精品解析：湖南湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2026-2027学年高三上学期第四次强化考试数学试卷

泸溪一中2027届高三第四次强化考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在复数范围内，方程的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】所以在复数范围内，即为即， 故方程的解集为 2. 已知数列满足，，则数列的前2026项和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】A 【解析】 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题. 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 3. 某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本次统计的样本总量，要计算第百分位数， 计算位置指标.向上取整得，即第个数据为第百分位数. 对频数进行累计：直径为的零件共个，对应第个数据；直径为的零件共个，对应第9~17个数据；直径为的零件共个，对应第个数据， ∴ 第个数据属于直径为的区间，即第百分位数为，对应选项B. 4. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可. 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为， 所求的水面高为h， 则水的体积， 所以. 5. 若随机变量，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】因为，，所以， 因为， 所以，即， 所以. 6. 若抛物线C：的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时，（ ） A. B. 40 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义结合基本不等式求得的值，进而求得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号； 所以. 7. 设集合．若R表示的平面图形面积为S，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的范围可得的不等式组，在平面直角坐标系中刻画出后利用对称性可求面积. 【详解】由可得， 若，则或，此时或， 若，则， 令，则或， 综上，在平面直角坐标系中，对应的平面区域如图所示的阴影部分（包括边界）： 其中， 由抛物线的对称性可得阴影部分的面积为. 8. 已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逆用和角的余弦公式化简函数，结合已知及图象特征列式求出，再利用图象上点的特征列式求出. 【详解】依题意，函数， 由函数图象上的点关于轴上的点对称， 得函数最小正周期，则，解得， 即，又，于是， 由，得，又点在函数的一个单调递增区间对应的图象上， 因此，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则， 则在上的投影向量为，故B正确 对于C，若，则，则，则，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 10. 在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据空间线面的位置关系逐一判断. 【详解】如图，将正四棱台补成正四棱锥，点是正四棱锥的顶点，是正方形的中心， 连接， 对于A，因为分别是的中点，所以，又，所以，故A正确； 对于B，因为与所成角为，又，所以与所成角为， 因为，所以与所成角为，故B错误； 对于C，因为，平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面，即平面，故D正确. 11. 在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前1000项和大于 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的性质求出，，求出，即可判断ABC；求出的通项公式，进而得到，结合裂项相消法求出数列的前1000项和，利用放缩法与比较，即可判断D. 【详解】由题意知，，，. 因为，，是公比为的等比数列，所以，，， 即，， 解得，，故B正确. ，故A错误. ，，，故C正确. 因为为等差数列，所以. 所以， 则数列的前项和 . ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是奇函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是奇函数，且， 所以，即. 13. 二项式的展开式中的常数项为______________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】二项式的展开式通项公式为. 当为常数项，需，解得，此时对应项为； 当为常数项，需，解得，此时对应项为； 故常数项为. 14. 已知平面向量，，，满足，且，，，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，，可知点A的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且三点共线，数形结合即可得结果. 【详解】由题意可设：，，，， 则，则，可得， 可知点A的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 因为，即，且， 即，可知三点共线， 因为的最小值为，可知为点到直线的距离， 若想取到最大值，则直线为圆的切线，可得，即， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标用点斜式得切线方程； （2）将恒成立问题转化为的最小值大于，通过导数分析单调性求最小值，进而得到a的取值范围 【小问1详解】 ，∴切点坐标为. ， 则切线斜率. 所以切线方程：，即. 【小问2详解】 恒成立等价于对任意恒成立，故 且， ∴ 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在处取极小值也是最小值，. 因此，解得， 即a的取值范围为. 16. 在中，以，，分别为内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若，，求边上中线长. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）由正弦定理将边化角得到，从而求出，再分类讨论，求出边上中线长. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得或（舍去）， 所以. 【小问3详解】 因为，由正弦定理可得， 即，因为，所以，则， 所以或，即或， 当时为等边三角形，所以边上中线长为； 当时，则，所以为直角三角形，又， 由正弦定理，即，所以 ，， 所以边上中线长为； 17. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为棱，上一点，，，延长交于点F，且，，． （1）求的值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质求的值. （2）先根据题中条件建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而求得与平面所成角的正弦值. （3）根据相似三角形的性质先判断出来几何体 为三棱台，并求出其体积，再利用直三棱柱的体积与三棱台 的体积之差求它们公共部分的体积. 【小问1详解】 在直三棱柱中，， 则 ，所以． 因为，，， 所以，所以． 【小问2详解】 取的中点，连接． 因为，所以． 在直三棱柱中，，因为， 所以平面． 作，交于点， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则 ， ， 令，得． 故与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 设交于点，交于点，连接． 因为 ，所以，同理可得， 所以几何体 为三棱台， 其下底面面积，上底面面积， 故其体积． 四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体， 其体积为直三棱柱的体积与三棱台 的体积之差， 即， 故四棱锥与直三棱柱公共部分的体积为. 18. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【小问1详解】 法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， 【小问3详解】 存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 19. 某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）． （1）求． （2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率． （3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式，分别求解和，结合古典概型、排列组合计数方法统计符合条件的基本事件数，单次抽取共5种等可能结果，5次抽取总基本事件数为，通过符合条件的事件数除以总事件数求得对应概率. （2）求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，从而得到样本空间的基本事件总数，求出甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数，求出当时的总事件数，求出甲、乙奖金相等的情况种数，从而得到所求的概率. （3）采用状态期望法，定义不同连续中奖次数对应的剩余期望次数，结合单次抽取的概率（抽中5元券概率、未抽中概率），搭建线性期望方程组，通过逐步代入消元求解方程组，最终得到初始状态下的总抽取期望. 【小问1详解】 包含两种情况：和， 计算：5 次都抽到同一张奖券，共有种奖券选择， 每次抽中该奖券的概率为， 所以， 计算：先选1种奖券出现4次，再选1种其他奖券出现1次， 共有 种情况，所以， 因此：. 【小问2详解】 题目中条件为 “甲、乙的相等且”，包含两种情况： ：满足的序列有种，甲、乙都取这类序列的基本事件数为， ：满足的序列有种， 甲、乙都取这类序列的基本事件数为， 样本空间的基本事件总数为：， 当时， 甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数为组合数（从种中选种，甲选更优的 1 种，乙选另 1 种）， 当时， 总事件数为，其中甲、乙奖金相等的情况有种， 那么甲奖金多于乙和甲奖金少于乙的情况数相等， 因此：， 则总计事件数为， 故所求的概率为. 【小问3详解】 设为已连续抽中张5元奖券时， 到结束还需抽取的期望次数（， ）. 每次抽到5元奖券的概率为，没抽到的概率为, ， ， ， 由得， 代入， 再代入，解得： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸溪一中2027届高三第四次强化考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在复数范围内，方程的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，，则数列的前2026项和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 3. 某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 5. 若随机变量，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 9 6. 若抛物线C：的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时，（ ） A. B. 40 C. D. 7. 设集合．若R表示的平面图形面积为S，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 10. 在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 11. 在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前1000项和大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是奇函数，且，则______． 13. 二项式的展开式中的常数项为______________（用数字作答）. 14. 已知平面向量，，，满足，且，，，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 16. 在中，以，，分别为内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若，，求边上中线长. 17. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为棱，上一点，，，延长交于点F，且，，． （1）求的值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积． 18. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）． （1）求． （2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率． （3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $