精品解析：福建省龙岩市连城县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

连城县2025-2026学年第一学期期中质量监测九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根为，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 不能确定 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：（ ） ① ②当时，； ③若且，则； ④若，则； 其中正确的个数有（ ）个 A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分）． 11. 一元二次方程中，较大的实数根是_______． 12. 抛物线y=-（x-2）2+2的顶点坐标是___________ 13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为______． 14. 火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第______秒时的高度是最高的． 15. 已知直线与函数的图象至少个交点，则取值范围是__________. 16. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是______． 三、解答题（共9题，共86分）． 17. 用适当的方法解方程． （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标． 19. 关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为1，求m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 20. 《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米． （1）求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； （2）求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 21. 如图，在边长为12cm等边三角形中，点P从点A开始沿边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以每秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，____， ． （2）经过几秒的面积等于？ 22. 【阅读】方程的解为；方程的解为；方程的解为；… 【猜想】根据以上方程的特征及其解的特征，请猜想： （1）方程的解为____________，_____________； （2）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性； （3）证明无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根，并直接写出方程的实数根． 23. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． 材料二：如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）已知实数满足：，求的值； （2）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 24. 【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城县2025-2026学年第一学期期中质量监测九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的认识，只含有一个未知数且未知数最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①在分母中含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ③只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； ④只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意． 是一元二次方程的是③，④，共两个， 故选：B． 3. 把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位， ∴平移之后的抛物线的解析式为， 故选； 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，熟记二次函数的平移规律是解题的关键． 4. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标、代数式求值等知识点，掌握关于原点对称的点坐标符号相反是解题的关键． 先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a、b的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴， ∴． 故选D． 5. 关于的一元二次方程的两个实数根为，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的根判断即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ 则错误的是B选项， 故选B 6. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键在于明确增长次数与时间间隔的关系． 根据平均增长率的计算公式来列方程求解即可． 【详解】根据题意，全球相关信息量每五年平均增长率为， 从2015年到2025年共10年，其中有2个5年， ． 故选：B． 7. 如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可求出两个正方形重叠部分的面积． 【详解】解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ． 在与中， ， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及三角形内角和定理，等边对等角；先证明，再结合等边对等角与三角形的内角和定理可得答案 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，点D在线段的延长线上， ∴, ∴， 故选B． 9. 如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：（ ） ① ②当时，； ③若且，则； ④若，则； 其中正确的个数有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象和对称轴可得，，，即可判定①；由二次函数的性质可判定②；由二次函数的对称性可判定③；求出点坐标，得到，即得，再把代入得到，即得可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，与轴的正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴时，函数取最大值，最大值， ∴当时，有， 即，故②正确； ③当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，即，故③错误； ④当时，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确结论的有个， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共24分）． 11. 一元二次方程中，较大的实数根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴方程变形得， 解得， ∴较大的实数根是． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 12. 抛物线y=-（x-2）2+2的顶点坐标是___________ 【答案】（2，2） 【解析】 【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（2，2）， 故答案为（2，2）． 【点睛】本题主要考查了考查二次函数的性质，掌握的顶点坐标为是解题的关键． 13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 14. 火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第______秒时的高度是最高的． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，解决本题的关键是利用二次函数的对称性解题． 根据二次函数的对称性，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称这一性质求解即可． 【详解】解：∵此炮弹在第秒和第秒时的高度相等， ∴由对称性可知，此炮弹飞行第秒时的高度是最高的． 故答案为：． 15. 已知直线与函数的图象至少个交点，则取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图像即可求解． 【详解】解：根据描点法画出图像，如图所示， 若直线与函数的图象至少个交点， 由图像可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两个函数图像的交点问题，数形结合是解题关键． 16. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 先求出坐标，然后利用旋转的性质得出的坐标，依此规律得到的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此拋物线的顶点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得， ， ∵将绕旋转得到，交轴于，将绕旋转得到，交轴于， ， ．．． ， 即， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵拋物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共86分）． 17. 用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键； （1）移项，利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解：整理可得， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 原方程可变形为：， ，，， ， ， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）为所求，点的坐标为； （2）如上图，为所作，点的坐标为； 【解析】 【分析】本题考查了原点对称，旋转性质计算 （1）根据横坐标、纵坐标都变成相反数，确定坐标后，画图即可． （2）根据旋转的性质计算画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为1，求m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）m=1； （2）证明：△=m2-4（m-3）=（m-2）2+8 ∵（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+8＞0，即△＞0， ∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）代入x=1求出m值即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出此方程总有两个不相等的实数根． 【详解】解：（1）把x=1代入原方程得1+m+m-3=0  解得：m=1 （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是代入x=1求出m值，并牢记当△＞0时，方程有两个不相等的实数根． 20. 《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米． （1）求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； （2）求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2）垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的性质，会求解一元二次方程并熟练掌握二次函数的增减性是解决本题的关键． （1）设垂直于墙的篱笆边长为米，则可表示，再利用长方形的面积求解即可； （2）先求解出边的取值范围，再根据面积表示为，结合二次函数的增减性求解最大值即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆的总长为米，设垂直于墙的篱笆边长为米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，围成的菜地面积为平方米； 【小问2详解】 解：设围成菜地的面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为米， ，即， 解得， 根据题意得：， ∵，且对称轴为， ∴当时随x的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为105， ∴垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 21. 如图，在边长为12cm等边三角形中，点P从点A开始沿边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以每秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，____， ． （2）经过几秒的面积等于？ 【答案】（1）6cm；12cm （2）2秒 【解析】 【分析】（1）根据是等边三角形，得到，再根据经过6秒后，即可得到答案； （2）作于D，设,可得，得，根据建立方程，解方程，再对方程的根进行校验即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：6cm；12cm； 【小问2详解】 作于D，设 ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵由题意得：，， ∴， 解得， ∵时，，故舍去， ∴． ∴经过2秒的面积等于； 【点睛】本题考查等边三角形、直角三角形和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程． 22. 【阅读】方程的解为；方程的解为；方程的解为；… 【猜想】根据以上方程的特征及其解的特征，请猜想： （1）方程的解为____________，_____________； （2）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性； （3）证明无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根，并直接写出方程的实数根． 【答案】（1）， （2） ， ， ， ， ， ， ∴猜想结论正确； （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先由以上各方程及其解的特征发现规律，再利用规律得结论； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法求解进行证明即可． 【小问1详解】 根据已知的方程的特征及其解的特征，可得方程的解为， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根， ∴方程的根为， 即． 23. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． 材料二：如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）已知实数满足：，求的值； （2）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）根据题意，得到实数是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到 ，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【小问1详解】 解：实数满足：， 是方程的解， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：实数、、满足：，， 是方程的解， ， ， ， 解得， ， ． 24. 【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】[问题发现]（1）； （2）证明：由（1）得， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． [问题应用] 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． ［问题发现］（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； ［问题应用］根据旋转的性质得到，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）略 [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，最大值是， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； 【小问3详解】 解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $