精品解析：上海市复旦实验中学2026-2027学年九年级上学期10月素养提升练习数学试卷

2026学年第一学期九年级数学学科素养提升练习 （时间：100分钟 分值：100分） 一、选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（共11小题，满分33分，每小题3分） 6. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 7. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 8. 若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 9. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 10. 若二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表： ．．． ．．． ．．． 则当时，函数值为_______． 11. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 12. 当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 13. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为__． 14. 如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 15. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 16. 已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是_______________________． 三、解答题（共7小题，满分57分） 17. 如图，已知线段、、，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹）． 18. 一个二次函数的图像经过点，，．求这个二次函数的表达式． 19. 如图，直线、交于点，，若，，，求的值． 20. 如图，已知，分别求出和的值． 21. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为，围成的矩形面积为． （1）求关于的函数表达式与自变量的取值范围． （2）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 22. 如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． （1）若点D是的中点，且，求的值； （2）若点D是上任意一点，试证明：． 23. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． （1）求抛物线与直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科素养提升练习 （时间：100分钟 分值：100分） 一、选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 3. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上所述，，． 4. 如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，求出，，再利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：连接交于，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴，，，，B、C两点关于对称， ∴， ∴，， ∵ A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，B、C两点关于对称， ∴为抛物线顶点， ∴设抛物线表达式为， 把代入可得， 解得， ∴抛物线表达式为， 故选：B． 5. 已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵当时，；二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点， ∴该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数图象开口向上，，故选项A正确，选项B错误； 当时，该函数图象开口向下，，故选项C错误； 当时，，，则，故选项D错误； 故选：A． 二、填空题（共11小题，满分33分，每小题3分） 6. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：设比例中项为，则， ∵，， ∴； 故答案为：． 7. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 8. 若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【解析】 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 9. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 10. 若二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表： ．．． ．．． ．．． 则当时，函数值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由表格可得和对应的函数值都为0，由此得到二次函数交点特征，用待定系数法求出二次函数解析式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：当时，，当时，， 二次函数图像与轴交于点和； 二次函数经过原点，且过点， 设二次函数解析式为， 将点代入解析式得：， 解得， 将代入中 得二次函数解析式为， 将代入， 得． 11. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 12. 当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 13. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为__． 【答案】 【解析】 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与轴的另一个交点坐标为， 所以不等式的解集为． 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的性质、不等式，解题的关键是利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围． 14. 如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】对于①，计算时，的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判断；对于③，计算时，的值即可判断． 【详解】解：对于①：将代入，得， ∴出手高度为，故①错误； 对于②：， ∴顶点坐标为，故②正确； 对于③：将代入，得 ， 整理，得， 解得或（负值，舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为，故③正确． 16. 已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是_______________________． 【答案】﹣1≤a＜﹣或a=3﹣2． 【解析】 【分析】根据题意，当二次函数顶点在x轴下方或当二次函数的顶点在x轴上时，分情况讨论问题．借助于根的判别式即可解答． 【详解】依题意，应分为两种情况讨论，①当二次函数顶点在x轴下方，若当x=1时，y＜0且当x=2时，y≥0，即，解得此不等式组无解； 若当x=2时，y＜0且当x=1时，y≥0，即，解得：﹣1≤a； ②当二次函数的顶点在x轴上时，△=0，即（a﹣3）2﹣12=0，解得：a=3±2，而对称轴为x，可知12，故a=3﹣2． 故答案为﹣1≤a或a=3﹣2． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数对称轴的确定方法，一元二次方程的根的判别式，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键． 三、解答题（共7小题，满分57分） 17. 如图，已知线段、、，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图： 【解析】 【分析】把x＝变形得到c：a=b：x，则实际上作c、a、b、x的第四比例项，按照做比例线段的方法作图即可． 【详解】∵x＝， ∴c：a=b：x， 作出c、a、b、x的第四比例项得到x 【点睛】本题考查了作图—相似变换，能将x＝变形得到得到c：a=b：x，确定出求x就是求第四比例项是解题的关键. 若a、b、c、d满足：a：b=c：d，则这四条线段成比例，其中d叫第四比例项． 18. 一个二次函数的图像经过点，，．求这个二次函数的表达式． 【答案】这个二次函数的表达式为． 【解析】 【分析】已知二次函数图像上三个点的坐标，设二次函数的一般式，代入三点坐标列方程组，求解系数即可得到表达式． 【详解】解：设二次函数的表达式为． 将，，分别代入表达式，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 19. 如图，直线、交于点，，若，，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 求出，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，已知，分别求出和的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据即可求，根据结合可得，，进而求解． 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 21. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为，围成的矩形面积为． （1）求关于的函数表达式与自变量的取值范围． （2）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1） （2）当时，的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据可求出长与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：篱笆长， ， ， ， 长为， 墙长， ， 解得，， 又矩形面积， ． 【小问2详解】 解：， ， 有最大值， 又， 当时，取得最大值，此时． 即当时，的最大值为． 22. 如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． （1）若点D是的中点，且，求的值； （2）若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】（1） （2）证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【解析】 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． 【小问2详解】 略 23. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． （1）求抛物线与直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 （2）的面积最大值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【小问1详解】 解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； 【小问3详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $