精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025—2026学年高三上学期12月月考数学试卷

2025—2026学年湘西州泸溪一中高三数学12月月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：必修第一册第二册、选择性必修第一册第二册第三册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. 若与互斥，则 D. 若，则 2. 已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 4 3. =的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 6. 正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 10. 已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ） A. 若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B. 若用方案乙，化验次数为3次的概率为 C. 若用方案甲，平均化验次数为4 D. 若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好 11. 如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（ ） A. 截面和面的交线与截面和面的交线等长 B. 截面是一个五边形. C. 截面是一个梯形. D. 截面在顶点处的内角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_____________. 13. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为______ 14. 点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 16. （1）解方程：. （2）求值：. 17. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 18. 已知函数. （1）设为的导函数，求在上的最小值； （2）令，证明：当时，在上. 19. 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． （1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； （2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； （3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年湘西州泸溪一中高三数学12月月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：必修第一册第二册、选择性必修第一册第二册第三册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. 若与互斥，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式可得判断A，B；由互斥事件的加法公式可得判断C；由全概率公式可得判断D. 【详解】对于A，，故与相互独立， 命题正确，即A不符合条件； 对于B，若与相互独立，则与也相互独立， 则，命题正确，即B不符合条件； 对于C，若与互斥，则， ，命题错误，故C符合题意； 对于D，因为， 由全概率公式可得， 即，所以， 所以，命题正确，即D不符合条件. 故选：C. 2. 已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据16＝24，代入求解即可． 【详解】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)， ∴f(16)＝f(24)＝log24＝2， 故选：C． 3. =的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，结论是=，求充分条件，选项A中，，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；选项C、D中，由可知，C、D不是充分条件；选项B，由，可以得到=，反之不成立，根据充分条件的定义知，选项B是充分条件. 【详解】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件； 对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0. 根据充分条件的定义知，选项B是充分条件； 对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件； 故选：B. 4. 设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. 【详解】由，得曲线在处的切线斜率为. 由，得曲线在处的切线斜率为. 又曲线上总存在切线满足，且，而， 则， 故， 所以，解得， 即． 故选：D． 5. 圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过圆心，整理得（，），结合基本不等式运算求解. 【详解】由圆可得标准方程为， 即圆心为， 因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 即，整理得（，）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A． 6. 正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征，将该几何体放置于一个正方体中，结合正方体的结构特征即可求解答案. 【详解】由题意结合几何体的结构特征可将该几何体放于一个正方体中，如图： 分别是的中点，，平面，平面， 则平面，同理平面，平面， 故平面平面，由此可知∽，且， 则， 由题意可知正四面体EFGH与正四面体ABCD的公共部分的体积等于正四面体ABCD的体积减去其每个顶点处的小正四面体的体积， 即公共部分的体积为， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据结合体的结构特征，构造出正方体，结合正方体的结构特征去解决问题. 7. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式得出，，根据半角公式求出，从而得出的值. 【详解】因为，， 所以. 根据半角公式， 所以. 故选：D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率之和为、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 解得，A选项正确. 根据频率分布直方图，， 所以极差介于40分至60分之间，B选项正确. 90分以上频率为，对应有人，C选项错误. 成绩介于70分至90分之间的频率为， 所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ） A. 若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B. 若用方案乙，化验次数为3次的概率为 C. 若用方案甲，平均化验次数为4 D. 若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好 【答案】AD 【解析】 【分析】求出两种方案的化验次数的分布列即可判断. 【详解】若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为， 所以正确； 若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况： ①头4只均为阴性，则； ②头4只有阳性，则， 所以化验次数为3次的概率为，B错误； 若用方案甲， 则， 所以，C错误； 若用方案乙，可取2，3，4. ， 所以，因为， 所以方案乙比方案甲好，D正确. 故选：. 11. 如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（ ） A. 截面和面的交线与截面和面的交线等长 B. 截面是一个五边形. C. 截面是一个梯形. D. 截面在顶点处的内角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】做出截面，依次判断选项即可. 【详解】延长至，使；延长至，使； 连接，因，，则为等腰直角三角形， 同理可得为等腰直角三角形，又， 则三点共线.连接.因分别为中点，则.又，则四边形为平行四边形，得 .又分别是中点，则. 故，，则， 则五点共面.设这五点所在平面为. 平面，平面， 则平面，连接交于. 因，则，得. 同理，可得平面，连接交于，则. 又， 则.即五点共面. 顺次连接，得截面为五边形. 对于A，如图可知，截面和面的交线为DE，截面和面的交线为， 又几何体棱长为3，，， 则， ，故，则A正确； 对于BC选项，由图可知B正确，C错误； 对于D选项，由图可知截面在顶点处的内角为，连接， 因，则四边形为平行四边形，得. 又由A选项分析可知，，则在三角形中由余弦定理有 ，则D正确. 故选：ABD 【点睛】 【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也可在后续学习了面面平行的性质后，利用性质做出截面在平行平面上的交线. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆定义可得，进而利用余弦定理列式求解. 【详解】因为，所以， 因为与互补，且， 由余弦定理可得， 可得，所以. 故选：C． 13. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用高阶等差数列的定义，结合累加法求得数列的通项公式. 【详解】数列中，由后项减前项，得， 因此当时，， ，而满足上式， 所以该数列的通项公式为. 故答案为： 14. 点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线定理可得点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面，再结合三角换元，正弦型函数的最值得出结果. 【详解】取底面的中心， 因为，所以点在平面上，且， 所以点在线段上， 由得， 所以由，得， 由，得，又平面， 所以平面. 因为Q是平面BC₁D上的动点，满足， 所以当在点时，点Q在点；当在点时，点Q在点为圆心，半径为2的圆上； 所以点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面， 以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设,，R， 过点作于点，，则点为的中点，所以,， ，,， ， 当时，取最小，为最小值， 因为，所以，设，R， ，当时，取最大值， 所以取最小值. 故答案为：. 【点睛】空间立体几何轨迹问题：先根据已知条件确定与待求点相关的平行、垂直等关系；可建立空间直角坐标系，表示动点的坐标以及相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的几何关系，整理化简可得出动点的轨迹方程，根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其它量. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【小问1详解】 解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 16. （1）解方程：. （2）求值：. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数式与对数式的互化关系求解方程. （2）利用指数运算计算得解. 【详解】（1）由指数式与对数式的互化关系，得，则， 解得，经检验，符合题意， 所以原方程的解为5. （2）原式. 17. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 【答案】 证明：如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C. 又ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG，所以A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同， 所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. 【解析】 【分析】根据一个角的两边分别与另一个角的两边平行且方向相同，则两角相等，证明即可. 【详解】略 18. 已知函数. （1）设为的导函数，求在上的最小值； （2）令，证明：当时，在上. 【答案】（1）1 （2） 由题意知，又因为， 所以， 令， 则， 因为，所以，所以， 因此在上单调递增， 所以当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 即当时，在上. 【解析】 【分析】（1）通过判断的正负得到在上的单调性，再利用单调性求出最小值即可； （2）因为，则，令，求导，通过分析的正负，得到的单调性，从而得出的最值及的正负，即可得到的单调性和最值，从而得证. 【小问1详解】 由题意知， 令，则， 因为当时，，即， 所以即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 【小问2详解】 略 19. 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． （1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； （2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； （3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2），， （3）直线PQ恒过定点为． 【解析】 【分析】（1）根据所给条件得到关于、的方程组，解得即可； （2）设（或），，则，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，代入双曲线方程，整理可得； （3）设，，则，即可得到、的方程，表示出、，根据对称性定点在轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可. 【小问1详解】 依题意，解得，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 设（或），则，，，， 则，，所以， 又，即， 所以， 则，， 由，，三点共线得：； 又，， 由，，三点共线得：， ，， ， ，即，则，， 直线与直线的交点的轨迹的方程为，； 【小问3详解】 设，，则， 直线：，即； 直线：，即． 由得， 所以，即，则， 同理，， 由对称性知，若过定点，则定点在轴上． 取，可得，，则直线PQ：，过点． 下证明直线恒过定点为． 由且得， 所以直线恒过定点为． 【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点； （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点； （3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $