第五章 二次函数（单元自测卷·深圳专用）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第五章 二次函数 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、里含有分式，故C不符合题意； D、是二次函数，故D符合题意． 故选：D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到； 再向上平移1个单位长度，得到． 故选：B． 4．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 5．一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【详解】解：当时，一次函数的y随x的增大而增大，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上；二次函数开口方向向上，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上，且对称轴为；即C选项符合题意，A选项不符合题意； 当时，一次函数的y随x的增大而减小，与y轴的交点在y轴负半轴的正半轴上；二次函数开口方向向下，与y轴的交点在y轴正半轴的负半轴上，且对称轴为，即B、D都选项不符合题意． 故选：C． 6．抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（    ）． x … 0 1 … y … 3 3 … ①当时，y随x的增大而减小； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，；    ④方程的一个正数解满足． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【详解】解：①由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线且当时，y随x的增大而增大，根据二次函数图像的对称性可得当时，y随x的增大而减小，故①的说法正确； ②由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线，故②的说法正确； ③当时的函数值与时的函数值相同为，即，故③的说法错误； ④当时，，当时，，根据二次函数的对称性可得当时，，当时，，故方程的正数解满足，故④的说法正确． 故选：D． 7．新定义：对于二次函数和，若的顶点坐标在的顶点坐标上方，则是的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”．若无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【详解】解：， 该函数顶点纵坐标为， ， ∴该函数顶点纵坐标为 ， 根据“仰顶函数”的定义可得， 整理得， ∵无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”， 无论取任何实数，恒成立， ∴ 小于的最小值， ，即的最小值为， ∴ ． 故选：A． 8．如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A．B．C．D． 【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s）， ∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为． ①当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点Q作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B； ②当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点C作于点F，则为中边上的高． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A； ③当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点P作于点M． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∴． 由题意得：． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知二次函数，则______． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 11．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 12．已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是___． 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小． ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ． 故答案为：． 13．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，轴，垂足为E，下列结论：①当时，y随x增大而减小；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的有______．（填序号） 【详解】①当时，y随x增大而减小， ∵抛物线顶点D的横坐标为1， ∴对称轴为直线x=1， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， ∴不正确； ②， ∵，a<0， ∴b=-2a>0， ∴a+b=a-2a=-a>0， ∴不正确； ③， ∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a， ∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0, ∵b>0， ∴3a+b+c>0， ∴正确； ④， ∵b=-2a，3a+c=0， ∴c=-3a， ， ∴正确； ⑤当时，， ∵抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1， ∴A(-1,0) ∴设抛物线解析式为， 当时，-3a>2， ∴正确． 故答案为，③④⑤． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点． (1)求、、三点坐标和顶点坐标； (2)当时，求函数值的范围； (3)根据图象回答，当取何值时，函数值？ 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入可得， 点坐标为， 抛物线解析式为：，即， 顶点坐标为； （2）解：对称轴，开口向上， 当时，有最小值为， ∵ ∴时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5， ； （3）解：抛物线经过轴上两点，，且抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴的上方，即． 15．（8分）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系． (1)求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式； (2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元 (3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元 【详解】（1）解：（1）设每周销量（件）与销售单价（元）之间的关系式为 则解得： （件）与销售单价（元）之间的关系式为： （2）解：根据题意可得 整理，得，解得， 利润不高于， 舍去 答：该玩具的售价为23元． （3）根据题意得：， 随着的减小而增大 当时，取最大值且元 答：定价每件25元时，利润最大，最大利润为250元． 16．（8分）某公交车刹车后的行驶速度v（单位：）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y（单位：m）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有二次函数关系，测得的部分数据，整理得下表 刹车后的行驶时间t（单位：s） … 0 1 2 3 4 刹车后的行驶速度v（单位：m/s） … 16 15 14 13 12 刹车后的行驶距离y（单位：m） 0 15.5 30 43.5 56 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？ ②求当公交车刹车后行驶的路程是时的速度； (3)某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以的速度匀速行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少m处开始刹车． 【详解】（1）解：由表格可设v关于t的函数解析式为， ， 解得：， ∴v关于t的函数解析式为； 由表格可设关于的函数解析式为， ， 解得：， ∴关于的函数解析式为； （2）解：①令，由得， 答：公交车刹车后行驶才能停下来； ②令，由得，（不合题意，舍去）， 当时，， 答：当公交车刹车后行驶的路程是时的速度为； （3）解：设公交车至少在距离电瓶车处开始刹车， 由题意，得， ∵， ∴当时，s最大，最大值为72， 故公交车至少在距离电瓶车处开始刹车． 17．（8分）小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题． (1)完成函数图象的作图，并完成填空． ①列出与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1 0 a 表格中，________________； ②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象； ③观察图象，当______________时，有最大值为______________； (2)求函数与直线的交点坐标； (3)若函数的图象与直线恰好有4个交点，求的取值范围． 【详解】（1）解：①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于对称， 当与的函数值相等，则， 故答案为：， ②画图如下， ③观察图象，当或时，y有最大值为1； 故答案为：2或，1； （2）解：由， 当时，， ， 解得或， 当时，， ， （舍去）或， 综上所述，交点坐标为； （3）解：如图，函数的图象如图所示， 当函数的图象与函数有且只有一个交点时， 则方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时，函数的图象与直线有3个交点，没有4个交点； 当直线过点时，则， 此时，函数的图象与直线有3个交点，没有4个交点， ∵函数的图象与直线恰好有4个交点， ∴由图象可知：． 18．（7分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中．    (1)求的坐标； (2)如图②，点是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，且点在轴的负半轴上， ∴， ∴，整理得，， ∵， ∴联立方程组得，，解得，， ∴抛物线的解析式为， 令，则，整理得，，解得，，， ∵， ∴， 令，则， ∴， ∴，． （2）解：设点到的距离为， ∴，则的最大值即的最大值， 如图所示，过点作轴交与点，    ∵，，设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线，点在上， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，且， ∴当时，取得最大值， ∴， ∴当的值最大时，此时点的坐标为，此时的最大值为． 19．（12分）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若为常数，，则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ； 【探究】（2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值． 【详解】解：（1），则， 故答案为：； （2）①由题意得：， 当时，为定值2； ②， 若随的增大而增大，则； （3）由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则， 综上，或． 20．（12分）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置于柱子顶端A处的喷水向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时到达最大高度，此时离地面2.25米．    (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是______________； (3)在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的距离． 【详解】（1）解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为， 将代入得， 解得，， 在第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得：，， 的取值范围是； 故答案为：． （3）解：∵直线的解析式为：， ∴把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， 设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 令， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，设直线与轴的交点为， 把代入得：， 解得：， 则，    ∴， ∵， ∴直线到直线的距离为， 根据题意得：光线与抛物线水流之间的距离为光线与抛物线水流之间的最小垂直距离，即直线到直线的距离， ∴光线与抛物线水流之间的距离为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第五章 二次函数 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（    ） A． B． C． D． 5．一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6．抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（    ）． x … 0 1 … y … 3 3 … ①当时，y随x的增大而减小； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，；    ④方程的一个正数解满足． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 7．新定义：对于二次函数和，若的顶点坐标在的顶点坐标上方，则是的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”．若无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知二次函数，则______． 10．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 11．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 12．已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是___． 13．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，轴，垂足为E，下列结论：①当时，y随x增大而减小；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的有______．（填序号） 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点． (1)求、、三点坐标和顶点坐标； (2)当时，求函数值的范围； (3)根据图象回答，当取何值时，函数值？ 15．（8分）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系． (1)求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式； (2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元 (3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元 16．（8分）某公交车刹车后的行驶速度v（单位：）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y（单位：m）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有二次函数关系，测得的部分数据，整理得下表 刹车后的行驶时间t（单位：s） … 0 1 2 3 4 刹车后的行驶速度v（单位：m/s） … 16 15 14 13 12 刹车后的行驶距离y（单位：m） 0 15.5 30 43.5 56 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？ ②求当公交车刹车后行驶的路程是时的速度； (3)某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以的速度匀速行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少m处开始刹车． 17．（8分）小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题． (1)完成函数图象的作图，并完成填空． ①列出与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1 0 a 表格中，________________； ②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象； ③观察图象，当______________时，有最大值为______________； (2)求函数与直线的交点坐标； (3)若函数的图象与直线恰好有4个交点，求的取值范围． 18．（7分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中．    (1)求的坐标； (2)如图②，点是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 19．（12分）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若为常数，，则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ； 【探究】（2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值． 20．（12分）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置于柱子顶端A处的喷水向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时到达最大高度，此时离地面2.25米．    (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是______________； (3)在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的距离． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试卷 第1页（共6页） 试卷 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（深圳专用） 第五章 二次函数（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B C D A D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 10．1 11．2 12． 13．③④⑤ 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得，， 点坐标为，点坐标为，................1分 把代入可得， 点坐标为，................1.5分 抛物线解析式为：，即， 顶点坐标为；................2分 （2）解：对称轴，开口向上， 当时，有最小值为，................3分 ∵ ∴时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5， ；................4分 （3）解：抛物线经过轴上两点，，且抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴的上方，即．................6分 15．（8分）【详解】（1）解：（1）设每周销量（件）与销售单价（元）之间的关系式为 则解得： （件）与销售单价（元）之间的关系式为：................2分 （2）解：根据题意可得 整理，得，解得，................3分 利润不高于， 舍去 答：该玩具的售价为23元．................4分 （3）根据题意得：，................6分 随着的减小而增大 当时，取最大值且元 答：定价每件25元时，利润最大，最大利润为250元．................8分 16．（8分）【详解】（1）解：由表格可设v关于t的函数解析式为， ， 解得：， ∴v关于t的函数解析式为；................1分 由表格可设关于的函数解析式为， ， 解得：， ∴关于的函数解析式为；................2分 （2）解：①令，由得， 答：公交车刹车后行驶才能停下来；................3分 ②令，由得，（不合题意，舍去），................4分 当时，， 答：当公交车刹车后行驶的路程是时的速度为；................5分 （3）解：设公交车至少在距离电瓶车处开始刹车， 由题意，得，................6分 ∵， ∴当时，s最大，最大值为72， 故公交车至少在距离电瓶车处开始刹车．................8分 17．（8分）【详解】（1）解：①，................1分 ②画图如下， ................2分 ③2或，1；................4分 （2）解：由， 当时，， ， 解得或，................5分 当时，， ， （舍去）或， 综上所述，交点坐标为；................6分 （3）解：如图，函数的图象如图所示， 当函数的图象与函数有且只有一个交点时， 则方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得，................7分 此时，函数的图象与直线有3个交点，没有4个交点； 当直线过点时，则， 此时，函数的图象与直线有3个交点，没有4个交点， ∵函数的图象与直线恰好有4个交点， ∴由图象可知：．................8分 18．（7分）【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，且点在轴的负半轴上， ∴， ∴，整理得，， ∵， ∴联立方程组得，，解得，， ∴抛物线的解析式为，................2分 令，则，整理得，，解得，，， ∵， ∴， 令，则， ∴， ∴，．................4分 （2）解：设点到的距离为， ∴，则的最大值即的最大值，................5分 如图所示，过点作轴交与点，    ∵，，设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线，点在上， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即，................6分 ∵，且， ∴当时，取得最大值， ∴， ∴当的值最大时，此时点的坐标为，此时的最大值为．................7分 19．（12分）【详解】解：（1）；................2分 （2）①由题意得：， 当时，为定值2；................4分 ②， 若随的增大而增大，则；................6分 （3）由题意得：，................7分 函数的对称轴为直线，顶点为，................8分 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则， 综上，或．................12分 20.（12分）【详解】（1）解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为， 将代入得， 解得，， 在第一象限内的抛物线解析式为；................2分 （2）．................4分 （3）解：∵直线的解析式为：， ∴把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，，................6分 ∴，， 设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为， 联立，即， 整理得：，................8分 令， 解得， ∴直线的解析式为，................9分 如图，设直线与轴的交点为， 把代入得：， 解得：， 则，................10分    ∴， ∵， ∴直线到直线的距离为， 根据题意得：光线与抛物线水流之间的距离为光线与抛物线水流之间的最小垂直距离，即直线到直线的距离， ∴光线与抛物线水流之间的距离为．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第五章 二次函数 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（    ） A． B． C． D． 5．一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6．抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（    ）． x … 0 1 … y … 3 3 … ①当时，y随x的增大而减小； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，；    ④方程的一个正数解满足． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 7．新定义：对于二次函数和，若的顶点坐标在的顶点坐标上方，则是的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”．若无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知二次函数，则______． 10．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 11．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 12．已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是___． 13．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，轴，垂足为E，下列结论：①当时，y随x增大而减小；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的有______．（填序号） 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点． (1)求、、三点坐标和顶点坐标； (2)当时，求函数值的范围； (3)根据图象回答，当取何值时，函数值？ 15．（8分）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系． (1)求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式； (2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元 (3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元 16．（8分）某公交车刹车后的行驶速度v（单位：）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y（单位：m）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有二次函数关系，测得的部分数据，整理得下表 刹车后的行驶时间t（单位：s） … 0 1 2 3 4 刹车后的行驶速度v（单位：m/s） … 16 15 14 13 12 刹车后的行驶距离y（单位：m） 0 15.5 30 43.5 56 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？ ②求当公交车刹车后行驶的路程是时的速度； (3)某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以的速度匀速行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少m处开始刹车． 17．（8分）小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题． (1)完成函数图象的作图，并完成填空． ①列出与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1 0 a 表格中，________________； ②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象； ③观察图象，当______________时，有最大值为______________； (2)求函数与直线的交点坐标； (3)若函数的图象与直线恰好有4个交点，求的取值范围． 18．（7分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中．    (1)求的坐标； (2)如图②，点是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 19．（12分）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若为常数，，则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ； 【探究】（2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值． 20．（12分）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置于柱子顶端A处的喷水向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时到达最大高度，此时离地面2.25米．    (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是______________； (3)在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $