专题09 随机事件的概率（4大题型）（期中真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题09 随机事件的概率（4大题型） 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 2．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是（       ） A. 这个三角形有两条边相等 B. 这个三角形有一个内角是直角 C. 这个三角形三个内角的和是180° D. 这个三角形两条边的和等于第三条边 3．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 4．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（     ） A. 守株待兔 B. 水涨船高 C. 缘木求鱼 D. 拔苗助长 5．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）下列事件中，为必然事件的是（       ） A. 任意画一个三角形，其内角和是180° B. 足球运动员射门一次，未射进 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 明天会下雪 考点02 概率 1．（25-26学年九上·福建漳州·期中）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为3的概率是　　　　　　． 3．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　　　　　　　　． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 乙甲 2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了4张分别印有电影名字的卡片：A．《南京照相馆》、B．《东极岛》、C．《731》、D．《志愿军》．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是___________； （2）求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 小明小红 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 3．（25-26学年九上·福建宁德·期中）小明和小颖打算一起玩游戏，有两组牌，每组三张，牌面数字分别是2，3，4．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小颖获胜．则小明获胜的概率是　　　　　　　　． 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 4．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 5．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为             ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 6．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． （1）随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是               ； （2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 横坐标纵坐标 1 2 3 1 2 3 7．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通安全知识”的测试，学校抽取了部分学生的测试成绩，把测试成绩x分为四个类别：及格（），中等（），良好（），优秀（），并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 据上面图表信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好及以上的学生有多少人？ （3）在本次测试中，获得满分的4人中有2名男生和2名女生，学校从这4名同学中随机选2人参加市中学生“交通安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法求出抽取的2人恰好是一男一女的概率． 第一人第二人 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 8．（25-26学年九上·福建漳州·期中）国家卫健委发布的《体重管理指导原则（年版）》明确用身体质量指数（）来判断人体的健康状况，若一个人的体重（千克），身高（米），其计算公式是：，数值参考标准为：为偏瘦：为正常；为偏胖；为肥胖．某校为了了解学生的身体健康情况，从学生体检的数据中随机抽取了部分学生的身高体重数据，计算他们的BMI值，并填写在如下的表格，请根据表中提供的信息，回答问题． 数值 频数 频率 （1）求抽查的学生人数； （2）在抽查的学生中，身体肥胖的学生依次用，，…表示，学校决定从这些身体肥胖的学生中，随机抽查两名学生了解他们的减肥计划，请用画树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率． 9．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________； （2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（     ） A. 转动转盘后，出现比5小的数 B. 转动转盘后，出现奇数 C. 转动转盘后，出现能被5整除的数 D. 转动转盘后，出现3的倍数 3．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共10只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是　　　　　　　　．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 598 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.598 4．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有　　　　　　　　　　　个． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 随机事件的概率（4大题型） 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 考点02 概率 1．C 2．【答案】 【分析】 本题考查概率，根据概率公式，进行计算即可． 【详解】 解：掷得面朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为3的情况有1种， ∴； 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 此题考查了概率公式的应用，熟练掌握：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 设黄球的个数为，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】 解：设黄球的个数为， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 黄球的个数为个； 故答案为：． 考点03 用列举法求概率 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种， ∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种， ∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 乙甲 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率； （2）根据题意可以列出相应的表格，然后即可计算出求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率即可． (1) 小问详解： 解：第一次抽取的卡片共有4种等可能性结果，其中是D．《志愿军》的情况有1种， ∴第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是； (2) 小问详解： 共有12种等可能的结果，抽取两次结果都不是志愿军的结果有6种， ∴P(抽取两次结果都不是志愿军)． 小明小红 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 3．【答案】 【分析】 本题考查概率的求法．采用列表法进行求解，找出所有可能的结果中两张牌的数字之和为偶数的情况，即可求解． 【详解】 解：列表如下： 由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中两张牌的数字之和为偶数的结果有5种， 因此小明获胜的概率为． 故答案为． 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． (1) 小问详解： 若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以P（灯泡发光）； (2) 小问详解： 画树状图如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以P（灯泡发光）． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了树状图法求概率以及一次函数图象上点的坐标特征，树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）法一：画树状图，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 法二：列表，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： ∵三个小球中有一个小球编号为1， ∴随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是． 故答案为：； (2) 小问详解： 法一：记“点在一次函数的图象上”为事件A，画树状图如下： 总共出现6种等可能结果， 其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 法二：记“点在一次函数的图象上”为事件A，列表如下： 总共出现6种等可能结果，其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 横坐标纵坐标 1 2 3 1 2 3 7．【答案】（1） 解：人 良好人数为：人， 补全条形统计图如图所示：      （2）1200人     （3）      【分析】 （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算良好类学生数，完善统计图即可． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，人 答：估计竞赛成绩在良好及以上的学生约有1200人 ． (3) 小问详解： 解： 由表格可知共产生了12种结果，并且每一种结果出现的可能性相等，其中恰好是一男一女的结果有8种， 所以． 第一人第二人 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 8．【答案】（1） ；     （2） ．      【分析】 本题主要考查了统计表、画树状图或列表法求概率． 根据统计表中的频数为，频率为，求出抽查的总人数； 由统计表可知肥胖的学生共有个，画树状图求出恰好抽到学生和的概率． (1) 小问详解： 解：由统计表可知：的频数为，频率为， 抽查的学生人数为人； (2) 小问详解： 解：由统计表可知：的人数为，的人数为，的人数为， 的人数为人， 画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能的情况出现，抽到学生和的情况有种， 抽到学生和的概率为． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． (1) 小问详解： 一共有4种等可能性，摸出的球是黄球有2种等可能性， 故摸出的球是黄球的概率为， 故答案为：． (2) 小问详解： 根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的等可能性有4种． 故摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是． 考点04 用频率估计概率 1．C 2．D 3．【答案】0.6 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】 解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右， 所以摸一次，摸到白球的概率为0.6． 故答案为：0.6． 4．【答案】7 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 直接根据“红球的频率稳定在0.7”计算这个口袋中红球的数量． 【详解】 解：∵红球的频率稳定在0.7， ∴估计这个口袋中红球的数量为个． 故答案为：7． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 随机事件的概率（4大题型） 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【答案】C 【分析】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】 解：A、属于随机事件，故本选项不符合题意； B、属于随机事件，故本选项不符合题意； C、属于必然事件，故本选项符合题意； D、属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 2．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是（       ） A. 这个三角形有两条边相等 B. 这个三角形有一个内角是直角 C. 这个三角形三个内角的和是180° D. 这个三角形两条边的和等于第三条边 【答案】C 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理、三角形的三边关系、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】 解：A、这个三角形有两条边相等是随机事件，不符合题意； B、这个三角形有一个内角是直角是随机事件，不符合题意； C、这个三角形三个内角的和是是必然事件，符合题意； D、这个三角形两条边的和等于第三条边是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】 解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意； B、任意一个一元二次方程都有实数根，是随机事件，不符合题意； C、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意； D、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（     ） A. 守株待兔 B. 水涨船高 C. 缘木求鱼 D. 拔苗助长 【答案】B 【分析】 本题考查必然事件的概念，即在一定条件下一定会发生的事件．根据成语的含义，判断哪个事件是必然发生的． 【详解】 解∵ 必然事件是指在一定条件下必然发生的事件； A．守株待兔：兔子撞树是偶然事件，不是必然； B．水涨船高：水位上涨时，船身随之升高，是必然事件； C．缘木求鱼：爬到树上找鱼，不可能找到，是不可能事件； D．拔苗助长：拔高禾苗反而导致死亡，不是必然事件． ∴ 属于必然事件的是B， 故选：B． 5．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）下列事件中，为必然事件的是（       ） A. 任意画一个三角形，其内角和是180° B. 足球运动员射门一次，未射进 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 明天会下雪 【答案】A 【分析】 本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的分类，根据三种事件的特点逐项判断即可求解． 【详解】 A. 任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意； B. 足球运动员射门一次，未射进，是随机事件，不合题意； C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7，是不可能事件，不合题意； D. 明天会下雪，是随机事件，不合题意． 故选：A 考点02 概率 1．（25-26学年九上·福建漳州·期中）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了几何概型求面积问题，解题的关键是理解黑色阴影部分占整体的，即可求解． 【详解】 解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为， 故选：C． 2．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为3的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查概率，根据概率公式，进行计算即可． 【详解】 解：掷得面朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为3的情况有1种， ∴； 故答案为：． 3．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了概率公式的应用，熟练掌握：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 设黄球的个数为，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】 解：设黄球的个数为， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 黄球的个数为个； 故答案为：． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种， ∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种， ∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 乙甲 2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了4张分别印有电影名字的卡片：A．《南京照相馆》、B．《东极岛》、C．《731》、D．《志愿军》．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是___________； （2）求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率； （2）根据题意可以列出相应的表格，然后即可计算出求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率即可． (1) 小问详解： 解：第一次抽取的卡片共有4种等可能性结果，其中是D．《志愿军》的情况有1种， ∴第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是； (2) 小问详解： 共有12种等可能的结果，抽取两次结果都不是志愿军的结果有6种， ∴P(抽取两次结果都不是志愿军)． 小明小红 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 3．（25-26学年九上·福建宁德·期中）小明和小颖打算一起玩游戏，有两组牌，每组三张，牌面数字分别是2，3，4．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小颖获胜．则小明获胜的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查概率的求法．采用列表法进行求解，找出所有可能的结果中两张牌的数字之和为偶数的情况，即可求解． 【详解】 解：列表如下： 由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中两张牌的数字之和为偶数的结果有5种， 因此小明获胜的概率为． 故答案为． 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 4．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 5．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为             ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． (1) 小问详解： 若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以P（灯泡发光）； (2) 小问详解： 画树状图如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以P（灯泡发光）． 6．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． （1）随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是               ； （2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了树状图法求概率以及一次函数图象上点的坐标特征，树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）法一：画树状图，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 法二：列表，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： ∵三个小球中有一个小球编号为1， ∴随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是． 故答案为：； (2) 小问详解： 法一：记“点在一次函数的图象上”为事件A，画树状图如下： 总共出现6种等可能结果， 其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 法二：记“点在一次函数的图象上”为事件A，列表如下： 总共出现6种等可能结果，其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 横坐标纵坐标 1 2 3 1 2 3 7．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通安全知识”的测试，学校抽取了部分学生的测试成绩，把测试成绩x分为四个类别：及格（），中等（），良好（），优秀（），并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 据上面图表信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好及以上的学生有多少人？ （3）在本次测试中，获得满分的4人中有2名男生和2名女生，学校从这4名同学中随机选2人参加市中学生“交通安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法求出抽取的2人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） 解：人 良好人数为：人， 补全条形统计图如图所示：      （2）1200人     （3）      【分析】 （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算良好类学生数，完善统计图即可． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，人 答：估计竞赛成绩在良好及以上的学生约有1200人 ． (3) 小问详解： 解： 由表格可知共产生了12种结果，并且每一种结果出现的可能性相等，其中恰好是一男一女的结果有8种， 所以． 第一人第二人 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 8．（25-26学年九上·福建漳州·期中）国家卫健委发布的《体重管理指导原则（年版）》明确用身体质量指数（）来判断人体的健康状况，若一个人的体重（千克），身高（米），其计算公式是：，数值参考标准为：为偏瘦：为正常；为偏胖；为肥胖．某校为了了解学生的身体健康情况，从学生体检的数据中随机抽取了部分学生的身高体重数据，计算他们的BMI值，并填写在如下的表格，请根据表中提供的信息，回答问题． 数值 频数 频率 （1）求抽查的学生人数； （2）在抽查的学生中，身体肥胖的学生依次用，，…表示，学校决定从这些身体肥胖的学生中，随机抽查两名学生了解他们的减肥计划，请用画树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率． 【答案】（1） ；     （2） ．      【分析】 本题主要考查了统计表、画树状图或列表法求概率． 根据统计表中的频数为，频率为，求出抽查的总人数； 由统计表可知肥胖的学生共有个，画树状图求出恰好抽到学生和的概率． (1) 小问详解： 解：由统计表可知：的频数为，频率为， 抽查的学生人数为人； (2) 小问详解： 解：由统计表可知：的人数为，的人数为，的人数为， 的人数为人， 画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能的情况出现，抽到学生和的情况有种， 抽到学生和的概率为． 9．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________； （2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． (1) 小问详解： 一共有4种等可能性，摸出的球是黄球有2种等可能性， 故摸出的球是黄球的概率为， 故答案为：． (2) 小问详解： 根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的等可能性有4种． 故摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查用频率估计概率．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，求出白色区域的面积，进而求出黑色区域的面积． 【详解】 解：∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴点落在白色区域的概率在0.4左右， ∴白色区域的面积为， ∴黑色区域的面积为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（     ） A. 转动转盘后，出现比5小的数 B. 转动转盘后，出现奇数 C. 转动转盘后，出现能被5整除的数 D. 转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【分析】 本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】 解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 3．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共10只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是　　　　　　　　．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 598 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.598 【答案】0.6 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】 解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右， 所以摸一次，摸到白球的概率为0.6． 故答案为：0.6． 4．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有　　　　　　　　　　　个． 【答案】7 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 直接根据“红球的频率稳定在0.7”计算这个口袋中红球的数量． 【详解】 解：∵红球的频率稳定在0.7， ∴估计这个口袋中红球的数量为个． 故答案为：7． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $