精品解析：福建龙岩市连城第二中学2026-2027学年九年级上学期第一次综合测试数学试题

连城二中2026—2027学年上期九年级第一次综合素质训练 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个正确选项，请把正确选项的代号填涂在答题卡上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 4. 若方程的两根为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，计算各选项的根的判别式判断． 【详解】解：A选项，方程中，，有实数根； B选项，方程中，，有实数根； C选项，将方程整理为，，有实数根； D选项，方程中，，没有实数根． 6. 关于二次函数的图象，下列描述错误的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 当时，y有最小值2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 7. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与y轴交点，二次函数与y轴的交点相当于当时的函数值，根据题意该值大于0，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数图像与y轴交点在x轴上方， ∴当时，， ∴， ∴． 故选：B． 9. 二次函数的图象如下图，则下列正确的结论有（ ） ①；②；③；④；⑤若方程的两个根为，，则；⑥当时，y随x的增大而减小 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用数形结合，根据二次函数的图象和性质结合所给的图象来解答即可． 【详解】解：由图象知对称轴为，， ， ，①错误． 因为抛物线与轴有两个交点，所以，②错误． 的值是当时的值，根据图象，当时，纵坐标， ，③正确． ， ， ，④正确． 方程的两个根为，， ， ， ，⑤正确． 当时， y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，⑥错误． 正确的结论有个． 10. 如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线．分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（　） A. ①⑤ B. ①②⑤ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了了二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质等，利用数形结合思想分析问题是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．直接由，可判断结论①；把点坐标代入抛物线求出值，可判断结论②；由求得、的值并作差后即可判断结论③；结合抛物线的交点，再根据图像的位置得出自变量取值范围，判断④即可；由二次函数的对称性求出、的坐标，进一步验证，即可判断结论⑤． 【详解】解：， 无论取何值，的值总是正数，所以①正确； 抛物线过点， 则有， 解得， 所以②不正确； ，， 当时，，， ，所以③不正确； 观察图象可知当时，；时，；时，． 所以④不正确； 抛物线，其对称轴为直线， 抛物线，其对称轴为直线， 又两抛物线交于点， 结合抛物线对称性，可求得，， 则，，所以，所以⑤正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 12. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ． 13. 若是方程的根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可计算出结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 14. 抛物线的部分如图所示，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图像即可得出结论． 【详解】解：抛物线的部分图像如图所示， 抛物线与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线， 抛物线与x轴另一交点的坐标是， 当时，或． 15. 已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 16. 如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过M点作于H点，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ， 设， 是以为直角的等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， 或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 三、解答题（共86分） 17. 按要求解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解： 或 【小问2详解】 解： 或 19. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 20. 已知抛物线（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：令，得方程. ∵ ， ∴无论取何值，该方程总有实数根，即抛物线与轴总有交点 （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）将抛物线与轴交点问题转化为一元二次方程根的存在性问题，计算判别式证明其恒非负； （2）利用根与系数的关系，由两根异号得两根之积小于0，求解的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， ∵抛物线与轴的两个交点分别在原点两侧， ∴两根异号，即， 由根与系数的关系得， ∴的取值范围是． 21. 如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点． ∴； 【小问2详解】 ∵抛物线经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即， 解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵ ， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． 22. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】（1） （2）购买的这种乒乓球台的台数为200台 【解析】 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； 【小问2详解】 解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 23. 某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． （1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）墙长的取值范围是； （3） 不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 【解析】 【分析】（）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得平行于墙的一边的长是米或是米，然后分当时；当时；当时，进行讨论即可； （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断． 【小问1详解】 解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； 【小问2详解】 解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； 【小问3详解】 解：略． 24. 若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． （1）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； （2）若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】（1） （2）①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【小问1详解】 解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； 【小问2详解】 ①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 25. 如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标； （3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）（﹣6，10）； （3）设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点代入，解得b＝4﹣6k， 故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4， 则点M（0，﹣6k+4）， x2﹣x﹣2＝kx﹣6k+4， 整理得x2﹣（+k）x+6k﹣6＝0， ∴xC+xE＝2+4k， ∴xE＝4k﹣4 ①， 同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点N（0，﹣6t+4），即xF＝4t﹣4 ②， 由x2﹣x﹣2＝mx+n， 整理得x2﹣（+m）x﹣2﹣n＝0， ∴xE+xF＝4m+2③， xE•xF＝﹣8﹣4n④， 将①②代入③④，得， 又OM•ON＝3， ∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3， ∴n＝m﹣， ∴y＝mx+n＝mx+m﹣＝m（x+）﹣， 当x＝时，y＝﹣， ∴直线EF经过定点且定点坐标为（，﹣）． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，待定系数法求二次函数解析式； （2）延长DC交x轴于点M，过点C作CQ⊥AM于点Q，根据等腰三角的性质求得点M坐标，由点C、M的坐标得，直线DM的解析式，联立直线解析和抛物线解析式即可求得点的横坐标，代入抛物线解析式即可求得的坐标； （3）根据题意求得直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，联立直线和抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，可得xC+xE＝2+4k，根据的横坐标为，进而求得点的横坐标，同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，xE+xF＝4m+2，xE•xF＝﹣8﹣4n，联立求得，根据OM•ON＝3，进而可得n＝m﹣，根据在直线y＝mx+n上，代入解析式，最后令含的代数式为0，即可求得定点坐标． 【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2； （2）延长DC交x轴于点M， ∵∠DCA＝2∠CAB， ∴∠CAB＝∠CMA， ∴CA＝CM， 过点C作CQ⊥AM于点Q， 则QM＝AQ＝8， ∴点M坐标为（14，0）， 设直线DM的解析式为，将，代入得 解得 直线DM的解析式为：y＝x+7， 令y＝x+7＝x2﹣x﹣2； 解得x＝﹣6或6， x＝﹣6，y＝×（﹣6）+7＝10， ∴点D坐标为（﹣6，10）； （3）略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城二中2026—2027学年上期九年级第一次综合素质训练 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个正确选项，请把正确选项的代号填涂在答题卡上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 若方程的两根为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列描述错误的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 当时，y有最小值2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如下图，则下列正确的结论有（ ） ①；②；③；④；⑤若方程的两个根为，，则；⑥当时，y随x的增大而减小 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线．分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（　） A. ①⑤ B. ①②⑤ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 12. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 13. 若是方程的根，则代数式的值为________． 14. 抛物线的部分如图所示，当时，x的取值范围是________． 15. 已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 16. 如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为________． 三、解答题（共86分） 17. 按要求解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 19. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 已知抛物线（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 21. 如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 22. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 23. 某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． （1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 24. 若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． （1）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； （2）若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 25. 如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标； （3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $