3.2.2奇偶性第二课时导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2奇偶性 第二课时 奇偶性的应用 【学习目标】 ①掌握用奇偶性求解析式的方法； ②理解奇偶性对单调性的影响，能利用函数的奇偶性比较大小，求最值和解不等式； ③利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养； ④借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 【学习重点】 熟练运用函数奇偶性求解解析式、结合单调性比较函数值大小、求解抽象不等式，并掌握利用复合函数的奇偶性判断函数对称性的方法. 【学习难点】 灵活区分奇偶函数对称区间单调性差异，准确结合定义域、奇偶变换、单调性脱去抽象符号解不等式，以及函数奇偶性与图象对称轴或对称中心的综合转化应用. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.奇偶函数的单调性与最值 （1）若为奇函数且在区间上单调递增（减），则在上单调递增（减），即在对称的区间上单调性相同； （2）若为偶函数且在区间上单调递增（减），则在上单调递减（增），即在对称的区间上单调性相反； （3）若为奇函数且在区间上有最大值，则在上有最小值为； （4）若为偶函数且在区间上有最大值，则在上有最大值为. 2.奇函数与偶函数的特有性质 （1）若为奇函数，且在处有定义，则； （2）若为偶函数，则 3.知识拓展：函数的对称性 （1）函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.推广如下： 在定义域内恒满足的条件 图象的对称中心 （2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数是偶函数，推广如下： 在定义域内恒满足的条件 图象的对称轴 二、典例精析 题型1 根据函数的奇偶性求解析式 例1．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 答案： 思路分析：利用偶函数的性质，由时解析式求出时的函数解析式，再写出分段函数形式. 规范解答：设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， ，所以， 即时，， 综上，. 方法总结：利用函数奇偶性求函数对称区间解析式的方法 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应该在哪个区间上设； （2）通过将转化为已知区间上的变量，利用已知区间的解析式进行代入； （3）利用的奇偶性，实现与的转化，解出. 例2．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 答案： 思路分析：利用奇偶函数性质，将原式中替换为到第二个方程，联立方程组通过加减消元求出与. 规范解答：因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 方法总结：奇偶函数联立求解析式模型（方程组法） （1）已知偶，奇，且，把，得到第二个方程； （2）列方程组：，加减消元直接解出 题型2 函数奇偶性与单调性的综合应用 类型1 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例3.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 答案：D 思路分析：利用偶函数性质，把转化为，将所有自变量统一到单调区间；再根据该区间上函数的单调性比较大小. 规范解答：因为函数是定义在R上的偶函数，故，则， 又在上是减函数，，所以， 即. 方法总结：比较函数值大小的求解策略 （1）若自变量在同一个单调区间内，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一个单调区间内，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 例4（1）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 答案： 思路分析：先利用偶函数性质将不等式转化为，再根据单调性结合定义域列不等式组求解. 规范解答： 因为是偶函数，满足， 可转化为, 又因为时为减函数，且定义域为，所以和都必须在定义域内， 所以，解得，即 所以的取值范围是. （2）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 答案： 思路分析：先判断在上为增函数，再将不等式转化为，由单调性结合定义域得关于的不等式组，求解实数的取值范围. 规范解答：因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 方法总结： （1）偶函数型不等式： 核心等价变形：，消去负号，全部转到正区间； 三件事同时满足：①在定义域；②在定义域；③利用单调性去掉f，写绝对值不等式； 2. 奇函数型不等式 第一步移项，利用奇函数性质，化为； 奇函数在一侧区间单调，则整个定义域对称区间单调性相同； 三件事同时满足：①A在定义域；②B在定义域；③根据单调性去掉f，写自变量大小关系. 题型3 函数对称性的应用 例5（1）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 答案：C 思路分析：根据题设可得函数关于直线对称，在区间上单调递减，在区间上单调递增，进而判断. 规范解答：因为函数是偶函数，所以， 则函数关于直线对称， 又因为函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， 又因为，所以， 又因为，所以，所以. （2）已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 答案：A 思路分析：利用是定义在R上的奇函数且，可得到，即可得，由可求，即可得. 规范解答： 因为是定义在R上的奇函数，所以，即.所以. 又因为，所以. 所以. 当时，，所以. 所以. 方法总结：解决函数奇偶性与对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利用合适的式子判断函数图象的对称轴或对称中心. 如：是偶函数的图象关于直线对称； 是奇函数的图象关于点对称. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：因为是偶函数，所以可转化为， 又在区间上单调递增，所以，解得， 即满足的的取值范围是. 2.已知奇函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：因为是奇函数，且在区间上单调递增，所以在上单调递增， 则由可得， 即满足的的取值范围是. 3．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 答案：D 解析：因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 4．已知偶函数的定义域为，当时，单调递减，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减， 由，得， 所以. 故选：C. 5．已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 答案：C 解析：因为函数是偶函数，所以， 则函数关于直线对称， 又因为函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， 又因为，所以， 又因为，所以，所以. 故选：C. 6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 答案： 解析：已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 7．已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 答案： 解析：因为函数是上的偶函数，且在区间上为减函数， 所以在上是增函数， 因为， 所以 8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 解析：（1）当时，，所以. 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 又因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增. 又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增. 根据描点并结合函数的性质可得函数图象如下： （2）设，则，故， 因为是奇函数，所以，，即. 故时，. 因此. 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：因为函数是上的奇函数，且当时，， 当时，，所以，得到，所以时，， 则，其图象如图， 由图知在上单调递增，由，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 10．已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 答案：A 解析：因为是定义在R上的奇函数，所以，即.所以. 又因为，所以. 所以. 当时，，所以. 所以. 11．已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 12．已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是________. 答案： 解析：由题意得， 因为，所以， 即有，两式相加可得. 因为，，所以， 设，所以在上单调递增， 所以或或，解得或，所以 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 答案： 解析：因为，，，令. 由已知， 当时，，因此，所以在上是增函数. 因为已知是上的奇函数，， 所以 ，因此是定义域为的偶函数， 由偶函数单调性可得：在上是减函数. 因为， ， ， 因为，且在上递减，所以. 所以. 14．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 答案： 解析：因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 四、课时小结 （1）解析式求解：掌握两类求解析式题型，一是利用奇偶性 “求谁设谁” 推导对称区间分段函数，二是一奇一偶函数相加时通过替换构建方程组，加减消元得到两个函数表达式； （2）奇偶 + 单调性综合应用：比较函数值大小时借助奇偶性统一自变量至同一单调区间；求解抽象不等式需兼顾定义域，偶函数转化为绝对值不等式、奇函数利用变形后再脱比较自变量； （3）奇偶与图象对称性拓展：熟记为偶函数则对称轴、奇函数对应中心对称，结合对称轴两侧单调性相反的规律，解决多自变量函数值比较、求值问题. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2奇偶性 第二课时 奇偶性的应用 【学习目标】 ①掌握用奇偶性求解析式的方法； ②理解奇偶性对单调性的影响，能利用函数的奇偶性比较大小，求最值和解不等式； ③利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养； ④借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 【学习重点】 熟练运用函数奇偶性求解解析式、结合单调性比较函数值大小、求解抽象不等式，并掌握利用复合函数的奇偶性判断函数对称性的方法. 【学习难点】 灵活区分奇偶函数对称区间单调性差异，准确结合定义域、奇偶变换、单调性脱去抽象符号解不等式，以及函数奇偶性与图象对称轴或对称中心的综合转化应用. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.奇偶函数的单调性与最值 （1）若为奇函数且在区间上单调递增（减），则在上_____________，即在对称的区间上单调性_____； （2）若为偶函数且在区间上单调递增（减），则在上______________，即在对称的区间上单调性_____； （3）若为奇函数且在区间上有最大值，则在上有最小值为____； （4）若为偶函数且在区间上有最大值，则在上有最大值为_____. 2.奇函数与偶函数的特有性质 （1）若为奇函数，且在处有定义，则________； （2）若为偶函数，则________________ 3.知识拓展：函数的对称性 （1）函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.推广如下： 在定义域内恒满足的条件 图象的对称中心 __________ __________ ___________ （2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数是偶函数，推广如下： 在定义域内恒满足的条件 图象的对称轴 ________ ________ ________ 二、典例精析 题型1 根据函数的奇偶性求解析式 例1．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 方法总结：利用函数奇偶性求函数对称区间解析式的方法 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应该在哪个区间上设； （2）通过将转化为已知区间上的变量，利用已知区间的解析式进行代入； （3）利用的奇偶性，实现与的转化，解出. 例2．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 方法总结：奇偶函数联立求解析式模型（方程组法） （1）已知偶，奇，且，把，得到第二个方程； （2）列方程组：，加减消元直接解出 题型2 函数奇偶性与单调性的综合应用 类型1 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例3.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 方法总结：比较函数值大小的求解策略 （1）若自变量在同一个单调区间内，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一个单调区间内，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 例4（1）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． （2）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 方法总结： （1）偶函数型不等式： 核心等价变形：，消去负号，全部转到正区间； 三件事同时满足：①在定义域；②在定义域；③利用单调性去掉f，写绝对值不等式； 2. 奇函数型不等式 第一步移项，利用奇函数性质，化为； 奇函数在一侧区间单调，则整个定义域对称区间单调性相同； 三件事同时满足：①A在定义域；②B在定义域；③根据单调性去掉f，写自变量大小关系. 题型3 函数对称性的应用 例5（1）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． （2）已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 方法总结：解决函数奇偶性与对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利用合适的式子判断函数图象的对称轴或对称中心. 如：是偶函数的图象关于直线对称； 是奇函数的图象关于点对称. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知奇函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．已知偶函数的定义域为，当时，单调递减，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 7．已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 11．已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是________. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 14．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 四、课时小结 （1）解析式求解：掌握两类求解析式题型，一是利用奇偶性 “求谁设谁” 推导对称区间分段函数，二是一奇一偶函数相加时通过替换构建方程组，加减消元得到两个函数表达式； （2）奇偶 + 单调性综合应用：比较函数值大小时借助奇偶性统一自变量至同一单调区间；求解抽象不等式需兼顾定义域，偶函数转化为绝对值不等式、奇函数利用变形后再脱比较自变量； （3）奇偶与图象对称性拓展：熟记为偶函数则对称轴、奇函数对应中心对称，结合对称轴两侧单调性相反的规律，解决多自变量函数值比较、求值问题. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $