第4章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材湘教版九年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.二次函数=3（红-2图象的对称轴是） A.直线x=2 B.直线x=-2 C.y轴 D.x轴 2.下列函数中，是二次函数的是() C.y=2 3 A.y=2x2+1 B.y=2x+3 x D.y=+川 3,己知二次函数y=r+hc+ 的图象如图所示，则关于x的方程+r+C=0的根是（) 1X=2 A.-2 B.x=-1 C.x=5 D.-山5=5 4.把揽物线=3(-1少向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（） A.y=3(x-4)2+2 B.y=3(x-4)}2-2 C.y=3(x+2)}2+2 D.y=3(x+2)2-2 5.一个直角三角形的两条直角边长的和 20cm，其中一直角边长为m,面积为m,则'与*的园数 解析式是() 1 A.y=2×20x B.y=x(20-x) C.y=2x(20-刘 D.y=x(10-x) 6.鲜花饼是具有云南特色的一种点心，某店销售鲜花饼，每天的利润y（元)与销售单价x(元个)之间 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 满足函数解析式'=-+40x+50 则该店每天销售鲜花饼获得的最大利润为() A.200元 B.350元 C.400元 D.450元 7.下表给出了二次函数少=r+r+c(a≠0 的自变量与函数值'的部分对应值，那么方程 ax+bx+c=0 的一个根的近似值可能是() 1.1 1.2 1.3 1.4 -1 0.5 0.04 0.62 1.23 A.1.08 B.1.19 C.1.28 D.1.38 8.如图，二次函数y=+x+C与一次函数'=心+m的图象交于A,B两点，已知点 (-3,-1) ,点B在 y ax2+bx+c-mx-n≤0 轴上，则不等式 的解集是() y=ax2+bx+c v=mx+n/ A.x≤-3或x20 B.x≤-1或x≥0 C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 9关于x的二次函数y=r-2ar+c a,c为常数，且a≠0)，下列说法中错误的是() A.函数图象的对称轴是直线x=1 B.当C=0时，函数图象与x轴一定有两个交点 C.函数图象一定经过点0，c) D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 10.如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形ABCD是菱形，边长固定不变，可通过调节 AC的长度改变千斤顶的高度BD.设AC的长度为xCm,千斤顶的高BD为cm,y与x之间的函数关系 如图3所示，下列结论错误的是() 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ay/cm D 20 B ol 16x/cm 图1 图2 图3 A.菱形的边长为l0cm B.自变量x的取值范围为0≤x≤16 C.y与x之间的函数图象是抛物线的一部分 D.BD的最小值为l2cm 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.二次函数y=(x-3)的二次项系数为一，一次项系数为 常数项为一 12.点8W20,)都在函数=-2x+c的图家上，则”为片的大小关系为 13.如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y(米)与水 平距离x(米)之间满足关系：y=一 号文+x+。则羽毛球飞出的水平距离为米 14.如图，抛物线=+r+c与直线为=众+m的交点为4-2).B(5,),则当片>为时，‘的取值 范围是 15.将二次函数'=-r+2x+ 的图象在轴上方的部分沿'轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线y=x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为， 16.如图为二次函数y=+hr+ 的图象，其与轴交于 -3,0).(1,0) 和 两点.①abc<0；②a-b+c>0, ③对称轴为直线x=-1;④a+C<0;上述结论正确的有 (填序号)· VA 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.某种气体在0℃时的体积为100L,温度每升高1℃，它的体积增加0.37L. (1)写出气体体积 (仙)与温度（©之间的函数表达式 (2)求当温度为30℃时气体的体积. (3)当气体的体积为107.4L时，温度为多少摄氏度？ 18.我们已经知道二次函数'=a(x-h+ 的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数y=r-4r+3的 图象和性质. (0)求抛物线'-4r+3 的对称轴和顶点坐标. (2)抛物线少=r2-4x+3 y=x2 可以看作是由抛物线怎样平移得到的？ (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线 y=x2-4x+3 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.知图，在直角坐标系中，二次函数y=am2+分x+4经过A4.0,B04,C(4,4)三个点。 4 -4 (1)求该二次函数的解析式： (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D,求当点D坐标为何值时，△ABD的周长最小. 20.如图，抛物线’=-r+m与直线’=-x+h相交于 A(-2,0)和点B (1)求抛物线的函数解析式： (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式-x+mx<-x+b的解集： (3)若关于x的方程-x2+mx=n在-2≤x≤1的范围内只有一个实数根或有两个相等的实数根，求出n的取 值范围。 21,小明设计的风筝如图所示，其中风竿的两根龙骨AC和BD互相垂直，交点为点A且4C≥BD,若 他计划用长为l00cm的毛竹制作龙骨（不计损耗），设BD=xcm,四边形ABCD的面积为Scm, (1)求出S与x之间的函数解析式： (2)当x取何值时，四边形ABCD的面积最大，此时最大面积是多少？ 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变 化规律，此口诀适用于任意函数。 4 4 3 3 2 -5-4-3-219 1234.5 -5-4-3-2-19 12.345 -2 =4 5 (图1) (图2) =2x2 (1)把抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线 (2)请利用所学完成以下探究： y=x (I)请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数 的图象 -3 -2 -1 0 3 y= 3 2 0 2 (Ⅲ)请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数'=K+-2 图象（无需列表），并结合图象解答下列 问题 @若x+-22 恒成立，则a的取值范围是 0≤x+1-2≤2 ②若 ,则x的取值范围是 y=x2 ®我们知道，对于二次函数》=：当<0 时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当x<0时，函数 y=x2 单调递减”； 当>0 时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当>0 时，函数 y=x2 单调递增”. 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 现给出“当>0。 时，函数单调递增”的证明： 证明：设点低，）.（西，）在函数= 的图象上，且 <为<，则： 片-y2=x2-x号=(x+x2)(x-x2) 0<x<x2 :方+3>0戈-5<0 ,-y2<0 片5 当0<<时，月<乃 即 ∴当>0时，函数= 单调递增， 请证明：函数'=x+-2 当x<一1时，单调递减。 23.如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=4,点E,F分别从点A,C同时出发沿AD,CB 向终点D,B运动，点E和点F的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点E的运动时间 为x秒，连接EF」 (①)如图1，若x=3,此时EF=-: D B F 图1 (2)设EF的长为y,小明对y关于x的函数关系式进行了探究. ①请求出y关于x的函数关系式： ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了y关于x的函数图像，其中点A为函数图像 的最低点，则点A的坐标为_； 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图2 (3)当EF=AE+CF时，x的值为_； (4)连接BE,当△BFE为等腰三角形时，请求出所有符合条件的x的值. E D D F 图3 备用图 24.综合实践：怎样才能命中篮筐 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小 组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究. 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为'轴建立平面直角 坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分. P D P) 篮球 出手时离地面的高度为‘米，篮筐中心离地面的高度 素材1 AB=3米， 篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB=m米，篮 信息整 球距地面的最大高度CD=h米，此时离篮球出手位置的水平距 理 离OD=a米. 素材2 当篮球 恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球 到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足 2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的 开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终 保持投篮方向和出手速度不变. 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：c=2.2米，m=6米，h=4米，a=3米. ()向阳初次投篮时命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次 投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）· (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向 阳此次能否命中篮筐？请说明理由，如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出 手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 919 第4章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 2．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义，分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案. 【详解】解：A.是整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，是二次函数，故A正确. B.中自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数，故B错误. C. 的函数表达式为分式，不是整式，不是二次函数，故C错误. D. 的函数表达式为分式，不是整式，不是二次函数，故D错误. 3．已知二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据函数的图象可知，关于x的一元二次方程的解为，． 4．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 5．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为， ∵面积为， ∴与的函数解析式是． 6．鲜花饼是具有云南特色的一种点心，某店销售鲜花饼，每天的利润y（元）与销售单价x（元/个）之间满足函数解析式，则该店每天销售鲜花饼获得的最大利润为（     ） A．200元 B．350元 C．400元 D．450元 【答案】D 【详解】解：， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 即该店每天销售鲜花饼获得的最大利润为元． 7．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（     ） … 1 … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过表格中值的正负变化，确定方程根的取值范围，结合选项判断近似根． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线与轴的一个交点在和之间， ∵． ∴该交点更靠近点， ∴方程的一个根的近似值可能是． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为，结合图象找出二次函数图象在一次函数图象下方对应的取值范围即可． 【详解】解：不等式移项，得， ∵二次函数与一次函数的交点为及轴上的点， ∴交点横坐标分别为和， 由图象可知，当时，抛物线在直线下方或重合， ∴不等式的解集为． 9．关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，可优先判断涉及增减性的选项，再验证其余选项． 【详解】解：函数图象的对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 当时，对于方程，， ∵， ∴，函数图象与轴一定有两个交点，故B正确，不符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点，故C正确，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，时，随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，时，随的增大而减小，故D错误，符合题意． 10．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 【答案】C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理建立与的数量关系，结合函数图象读取关键点坐标逐一判断． 【详解】解：A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知， 即． 由图3可知，当时，， 代入得， 解得， 故A正确． B、由图3可知，的取值范围为， 故B正确． C、由可知，，图象不是抛物线， 故C错误． D、当时，取得最小值， ， 解得， 故D正确． 故答案为C． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．二次函数的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______． 【答案】 1 0 【分析】将二次函数整理为一般形式，即可对应得到各项系数． 【详解】解：展开给定的二次函数，得， 对比二次函数一般形式， 可得二次项系数，一次项系数，常数项． 12．点都在函数的图象上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】通过计算各点对应的函数值，直接比较大小即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ， 比较得：，即． 13．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 14．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】根据图象判断抛物线高于直线的区间即可． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧，抛物线高于直线， ∴当或时，． 15．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 16．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④；上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①，由图可知，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①③④． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加． (1)写出气体体积与温度之间的函数表达式 (2)求当温度为时气体的体积． (3)当气体的体积为时，温度为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，直接写出函数表达式即可，气体体积=时的体积+增加的体积； （2）将代入（1）中的函数表达式即可； （3）将代入（1）中的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）当时，， ∴当温度为时，气体的体积为． （3）当时，， 解得：， ∴气体的体积为时，温度为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，写出一次函数的表达式． 18．我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）略 19．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 20．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)若关于的方程在的范围内只有一个实数根或有两个相等的实数根，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为，不等式的解集为或 (3)或 【分析】（1）已知点在抛物线上，将的坐标代入抛物线解析式，即可求解的值，得到抛物线解析式． （2）先将点代入直线解析式求出的值，得到直线解析式；再联立抛物线与直线的方程，解方程组得到点的坐标；如果要确定二次函数值小于一次函数值的范围，那么结合两个交点的横坐标，观察图象中抛物线在直线下方的区域即可． （3）方程的根等价于抛物线与直线的交点横坐标，先求出抛物线在范围内的端点函数值和顶点函数值，再结合图象分析直线与该段抛物线只有一个交点的情况． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：将点代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立， 解得或， 点的坐标为， 从图象看，不等式的解集为或； （3）解：由图可知抛物线与直线在的范围内只有一个交点时经过点， 此时， 当直线在轴与直线之间时，在的范围内方程有两个相等的实数根， 抛物线的顶点坐标为，直线经过顶点时在的范围内方程也有一个实数根， 的取值范围是或． 21．小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点E，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． (1)求出S与x之间的函数解析式； (2)当x取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据毛竹总长得到，根据题意列不等式组求出的取值范围，根据求出S与x之间的函数解析式即可； （2）根据二次函数的开口方向作答即可． 【详解】（1）解：∵毛竹总长为， ． 且， ， 解得：， ， 即S与x之间的函数解析式为． （2）解：， ∴当时，四边形的面积随x的增大而增大， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积是． 22．同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． (1)把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线_______________． (2)请利用所学完成以下探究： （I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． x … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 … （II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题． ①若恒成立，则a的取值范围是________； ②若，则x的取值范围是________； ③我们知道，对于二次函数：当时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”； 当时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”． 现给出“当时，函数单调递增”的证明： 证明：设点、在函数的图象上，且，则： ∵， ∴，， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递增． 请证明：函数，当时，单调递减． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）画图如下， （Ⅱ）画图如下， ①；②或； ③证明：当时，， ∴， ∴， 设点、在该段函数图象上，且，则： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递减． 【分析】（1）利用二次函数平移口诀“左加右减，上加下减”直接写出平移后的解析式即可； （2）（Ⅰ）根据表格里给出的，对应坐标，在坐标系描点，再用直线依次连接即可画出的图象；（Ⅱ）将函数向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到，据此画出函数图象即可；①即函数中函数值，观察图象找到函数最小值，只要a小于等于该最小值，不等式恒成立；②在图象上确定y在0到2之间对应的x的取值，直接读出x取值范围；③先根据判断，去掉绝对值符号，化简函数表达式；仿照题目示例，设取值内两个自变量，作差，判断差的正负，比较，大小，证明随着x增大，y减小，即可完成单调递减证明． 【详解】（1）略 （2）解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）①即函数中函数值，如图， 由函数图象可知，的最低点纵坐标为，即函数最小值是， 要使恒成立，则a不能超过这个最小值， ∴； ②即函数中函数值满足，如图， 由函数图象可知，当时，或， ∴若，则x的取值范围是或； ③略 23．如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，若，此时 ； (2)设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； (3)当时，的值为 ； (4)连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) (4)或 【分析】（1）过作于，由矩形性质得．当时，，，可算得．在中，由勾股定理即可计算； （2）①由、得水平距离，结合竖直边，由勾股定理得．由到终点时间得，故；②根号内二次函数开口向上，对称轴时取最小值4，故，最低点； （3）由题意得，结合的表达式列方程，两边平方消去二次项，即可求解； （4）等腰分三类讨论：①，解得；②，解得（构不成三角形舍去）；③，方程无实根． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，， ，， ， 在中，； （2）解：①由题意得，，，则，， ， 在中， ， ∵点F运动到终点的时间为（秒）， ∴自变量范围为 ∴关于的函数关系式为：； ②由题意得，求出的最小值，即为求出根号内的二次函数的最小值， ∴设， ∵其开口向上， ∴对称轴为直线， ∴ ， ， ∴最低点的坐标为； （3）解：∵，， ， ∵， ∴ 解得； （4）解：连接，如图： 在中，；；， 当时， ∴ ， ∴， ，（舍去）， ； 当时， ， 解得，， 当时，点与点重合，不能构成三角形，舍去， 故； 当时， ， ∴，方程无实数根，舍去； 综上所述，符合条件的的值为或． 24．综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】(1)不能 (2) (3)不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【分析】（1）先根据顶点和出手点求出抛物线解析式，再把篮筐的横坐标代入算出对应高度，对比命中高度区间，得出不能命中篮筐； （2）向前走t米相当于抛物线向右平移，写出平移后的抛物线，把篮筐中心点代入方程求解，结合向前走舍去不满足条件的，得到t的值； （3）保持抛物线形状与出手高度不变，把篮筐水平位置代入解析式算出篮球高度，将算出的高度和的范围对比，判断无法命中；设改变出手高度后的抛物线解析式，再根据命中条件求出m的取值范围，把出手点坐标代入抛物线解析式中，得到的取值范围，即可命中． 【详解】（1）解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为， 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐． （2）解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． （3）解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章二次函数（高效培优单元自测提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D B C D C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11. y -3 0 12.<h<为 13.5 14.x<1或x>5 21<b<-3 15. 4 16.①③④ 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1)V=100+0.371 (2)111.1L (3)20℃ 【详解】(1)解：根据题意得： V=100+0.37t -2分 (2)当1=30℃时，V=100+0.37×30=111.1, ∴当温度为30℃时，气体的体积为111.1L.-4分 (3)当V=107.4L时，107.4=100+0.37t. 解得：1=20， ∴气体的体积为107.4L时，温度为20℃.-6分 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(①抛物线y=-4+3 的对称轴为直线x=2, 2,-1) 顶点坐标为 2分 y=x2-4x+3 (2)抛物线 可以看作是由抛物线 y=x 先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度得到 的 【详解】(1)解：y=-4x+3=-4x+2-22+3=(x-2}-1 六抛物线y=2-4x+ 的对称轴为直线x=2,顶点坐标为 2,-1) 2分 (2)解：由(1)得y=x-4x+3=(x-2}2-1 ·抛物线少=P-4x+ 可以看作是由抛物线”=女先向右平移？个单位长度，再向下平移个单位长度得到 的： -4分 (3)如图： 2 -6分 19.(1)y=- +44 ②当点D的坐标为2,3》时，△1BD的周长最小 【详解】()解：将点C4,4到代入y=+方x+4,符16a+×4+4=4。 2 解得a= 8 1x+x+4 1 :抛物线的解析式为y= 8 2 --3分 (2)如图，连接CD, 2/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-4,0）B(0,4) ∴.0A=4,OB=4, .AB=VOA2+0B2=V4+4=42 抛物线12,1， 的对称轴为直线x=一 =2 y=- 。x+5x+4 2 8 2 ·B0,4)C(4,4) .B,C关于抛物线的对称轴对称， .BD=CD ∴：△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD, 当A、D、C三点共线时，AD+CD最小，最小值为AC的长，此时△ABD的周长取得最小值，点D即为 所求， [-4k+b=0 设直线AC的解析式为y=:+b(k≠0)，将A(-4,0)、C(4,4)两点代入，得4k+b=4, k=I 解得 2 b=2 :直线4C的解析式为=2x+2, 当x=2时，y=2 x2+2=3 ∴当点D的坐标为23)时，△ABD的周长最小. B -8分 4 3/13 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 20.①)y=-x2-2x ②点8的坐标为-），不等武+m<-x+h的解集为<-2或>1 (3)-3≤n<0或n=1 【详解】(1)解：将点1(-20) 代入y=-x2+mx 得0=-4-2m, 解得m=-2, 六抛物线的函数解析式为)=-x-2x, -—2分 (2)解：将点 (-2,0)代入y=-x+b, 得0=2+b, 解得b=-2, y=-x-2 “直线的函数解析式为 y=-x-2 联立y=-x2-2x, x=1 [x=-2 解得y=-3或y=0, 点B的坐标为 1,-3) 从图象看，不等式-x2+mx<-x+b的解集为x<-2或x>1；-5分 (3)解：由图可知抛物线'=-+m与直线'=”在2≤x≤1的范围内只有一个交点时经过点 (1,-3) ∴此时n=-3 当直线=”在”轴与直线3之间时，在2≤x≤ 。y=-3 -x2+mx=n 的范围内方程 有两个相等的实数根， ”抛物线的顶点坐标为-1川，直线”=”经过顶点时在2≤x≤1的范围内方程一+=”也有-个实数 根， 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .n的取值范围是-3≤n<0或n=1. 8分 21.④S=-2x-50+12500<x≤40) (2)当x=40时，四边形ABCD的面积最大，最大面积是1200cm2 【详解】(1)解：，毛竹总长为100cm, .AC=(100-x)cm AC2)BD且BD>O: 100-x≥5x x>0 解得：0<x≤40， S四边形ABCD=S,ABD+S,BCD -号BDAB+0-cE 2 BD:4C 1 =2x-(100-) 1 =- x2+50x 2 =c-50P+1250 即S与x之间的函数解析式为S=-)(c-50)+1250(0<x≤40) 2 .5分 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 报0， ∴.当0<x≤40时，四边形ABCD的面积随x的增大而增大， .当x=40时，四边形ABCD的面积最大，最大面积是1200cm2.-10分 22.(①)y=2(x+1}-2 -2分 (2)(I)画图如下， 珠 5 y=x 3 2 5-4-3-2-19 2.345x 1 3 4 (图1) (Ⅱ)画图如下， 珠 y=x+1-2 3 2 23.4.5 3 (图2) ①a≤-2：②-5≤x≤-3或1≤x≤3；---6分 【详解】(1)略 (2)解：(I)略 (I)ox+-2≥a 即函数'=x+小-2 中函数值’之“，如图， 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x+1-2 3 2 10 2 3453 2 y=-2 3 5 (图2) 由函数图象可知， y=x+1-2 的最低点纵坐标为2，即函数最小值是2， x+1-2≥a 要使 恒成立，则a不能超过这个最小值， a≤-2： ②0≤+小-2s2 即函数 '=K+1-2中函数值'满足0≤y52,如图。 X y=x+1川-2 2 -y=2 10 2345y=0 (图2) 由函数图象可知，当0≤y≤2时，-5≤x≤-3或1≤x≤3， 0≤+-2≤2，则x的取值范围是-5≤x≤-3或1≤x≤3： ③证明：当x<-1时，x+1<0, :x+=-(x+1)=-x- :y=k+12=-x-1-2=-x-3 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点，》）、（伍，为）在该段西数图象上，日<巧<-小，则： 片-y2=(-x-3)-（-x2-3) =-x-3+x2+3 =x2-X1 为 专考>0 :片-为>0 为>为 即当<书<1 时，片>5 当x<-时，函数'=k+- 单调递减.-10分 23.0v13 2分 a0=62+00ss,e(任 a, 8-2√7 (4)x=1或 3 【详解】(I)解：过点E作EGLBC于点G,如下图： E D 四边形 是矩形， B G F C.. ABCD ∴.∠A=∠ABC=90° 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形ABGE是矩形， .'EG=AB=2,BG=AE, 器，=x分=2 3 ,BF=BC-CF=4-2_10 BG= 33 ÷FG=BF-BG=10_1=3 33 在RtAEFG中，EF=VEG2+FG=V22+32=V3 (2)解：①由题意得，AE=x,CF=2x,则BG=x,BF=4-2x, ..FG=BF-BG=4-2x-x=4-3x, 在RtAEFG中，EF2=EG+FG =22+(4-3x)2 =9x2-24x+20 ,点F运动到终点B的时间为4÷2=2（秒）， .自变量范围为0≤x≤2 :'关于x的函数关系式为：y=V9-24x+20(0≤x≤2). ②由题意得，求出)=V9r-24x+20的最小值，即为求出根号内的二次函数的最小值， .设u=9x2-24x+20. 其开口向上， ·对称轴为直线x=力。24.4 22×93, 2 m=9x3 4 -24×+20 3 =16-32+20 =4, 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Ymin =v4=2 ,最低点A的坐标为 -5分 (3)解：AE=x,CF=2x, .AE+CF=3x, .EF=AE+CF, .V9r2-24x+20=3x 9x2-24x+20=9x2 -24x+20=0 架一名 8分 (4)解：连接BE,如图： A E D C 在Rt△ABE中，BE=VAB+AE2=+4,BF=4-2x.EF=V9P-24x+20 当BE=BF时，VR+4=4-2x x2+4=16-16x+4x2 3x2-16x+12=0 :4=b2-4ac =(-16)}2-4×3x12 =256-144 =112>0, =64c_8t25 2a 3, 10113 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8+27 0≤x≤2， >2 3 (舍去)， ∴x=8-26 3； 当BE=EF时，VR+4=V92-24x+20 x2+4=9x2-24x+20 8x2-24x+16=0 x2-3x+2=0 (x-1)(x-2）=0 解得=15=2 当x=2时，点F与点B重合，不能构成三角形，舍去， 故x=1; 当BF=EF时，4-2x=V9x2-24x+20 16-16x+4x2=9x2-24x+20 5x2-8x+4=0 :△=(8-4x5×4=-16<0,方程无实数根，舍去： 8-2W7 综上所述，符合条件的x的值为x=1或= 3.12分 24.(①)不能2分 g3-v5 (3)不能命中篮筐，若要命中，则c的取值范围是1.95≤c≤2.1. 3,4) 【详解】(1)解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为 设抛物线解析式为y=a(x-3)+4 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(0,c)=(0,2.2) 代入出手点 2.2=a(0-3)2+4 可得 1 解得a=- 5 所以抛物线解析式为y=一亏-3+4。 当x=6时，Jy=写×6-3+4=x9+4=1=22, 因为2.2<2.95，不满足2.95≤n≤3.10 答：不能命中篮筐。 (2)解：已知向阳向前走了t米， 则揽物线向右平移1米解折式变为=：-3-+4， A(6,3) 此时篮球恰好经过篮筐中心点 代入得3=号6-3-+4， 整理得3-=5，即3-1=±5， 解得4=3+5,4=3-5 当3+5 +1=6+V5>6 时，顶点横坐标为 不符合“向前走”的实际情境，舍去 答：‘的值为 -V5 -6分 (3)解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为x=1, 已知保持出手高度c=2.2米， 则抛物线顶点横坐标为1+3=4， 所以解折武为y=x-4+4。 当x=6时，y=兮6-4+44+45-32， 5 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为3.2>3.1，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐， 设戏变出手高度后，抛物线解析式为y=号x-4+4+m, 当x-6时，=写6-4+4+m= +4+m=3.2+m 当篮球的高度(n米)满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐， 则2.95≤3.2+m≤3.10，即-0.25≤m≤-0.1， 出手点华标为L,e小代入解折式c=写-4+4m= ×9+4+m=2.2+m 所以1.95≤c≤2.1， 答：不能命中篮筐，若要命中，则c的取值范围是1.95≤c≤2.1.一12分 13113