精品解析：江苏省盐城中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段学情检测数学试卷

2026级高一年级第一次阶段学情检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】原命题的否定为，. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求解一元二次不等式和分式不等式得到集合A、B，再根据并集的定义计算A∪B即可. 【详解】对不等式因式分解，得， 所以，故， 分式不等式等价于,得，故， 所以,即. 3. 已知，均为非零实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】时，，而，故即， 取，则，但不成立， 故“”是“”的充分且不必要条件. 4. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因有意义， 需使，解得. 5. 若是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理及对数的运算法则即可得解. 【详解】因为是方程的两个实根， 故由韦达定理可知，， 即，得. 故选：C. 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以， 所以， 又，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值是4. 故选：B. 7. 已知实数满足，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】通过换元将指数方程转化为一元二次方程，利用完全平方公式的变形求解目标式的值. 【详解】由指数运算性质得，设，其中，则原方程可转化为 ， 即 ，由于，得， ， 因为 ， 所以. 8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】分析二次函数零点分布，根据不等式在恒成立得到参数的等量关系，代入目标表达式，借助基本不等式求最值. 【详解】令二次函数，其判别式 ，又两根之积为-2，因此必有两个异号的实根. 设正根为，当时，；当时，. 要使不等式对任意恒成立，则需满足当时， 当时，因此必须等于的正根，即， 整理得，两边平方得， 化简得. 将​代入得，. 由基本不等式，得 ，当且仅当，即，由得时取等号， 此时，代入验证满足，符合条件. ，因此的最小值为4. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. （其中，） D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：，所以A不正确； 对于B：当时，，所以B正确； 对于C：若，，则， 例：当时，，，所以C不正确； 对于D：，，所以D正确. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程有两个根，且一个大于1，另一个小于1，则实数a的取值范围为 B. 设，，若且，则 C. 命题p：“，”的一个必要不充分条件是 D. 已知，则的最小值是6 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，设方程的两个根分别为， 当一个根大于1，另一个根小于1时，可得，即， 根据韦达定理可得，可得，解得，所以选项A正确； 对于选项B，设， 可得，解得，所以， 由已知，，所以，所以选项B正确； 对于选项C，，为真命题，即有解， 由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增， 函数在的最小值为， 所以为命题的充要条件，即是命题的一个充分不必要条件，所以选项C错误； 对于选项D，已知，则， 当且仅当，即时，即时等号成立，所以选项D正确； 11. 已知关于的不等式，则（ ） A. 当，时，原不等式的解集为 B. 当时，原不等式的解集可以为的形式，其中 C. 当时，原不等式的解集为 D. 如果原不等式的解集非空，且恰好为，那么 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，可判定A正确；分和两种情况，分别求得不等式的解集，可判定B不正确；由二次函数的性质，求得的解集为空集，可判定C正确；根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得、的值，可判定D正确. 【详解】对于A，当，时，原不等式为， 由，可得恒成立； 又由，可得，解得， 所以原不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，原不等式为， 由，可得，解得或， 又由，可得， 当时，可得，解得，此时原不等式的解集为； 当时，由，解得， 此时原不等式的解集为， 此时原不等式的解集不能表示为的形式，所以B不正确； 对于C，当时，不等式， 由函数， 因为，此时不等式的解集为空集，所以原不等式的解集为，所以C正确； 对于D，若原不等式的解集非空，且恰好为， 即不等式的解集为，且不等式在上恒成立， 所以和是方程的两个实数根， 可得且，联立方程组，可得，即， 解得或 由的解集的右端点为，所以， 所以，则则，所以D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则集合B的真子集个数为_______． 【答案】 3 【解析】 【分析】先求解分式不等式得到整数集合，再根据中元素计算得到集合，最后利用真子集个数公式求解结果。 【详解】分式不等式等价于， 解得，结合，可得， 将中元素依次代入计算可得，故B的真子集个数为. 13. 在上定义运算：，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简不等式，利用分离参数法转化为恒成立问题，再借助基本不等式求出函数的最大值，进而得到参数的取值范围. 【详解】先化简左边， 原不等式可转化为：.  由于对任意实数恒成立，因此可以直接两边除以，不等号方向不变，得到： ​ 题目要求：时，不等式恒成立，即 设，则， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立. 因此，即， 所以，故实数a的取值范围是. 14. 设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解值域，即可根据集合的包含关系求解. 【详解】当时，此时函数在单调递减，故，由于，故,因此， 当时，此时函数在单调递减，在单调递增，故，由于，故,因此， 当时，此时函数在单调递减，在单调递增，故，由于，故,因此， 解得， 综上可得 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）求值：； （2）已知，求的值； 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【详解】（1），，， 原式 . （2）令 . 分子 ，分母 ， 故原式 . 16. 已知集合，集合， （1）求； （2）已知，若是的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再分别求补集后计算交集； （2）先化简集合，将充分不必要条件转化为是的真子集，列不等式组求解。 【小问1详解】 解：解不等式，得，移项化简得，即， 解不等式，因式分解得，解得，即， 所以，，， 所以，，即. 【小问2详解】 解：解不等式，变形为，解得，即， 因为是的充分不必要条件，所以 （是的真子集）, 所以，且等号不同时成立，可得， 即实数的取值范围为 17. 为庆祝百年校庆，盐城中学计划修建如图所示的八边形主题花坛．花坛由一个十字形区域和外围四个三角形区域组成．其中，十字形区域由两个中心重合、长边互相垂直的全等矩形和交叠形成，面积为． 正方形区域栽种大花月季，造价为550元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）区域栽种绣球花，造价为400元/；四个空角（图中四个三角形）区域栽种金鸡菊，造价为80元/．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）． （1）当时，求金鸡菊的种植面积； （2）当x为何值时，W最小？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2）时，最小值为元. 【解析】 【小问1详解】 设中间正方形的边长为（即），每个阴影矩形的水平长为. 十字形面积由中间正方形和四个阴影矩形组成， 因此：，解得. 四个角的金鸡菊区域均为等腰直角三角形，直角边长等于阴影矩形的长， 因此总面积为：， 当时，代入得：， ，即金鸡菊的种植面积为. 【小问2详解】 总造价由三部分组成：正方形区域：；四个阴影矩形：；四个三角形区域：，代入， 总造价： . 由基本不等式，时：， 当且仅当，即，时取等号. 此时总造价最小值为： 故当时，总造价最小，最小值为元. 18. 已知，函数． （1）当时，求函数的零点； （2）求不等式的解集； （3）若恰有两个整数使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1和2 （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，函数为，因式分解得， 令，解得或，故函数的零点为1和2. 【小问2详解】 对二次式因式分解： 方程的两根为，，由，比较两根大小： 当时，，二次函数开口向上，故的解集为； 当时，，，故的解集为； 当时，，故的解集为. 【小问3详解】 恰有两个整数使成立，结合（2）的结论分析： 1. 时，解集区间长度小于1，最多1个整数，不符合题意，舍去. 2. 时，解集为开区间， 设区间内两个整数为（）， 则需满足：， 当时：，且，解得，交集为； 当时：，且，解得，交集为； 或时，无符合条件的正实数， 综上，实数的取值范围为. 19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有着精彩应用．柯西不等式的一般形式（维形式）为： 设，，，…，，，，，…，，且，则 ，当且仅当时，等号成立． （1）根据二维柯西不等式：，求函数的最大值并写出取最大值时的值； （2）证明三维分式型柯西不等式：当，，均大于0时，有，当且仅当时，等号成立； （3）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，根据三维分式型柯西不等式，在所有满足条件的三角形及其内部点中，求的最小值． （参考公式：的面积底高） 【答案】（1）， （2）已知三维柯西不等式：对任意实数，有， 令，（，根式有意义）， 代入三维柯西不等式得， 因为，两边同时除以，得， 等号成立当且仅当，即，证毕 （3） 【解析】 【分析】（1）将函数拆分为“常数乘根式”的标准形式，直接套用二维柯西不等式放缩求最值，再通过等号条件反解自变量；（2）通过构造“分子除以根号分母”与“根号分母”的配对项，代入三维柯西不等式化简，证得分式型柯西不等式；（3）先由面积法建立边长与距离的线性约束，再用分式柯西得到的下界，最后结合三角形条件用基本不等式求出全局最小值. 【小问1详解】 由，得， 根据二维柯西不等式，将函数改写为， 令， 代入柯西不等式得， 因此，当且仅当时等号成立，即，解得，满足定义域. 所以函数的最大值是，此时. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积可拆分为三个小三角形面积之和，即， 由三角形面积公式得，，， 因此，即（式1）， 将改写为平方和除以正数的形式，即， 由（2）的三维分式型柯西不等式，将（式1）代入，得（式2）， 当且仅当等号成立，即为的内心， 已知，由余弦定理，得，与题设一致， 的面积为， 设，由，得，设，由得，即， 由基本不等式，得，解得，当且仅当（为等边三角形）时取等号， 将代入（式2）得， 因为，所以，因此， 当且仅当为等边三角形且为内心时，等号成立， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一年级第一次阶段学情检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，均为非零实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知实数满足，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. （其中，） D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程有两个根，且一个大于1，另一个小于1，则实数a的取值范围为 B. 设，，若且，则 C. 命题p：“，”的一个必要不充分条件是 D. 已知，则的最小值是6 11. 已知关于的不等式，则（ ） A. 当，时，原不等式的解集为 B. 当时，原不等式的解集可以为的形式，其中 C. 当时，原不等式的解集为 D. 如果原不等式的解集非空，且恰好为，那么 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则集合B的真子集个数为_______． 13. 在上定义运算：，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 14. 设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）求值：； （2）已知，求的值； 16. 已知集合，集合， （1）求； （2）已知，若是的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 为庆祝百年校庆，盐城中学计划修建如图所示的八边形主题花坛．花坛由一个十字形区域和外围四个三角形区域组成．其中，十字形区域由两个中心重合、长边互相垂直的全等矩形和交叠形成，面积为． 正方形区域栽种大花月季，造价为550元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）区域栽种绣球花，造价为400元/；四个空角（图中四个三角形）区域栽种金鸡菊，造价为80元/．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）． （1）当时，求金鸡菊的种植面积； （2）当x为何值时，W最小？并求出这个最小值． 18. 已知，函数． （1）当时，求函数的零点； （2）求不等式的解集； （3）若恰有两个整数使得不等式成立，求实数的取值范围． 19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有着精彩应用．柯西不等式的一般形式（维形式）为： 设，，，…，，，，，…，，且，则 ，当且仅当时，等号成立． （1）根据二维柯西不等式：，求函数的最大值并写出取最大值时的值； （2）证明三维分式型柯西不等式：当，，均大于0时，有，当且仅当时，等号成立； （3）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，根据三维分式型柯西不等式，在所有满足条件的三角形及其内部点中，求的最小值． （参考公式：的面积底高） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $