，易得，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 8. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 9. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的新定义，理解题意是解题的关键．根据“和谐”方程和“美好”方程的定义，分别列出关于m和n的方程，联立求解得出m和n的值，进而计算． 【详解】由方程是“和谐”方程，，得， 由方程是“美好”方程，，得 得：，解得， 将代入①得：，解得， ， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】函数同时包含二次根式和分式，需分别满足二次根式和分式有意义的条件，取两个条件的公共范围即可． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数非负，得， 分式的分母不为0，得， 解不等式，得， 解，得， 因此自变量的取值范围是且． 12. 计算：______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及乘方可直接进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为7． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质及乘方，熟练掌握二次根式的性质及乘方是解题的关键． 13. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 【答案】3或4． 【解析】 【分析】分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可． 【详解】当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴x=3是方程的根， ∴， ∴k=3, ∴， ∴x=3或x=1， ∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在， 当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴， ∴k=4, ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在， 综上所述，k=3或k=4， 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义，根的判别式是解题的关键． 15. 如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为12，则输入的x的值为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】此题考查了程序框图求值，解一元二次方程，根据程序框图列出关于x的方程解方程即可得到结果． 【详解】根据题意得：， 解得：，， 故答案为：3或． 三、解答题（8小题，共30分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质、乘方的意义、二次根式的乘法法则、绝对值的性质化简，再算加减； （2）先把号内和括号外分别化简，再算乘法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，利用直接开方法求解即可； （2）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可； （3）将原方程配方为，利用配方法求解即可； （4）利用公式法求解该方程即可． 【小问1详解】 解：9， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问4详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 20. 某网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求七月到九月月销售量的月平均增长率． （2）该网点十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（农产品进价每袋25元，原售价为每袋40元） 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用七月销量九月的销量进而求出答案； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设八、九这两个月的月平均增长率为x． 由题意得： ， 解得：(不合题意，舍去) 答：八、九这两个月的平均增长率为25%． 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店10月份获利4250元． 根据题意可得：， 解得：(不合题意，舍去) 答：当农产品每袋降价5元，该淘宝网店10月份获利4250元． 21. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 试题解析：解：（1）略 （2）略 考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 22. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长． （1）若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？ （2）养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）垂直于墙的边长为10米，平行于墙的边长为12米 （2） 解：鸡场的面积不能达到．理由如下： ， 整理得：． ， 此方程无解． 答：鸡场的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的边长为，根据鸡场的面积列出方程，解之即可； （2）根据鸡场的面积列出方程，根据解的情况判断即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为． 由题意可得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去． 当时，． ． 答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为12米时，鸡场的面积为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【小问1详解】 解：方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ 【小问3详解】 由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $