精品解析：湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测 数学试题 本试卷共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以，则. 2. 已知，均为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于，则， ， 因此. 3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以. 4. 已知=,若,则等于 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【详解】因为=,所以=,则===. 选B. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 故. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上运动，以为直径作圆，则下列直线中始终与该圆相切的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，准线， 设，则圆心坐标为，半径， 所以圆心的横坐标等于半径，即始终与该圆相切. 7. 已知边长为2的正方形纸片，沿对角线折叠，使平面与平面所成的二面角为.折叠后，点，分别为，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取正方形对角线的中点，根据二面角定义可知，然后利用向量运算可得，两侧平方再将已知数据代入计算即可. 【详解】取正方形对角线的中点，连接、， 原正方形边长为2，因此，可得，，且， 根据二面角平面角的定义，就是平面与平面所成二面角的平面角，即， ， 因为是中点、是中点，所以，， 且，， 代入整理得 ， 而， 代入计算可得，故. 8. 现从集合中随机选取3个不同的数，已知所选的3个数中恰有1个偶数，则这3个数的和大于12的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分奇数和偶数，列举解得即可。 【详解】集合中奇数为，偶数为，总样本数为种. 当和大于12时，有共7种情况， 则概率为. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4.令.则下列结论正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为11 B. 数据，，…，的方差为16 C. 在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D. 将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数及方差的性质计算判断AB，根据平均数计算公式计算判断C，根据方差计算公式计算判断D. 【详解】对于A，，，A正确. 对于B，，，B正确. 对于C，由，得. 所以新数据平均数，C错误. 对于D，每个数都增加3后，数据为，，…，， 平均数为， 所以方差为 ，D正确. 10. 已知函数，.则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义即可判断奇函数，利用分离常数及已知函数单调性结合复合函数思想即可判断B选项和C选项，利用特殊值即可验证D选项． 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，又因为， 所以是奇函数，故A正确； 对于B选项，由， 令，则，， 因为，所以，，，则， 所以的值域为，故B正确； 对于C选项，由选项B的分析可知， 由是在上的增函数，由复合函数的单调性可得是在上单调递增，故C正确； 对于D选项，因为若，不妨令，，则，故D错误． 11. 若数列满足，且对任意正整数，，.记.则下列结论正确的是（ ） A. 对任意正整数， B. 对任意正整数， C. 对任意正整数， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题设化简即可判断；对于B，结合A及题设可得，进而得到，再举特例即可判断；对于C，结合B可知，进而求解判断即可；对于D，令，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 而，则，则，故A正确； 对于B，由A知，， 而，， 则， 即， 又，则，， 所以 ， 当时，， 而，显然不满足，故B错误； 对于C，由，，则时，， 由B知，，所以， 又，则，故C正确； 对于D，令，则， ， 所以，又， ， 则， 故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，其中，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出平移后的解析式,再根据正弦型函数性质求解. 【详解】由辅助角公式整理得： ， 将向右平移个单位长度后得到： ， 由是偶函数，可得， 整理可得：， 又，所以时，. 13. 已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，则的面积__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以， 所以. 14. 已知函数，若过点可以作曲线的四条不同的切线，四个切点的横坐标依次为，，，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点横坐标为，由导数的几何意义表示该点处切线, 再令切线经过，得到关于的方程，将该方程化为关于的二次形式，四个根分别来自两个二次方程，利用韦达定理求两组根的乘积，由四个切点横坐标的大小关系确定两组根分别为和，两乘积互为相反数. 【详解】. 设切点横坐标为, 则切线方程为. 由切线经过, 得. 即. 整理得， 即. 设，得. 由能作四条不同切线, 方程有两个不等实根, 且， 一正一负. 不妨设. 对每个, 满足，由韦达定理, 该方程两根之积为. 当时，两根之积，故一根小于, 一根大于，即为与. 当时，两根之积，两根之和为，故两根均在内， 即为与.于是， ，所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在三角形纸片中，点在线段上，且，，.沿折痕将折起，使点到达点，且平面与平面垂直. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为折叠前，且，故，所以． 又平面平面两平面的交线为，因为平面，且，所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知点为点在平面上的垂足，因此为在平面上的射影， 故为直线与平面所成的角． 在中，，，所以． 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且 （1）证明：； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）由得． 由正弦定理，． 又 ， 所以， 所以． （2） 【解析】 【详解】（1）略 （2）由，及（1）可得，故． 因为，所以， 所以，． 所以，． 所以． 17. 独立重复进行至多次试验，每次试验只有，两种结果，且每次出现的概率为，出现的概率为.从第次试验开始，每完成一次试验，就将本次结果与前一次结果进行比较：若两次结果相同，则立即停止试验；若两次结果不同，则继续进行下一次试验.若直到第次试验结束仍未停止，则再进行第次试验，并在第次试验结束后停止.记实际进行的试验次数为随机变量. （1）当，时，求随机变量的分布列. （2）设为正整数. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，证明：. 【答案】（1） 2 3 4 5 （2）（ⅰ）； （ⅱ）事件表示前次结果严格交替， 两种可能序列的概率分别为，． 故． 结合（ⅰ），． 【解析】 【分析】（1）对每个可能的取值，结合上述停止条件，结合独立事件概率乘法公式计算对应概率，最后写出分布列； （2）（ⅰ）因为等价于前次试验中相邻结果均不同，所以直接根据相邻不同的概率关系推导该概率； （ⅱ）先明确是在前次相邻均不同的基础上，第次与第次结果也不同，再结合条件概率或独立事件概率公式推导两者关系. 【小问1详解】 当，时，， ，， 若前次结果始终交替，则进行第次后停止，因此． 故随机变量的分布列为 2 3 4 5 【小问2详解】 （ⅰ）事件表示前次试验中任意相邻两次结果均不同，即前次结果严格交替， 可能序列只有，． 每种序列中均有个，个，故． （ⅱ）略 18. 已知函数， （1）证明： （2）设，定义， （ⅰ）求函数的最小值； （ⅱ）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）由， 故． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）将代入表达式，化简对数式，验证其与恒等. （2）（ⅰ）对求导判断单调性，确定极小值点，代入计算得最小值. （ⅱ）把恒成立转化为，解对数不等式得的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）， 可得， 因此， 在内分母恒正，故当时，；当时，， 所以在处取得最小值， 此时． （ⅱ）由（ⅰ），题设对任意恒成立，当且仅当， 即， 因此，即， 因为，故，解得， 所以实数的取值范围为． 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，坐标原点为. （1）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.记直线，的斜率分别为，，求关于的表达式. （2）点不在轴上，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点.记，其中，，，分别表示相应直线的斜率，求满足的点的轨迹. （3）圆与（2）中轨迹相交于六个点，按圆周顺序依次记为，，…，.记六边形的周长为，求的最大值，并求取得最大值时的值.（用含的式子表示） 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率及关系可得，，写出过点且斜率为的直线方程，再联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的特点代入，化简即可. （2）设，结合（1）的结论可得，再令进行化简，再考虑各个特殊点即可得点的轨迹. （3）法一：利用已知条件，计算出六边形的周长为，利用换元法可将转换成二次函数，利用二次函数即可求最大值及取得最大值时的值；法二：引入角度，将比值表达式用三角表示，再求出其最值即可． 【小问1详解】 由离心率，得，， 又，所以，， 则，． 则过点且斜率为的直线方程为， 代入椭圆方程，得． 设点，的横坐标分别为，， 所以，． 又，， 故， 代入韦达定理，得． 【小问2详解】 设，， 先考虑且相关直线的斜率均有意义的情形，令，， 由（1）可知， 令，利用化简得， 整理得， 故轨迹方程为或. 当且时，直接检验可知，故无新增点． 在直线上，由题意应有当时，相应焦点弦经过椭圆的点，此时，，，中有直线斜率不存在，故这两个点也应删去；双曲线上只需由删去两个顶点． 所以点的轨迹为． 【小问3详解】 解法一（坐标法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为，则，， 六边形中有两条边长为，另有四条边长为， 故． 令，则， 令，则， 所以()2， 当，即，时等号成立， 由，，得，因为，故， 所以，． 解法二（圆上角度法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为，轴正半轴与的夹角为，则， 由，，，得， 圆上六个交点相邻所对的圆心角中，有两个为，四个为． 因此． 令，则，所以， 整理得． 当且仅当时等号成立， 由的取值范围，得，所以，此时， 所以． 故，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测 数学试题 本试卷共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，均为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知=,若,则等于 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上运动，以为直径作圆，则下列直线中始终与该圆相切的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知边长为2的正方形纸片，沿对角线折叠，使平面与平面所成的二面角为.折叠后，点，分别为，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 现从集合中随机选取3个不同的数，已知所选的3个数中恰有1个偶数，则这3个数的和大于12的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4.令.则下列结论正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为11 B. 数据，，…，的方差为16 C. 在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D. 将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 10. 已知函数，.则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 若，则 11. 若数列满足，且对任意正整数，，.记.则下列结论正确的是（ ） A. 对任意正整数， B. 对任意正整数， C. 对任意正整数， D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，其中，则__________. 13. 已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，则的面积__________. 14. 已知函数，若过点可以作曲线的四条不同的切线，四个切点的横坐标依次为，，，，且，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在三角形纸片中，点在线段上，且，，.沿折痕将折起，使点到达点，且平面与平面垂直. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且 （1）证明：； （2）若，，求的面积. 17. 独立重复进行至多次试验，每次试验只有，两种结果，且每次出现的概率为，出现的概率为.从第次试验开始，每完成一次试验，就将本次结果与前一次结果进行比较：若两次结果相同，则立即停止试验；若两次结果不同，则继续进行下一次试验.若直到第次试验结束仍未停止，则再进行第次试验，并在第次试验结束后停止.记实际进行的试验次数为随机变量. （1）当，时，求随机变量的分布列. （2）设为正整数. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，证明：. 18. 已知函数， （1）证明： （2）设，定义， （ⅰ）求函数的最小值； （ⅱ）若对任意，都有，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，坐标原点为. （1）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.记直线，的斜率分别为，，求关于的表达式. （2）点不在轴上，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点.记，其中，，，分别表示相应直线的斜率，求满足的点的轨迹. （3）圆与（2）中轨迹相交于六个点，按圆周顺序依次记为，，…，.记六边形的周长为，求的最大值，并求取得最大值时的值.（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $