第06讲 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习磁场专题（全国通用）

第06讲 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：带电粒子在直线边界磁场中的运动 10 题型02：带电粒子在平行边界磁场中的运动 39 题型03：带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题 53 题型04: 带电粒子在半圆形或弧形边界磁场中的运动问题 96 题型05：带电粒子在环形磁场中的运动 102 题型06：带电粒子在三角形边界的磁场中的运动 124 题型07：带电粒子在矩形（及其它四边形）边界磁场中的运动 155 题型08：带电粒子在其它规则边界匀强磁场中的运动 182 题型09：带电粒子在部分象限存在匀强磁场中的运动 187 题型10：带电粒子在有界磁场中运动的临界值极值问题 221 题型11：带电粒子在有界磁场中运动的多解问题 240 巩固提升 250 1. 考点地位：高考磁场板块重点、难点，是带电粒子磁场运动的核心考法，多选、计算题高频出现，常作为中档或压轴小问，分值高。 2. 考查形式：选择题常考查轨迹判断、圆心半径、临界条件；计算题以矩形、圆形、三角形有界磁场为载体，考查单粒子或者多粒子入射，经常结合临界极值、多解问题。 3. 命题特点：磁场区域有明确边界，粒子在磁场内做一段圆弧，出磁场后做直线运动；核心难点不在公式，而在几何作图；常考：粒子源发射大量粒子、速度大小/方向可变、轨迹与边界相切临界情况。 核心公式：qvB，r＝， T＝ 1. 掌握洛伦兹力特点，会用左手定则判断粒子偏转方向，区分正负电荷。 2. 熟练在直线边界、圆形边界磁场中，画轨迹、找圆心、利用几何关系求半径、圆心角。 3. 会处理两类经典模型： ①速度大小固定，入射方向转动（旋转圆模型）； ②方向固定，速度大小变化（缩放圆模型）。 4. 识别临界条件（轨迹与磁场边界相切），能分析多解成因，不漏情况。 5. 会计算粒子在磁场中的运动时间：t＝T 知识点一：带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 1.圆心的确定方法 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 ③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 2.半径的计算方法 方法一　由R＝求得 方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得 例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。 ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。 3.时间的计算方法 方法一　利用圆心角、周期求得t＝T 方法二　利用弧长、线速度求得t＝ 例如：t＝T＝T＝T t＝＝ 知识点二：带电粒子在有界磁场中运动的常见情形 1.直线边界磁场(进出磁场具有对称性）如图所示 ①解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 ②如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 2.平行边界(往往存在临界条件) 双边平行直线边界如图所示，粒子进出磁场存在临界条件 ①解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 ②如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 3.圆形边界 ①沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示) ②粒子做圆周运动的半径r＝ ③粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90° 正对圆心射入圆形磁场区域 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 不对圆心射入圆形磁场区域 两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形 4.三角形边界磁场 三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图甲、乙所示。 解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式 ①从某顶点射入。 ②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。 (2)射出点的判断 其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。 5.矩形边界 矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。 解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入) (1)两个临界半径 ①从d点射出：r1＝。 ②从c点射出：r＝＋ab2。 (2)三种情况 ①r≤r1，粒子从ed段射出。 ②r1<r≤r2，粒子从cd段射出。 ③r>r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。 知识点三： 带电粒子在磁场中的运动的临界问题 1.临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直． 2.几种常见的求极值情况(速度一定时) (1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切． 圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： 当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长． (2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直． 如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短． 3.带电粒子在磁场中运动的临界问题处理方法（极限与临界思想）： (1)放缩法 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入磁场，这些粒子的轨道半径随速度变化而变化， 越大， 越大，以入射点P为定点圆心位于 的直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件。 v (2)平移法 粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入磁场，它们在磁场中运动的半径相同，若入射速度为 ，则半径为 ，同时可发现这些粒子运动的圆心在以入射点P为圆心，半径为的圆上，解题时可采用平移法进行处理。 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． 知识点四：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的多解问题 1．受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图带电粒子一速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。 v b a 2．磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度不确定而形成的多解。 如图带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。 v b a 注意： 1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。 如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。 2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题 处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。 甲　　　　　　　乙 (1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。 (2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。 (3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。 一：基础四步解题法 1. 定偏转：左手定则判断粒子向哪一侧偏转，初步画出圆弧轨迹草图。 2. 2. 找圆心 ①直线边界：入射点速度垂线、弦的中垂线，交点即为圆心； ②圆形磁场边界：沿半径入射，一定沿半径射出（重要二级结论）。 3. 几何求半径、圆心角：勾股定理、三角函数、弦长公式，找到轨迹圆半径和磁场区域边长/半径的几何关系。 4. 代入公式求解：求速度、比荷、运动时间，分析临界、多解。 二：两大核心模型解题技巧 1. 缩放圆（入射方向不变，速度大小变化） 速度v变大→半径r变大；临界：轨迹圆刚好和磁场边界相切，是粒子能射出磁场的最大/最小速度。 2. 旋转圆（速度大小不变，入射方向改变，粒子源发射） 轨迹圆半径固定，圆心绕入射点旋转；找最远出射点：以入射点为圆心、2r为半径画圆。 三：临界，多解突破口 1.临界标志：轨迹圆弧刚好与磁场边界相切，这是速度极值的条件。 2.多解来源：磁场方向可双向、粒子电性不确定、圆弧轨迹存在多种可能。 3.运动时间：圆心角越大，运动时间越长；找最长/最短时间，本质找最大/最小圆心角。 四、高频易错点 1. 混淆轨迹圆的圆心和磁场区域的圆心（圆形磁场最容易错）。 2. 圆心角≠偏转角：粒子速度偏转角等于轨迹对应的圆心角，不要和磁场区域夹角弄混。 3. 求时间忘记：周期T和速度无关，只看圆心角。 4. 只找到一种轨迹，漏掉多解情况。 5. 左手定则负电荷判断出错，偏转方向画反。 题型01：带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典型例题1】边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 【答案】B 【解析】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电；粒子向右偏转，受到的洛伦兹力向右，可知粒子带负电，故A错误； B．粒子垂直射入并在边界射出匀强磁场，均做半个圆周的运动，由图可知轨道半径。若初速度相同，根据在磁场中运动时间可知，即粒子先回到磁场边界，故B正确； C．若两粒子初动量相同，由和可知，两粒子电荷量大小。粒子在磁场中运动时间 ，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故C错误； D．若两粒子初动能相同，则粒子在磁场中运动时间，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故D错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为(　　) A．3 B．2 C. D. 【答案】　A 【解析】　电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示， 电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，所以＝3，故A正确，B、C、D错误． 【典型例题3】质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图两种虚线所示，下列表述正确的是 A．M带负电，N带正电 B．M的速度率小于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运行时间大于N的运行时间 【答案】A 【解析】A．由左手定则可知，M带负电，N带正电，选项A正确． B．由可知，M的速度率大于N的速率，选项B错误； C．洛伦兹力对M、N都不做功，选项C错误； D．由可知，M的运行时间等于N的运行时间，选项D错误． 【典型例题4】如图所示，虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，在直角三角形中，，。两个带电荷量数值相等的粒子a、b分别从、两点以垂直于的方向同时射入磁场，恰好在点相遇。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．a带负电，b带正电 B．a、b两粒子的周期之比为 C．a、b两粒子的速度之比为 D．a、b两粒子的质量之比为 【答案】C 【解析】A．如下图所示 由几何关系可得两粒子轨迹圆心在同一点，轨迹半径相等。可知粒子a进入磁场时受到的洛伦兹力方向向右，根据左手定则可知a带正电，粒子b进入磁场时受到的洛伦兹力方向向左，根据左手定则可知b带负电，A错误； B．两带电粒子同时射入磁场，同时到达点，故运动时间相等，由图可知，粒子a到达点时运动的圆弧对应的圆心角为，粒子b到达点时运动的圆弧对应的圆心角为，则有 a、b两粒子的周期之比为 B错误； D．根据周期公式 由于两粒子所带电荷量数值相等，则有a、b两粒子的质量之比为 D错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 解得 由于两粒子的轨迹半径相等，所带电荷量数值相等，则有a、b两粒子的速度之比为 C正确。 【典型例题5】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为q。以下正确的为（　　） A．粒子能到达de中点 B．从bc边界出的粒子运动时间相等 C．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【解析】A．粒子在磁场中做匀圆周运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子要在区域运动，在经点时轨道半径最大，此时粒子没能到达de中点，因此粒子不能到达de中点，A错误； BC．设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知，当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，即从bc边界出的粒子运动时间不相等。如图所示，设运动半径为R，由几何关系则有 解得 已知粒子的质量为3m，电荷量为q，其在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 B错误，C正确； D．粒子在磁场中运动的周期为 在中，设为，为θ，由几何关系可得 可得 则粒子在磁场中运动的最长时间为 D错误。 故选C。 【典型例题6】(多选)如图所示，直线AD为磁感应强度大小为B的匀强磁场的边界线，AD与水平线成θ=30°角，M、N为竖直放置的两个带有狭缝的金属板，板间电压为U。一带正电的粒子（初速度为零）经电场加速后从C点水平射入磁场，从CD间的E点离开磁场，C、E间距离为L，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．仅将加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时出射点与入射点之间的距离为L D．仅加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时粒子在磁场中运动时间为原来的倍 【答案】BC 【解析】A．在C点做水平速度的垂线，在E点做速度的垂线，由对称性可知在E点速度与边界成30°，所以粒子运动的半径为由质谱仪的公式得，A错误； Ｂ．粒子在磁场中速度改变了60°，运动时间，B正确； C．若加速电压变为原来的2倍，由公式得半径变为原来的倍，C正确； D．若加速电压变为原来的2倍，粒子转过的角度仍然是60°，时间不变，D错误。故选BC。 【变式训练1-1】如图，直线MN右侧无穷大区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。有一个带负电的粒子，质量为m，所带电荷量大小为q，从A点斜向下与直线MN成45°角以一定的初速度垂直进入磁场中，一段时间后从直线MN上某点离开匀强磁场区域，不考虑粒子的重力，下列关于该粒子运动的描述，正确的是（　　） A．粒子在磁场中的运动时间为 B．若其他条件不变，粒子入射的初速度大小变为原来的两倍，则粒子在磁场的运动时间变为原来的一半 C．若其他条件不变，粒子带正电，则粒子在磁场的运动时间变为原来的三倍 D．若其他条件不变，粒子入射的初速度大小变为原来的，则粒子在磁场的运动时间变为原来的一半 【答案】C 【解析】先由洛伦兹力提供向心力推导出粒子在磁场中运动的周期公式，再结合入射角度、粒子电性判断轨迹圆心角，进而计算运动时间，对比各选项的条件与结果得出正确答案。 解：A.负电粒子垂直进入匀强磁场，洛伦兹力提供向心力，有， 粒子运动的周期为， 联立可得， 粒子以与MN成45°角入射，带负电，粒子做顺时针圆周运动， 入射速度与边界MN夹角为45°，出射时速度与边界MN夹角也为45°因此轨迹对应的圆心角θ＝90°， 粒子在磁场中的运动时间为，故A错误； BD.根据上述，若其他条件不变，粒子入射的初速度大小变为原来的两倍，半径变为原来的两倍，周期不变，对应圆心角仍为90°， 所以粒子在磁场的运动时间不变与速度无关，故BD错误； C.若其他条件不变，粒子带正电，粒子以与MN成45°角入射，粒子做逆时针圆周运动， 入射速度与边界MN夹角为45°，出射时速度与边界MN夹角也为45°，因此轨迹对应的圆心角θ＝270°， 粒子在磁场中的运动时间为， 则粒子在磁场的运动时间变为原来的三倍，故C正确。 故选：C。 【变式训练1-2】如图是比荷相同的两粒子从O点垂直进入直线边界匀强磁场区域的运动轨迹，下列说法正确的是（　　） A．a带负电，b带正电 B．a的带电量比b的带电量小 C．a运动的速率比b的小 D．a的运动时间比b的短 【答案】C 【解析】A．根据左手定则a带正电，b带负电，A错误； B．由题中信息无法确定a、b电量和质量大小，且因为比荷相同，无法确定电量大小，B错误； C．根据带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有 得 因两粒子比荷相同，所以a运动的速率比b的小，C正确； D．根据带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有 有 所以运动周期相同，且在磁场中运动时间都是周期的一半，所以a的运动时间与b相同，D错误。 【变式训练1-3】如图所示，在水平虚线MN边界的下方是一垂直纸面向里的匀强磁场，质子（）和α粒子（）先后从边界上的A点沿与虚线成 角的方向射入磁场，两粒子均从B点射出磁场。不计粒子的重力，则（　　） A．两粒子在磁场中运动的轨迹不相同 B．两粒子在磁场中运动的速度大小相同 C．两粒子在磁场中运动的动能相同 D．两粒子在磁场中运动的时间相同 【答案】C 【解析】A．两粒子从A点沿箭头方向射入磁场，都从B点射出磁场，则两粒子的圆心、半径、轨迹相同，故A错误； B．由洛伦兹力提供向心力可得，两粒子半径 质子（）和α粒子（）的荷质比之比为2∶1，因半径相同，则两粒子的速度之比为2∶1，故B错误； C．质子（）和α粒子（）的质量之比为1∶4，两粒子的速度之比为2∶1，则动能之比为1∶1，即动能相同，故C正确； D．周期，周期之比等于荷质比的反比1∶2。两粒子的半径、轨迹相同则转过的角度相同，根据 得：运动时间之比为1∶2，故D错误。 【变式训练1-4】如图所示，轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场，两个比荷相同的正负电荷（不计重力）以相同速度从点先后射入磁场，最终均从轴离开磁场。不计两电荷间的相互作用，关于两电荷在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．两电荷所受洛伦兹力的大小一定相同 B．两电荷在磁场中的运动时间一定相等 C．两电荷重新回到轴时的速度一定相同 D．正电荷从轴上点右侧射出磁场，负电荷从轴上点左侧射出磁场 【答案】C 【解析】A．根据洛伦兹力表达式 由题意可知两电荷的比荷相同，进入磁场的速度相同，但两电荷的电荷量大小不一定相等，故两电荷所受洛伦兹力的大小不一定相同，A错误； D．根据左手定则可知，正电荷在磁场做逆时针方向的圆周运动，负电荷在磁场做顺时针方向的圆周运动，故正电荷从轴上点左侧射出磁场，负电荷从轴上点右侧射出磁场，D错误； BC．根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 由于两电荷的比荷相同，进入磁场的速度相同，可知两电荷在磁场中的轨迹半径相等，在磁场中的周期相等，两电荷在磁场中的运动轨迹如图所示 正电荷在磁场中的运动时间为 负电荷在磁场中的运动时间为 可知 两电荷重新回到轴时的速度大小均为，方向均与方向成角，即两电荷重新回到轴时的速度一定相同，B错误，C正确； 【变式训练1-5】在x轴上方有垂直于纸面的匀强磁场，同一种带电粒子从O点射入磁场。当入射方向与x轴的夹角α=45° 时，速度为v1、v2的两个粒子分别从a、b两点射出磁场，如图所示，当α=60°时，为了使粒子从ab的中点c射出磁场，则速度应为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有 解得 设a、b、c三点的坐标分别为、、。如图所示，当 时，若粒子从a点射出磁场，根据几何关系有 若粒子从b点射出磁场，根据几何关系有 当 时，粒子从c点射出磁场，根据几何关系有 并且 解得 【变式训练1-6】如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为t。若该微粒经过p点时，与一个静止的不带电微粒发生完全非弹性碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。不计重力。新微粒运动的（     ） A．轨迹为pb，至屏幕的时间将小于t B．轨迹为pc，至屏幕的时间将大于t C．轨迹为pb，至屏幕的时间将等于t D．轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t 【答案】D 【解析】令带电微粒的质量为，速率为，不带电的微粒质量为。带电微粒与不带电微粒在处碰撞后的速率为，由动量守恒定律得 由粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径，可知碰撞前后微粒做圆周运动的半径未发生变化，即碰后粒子的运动轨迹仍为；粒子在pa段的飞行时间为， 因为 所以。 故选D。 【变式训练1-7】如图所示，两个速度大小相同、比荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2∶1 B．比荷之比为2∶1 C．时间之比为3∶2 D．周期之比为2∶1 【答案】B 【解析】A．粒子1和粒子2的圆心O1和O2，如图所示 设粒子1的半径 R1=d 对于粒子2，由几何关系可得 解得 故轨迹半径之比为1∶2，故A错误； B．由牛顿第二定律可得 化简可得 可知，比荷之比为2∶1，故B正确； D．周期 得 故两粒子周期之比为1∶2，故D错误； C．速度的偏转角即圆心角，故粒子1的运动时间 粒子2的运动时间 故它们在磁场中运动的时间之比为3∶4，故C错误。 故选B。 【变式训练1-8】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为L D．放射源S发射的粒子中有20%的粒子可以击中ab板 【答案】C 【解析】A．击中板的粒子中运动最长时间，则使粒子竖直向下运动，轨迹圆与相切，轨迹圆的弧长为周长，所用时长，故A错误； B．击中ab板的粒子运动的最短时间，应使粒子与竖直方向成向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时长，故B错误； C．由牛顿第二定律得 解得 轨迹如图所示 上被粒子打中的区域的长度，故C正确； D．沿竖直向上方向和沿竖直向下方向射出的粒子均与屏相切，即射出在S点右侧的粒子可以打在平面感光板上，射出方向所占夹角为，故各个方向均匀发射的粒子中有的粒子可以击中板，故D错误。 故选C。 【变式训练1-9】如图所示，空间中存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，为磁场中一等边三角形区域，C为边的中点，E为DF上一点，，。一比荷为k的带电粒子从A点沿的垂线方向射入磁场，改变入射速度的大小，使粒子分别经过C、E点，若粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子从A点运动到C点的时间为 B．若粒子经过C点，则入射速度大小为2kBL C．D点和E点间的距离为 D．若粒子经过E点，则入射速度大小为 【答案】D 【解析】AB．粒子从A点运动经过C点的路径如图所示 由题意可知，点到点和到点的距离均为，则点为圆周运动的圆心，根据几何关系可知，圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律可得 解得 粒子从A点运动到C点对应的圆心角为 粒子在磁场中运动的周期为 粒子从A点运动到C点的时间为，故AB错误； CD．粒子在磁场中运动的周期为 即粒子在磁场中运动的周期与速度大小无关；因为粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，即粒子从A点运动到C点对应的圆心角和从A点运动到E点对应的圆心角相等，则粒子从A点运动到E点的轨迹如图 即△为等边三角形，则 又因为 所以， 解得， 根据牛顿第二定律可得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练1-10】 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中。哪个图是正确的？（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 据题：所有粒子的速率相等，由可知所有粒子在磁场中圆周运动半径相同，由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界，MO＝2r＝2R； 随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动；则可得出符合题意的范围应为A。 【变式训练1-11】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知氕核的质量为m，电荷量为q。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，如图所示 设运动半径为R，则有 可得 已知氕核的质量为m，电荷量为q，其为氢的同位素，写法为，则的相对原子质量为的3倍，则粒子的质量为3m，且可知电荷量为的2倍，即2q，则有 可得 【变式训练1-12】如图所示，在直线边界的上方存在垂直纸面向里磁感应强度为的匀强磁场，点在上。现从点垂直在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为、电量均为的粒子，已知，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，当粒子由N点飞出时，运动的时间最长，运动轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有 解得 由 联立解得 则 由牛顿第二定律有 解得 由几何关系可知，粒子运动轨迹的长度为 则粒子的运动时间为 故选C。 【变式训练1-13】如图所示，在实线以上的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边界点有一粒子源，能射出质量为、电荷量为+的带电粒子，粒子以不同的速率垂直向上进入磁场，若粒子从边界射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间最短是 B．粒子在磁场中运动的时间最长是 C．粒子的速率可能是 D．粒子的速率可能是 【答案】D 【解析】A．如图所示 带电粒子从C点或D点射出磁场时，运动时间最短，有 由 解得，A错误； B．如图所示 带电粒子运动轨迹与OD相切，从OC边界射出磁场时，运动时间最长 设若粒子从切点F射出 有 解得 但粒子经过F点后，还要继续运动，从OC边射出，则，B错误； C．若粒子从C射出，有 解得 若粒子从D射出，有 解得 故，C错误； D．由前面分析知D正确。 故选D。 【变式训练1-14】如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（　　） A．粒子带负电 B．从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率 C．从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间 D．所有粒子所用最短时间为 【答案】D 【解析】A．粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则，可知粒子带正电，A错误； B．根据 得 从M点射出粒子的圆周半径更小，则速度更小，B错误； CD．由 粒子周期不变，圆周运动的圆心角越大，运动时间越长，有几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，当弦切角越小，运动时间越短，如图 当弦与bc圆弧边界相切时，弦切角最小。Ob等于R，由几何关系，此时圆周运动的圆心角为 ，则最短时间为 M、N两点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子所用时间和从N点射出粒子所用时间的大小关系，C错误，D正确。 【变式训练1-15】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，bc为半径为r的半圆，ab、 cd与直径bc共线，ab间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q （q>0）的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。从abcd边界射出磁场所用时间最短的粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子做圆周运动的周期为，则有 假设粒子出射的点为点，粒子做圆周运动的圆心角为，则粒子运动的时间表示为 初速度与的夹角为，由几何关系可知，，即只要达到最小值，取到最小值，运动时间取到最小值，如图所示 当与圆弧相切时，达到最小值，根据几何关系可得 则带电粒子做圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律可得 解得 从abcd边界射出磁场所用时间最短的粒子的速度大小为 A正确，BCD错误。 【变式训练1-16】(多选)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则a、b两粒子(　　) A.运动半径之比为∶1 B.初速率之比为1∶ C.运动时间之比为5∶2 D.运动时间之比为6∶5 【答案】　AC 【解析】　设OP＝2d，则由几何关系可知ra＝＝2d，rb＝，可知a、b的运动半径之比为∶1，选项A正确；根据qvB＝m，可得v＝∝r，初速率之比为∶1，选项B错误；根据T＝，t＝T∝θ，a、b两粒子转过的角度之比为300°∶120°＝5∶2，则运动时间之比为5∶2，选项C正确，D错误。 【变式训练1-17】(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则(　　) A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B.所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 【答案】　AD 【解析】由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，整理得r＝，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，B错误；由周期公式T＝可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝T，故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C错误，D正确。 【变式训练1-18】(多选)如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A.质子在磁场中运动的半径为 B.α粒子在磁场中运动的半径为l C.质子在磁场中运动的时间为 D.质子和α粒子发射的时间间隔为 【答案】ACD 【解析】根据题意作出α粒子运动轨迹如图所示； 由几何知识可知，α粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 r＝l，因为α粒子做圆周运动的半径为r＝，质子与α粒子的比荷之比为2∶1，所以运动的半径之比为1∶2，质子运动的半径为，故A正确，B错误；α粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，由几何知识可知，α粒子在磁场中转过的圆心角θ1＝300°，α粒子在磁场中的运动时间t1＝T＝，质子从O射入P点射出，又质子运动的半径为，可知质子从O点射入的速度方向必与OP边界垂直，质子在磁场中转过的圆心角θ2＝180°，故t2＝。所以质子和α粒子发射的时间间隔为t1－t2＝，故C、D正确。 【变式训练1-19】(多选)如图，ab和ac是无限大磁场的分界线，在ab和ac的上下两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。，P、Q是分界线上的两点，且。现有一质量为m、电荷量为的粒子从P点沿PQ方向水平射出，粒子射出速度，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子运动的轨迹半径为 B．粒子由P点运动到Q点所用的时间为 C．若射出速度为，粒子第一次运动到ac边上的位置到a点的距离为 D．若射出速度为，粒子由P点运动到Q点所用时间为 【答案】AC 【解析】A．由洛伦兹力提供向心力有 解得 故A正确； B．可得粒子由P点到Q点的运动时间刚好是一个运动周期，则 故B错误； C．若射出速度为，运动半径为 由几何关系可知，粒子第一次运动到ac边上位置距a点的距离 故C正确； D．若射出速度变为，粒子由P点运动到Q点所用时间仍为一个周期，故D错误。 故选AC。 【变式训练1-20】(多选)如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上．不计重力．下列说法正确的有(　　) A．a、b均带正电 B．a在磁场中飞行的时间比b的短 C．a在磁场中飞行的路程比b的短 D．a在P上的落点与O点的距离比b的近 【答案】AD 【解析】试题分析：带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，要熟练应用半径公式和周期公式进行求解． 解：a、b粒子的运动轨迹如图所示： 粒子a、b都向下由左手定则可知，a、b均带正电，故A正确； 由r=可知，两粒子半径相等，根据上图中两粒子运动轨迹可知a粒子运动轨迹长度大于b粒子运动轨迹长度，运动时间a在磁场中飞行的时间比b的长，故BC错误； 根据运动轨迹可知，在P上的落点与O点的距离a比b的近，故D正确． 【变式训练1-21】(多选)如图所示，MN是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界。 一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点。下列说法正确的有 A．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v0 B．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v0 C．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于 D．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于 【答案】BC 【解析】A．当粒子垂直于MN入射时，经过MN时离O点最远，此时OA=2R0；若粒子的速度大于v0，则粒子的半径将变大，但是粒子如果速度方向与MN成一定角度入射，则仍可以到达A点左侧；选项A错误； B．若粒子落在A点的右侧，则说明粒子运动的圆半径大于R0，则其速度一定大于v0，选项B正确； C．当粒子从O点垂直MN入射，落在A点左侧相距为d的位置时，有 则 即 解得 则若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于，选项C正确； D．当粒子从O点垂直MN入射，落在A点右侧相距为d的位置时，有 则 即 解得 则若粒子大于v，但不是垂直MN入射，粒子同样可以落在A点左右两侧d的范围内，选项D错误； 【变式训练1-22】(多选)如图所示，空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场中有一粒子源O，可以均匀地向各个方向同时发出质量为m、电荷量为q、速率为v的带正电的粒子。PQ是平行磁场放置的足够长的挡板，P、Q为挡板的端点，挡板P端与O点的连线与挡板垂直，。假设打在挡板上的粒子都会瞬间被挡板吸收且其电荷被及时导走，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，（磁场区域足够大）下列判断正确的是（     ） A．若磁感应强度，则发出的粒子运动到挡板的最短时间为 B．若磁感应强度，则发出的粒子运动到P点最长时间为 C．若磁感应强度，则发出的粒子运动到挡板的最短时间为 D．若磁感应强度，则发出的粒子运动到挡板左侧最远的点离P点的距离为 【答案】BD 【解析】AB．粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。设粒子做圆周运动的半径为r。则有 解得 在磁场中运动的周期为 发出的粒子打到P点最长时间与最短时间的轨迹如图所示 由几何关系可得， 则最短时间为 最长时间为，故A错误，B正确； CD．若磁感应强度，则 解得 在磁场中运动的周期为 发出的粒子打到挡板最短时间和发出的粒子打到挡板左侧最远的点轨迹如图所示 由几何关系可知 解得 则发出的粒子打到挡板的最短时间为 由几何关系可得 解得 则发出的粒子打到挡板左侧最远的点离P点的距离为，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练1-23】(多选)如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【解析】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B．随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足， 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C．因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L 可得 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为，选项C正确； D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离 解得 选项D正确。 故选BCD。 【变式训练1-24】(多选)如图所示，半圆弧BCD为匀强磁场边界的一部分，磁场方向垂直于纸面向外。某带正电的粒子从A点垂直于磁场边界射入，已知圆弧的半径为R，圆心O与ABD共线，AB＝R，粒子的电量为q，质量为m，初速度为v0，要使带电粒子运动到D点，不计粒子的重力。则磁感应强度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】解：当粒子不经过半圆弧BCD内部，直接到达D点时，此时半径r， 根据洛伦兹力提供向心力：qvBm，可得B 当粒子经过半圆弧BCD内部，直接到达D点时，半径满足：（2n+1）r′＝3R（n＝0，1，2，3，...） 当n＝1时，解得B，其余选项均不符合表达式。 故BC正确，AD错误； 故选：BC。 【变式训练1-25】如图所示，两个同种粒子和，质量均为，电荷量均为，初速度大小均为，从点沿垂直磁场方向进入匀强磁场中，如图，的初速度方向与屏垂直，的初速度方向与的初速度方向成角，最后都打到屏上，不计重力。 判断、粒子带正电还是负电。 求在磁场中飞行的轨道半径和位移的大小。 求在磁场中飞行的周期和时间。 【答案】见解析 【解析】因粒子均向下偏转，则由左手定则可知，两粒子均带正电； 根据洛伦兹力提供向心力可得： 解得： 两粒子运动轨迹如图所示： 根据几何关系可得在磁场中飞行的位移大小：； 根据周期公式可得： 两粒子为相同粒子且速度相同，则由可知，、粒子的两粒子半径相等，即 代入周期公式可得：； 根据几何关系可得粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为： 则在磁场中飞行的时间为： 解得：。 题型02：带电粒子在平行边界磁场中的运动 【典型例题1】如图所示，有界匀强磁场边界线SP平行于MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2则t1：t2为（重力不计）（ ） A.1：3 B.4：3 C.1：1 D.3：2 【答案】 D 【解析】 粒子在磁场中运动的周期的公式为，由此可知，粒子的运动的时间与粒子的速度的大小无关，所以粒子在磁场中的周期相同，由粒子的运动的轨迹可知，通过a点的粒子的偏转角为90°，通过b点的粒子的偏转角为60°，所以通过a点的粒子的运动的时间为，通过b点的粒子的运动的时间为，所以从S到a、b所需时间t1：t2为3：2，所以D正确。 【典型例题2】如图所示，真空区域内有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电的粒子不计重力，沿着与夹角为的方向以某一速度射入磁场中，粒子恰好未能从边界射出磁场。下列说法不正确的是() A. 可求出粒子在磁场中运动的半径 B. 可求出粒子在磁场中运动的加速度大小 C. 若仅减小射入速度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短 D.若仅增大磁感应强度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短 【答案】C 【解析】根据题意可以分析粒子到达边界时速度方向与边界线相切，如图所示 则根据几何关系可知 解得 在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 则加速度为，AB正确； 根据， 若仅减小射入速度，则粒子在磁场中运动的半径减小，可知粒子运动轨迹的圆心角不变，时间不变， 若仅增大磁感应强度，粒子运动轨迹的圆心角不变，粒子在磁场中运动的时间变短，C错误，D正确。 本题选择错误选项，故选：。 【典型例题3】如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则（　　） A．两粒子圆周运动的周期之比 B．两粒子的质量之比 C．两粒子的轨道半径之比 D．两粒子的速率之比 【答案】A 【解析】A．如图 由几何关系可得，从A运动到B，a粒子转过的圆心角为，b粒子转过的圆心角为，两粒子运动时间相同，根据 可得运动周期为 故A正确； BCD．设粒子a的运动轨迹半径为Ra，粒子b的运动轨迹半径为Rb，根据几何关系可知 整理可得 两粒子做匀速圆周运动有 由此可得 粒子所受洛伦兹力提供向心力，故有 整理可得 由此可得 故BCD错误。 【典型例题4】(多选)如图4所示是小齐同学设计的一个能够测量电流的装置，其上部是一根粗细均匀横截面积为S的竖直细管，下部是一截面为正方形(边长为L)的容器。该容器左右两壁为导体，其他各面是绝缘的，其底部与大气相通。容器内有一个正方形的金属活塞，其边长也为L，可在容器内无摩擦滑动。活塞下面有一轻质弹簧支撑着，已知弹簧的劲度系数为k，活塞上部充有密度为ρ的绝缘油(测量过程中细管内始终有绝缘油)。容器的左右两壁与一电路连接，整个装置放在水平向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。开关K闭合前，活塞处于静止状态，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，则(　　) 图4 A.闭合开关K后，竖直细管中油柱的上表面会向上移动 B.闭合开关K后，竖直细管中油柱的上表面会向下移动 C.若油柱稳定后上表面变化的高度为x，则回路中的电流为I＝x D.若油柱稳定后上表面变化的高度为x，则回路中的电流为I＝x 【答案】BC 【解析】闭合开关K前，活塞受到重力、弹簧的弹力和液体的压强产生的压力，设这时液体的高度为h0，弹簧的弹力为F0，由受力平衡得mg＋ρgh0L2＝F0，闭合开关K后，电流的方向从右向左，根据左手定则可以判定安培力的方向向下，此时受力平衡mg＋ρghL2＋ILB＝F，活塞会向下运动，即液体的高度要减小，油柱的上表面要下降，故A错误，B正确；油柱上表面下降x，则进入容器的液体的体积ΔV＝S·x，故活塞下降的高度x′＝＝x，液体的高度h＝h0－x＋x′＝h0＋(－1)x，弹簧的弹力变化F－F0＝kx′＝kx，联立解得I＝x，故C正确，D错误。 【典型例题5】 如图所示，两平行金属板P、Q竖直放置，两极板间的电压为U．放在P板附近的离子源释放出质量为m，带电量为－q的离子，离子经加速电场加速后垂直磁场边界从A点进入一个匀强磁场，磁场左右边界平行，距离为l。该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。不计离子的重力。 （1）认为离子飘入加速电场时的速度很小，近似为零，求粒子从A点进入磁场的速度v； （2）若离子刚好从D点离开磁场，且离开磁场时，向下偏移的距离，求该离子在磁场中的运动时间； （3）若加速电压U和磁场的磁感应强度B均可调，欲使粒子不能从右边界射出，应如何调节U和B？ 【答案】 （1） （2） （3）减小U或者增大B 【解析】 （1）粒子到达A点前只有电场力做功，故由动能定理可得：， 所以，粒子从A点进入磁场的速度； （2）粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，故粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有； 根据粒子做匀速圆周运动，由几何关系可得：，所以，； 粒子在磁场中转过的中心角，故粒子在磁场中的运动时间； （3）欲使粒子不能从右边界射出，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R≤l，即需减小轨道半径； 故由洛伦兹力做向心力可得：； 故根据轨道半径减小可得：要减小U或者增大B。 【变式训练2-1】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是(　) A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为 【答案】：D 【解析】：电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示 A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－＝2d－＝(2－)d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝＝0.5，得θ＝，则电子在磁场中运动的时间为t＝＝，故D正确． 【变式训练2-2】如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏转角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d B.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为 C.带电粒子在匀强磁场中运动的时间为 D.匀强磁场的磁感应强度大小为 【答案】B 【解析】　由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝＝2d，选项A错误；带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为ω＝，选项B正确；带电粒子在匀强磁场中运动的时间为t＝×，选项C错误；根据qv0B＝m，解得匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，选项D错误。 【变式训练2-3】两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比 C．两粒子的速度大小之比 D．两粒子的质量之比 【答案】D 【解析】A．由题意可知a粒子顺时针偏转，b粒子逆时针偏转，根据左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误； B．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示 由图中几何关系可得 则有 故B错误； D．由几何关系可知从A运动到B，a粒子转过的圆心角为，b粒子转过的圆心角为，根据运动时间相同可得粒子运动周期之比为 再根据洛伦兹力做向心力可得 所以，运动周期为 根据电荷量相等可得 故D正确； C．根据 可得 故C错误。 【变式训练2-4】如图5，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面(xOy平面)向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x轴正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点，SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为(　　) 图5 A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 【变式训练2-5】如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 由几何知识得， 则与的比值 故选D。 【变式训练2-6】(多选)如图所示，在直角坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A.它的轨道半径为d B.它进入磁场时的速度为 C.它在磁场中运动的时间为 D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 【答案】　AB 【解析】　粒子运动轨迹如图所示，r+rsin 30°=d，可得粒子运动轨道半径为r=d，故A正确；由qvB=m，r=d，可得粒子进入磁场时的速度为v==，故B正确；T==，由几何关系知t=T，可得粒子在磁场中运动的时间为t=，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y=-2rcos 30°=-d，故D错误。 【变式训练2-7】(多选)真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，根据几何关系有 解得 根据 可得 故选CD。 【变式训练2-8】如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： (1)电子运动的轨迹半径r； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间t。 【答案】(1)2d (2) (3) 【解析】（1）作入射、出射速度的垂线确定轨迹圆心，由几何关系，可得r = 2d （2）设电子质量为m、电量为e，由洛伦兹力提供向心力得，解得 （3）由洛伦兹力提供向心力，运动的周期，得 由，代入周期得 【变式训练2-9】如图所示的狭长区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，区域的左、右两边界均沿竖直方向，磁场左、右两边界之间的距离，磁场磁感应强度的大小为某种质量为，电荷量的带正电粒子从左边界上的点以水平向右的初速度进入磁场区域，该粒子从磁场的右边界飞出，飞出时速度方向与右边界的夹角为重力的影响忽略不计． 求该粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 求该粒子的运动速率； 求该粒子在磁场中运动的时间． 【答案】解：粒子运动的轨迹如图。 由于飞出时速度方向与右边界的夹角为，所以偏转角是，由图中几何关系可得 解得 由于粒子受到的洛伦兹力作向心力，则 得 粒子圆周运动的周期 根据运动轨迹的几何关系可知运动时间 【变式训练2-10】如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （2）粒子在左侧磁场运动，设从MN射出时速度方向与MN的夹角为θ，由于O到的距离，结合，根据几何关系可知； 粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动，所以粒子从PQ进入右侧磁场时与PQ的夹角；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有 解得 根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距 （3）由图可知粒子在左边磁场运动的时间 粒子在右边磁场运动的时间 根据对称性可知粒子在MN左侧进出磁场的距离 所以粒子从MN到PQ过程中运动的距离为 粒子在MN和PQ之间运动的时间 综上可知粒子完成完整运动回到O点的周期为 题型03：带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题 【典型例题1】如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，若带电粒子速率不变，磁场方向改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　 B．45° C．60° D．120° 【答案】D　 【解析】磁场方向改为垂直纸面向里，粒子进入磁场后向左偏转，运动轨迹如图所示． △OAD和△ODC都是等边三角形，所以∠AOC＝120°，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角是120°，故选D. 【典型例题2】 如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)，从A点沿半径方向以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并由B点射出，且∠AOB＝120°，则该粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　由图中的几何关系可知，圆弧所对的轨迹圆心角为60°， O、O′的连线为该圆心角的角平分线， 由此可得带电粒子圆轨迹半径为R＝rcot 30°＝r. 故带电粒子在磁场中运动的周期为T＝＝. 带电粒子在磁场区域中运动的时间t＝T＝T＝. 归纳总结：粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝T或t＝T. 【典型例题3】如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为R B．粒子的比荷为 C．由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D．从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为 【答案】B 【解析】C．粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远说明MN是粒子做圆周运动的轨迹直径，故从N点射出的粒子运动方向偏转了180°，故C错误； A．根据几何关系可知 得粒子在磁场中运动的半径为，故A错误； B．由粒子所受洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，有 解得粒子的比荷为，故B正确； D．由几何关系可知从M点射入的所有粒子在磁场中轨迹所能达到的区域面积应大于轨迹圆的半圆面积，则必大于，故D错误。 故选B。 【典型例题4】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　）    A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向竖直向下 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【答案】C 【解析】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为 四边形AONP的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为 故A错误； B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B错误； C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确； D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为 故D错误。 故选C。 【典型例题5】如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 【答案】B 【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有， 解得， 由于带电粒子a和b质量相等、所带电荷量大小也相等，则两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，故A错误； B．令粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角为，则粒子在磁场中运动时间 根据图示可知，a粒子圆周运动轨迹对应圆心角大于b粒子圆周运动轨迹对应圆心角。则穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长，故B正确； C．洛伦兹力方向始终垂直于粒子运动速度的方向，可知，洛伦兹力始终不做功，故C错误； D．根据图示可知，a粒子圆周运动的半径小于b粒子圆周运动的半径，结合上述可知，射入圆形磁场区域时a粒子的速率较小，故D错误。 故选B。 【典型例题6】（多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t；不计带电粒子所受重力，则（　　） A．该带电粒子带正电 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2R C．若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为2t 【答案】ABD 【解析】依题意，可画出粒子以和两种情况下在磁场中的运动轨迹如图所示 A．根据左手定则判断知，该带电粒子带正电，故A正确； B．依题意，设粒子以速度飞入磁场中时，在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何知识可得 粒子在磁场中做圆周运动的半径为 CD．粒子以速度大小为2v飞入磁场时，半径为，根据几何知识可得此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为；若仅将速度大小改为v，根据，则粒子在磁场中运动的半径变为，利用几何知识可判断知，此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，粒子在磁场中运动的时间 根据，可知粒子在磁场中运动的周期与速度无关，则可得粒子以速度飞入磁场时，在磁场中运动的时间为 故C错误，D正确。 【典型例题7】（多选)如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度（大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断正确的是（　　）。 A．该粒子的初速度为 B．该粒子从bc弧中点以相同的速度进入磁场后在磁场中运动的时间是第一次运动时间的1.5倍 C．以从b点沿各种方向进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点 D．以从b点沿各种方向进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是 【答案】BD 【解析】A．该粒子从b点射入磁场，从a点垂直x轴离开磁场，则运动半径为 r=R 根据 解得初速度为 选项A错误； B．该粒子第一次在磁场中运动，其周期 运动了个周期，则运动时间为 该粒子第二次以相同的初速度从圆弧bc的中点d沿平行于x轴正方向进入磁场，其轨迹半径不变也为R，如图所示； 由几何关系可知，该粒子第二次仍然从a点离开磁场，粒子转过的圆心角为 θ=90°+45°=135° 所以运动时间 所以有 选项B正确； C．以从b点沿各种方向进入磁场的该种粒子运动半径为，从边界出射的最远点距离b点的距离为R，则该点不是a点，选项C错误； D．以从b点沿各种方向进入磁场的该种粒子在磁场中运动的半径为2R，则运动时间最长时，对应的弦最长，最长弦长为2R，则转过的角度为60°，则最长时间是 选项D正确。 【典型例题8】如图所示，平面直角坐标系内有一圆形有界磁场Ⅰ和一矩形有界磁场Ⅱ（未画出）。磁场Ⅰ圆心坐标为，半径为，磁场Ⅱ位于轴左侧。磁场Ⅰ、Ⅱ的方向均垂直纸面向外，磁感应强度的大小分别为，有界区域边界上均有磁场。位于坐标原点的粒子源（大小忽略不计）可以向轴右侧任意方向发射质量均为、电荷量均为、速率均为的同种带正电粒子，这些粒子的出射点都位于轴下方的一段圆弧（为圆弧上离点最远的点，未画出）上。若从点出射的带电粒子依次经过真空区域、磁场Ⅱ、真空区域后恰好能回到点，且该粒子先后两次经过轴的速度方向与轴的负方向的夹角相同。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)P点的坐标； (2)从P点射出的粒子在矩形磁场区域中运动的时间； (3)矩形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1）粒子在磁场Ⅰ中，根据洛伦兹力提供向心力 解得，由题意知，与轴正方向的夹角为 根据几何关系有， 解得， 即点坐标为 （2）粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力，解得 由题意知粒子在磁场Ⅱ转过的角度为，，解得 （3）设最小矩形的长为，宽为，由几何关系知， 矩形面积 联立解得 【变式训练3-1】图示为一粒子速度选择器原理示意图．半径为10 cm的圆柱形桶内有一匀强磁场，磁感应强度大小为1.0×10－4 T，方向平行于轴线向外，圆桶的某直径两端开有小孔，粒子束以不同角度由小孔入射，将以不同速度从另一个孔射出．有一粒子源发射出速度连续分布、比荷为2.0×1011C/kg的带正电粒子，若某粒子出射的速度大小为2×106 m/s，粒子间相互作用及重力均不计，则该粒子的入射角θ为(　　) A．30° B．45° C．53° D．60° 【答案】B　 【解析】 画出粒子在圆形匀强磁场区域运动轨迹，如图所示，由图中几何关系可得rsin θ＝R，由 洛伦兹力提供向心力，qvB＝ m，＝2.0×1011 C/kg，联立解得θ＝45°，选项B正确． 【变式训练3-2】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成600角．现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，据牛顿第二定律有，解得粒子第一次通过磁场区时的半径为，圆弧 AC所对应的圆心角∠ AO′ C＝60°，经历的时间为（ T为粒子在匀强磁场中运动周期，大小为，与粒子速度大小无关）；当粒子速度减小为 v/3后，根据知其在磁场中的轨道半径变为 r/3，粒子将从 D点射出，根据图中几何关系得圆弧 AD所对应的圆心角∠ AO″ D＝120°，经历的时间为．由此可知B项正确． 【变式训练3-3】如图为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以速度v1（沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（　　） A．半径之比为 B．半径之比为 C．时间之比为 D．时间之比为 【答案】A 【解析】AB．设圆柱形区域为R，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识可知 轨道半径之比 故A正确，B错误； CD．粒子在磁场中做圆周运动的周期 由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角 粒子在磁场中的运动时间 粒子的运动时间之比 故CD错误。 【变式训练3-4】如图所示，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆周上一点，在O点处有一粒子源，可沿半径方向射出不同速率的相同带电粒子，其中带电粒子1、2分别从A、B两点飞出磁场，且两粒子的入射方向与出射方向的夹角（锐角）均为60°，不考虑带电粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子1、2的速率之比为（　　） A．3：1 B．1：3 C．：1 D．1： 【答案】B 【解析】设磁场的半径为R，粒子在磁场中做圆周运动，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识可知，粒子做圆周运动转过的圆心角分别是θ1=120°，θ2=60，设粒子的运动轨道半径为r1，r2，则有 ， 解得 粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向尽力，则有 解得 因电量、质量和磁感应强度相同，故，则，故选B。 【变式训练3-5】如图所示，在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的圆形边界匀强磁场中，磁场半径为。、两个带正电的粒子以相同的动能，沿平行于直径的方向射入磁场，射入点与的距离为，已知、两粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角分别为和，且。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．、两粒子速率之比 B．、两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比 C．、两个粒子质量之比 D．、两个粒子磁场中运动时间之比 【答案】D 【解析】B．磁场半径为，射入点到竖直直径的距离为，因此射入点与磁场圆心连线和夹角为。 设粒子偏转角（速度偏转角等于轨迹圆心角）为，如图：对A粒子，，得轨迹半径 对B粒子，，得轨迹半径 因此，故B错误； AC．洛伦兹力提供向心力，动能 由题相同，因此为定值， 代入，，得 动能相同，，因此，故AC错误； D．粒子在磁场中运动时间，周期，因此 即，故D正确。 故选D。 【变式训练3-6】如图所示，在平面中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为。电子在磁场中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设电子的轨迹半径为R，电子的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 电子在磁场中运动的时间为 故选B。 【变式训练3-7】如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（未画出），一质量为m、带电荷量为的微粒从圆上的N点以一定的速度沿图中虚线方向射入磁场，从圆上的M点离开磁场时的速度方向与虚线垂直。已知圆心O到虚线的距离为，不计微粒所受的重力，下列说法正确的是（　　） A．微粒在磁场区城内运动的时间为 B．微粒射入磁场时的速度大小为 C．微粒在磁场中运动的轨迹半径为 D．微粒到圆心O的最小距离为 【答案】B 【解析】A．设微粒的速度大小为v，微粒在匀强磁场中运动的轨道半径为r，则有 ， 解得 由于偏转角为，则轨迹对应的圆心角也为，则有 解得 故A错误； C．作出粒子的运动轨迹如图所示 A点为微粒运动轨迹的圆心，设圆心O到MA的距离为x，到MC的距离为y，则有 ，， 解得 故C错误； B．根据 结合上述解得 故B正确； D．微粒到圆心O的最小距离 结合上述解得 故D错误。 故选B。 【变式训练3-8】如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。质量为m、电荷量为q的带正电粒子由M点沿与过该点的直径成30°角的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。不计粒子重力，则(　　) A.粒子的运动速度大小为 B.粒子在磁场中运动的时间为 C.若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变 D.若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长 答案　C 【解析】　根据题意作出粒子运动轨迹图， 根据几何关系可知半径为r＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝，故A错误；根据几何关系可知圆心角为120°，则运动时间为t＝T＝，故B错误；只改变粒子的速度方向，不改变粒子的速度大小，则粒子轨迹圆的半径保持不变；则粒子轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的交点构成菱形，故粒子出磁场时速度方向不变，故C正确；若增大粒子的运动速度，则半径增大，轨迹如图， 根据几何关系可知圆心角减小，则粒子在磁场中的运动时间变小，故D错误。 【变式训练3-9】如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是（　　） A.粒子带正电 B.粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C.粒子在磁场中运动的时间为 D.圆形磁场区域的半径为tan θ 【答案】D 【解析】根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A不符合题意；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝，由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝，B不符合题意；粒子做匀速运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝·T＝，C不符合题意；设圆形磁场区域的半径为R，由tan ＝，解得R＝rtan ＝·tan ，D符合题意。 【变式训练3-10】如图所示，以O为圆心、MN为直径的圆的左半部分内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个不计重力、质量相同、带电量相同的带正电粒子a、b和c以相同的速率分别沿aO、bO和cO方向垂直于磁场射入磁场区域，已知bO垂直MN，aO、cO和bO的夹角都为30°，a、b、c三个粒子从射入磁场到射出磁场所用时间分别为ta、tb、tc，则下列给出的时间关系不可能的是（ ） A.ta＜tb＜tc B.ta＜tb＝tc C.ta＝tb＜tc D.ta＝tb＝tc 【答案】 C 【解析】 粒子带正电，偏转方向如图所示， 粒子在磁场中的运动周期相同，在磁场中运动的时间， 故粒子在磁场中运动对应的圆心角越大，运动时间越长。 若粒子的运动半径r和圆形区域半径R满足r＝R，则如图甲所示，ta＜tb＝tc，故B正确； 当r＞R时，粒子a对应的圆心角最小，c对应的圆心角最大，则：ta＜tb＜tc，故A正确； 当，轨迹如图乙所示，ta＝tb＝tc，同理，时，ta＜tb＝tc，故D正确； 由于粒子在磁场中偏转角度不同，则粒子在磁场中的运动时间不相等，故C错误； 本题选错误的。 【变式训练3-11】一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为30°，因此粒子在磁场中运动的时间为 粒子在磁场中运动的时间与筒转过90°所用的时间相等，即 解得 【变式训练3-12】如图所示，正三角形的三条边都与圆相切，在圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质子P(H)和氦核Q(He)都从顶点A沿∠BAC的角平分线方向射入磁场，质子P(H)从C点离开磁场，氦核Q(He)从相切点D离开磁场，不计粒子重力，则质子和氦核的入射速度大小之比为(　　) A．6∶1 B．3∶1 C．2∶1 D．3∶2 【答案】A　 【解析】当质子P(H)从顶点A沿∠BAC的角平分线方向射入磁场，根据对称性可画出图象如图1所示． 　 图1　　　　　　图2 设内切圆的半径为R，根据数学知识可得：此时轨迹半径为：r1＝＝R； 当氦核Q(He)从顶点A沿∠BAC的角平分线方向射入磁场，根据对称性可画出图象如图2所示； 由几何关系可得此时轨迹半径为r2＝Rtan 30°＝R.所以r1 ∶r2＝3∶1. 由r＝，可得v1 ∶v2＝∶＝6∶1.选项A正确． 【变式训练3-13】如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（　　） A.沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短 B.沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子 C.沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为 D.沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8 【答案】C 【解析】由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB＝m，T＝，解得T＝，可知四种粒子在磁场中运动的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝T，可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误；由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，B项错误；设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝r，根据qBv＝m，可得＝＝，C项正确；由上述分析可知，粒子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比，所以＝＝＝，D项错误。 【变式训练3-14】如图所示是半径为R的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔a和b，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为B的匀强磁场中。质量为m、电荷量为﹣q的粒子，从小孔a以一定初速度与ab连线成θ角入射，最终从b孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若θ，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若θ，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若θ，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若θ，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 【答案】B 【解析】先利用弦长公式分析选项A的轨迹半径与粒子速率，再结合圆筒内粒子碰壁一次的两类几何模型，借助正弦定理推导轨迹半径表达式，根据θ取值范围判定解的个数，逐一甄别BCD选项。 解：A.若，粒子无碰撞直接从a到b，ab是圆筒直径，长度2R，速度与弦ab的夹角为θ，弦长ab＝2rsinθ＝2R， 解得r＝2R， 由，，故A错误； BCD. 如果粒子与筒壁发生一次碰撞，可能存在两种情况如上图，其中， 左图中，由正弦定理， 右图中，由正弦定理， 根据r2的表达式，当时，有两个大于零的半径解r1和r2，而当时，只有一个大于零的半径解r1， 所以当，速度只有一个解， 当，速度有两个解，和，故B正确，CD错误。 故选：B。 【变式训练3-15】如图10所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) 图10 A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 【答案】D 【解析】　根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误；当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入磁场区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，又T1＝，则最短时间间隔为tmin＝2T1＝，C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，联立解得v2＝，D正确。 【变式训练3-16】xOy平面内存在垂直于该平面的半径为R的圆形磁场区域，与直角坐标系y轴、x轴相切于P、Q两点。一带电粒子从P点以速率v指向圆心方向进入磁场，恰好从Q点离开。若该带电粒子从P点进入磁场时的速度方向变为θ=60°，如图所示，速度大小不变，不计重力。则该粒子经过x轴时的坐标位置及在第一象限运动的时间分别为(　　) A.(+1)R，(+ B.(+1)R， C.2R，(+ D.， 【答案】　A 【解析】　由题意带电粒子从P点以速率v指向圆心方向进入磁场，恰好从Q点离开，可知带电粒子在磁场中运动的轨迹半径r=R，当粒子以θ=60°射入磁场时，轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的圆心角α=，在磁场中运动的时间t1=，粒子离开磁场后垂直x轴向下运动，从离开磁场到运动至x轴的时间为t2==，粒子经过x轴时的坐标位置x=R+Rcos 30°=(+1)R，在第一象限运动的时间为t=(+，故选A。 【变式训练3-17】如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子（）和α粒子（）先后从边界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，α粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为。质子和α粒子的动能之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设磁感应强度垂直纸面向外，大小为B，质子的质量和带电荷量分别为m、q，则α粒子的质量和带电荷量分别为4m、2q，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期公式为 所以质子和α粒子在磁场中做圆周运动的周期之比为 设质子和α粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角分别为θp和θα，轨迹半径分别为rp和rα，它们在磁场中运动的时间相等，有 所以 作出两粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知， 由题意知 可求得 设它们的速度分别为vp和vα，由洛伦兹力提供向心力有 可得动能 质子和粒子的动能之比 故选A。 【变式训练3-18】如图所示，圆形区域的圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径。从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场。已知，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子带正电荷 B．乙粒子与甲粒子的比荷之比为3：1 C．乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为3：1 D．乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为3：1 【答案】B 【解析】A．根据左手定则可知，乙粒子带负电，故A错误； BCD．粒子的轨迹如图 设圆形磁场的半径为R，有几何关系可知甲的半径为 乙的半径为 则乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为 由 可得乙粒子与甲粒子的比荷之比为 粒子在磁场中运动时间为 其中为速度的偏转角，则乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为 故B正确；CD错误。 【变式训练3-19】（多选)如图所示，半径为R的圆形区域磁场内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，半径OC与ON成600夹角。质子甲、乙分别以速率v、从A点沿直径AN方向射入磁场，甲、乙分别从C、D点（D点未画出）射出磁场。质子的电荷量为q、质量为m，下列说法正确的是（　　） A．质子甲在磁场中运动的轨迹半径为 B．质子乙在磁场中运动的轨迹半径为 C．质子甲在磁场中运动的时间为 D．A、D两点之间的距离为 【答案】AC 【解析】A．如图所示，有几何关系可知质子甲在磁场中运动的半径为 故A正确； B．洛伦兹力提供向心力 得 质子甲、乙分别为速率v、，可得质子乙在磁场中运动的轨迹半径为 ，故B错误； C．质子甲在磁场中的运动时间为 故C正确； D．由几何关系 则 所以A、D两点之间的距离为R，故D错误。 故选AC。 【变式训练3-20】（多选)如图所示，在xOy坐标平面第一象限的圆形区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆的半径为R，与x轴和y轴分别相切于P点和Q点，圆心在C点，在y轴上A（0，R）点沿x轴正向射出一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，粒子进入磁场后经偏转刚好经过圆心C，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为R B．粒子出磁杨时的速度方向沿y轴正向 C．粒子出磁场时的速度大小为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】CD 【解析】A．根据题意可以得到如图轨迹 圆心为B点，进入磁场的点为，出磁场的点为，因为A（0，R），则根据几何关系可得 ∠QCA’=30° 则 ∠CA’B=60° 得到△A’BC为等边三角形，圆周运动的半径为R。A错误； B．粒子出磁场时速度方向为左向上，与竖直方向成30°，B错误； C．洛仑兹力提供向心力，则 得到 C正确； D．粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为120°，则运动时间为 D正确； 【变式训练3-21】（多选)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子1可能为中子 B．粒子2可能为电子 C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 【答案】AD 【解析】AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误； C.由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误； D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有 解得 可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。 【变式训练3-22】（多选)研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为R、圆心为O的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，cd、ab为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为v0，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上P点射入磁场，入射速度方向平行于cd、与OP夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【答案】BC 【解析】解：A.根据粒子向下方偏转，由左手定则分析可得粒子带正电，故A错误； BC.根据运动情况分析由b点射出的粒子对应速度为v0，如下图所示 由几何关系得对应半径为R，可知，由d点射出的粒子速度最大，由几何关系得对应半径为，可知，所以，可得，故BC正确； D.由b点射出的粒子对应运动时间最长，转过的角度为，运动时间为，由d点射出的粒子在磁场中运动时间最短，转过的角度为，运动时间为，最长、最短时间差为，故D错误。 故选：BC。 【变式训练3-23】（多选)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0沿和直径成角的方向垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点射出。已知为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是（　　）    A．该点电荷带负电 B．该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R C．该点电荷的比荷为 D．该点电荷在磁场中的运动时间为 【答案】AD 【解析】A．由题意可知，点电荷应向下偏转，由左手定则可知，该点电荷带负电，故A正确； B．由题意可知，点电荷在磁场中做匀速圆周运动轨迹对应的弦长为2R，设点电荷做匀速圆周运动的半径为r，由弦长公式可得 解得 故B错误； C．点电荷做匀速圆周运动所受洛伦兹力提供向心力，则有 则比荷 故C错误； D．由题意可知，点电荷做匀速圆周运动的圆心角 则该点电荷在磁场中的运动时间为 故D正确。 故选AD。 【变式训练3-24】（多选)如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，直径ab水平。电子带电荷量为、质量为m，以速率v从a处始终沿纸面射入磁场，当电子在a处的速度方向与aO夹角为30°、斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60°。不计电子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为 B．改变入射方向，当电子经过O点时，电子在磁场中的运动时间为 C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变 D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变 【答案】BC 【解析】A．设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心为C，出射点为d，如图甲所示，由于电子离开磁场时的速度方向相比进入时的速度方向改变了60°，可知，由三角形全等可知 电子从d点射出时的速度方向竖直向下，可知为等腰三角形，可知电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径 根据洛伦兹力提供电子在磁场中做圆周运动的向心力可得 代入半径可得 故A错误。 B．改变电子在a处的入射方向，当电子经过O点时，如图乙所示，轨迹圆心在圆形边界上的D点，出射点在e点，可知四边形aOeD为菱形，三角形aOD，eOD为等边三角形，电子从e点射出时速度方向仍竖直向下，在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120°，电子在磁场中的运动时间为 故B正确。 C．改变电子在a处的入射方向，设电子从一般位置f射出，轨迹圆心为P，同理可知四边形aOfP为菱形，出射点对应轨迹半径，可知电子射出磁场时速度方向仍竖直向下，即改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变，故C正确，D错误。    故选BC。 【变式训练3-25】（多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 【答案】BD 【解析】假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图甲所示， O1为圆周运动的圆心，由题可知粒子沿半径方向射入圆形磁场，出射时也沿半径方向，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性得粒子在其他点撞击同理，D正确； 假设粒子运动过程过O点，粒子从P点进入磁场中速度发生偏转，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的，不能交于一点确定圆心； 撞击筒壁A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；由题意可知粒子射入磁场以后的每次偏转轨迹圆心连线组成的多边形应为以筒壁为内接圆的多边形，这个多边形最少应为三角形，如图乙所示， 即撞击两次，B正确；速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数可能增多，故粒子运动时间不一定减少， C错误。 【变式训练3-26】（多选)如图8所示，半径为R的一圆形区域，O为圆心，P为边界上的一点，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为－q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速率v＝射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向夹角为θ＝30°。下列说法正确的是(　　) 图8 A.两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R B.a粒子在磁场中运动的时间为 C.b粒子在磁场中运动的时间为 D.a、b粒子离开磁场时的速度方向夹角为30° 【答案】　AC 【解析】　由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝R，故A正确；粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子a、b在磁场中的运动周期均为T＝＝，由轨迹图可知θa＝90°，θb＝120°，则a、b粒子在磁场中的运动时间分别为ta＝T＝，tb＝T＝，故B错误，C正确；由图中轨迹可知，a、b粒子离开磁场时的速度方向都与OP方向垂直，即a、b粒子离开磁场时的速度方向平行，故D错误。 【变式训练3-27】（多选)如图所示，半径为的圆形区域内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，和是边界圆的两条互相垂直的直径。为半径上的点，且。为磁场边界上的点，。从点沿方向射入大量电子，电子的质量为，电荷量大小为，电子的速率范围从到足够大。沿半径放置长为的挡板，挡板厚度不计，电子打到挡板上时即被挡板吸收。已知，不计电子重力，则关于从弧段离开磁场区域的电子，在磁场中运动的最短时间和最长时间，下列说法正确的是（　　） A．最短时间大于 B．最短时间小于 C．最长时间小于 D．最长时间大于 【答案】BC 【解析】由题，点坐标为，电子从水平向右射入，带负电，受洛伦兹力竖直向下，做顺时针圆周运动，圆心在正下方，即 若粒子刚好打到挡板，则 故粒子从弧段离开磁场区域，轨迹半径满足 设粒子轨迹圆心角为，当半径越小时，越大，运动时间 法一：解析解法 求轨迹圆心角： 设出射点为，两圆心连线长度 解得 在两圆中弦为公共弦，连心线垂直平分公共弦，设垂足为 ， 故 又 解得半弦长 在轨迹圆中，弦所对劣弧圆心角满足 所以 而粒子轨迹对应圆心角为 求时间：当时，， 故 所以 当时，， 故 所以 综上 故选BC。 法二：近似解法 若粒子可从打出，则圆心到的距离有 解得 由几何关系此时圆心角为，则时间 当电子速率足够小时，轨道半径足够小，轨迹圆与磁场圆公共弦可近似看作过点的磁场圆切线（见放大图），则轨迹圆最大圆心角不会超过，，则时间 综上 故选BC。 【变式训练3-28】（多选)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】A．带电粒子往下偏转，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A正确； B．所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，作出运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，图中四边形为菱形，则粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有 解得，故B正确； CD．当粒子流按如上图所示的方式入射时，所经过区域面积最小，故C错误，D正确。 故选ABD。 【变式训练3-29】（多选)如图所示，真空中半径为R的圆形区域内有垂直圆面，磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆周上P点有粒子源，圆外与OP平行放置粒子收集板，板长为R，板关于与垂直于OP过圆心O的直线对称放置。粒子源可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相同，质量均为m，电荷量均为q的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．能够打在收集板上的粒子数占总数的 C．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直 【答案】BC 【解析】A．由左手定则可知圆内的磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．从磁场射出的刚好打在收集板左端、右端的粒子，其运动轨迹如图所示 由几何关系可得α=30°，入射速度方向与PO的夹角θ=θ′=30°，则能够打在收集板上的粒子数占总数的比例为，故B正确； C．粒子在磁场中运动，解得，打在右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有，故C正确； D．由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场的半径R相等，则有，解得，若粒子速度增大，则运动半径增大，不符合磁发散条件，打在收集板上的粒子速度方向与收集板不垂直，故D错误。 故选BC。 【变式训练3-30】（多选)如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，为圆心。在磁场边界上点有一粒子源，粒子可以沿圆面向磁场内各个方向射出质量均为、电荷量均为的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子1在磁场中做圆周运动半径等于 B．粒子1在磁场中运动的偏向角为 C．粒子1在磁场中运动的时间为 D．沿方向射入的粒子从磁场出射速度与粒子1从磁场出射速度方向相同 【答案】AD 【解析】A．沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，如图所示 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系可知，故A正确； B．粒子从磁场出射时，速度与垂直，即偏向角为，故B错误； C．粒子1在磁场中运动的时间为，故C错误； D．由于粒子在磁场中做圆周运动的半径等于圆形有界场的半径，因此根据磁场发散原理可知，所有粒子从磁场出射的速度方向相同，故D正确。 故选AD。 【变式训练3-31】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t. (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？ 【答案】(1)　　(2)R 【解析】(1)粒子的轨迹半径：r＝① 粒子做圆周运动：qvB＝m② 由①②两式得粒子的比荷＝③ 运动周期T＝④ 在磁场中的运动时间t＝T⑤ 由①④⑤式得t＝⑥ (2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大． 由图可知sin θ＝⑦ 平移距离d＝Rsin θ⑧ 由①⑦⑧式得d＝R. 答案： 【变式训练3-32】地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害．为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场．如图所示，模拟地球半径为R，地球赤道平面附近的地磁场简化为赤道上方厚度为2R、磁感应强度大小为B、方向垂直于赤道平面的匀强磁场．磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子．研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球．不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应． (1)求粒子的比荷； (2)若该种粒子的速度为v，则这种粒子到达模拟地球的最短时间是多少？ 答案：(1)　(2) 【解析】(1)其轨迹如图所示(和地球相切)设该粒子轨迹半径为r，则根据几何关系 (r＋R)2＝r2＋(3R)2 解得r＝4R 又q(2v)B＝m 得＝. (2)如图所示，速度为v的粒子进入磁场有qvB＝m 得r′＝2R 若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，故从A斜向上射入，在A点延长线上交点E到达地球的弦长最短，时间最短．AE＝AD＝DE＝2R 故∠ADE＝60°， 得tmin＝· tmin＝. 【变式训练3-33】 一半径为R的薄圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒可绕其中心轴线转动，圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变。一不计重力的负电粒子从小孔M沿着MN方向射入磁场，当筒以大小为ω0的角速度转过90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒。 （1）若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，求该粒子的荷质比和速率分别是多大？ （2）若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与MN方向成30°角，则要让粒子与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为多大？ 【答案】 （1）；ω0R （2）（顺时针转动）或（逆时针转动）其中n＝0，1，2，3… 【解析】 （1）若粒子沿MN方向入射，当筒转过90°时，粒子从M孔（筒逆时针转动）或N孔（筒顺时针转动） 射出，如图，由轨迹1可知半径：r＝R 由，粒子运动周期 筒转过90°的时间：，又 联立以上各式得：荷质比， 粒子速率：v＝ω0R （2）若粒子与MN方向成30°入射，速率不变半径仍为R，作粒子轨迹2如图轨迹2圆心 为O’，则四边形MO’PO为菱形，可得，所以 则粒子偏转的时间：；又； 得： 由于转动方向与射出孔不确定，讨论如下： ⅰ．当圆筒顺时针转动时，设筒转动的角速度变为ω1， 若从N点离开，则筒转动时间满足，得：其中k＝0，1，2，3… 若从M点离开，则筒转动时间满足，得：其中k＝0，1，2，3…； 综上可得其中n＝0，1，2，3… ⅱ．当圆筒逆时针转动时，设筒转动的角速度变为ω2， 若从M点离开，则筒转动时间满足，得：其中k＝0，1，2，3… 若从N点离开，则筒转动时间满足，得：其中k＝0，1，2，3… 综上可得其中n＝0，1，2，3… 综上所述，圆筒角速度大小应为或者其中n＝0，1，2，3… 【变式训练3-34】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°.一质量为m、带电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)． 【答案】 B1＝，B2＝ 【解析】　找出带电粒子做圆周运动的圆心，求出其轨迹的半径． 设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电， 故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出， 用B1、B2、R1、R2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的磁感应强度、轨道半径和周期，有qvB1＝m，qvB2＝m， T1＝＝，T2＝＝. 设圆形区域的半径为r，如图所示， 已知带电粒子过圆心且垂直A2A4进入Ⅱ区磁场．连接A1A2， △A1OA2为等边三角形，A2 为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心， 其轨迹的半径R1＝A1A2＝OA2＝r. 圆心角∠A1A2O＝60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1＝T1. 带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA4的中点，即R2＝r. 在Ⅱ区磁场中运动的时间为t2＝T2， 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t＝t1＋t2. 由以上各式可得B1＝，B2＝. 【变式训练3-35】如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板MN，圆顶点P有一速率为v0的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子的重力不计． (1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间； (2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板MN上时速度的垂直分量． 【答案】　(1)　(2)v0 【解析】　(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r， 由牛顿第二定律得Bqv0＝m，所以r＝R 带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周， 轨迹对应的圆心角为，如图所示．t＝＝ (2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R， 其运动轨迹如图所示． 由图可知∠PO2O＝∠OO2A＝30° 所以带电粒子离开磁场时偏向角为60° 粒子打到感光板上时速度的垂直分量为v⊥＝vsin 60°＝v0 题型04:带电粒子在半圆形或弧形边界磁场中的运动问题 【典型例题1】如图所示，半圆形区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子第一次以的速度对准圆心O垂直直径射入匀强磁场，粒子从该磁场中射出且向下偏转，偏转角度为，第二次该带电粒子以的速度仍对准圆心O垂直直径射入匀强磁场，忽略粒子受到的重力，下面说法中正确的是（　　）（已知） A．粒子带正电 B．粒子第二次的偏转角度为 C．粒子第一次与第二次在磁场中的运动时间之比是 D．如果第二次粒子的入射速度过小，可能不能射出磁场 【答案】B 【解析】A．根据左手定则可知粒子带负电，故A错误。 B．如图1所示，第一次偏转角度为60°，由几何关系求得粒子的轨迹半径等于半圆的半径。第二次的情况，如图2所示 速度变为原来的，则根据 可知，其轨迹半径也变为原来的。根据几何知识可得 求得 α=37° 故 β=2α=74° 故B正确； C．根据 可知两次粒子运动的周期相等，则时间之比等于粒子轨迹对应的圆心角之比，故C错误； D．如果粒子的速度过小，其轨迹半径也小，但是可以从磁场的左侧射出磁场，故D错误。 【典型例题2】如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q（q>0），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长 C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向 D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1 【答案】C 【解析】A．粒子从y轴射出在磁场中运动的时间最长，最长为，故A错误； B．不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，运动时间越短，故B错误； C．若粒子从D点出射，运动轨迹如图 根据几何关系，轨迹所对的圆心角为90°，因此粒子从D点出磁场时，速度沿y轴正向，故C正确； D．从A点出射的粒子在磁场中运动的时间为半个周期，从D点出射的粒子在磁场中运动的时间为四分之一个周期，因此时间之比为2∶1，故D错误。 故选C。 【变式训练4-1】如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，A、B为半圆直径的两个端点，O点为半圆的圆心，ON为圆的半径。现有带电粒子a、b分别以不同的速度从A点和B点沿半径方向同时进入磁场，并同时从N点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间相互作用。已知∠AON＝60°，则粒子a、b（　　） A．做圆周运动的半径之比为1： B．运动的速率之比为3：2 C．比荷之比为2：1 D．运动的角速度之比为1：2 【答案】C 【解析】解：A.令O点为原点，直线AB为x轴，设半径为R，又∠AON＝60°， 则A点坐标（﹣R，0），B点坐标（R，0），N点坐标， 粒子a、b均沿径向射入，因此也将沿径向射出， 则过N做圆的切线，与过A的垂线交点即为圆心Oa，与过B的垂线交点即为圆心Ob， 设半径ra。rb，轨迹圆心角θa。θb，则， 根据几何关系有，，，， 解得，， 因此ra：rb＝1:3，故A错误； BCD.由，可得， 又v＝ωr可得， 又θ＝ωt，粒子a、b同时到达N点，则， 不计粒子的重力，联立可得：θb，＝2:1， ， ，故BD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练4-2】如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点，，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出，O点处也有磁场），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R B．从CO射出磁场的粒子运动时间不同 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子可能从圆弧边界射出 【答案】C 【解析】 A．如图所示，由洛伦兹力提供向心力 代入数据可得，故A错误； B．粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有 由图可知，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场，由对称性可知，粒子偏转的圆心角为，时间为，故B错误； C．沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，圆心角为270°，粒子在磁场中运动的最长时间为，故C正确； D．从图中可知，粒子不会从圆弧边界射出，故D错误。 故选C。 【变式训练4-3】如图所示,长方形abcd长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场),磁感应强度B=0.25T.一群不计重力、质量m=3×10－7kg、电荷量q=+2×10－3C的带电粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域(　　) A．从Od边射入的粒子,出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子,出射点分布在Oa边和ab边 D．从aO边射入的粒子,出射点分布在ab边和be边 【答案】D 【解析】带电粒子垂直进入匀强磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，，圆周运动半径，与半圆形磁场的半径相同．从Od边射入的粒子，正电荷受力沿da 方向指向圆心，根据半径可判断圆周运动的圆心在oa之间，出射的粒子分布于ab边和be边，而不可能是oa边，选项AC错．从aO边射入的粒子，圆心在oa的正上方，根据运动轨迹与半圆形磁场边界的交点，粒子仍然从ab边和be边射出，选项B错D对． 【变式训练4-4】(多选)半径为R的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b两粒子从圆周上的P点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2，AOB为直径，∠AOP＝60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是(　　) A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.a、b两粒子的比荷之比为3∶2 C.a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1 D.a、b两粒子的轨道半径之比为1∶3 【答案】　BD 【解析】根据粒子的运动轨迹，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，A错误；由几何关系可知，a、b两粒子的半径之比为r1∶r2＝1∶3，D正确；由r＝可知，a、b两粒子的比荷之比为3∶2，B正确；粒子在磁场中运动时间t＝，θ为轨迹所对应的圆心角，代入数据可知，a、b两粒子在磁场中运动时间之比为4∶3，C错误。 【变式训练4-5】(多选)半将半径为r的铜导线半圆环AB用两根不可伸长的绝缘绳a、b悬挂于天花板上，AB置于垂直纸面向外的大小为B的磁场中，现给导线通以自A向B大小为I的电流，则(　　) 图8 A.通电后两绳拉力变小 B.通电后两绳拉力变大 C.安培力为πBIr D.安培力为2BIr 【答案】BD 【解析】　通电流之前，铜导线半圆环处于平衡状态，根据平衡条件有2FT＝mg；通电流之后，半圆环受到安培力，由左手定则可判断半圆环受到的安培力方向竖直向下，根据平衡条件有2FT′＝mg＋F安，可知通电后两绳的拉力变大，A错误，B正确；半圆环的有效长度为2r，由安培力公式可知F安＝2BIr，C错误，D正确。 【变式训练4-6】(多选)半如图所示，PQO为圆心角为的有界区域，O点为圆心，半径为R，M点为圆弧PQ的中点。区域内有方向垂直纸面向外的匀强磁场。完全相同的两个带电粒子a和b，以相同的速度v分别从P、M点飞入匀强磁场区域，粒子a的速度方向与PO成角。已知粒子a恰好从Q点飞出，a、b粒子所受重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a和b均带正电荷 B．粒子b也从Q点飞出磁场区域 C.粒子a在磁场中做圆周运动的半径为2R D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为2：1 【答案】BD 【解析】A．粒子a刚好从Q点飞出，由左手定则，粒子a和b均带负电荷，A错误； C．设两个粒子a和b做圆周运动的圆心分别为和，由对称性可知，在的延长线上。粒子a在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系可知 又 粒子a在磁场中做圆周运动的半径为R。C错误； B．两粒子运动示意图如图所示 粒子b的轨道半径也是R，由图可知，粒子b也从Q点飞出磁场区域。B正确； D．完全相同的两个粒子a和b以相同速度v别从M、P两点飞入磁场区域，粒子b的轨道半径也是R，由图可知，粒子b在磁场中做圆周运动的弧长等于粒子a在磁场中做圆周运动的弧长的一半，粒子a和b在磁场中运动的时间之比为2：1，D正确。 题型05：带电粒子在环形磁场中的运动 【典型例题1】我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装罫创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的动量之比为（　　） A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．3∶1 【答案】C 【解析】根据左手定则，作出粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系，氘核的半径为 根据几何关系，氚核的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 可得 动量为 和的动量之比为 故选C。 【典型例题2】托卡马克环形容器是核聚变工程中重要装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点发射a、b两个粒子，都恰好经过磁场外边界。已知a粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，b粒子沿内圆的切线方向发射，a、b都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受重力和相互作用。则（　　） A．外圆半径等于2R0 B．a粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．b粒子速度大小为 D．b粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 【答案】C 【解析】解：A．已知，根据洛伦兹力提供向心力，可得a粒子的运动半径ra＝R0 a沿径向发射，速度方向沿OA，因此轨道圆心Oa在与OA垂直的直线上，运动轨迹如图 由几何关系可得 解得外圆半径，故A错误； B．a从A到外边界切点，转过的圆心角θa＝π﹣β，由图可知角度tanβ＝1，解得β＝45° 可得圆心角 运动时间，故B错误； C．b沿切线方向发射，速度方向垂直于OA，因此轨道圆心Ob在OA直线上，粒子轨迹与外圆相切，运动轨迹如图所示。 设b轨道半径为rb，外圆半径满足R＝OOb+rb＝2rb﹣R0 又根据 可得b粒子的运动半径 ， 因此b粒子的速度，故C正确； D．b从A到外边界切点，A和切点分别在圆心Ob的两侧，转过圆心角θb＝π 则b粒子的运动时间 ，故D错误。 故选：C。 【典型例题3】（多选）地磁场对射入的宇宙粒子有偏转作用，假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的 倍。如图所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN为磁场圆边界的直径，MN左侧宽度为的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为的粒子垂直MN以速度v射入地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则（　　）    A．地磁场的磁感应强度大小为 B．打在地面时速度方向指向O的粒子在磁场中的运动时间为 C．从M点射入的粒子在磁场中速度偏转角的余弦值为 D．仅增大粒子速度，能打到地表的粒子数一定减少 【答案】BC 【解析】A．由题意可知，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，其轨迹如图所示，由图可得    解得 由洛伦兹力提供向心力，可得 解得地磁场的磁感应强度大小为 A错误； B．打在地面时速度方向指向O的粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示，设打在地面的点为K，轨迹的圆心为O2，由图可知，则三角形OK O是等腰直角三角形，，可知三角形PO2O为直角三角形，则粒子运动轨迹对应的圆心角为45°，则粒子在磁场中的运动时间为    B正确； C．从M点射入的粒子在磁场中速度偏转的轨迹，如图所示，O3为轨迹的圆心，由几何关系可知，三角形COO3为等腰三角形，则有    从M点射入的粒子在磁场中速度偏转角的余弦值为 C正确； D．仅增大粒子速度v，由 可知r1增大，则能打到地表的粒子数增多，D错误。 故选BC。 【典型例题4】（多选）中核集团正式签约承建全球首个全高温超导核聚变实验装置，彰显了我国在此领域技术水平居国际前列。在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示为核聚变中磁约束装置的简化图，圆环状匀强磁场区域的内半径为R1，外半径为R2，磁感应强度大小为B，方向垂直于环面，中空区域内带电粒子的质量为m，电荷量为q，具有各个方向的速度。下列说法正确的是（　　） A．要使所有带电粒子约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为 B．从内环边缘相切射出的所有带电粒子都约束在磁场区域内运动的最大速度为 C．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域， D．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域， 【答案】AD 【解析】AB．带电粒子的速度越大，在磁场中圆周运动的半径就越大，要使带电粒子约束在半径为R2的区域内，如下图 可得带电粒子圆周运动的最大半径为 根据 可得带电粒子的最大速度为 该速度同时也是从内环边缘相切射出的带电粒子仍在磁场区域运动的最大速度。A正确，B错误； CD．要使以大小为v的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域，临界状态如下图所示 设临界状态圆周运动半径为，由几何关系可得 根据AB选项分析可知磁感应强度越大则半径越小，有 方程联立可得 要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域 C错误，D正确。 故选AD。 【典型例题5】如图所示，直径分别为和的同心圆处于同一竖直面内，为圆心，为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（I区）存在垂直圆面向里的匀强磁场，小圆内部（II区）存在垂直圆面向外的匀强磁场。质量为、电量为的粒子由点紧靠大圆内侧以速度竖直向上射入磁场。不计粒子的重力。 (1)若粒子运动轨迹与小圆相切，求I区磁感应强度的大小； (2)若I区、II区磁感应强度的大小均为，粒子运动一段时间后再次经过点，求这段时间粒子运动的路程。 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）设I区内磁感应强大小为，粒子做圆周运动的半径为，粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，如图所示 第一种情况，若粒子轨迹与小圆外切，根据几何关系可得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）由题意可知，I区和II内的磁感应强度大小均为，设粒子在I区和II区做圆周运动的半径都为，根据洛伦兹力提供向心力有 代入解得 根据题意作出粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系可得， 可知粒子在I区域转过两个圆心角的圆弧；粒子在II区域转过两个圆心角的圆弧，则这段时间粒子经过的路程 【变式训练5-1】新一代“人造太阳”装置——中国环流器二号M装置（HL-2M）在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，核聚变主要原料氕核和氘核均从圆心O沿半径方向射出，被约束在半径为和两个同心圆之间的环形区域，该区域存在与环面垂直的匀强磁场。则下列说法正确的是（    ） A．若有粒子从该约束装置中飞出，则应减弱磁场的磁感应强度 B．若两种粒子速率相同，氕核不会从该约束装置中飞出，则氘核也一定不会从该约束装置中飞出 C．若两种粒子在磁场中做圆周运动的半径相同，则两种粒子具有相同大小的动量 D．若氘核在磁场中运动的半径，则氘核会从该约束装置中飞出 【答案】C 【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 如果减弱磁场的磁感应强度，粒子轨道半径变大，更容易飞出去，A错误； B．由上面分析得 氕核与氘核速率相同，所带电荷量相同，磁感应强度也相同，氕核不会从该约束装置中飞出，但氘核质量更大，所以轨道半径更大，氘核有可能飞出该装置，B错误； C．由上面分析得 氕核与氘核所带电荷量相同，轨道半径相同，磁场的磁感应强度也相同，则两种粒子具有相同大小的动量，C正确； D．如图所示 设氘核轨道半径为r，当轨迹和外部大圆相切时是氘核飞出该装置的临界状态，根据几何关系有 解得 若氘核在磁场中运动的半径，则氘核不会从该约束装置中飞出，D错误。 故选C。 【变式训练5-2】如图所示，环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R，外圆半径为，圆心为O。在内圆边界上的P点有一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子沿OP方向以某一速度射入磁场，粒子恰好不从磁场外边界射出。不计粒子重力，以下说法正确的是（     ） A．粒子在运动过程中可能不经过圆心O B．如果仅将粒子的电荷量变为-q（q>0），粒子一定从磁场外边界射出 C．粒子运动的速度大小为 D．粒子从P点射入磁场到第一次回到P点的时间为 【答案】D 【解析】A．设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，粒子恰好不从磁场外边界射出，说明粒子轨迹与外圆相切。由几何关系可知，轨迹圆心、切点、大圆圆心共线，且 又因为粒子沿方向射入，轨迹圆心在点切线上，即，在中，。联立解得 粒子从点出发，逆时针转过到达内圆边界上的点，此时速度方向指向圆心，粒子进入内圆无磁场区域后做匀速直线运动，必然经过圆心，故A错误； B．如果仅将粒子的电荷量变为，粒子将顺时针偏转，根据对称性，其轨迹半径仍为，轨迹圆与外圆边界内切，粒子恰好不从磁场外边界射出，故B错误； C．由洛伦兹力提供向心力 结合，解得，故C错误； D．粒子在磁场中运动两段圆弧，每段圆心角均为，时间 在内圆无磁场区域做匀速直线运动，路程为，时间 总时间，故D正确。 故选D。 【变式训练5-3】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有evB＝m，解得B＝，选项C正确。 【变式训练5-4】如图所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场（图中均未画出），磁场2的磁感应强度大小是磁场1的二倍。已知电子电荷量为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动。则以下说法错误的是（    ） A．电场方向垂直圆环平面向里 B．电子运动周期为 C．匀强磁场2的磁感应强度大小为 D．电场强度大小为 【答案】D 【解析】A．根据左手定则可知电子在磁场1中受到的洛伦兹力的方向垂直圆环平面向里，由于电子在垂直圆环平面上受力平衡，即电子所受电场力与电子在磁场1中受到的洛伦兹力等大反向，故电场力方向垂直圆环平面向外，则电场方向垂直圆环平面向里，故A正确； B．电子在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，则电子运动周期为 故B正确； C．电子受到磁场2的洛伦兹力提供电子做匀速圆周运动的向心力，有 解得 故C正确； D．磁场1的磁感应强度大小 电子在垂直圆环平面上受力平衡，则有 解得 故D错误。 故选D。 【变式训练5-5】极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：为地球球心，为地球半径，将地磁场在半径为到之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成角向上方（图中2方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此日角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示 由图中几何关系可得， 则有 故选A。 【变式训练5-6】（多选）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 可得 粒子仅在磁场中运动，则 或 代入可得 或 故选ACD。 【变式训练5-7】（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】BD 【解析】由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点， 根据a粒子的速度大小为 可得 设外圆半径等于,由几何关系得 则 A错误； B．由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间 a粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间 匀速直线运动的时间 故a粒子返回A点所用的最短时间为 B正确； C．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C错误； D．由几何关系得 洛伦兹力提供向心力有 联立解得 D正确。 故选BD。 【变式训练5-8】（多选）中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示 由几何知识可知，粒子最大轨道半径 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 要使粒子不离开磁场 由于 故选CD。 【变式训练5-9】（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 【答案】AC 【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确； BCD．如图所示 设轨迹半径为r，根据几何关系可得 解得，故C正确，BD错误。 故选AC。 【变式训练5-10】（多选）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O为地球球心、R为地球半径。地磁场只分布在半径为R和的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可以到达地面 B．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均无法到达地面 C．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面 【答案】BD 【解析】AB．若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有 解得 若粒子的射入方向在正对O处以上，根据左手定则可知，其粒子的轨迹为向上偏转，则入射到磁场的粒子均不可能到达地面，故A错误，B正确； C．若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有 解得 若粒子正对着O处入射，且恰好可以到达地面，其轨迹如图所示。设该轨迹半径为r1，由几何关系可得 解得 故C错误； D．若粒子速率为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 由C项的分析可知，此时若粒子正对着O处入射，则恰好可以到达地面；而在对着O处以上的方向入射的粒子，因为向上偏转，均不能到达地面；而在对着O处以下的方向入射的粒子均会达到地面。综上所述，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地，故D正确。 故选BD。 【变式训练5-11】（多选）如图所示，I区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。I区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（　　） A．在I区的轨迹圆心不在O点 B．在I区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2 C．在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37 D．在I区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148 【答案】AD 【解析】A．由图可知 在I区的轨迹圆心不在O点，故A正确； B．由洛伦兹力提供向心力 可得 故在I区和Ⅱ区的轨迹半径之比为 故B错误； D．设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系 可得 故粒子在I区运动的时间为 粒子在Ⅱ区运动的时间为 联立可得在I区和Ⅱ区的运动时间之比为 故D正确； C．粒子在I区和Ⅱ区的轨迹长度分别为 故在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为 故C错误。 故选AD。 【变式训练5-12】近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】1）如图1所示 由题意可知当粒子从A点与内圆相切向上射入磁场，轨迹恰好与外圆相切，根据几何关系有 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）如图2所示 当粒子源在O时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间为最大值，设粒子运动半径为，在中有OA2+AC2=OC2 即 解得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 （3）如图3所示 当粒子源在P点时，越大，轨迹半径越大 根据正弦定理有 又因为的最大值为1，故的最大值为0.5 粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为，根据几何关系可得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 题型06： 带电粒子在三角形边界的磁场中的运动 【典型例题1】如图所示，边长为2a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m电荷量为-q（q>0）的同种带电粒子（不计重力），从AB边的中点，以不同速率沿不同方向射入磁场区域（均垂直于磁场方向射入），下列说法错误的是（　　） A．若粒子均平行于BC边射入，则从BC边射出的粒子最大速率为 B．若粒子均平行于BC边射入，则从BC边射出的粒子最小速率为 C．若粒子均垂直于AB边射入，则粒子可能从BC边上距B点a处射出 D．若粒子射入时的速率为，则粒子从BC边射出的最短时间为 【答案】C 【解析】A．若粒子均平行于BC边射入，从BC边射出的粒子速度最大时，半径最大，此时轨迹经过C点，如图所示 由几何关系得 解得 根据，解得，故A正确，不满足题意要求； B．若粒子均平行于BC边射入，当从BC边射出的粒子速率最小时，半径最小，此时轨迹与BC边相切，则 根据，解得，故B正确，不满足题意要求； C．若粒子均垂直于AB边射入，则当轨迹与BC相切时，如图所示 由几何关系可得 解得 则粒子不可能从BC边上距B点处射出，故C错误，满足题意要求； D．若粒子射入时的速率为，则轨道半径为 粒子从BC边射出的时间最短时，轨迹对应的弦最短，最短弦为射入点到BC的距离，长度为，如图所示 由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为，则最短时间为，故D正确，不满足题意要求。 故选C。 【典型例题2】如图所示，在边长为L的等边三角形内分布着垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，在三角形的中心有一个点状的粒子源O，它可沿平行纸面的各个方向发射质量为m，电荷量为+q，速率为的同种粒子。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（　　） A．有部分粒子能够击中三角形的顶点 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若磁感应强度大小为，仍有粒子能射出三角形区域 【答案】B 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力求得粒子圆周运动的半径和运动周期；当轨迹圆弧为劣弧时，轨迹的弦长越短，圆心角越小，运动时间越短；所有粒子均不能射出三角形区域，临界条件为轨迹圆和三角形的边相切。 解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得： 已知： 可得圆周运动的半径： 由等边三角形的几何知识可知O点到各个顶点的距离为此距离等于2r，假设粒子能够击中顶点，粒子的轨迹为半个圆周，显然粒子将从边界先射出，故无法击中顶点，故A错误； B、当粒子在边界上的出射点与O的连线垂直于出射点所在边界时，轨迹圆弧的弦最短，轨迹圆心角最小，运动时间最短，轨迹如图1所示 由等边三角形的几何中心为高的三等分点，可得最短弦长为 可得此轨迹圆心角： 粒子在磁场中运动周期为 故最短时间 故B正确； C、运动时间最长的粒子运动轨迹如下图 自O点经M点运动至P点的劣弧OMP，则运动最长时间小于半个周期，而半个周期为，故C错误； D、所有粒子均不能射出三角形区域，临界条件为轨迹圆和三角形的边相切，故D错误。 故选：B。 【典型例题3】如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，，点处的粒子源持续将比荷为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】粒子沿ac边界方向射入磁场从ab边射出磁场时转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识可知，其偏转得圆心角 根据洛伦兹力提供向心力则有 粒子运动周期 解得 故粒子在磁场中运动得时间 结合题意解得 故选B。 【典型例题4】（多选）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外（包含边界）存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．粒子从bQ之间（不包括b、Q点）第二次通过ab边 C．粒子从PQ之间（不包括P、Q点）第二次通过ab边 D．粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 【答案】AD 【解析】根据粒子的运动轨迹，结合几何关系以及洛伦兹力提供向心力分析求解。 解：A．粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由 联立解得 故A正确； BC．由几何关系知，粒子第二次通过ab边时恰好过P点，故BC错误； D．设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则 粒子从a点到第二次通过ab边所用的时间为 故D正确。 故选：AD。 【典型例题5】（多选）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在边长为的等边三角形内，是边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作用下，从点沿纸面以平行于边方向、大小不同的速率射入三角形内，不考虑粒子间的相互作用力，已知粒子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正确的是（　　）    A．粒子垂直边射出时，半径等于 B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长 C．粒子可能从点射出，且在磁场中运动的时间为 D．粒子可能从边射出，且在磁场中运动时间为 【答案】AD 【详解】A．根据题意可知，粒子垂直BC边射出时，运动轨迹如图    根据几何关系知半径为，故A正确； BCD．若带电粒子刚好从边射出磁场，运动轨迹与边相切，可知圆心角为，粒子在磁场中经历时间为，若带电粒子刚好从边射出磁场，运动轨迹与边相切，作图可得切点为C点，如图所示    可知圆心角为，粒子在磁场中经历时间为，若带电粒子从AB边射出磁场，可知圆心角为，粒子在磁场中经历时间为，所以该粒子在磁场中经历时间为，则它一定从AB边射出磁场；所以可知粒子速度和运动时间无确定的关系，故BC错误，D正确。 故选AD。 【典型例题6】(多选）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则以下说法中正确的是（    ）    A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】AD 【解析】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由 可得 解得 故A正确； B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为，则有 可得 画出该粒子的运动轨迹如图所示    设轨道半径为，由几何知识得 可得 故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力可得 则粒子射入磁场的速度大小为 故C错误； D．射入的粒子恰好不从边射出，粒子在磁场中扫过的面积为 故D正确。 故选AD。 【典型例题7】边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域AOB各个方向瞬时射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，所有粒子的速率均为v 。如图所示，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，不计粒子之间的相互作用和重力的影响，已知sin 35°≈0.577。求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）带电粒子在磁场中运动的最长时间； （3）沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1）OC＝Lcos 30°＝L，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，由几何知识得粒子做圆周运动的圆弧对的圆心角为60°。 半径r＝OC＝L 由qvB＝ 得B＝＝。 （2）从A点射出的粒子在磁场中运动时间最长，设弦OA对的圆心角为α，由几何关系得 sin＝＝≈0.577，α≈70°，最长时间tm≈·＝。 （3）从OA上D点射出的粒子做圆周运动的弦长OD＝OC，粒子做圆周运动的圆弧所对的圆心角也为60°，如图所示，由几何知识得入射速度与OD的夹角应为30°，即沿OC方向射入的粒子在磁场中运动的时间与沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出的时间相等，从OB方向到OC方向30°范围内的粒子此时都还在磁场中，而入射的范围为60°，故还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是。 【变式训练6-1】如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度B的大小需满足(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< 【答案】　B 【解析】　粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝acot 30°.由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运动的半径r>r0，解得B<，选项B正确． 【变式训练6-2】如图所示，空间中存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，ΔB1DF为磁场中一等边三角形区域，C为B1D边的中点，E为DF上一点，AB1＝L，B1D＝2L。一比荷为k的带电粒子从A点沿AB1的垂线方向射入磁场，改变入射速度的大小，使粒子分别经过C、E点，若粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子从A点运动到C点的时间为 B．若粒子经过C点，则入射速度大小为2kBL C．D点和E点间的距离为 D．若粒子经过E点，则入射速度大小为 【答案】D 【解析】题目描述带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，从A点垂直射入磁场后分别经过C点和E点，且两次运动时间相等。解题需先明确粒子在磁场中运动的周期与速度无关，仅由比荷和磁感应强度决定，而运动时间取决于轨迹对应的圆心角。时间相等意味着两次轨迹的圆心角相同。分析粒子经过C点的轨迹，利用几何关系确定其圆心位置和半径，进而得到对应的圆心角与运动时间。再根据时间相等推断经过E点的轨迹圆心角相同，结合E点位于等边三角形边上的几何约束，可求出E点轨迹半径，最终得到对应的入射速度。 解：根据题意，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律，解得粒子运动半径为，周期为。 由于粒子从A点沿AB1的垂线方向垂直射入磁场，其圆心必在过A点且垂直于初速度方向的直线上，即AB1所在的水平线上。 A、当粒子经过C点时，以B1为坐标原点建立直角坐标系，则A点坐标为（﹣L，0），C点坐标为。 设圆心为O1，由O1A＝O1C＝RC，解得圆心位于B1点，即轨道半径RC＝L。 此时粒子在磁场中转过的圆心角为θ＝120°，则粒子从A点运动到C点的时间由，解得：，故A错误； B、由A选项分析可知，粒子经过C点时的轨道半径RC＝L，由半径公式，解得入射速度大小为vC＝kBL，故B错误； C、由于粒子从A点到C点和到E点的时间相等，可知粒子在两轨道上转过的圆心角相同，均为120°。 设过E点的轨道半径为RE，圆心为O2，则O2的坐标为（﹣L+RE，0）。根据几何关系可知E点的坐标为，。由于E点在等边三角形的边DF上，而直线DF的方程为，代入E点坐标解得：。 将RE代入解得E点坐标为。由两点间距离公式，代入解得：，故C错误； D、由C选项分析可知，粒子经过E点时的轨道半径为，由半径公式，解得入射速度大小为，故D正确。 故选：D。 【变式训练6-3】如图所示，边长为的等边三角形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为边的中点，一个质量为、电荷量为的带电粒子平行边从D点射入磁场，粒子的速度大小为，且刚好垂直边射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．匀强磁场的磁感应强度 C．若只改变该粒子射入磁场的速度大小，则粒子一定不能从点射出磁场 D．若只改变该粒子射入磁场的速度方向，则粒子可以从边射出磁场，且在磁场中运动的时间可能是 【答案】D 【解析】A．粒子垂直于BC边射出磁场，所以粒子向下偏转，洛伦兹力方向向下，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误； B．粒子垂直于BC射出磁场，圆心在BC上，同时粒子从D点水平射入，圆心应该在过D点与BC垂直的垂线的垂足处，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径为三角形BC边上高的一半，即 根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m 解得，故B错误； C．改变初速度的大小，当半径r＝L，粒子从C点射出，故C错误； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝ 粒子从C点与AC相切射出磁场时，偏转60°，运动时间为t＝T＝，故D正确。 故选D。 【变式训练6-4】如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系可知，质子运动半径为r＝(n＝1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立解得v＝(n＝1，2，3，…)，可知质子的速度不可能为，故选C。 【变式训练6-5】如图所示，在区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，，，。在顶点处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向区域内各个方向均匀射入比荷为、速率为的带负电的粒子，有的粒子能从边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（    ） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．边有粒子射出的区域长度为 D．从边射出的粒子速度最大偏转角为 【答案】C 【解析】AD．如图所示，有的粒子能从边射出，则速度方向与边成角范围内的粒子都能从边射出，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为 洛伦兹力提供向心力有 粒子比荷为，联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为 如图所示，从边射出的粒子，射出点在点时，粒子在磁场中运动轨迹的圆弧的弦最大，对应的圆心角最大，可知从边射出的粒子速度最大偏转角为，故AD错误； B．粒子在磁场中运动轨迹的圆弧的弦可以非常小，对应的圆心角可以非常小，根据， 可得时间 可知粒子在磁场中运动的最短时间为零，故B错误； C．如图所示，粒子沿方向射出时，圆心在点，从点射出，可知边有粒子射出的区域为，其长度为，故C正确。 故选C。 【变式训练6-6】如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是(　　) A.可能有正电子从M点射出磁场 B.负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C.从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D.正电子在磁场中运动的最长时间为 【答案】　C 【解析】正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示， 根据正电子的运动的轨迹可知，其不可能从M点射出磁场，选项A错误；负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负电子从D点离开磁场时，由几何关系知()2＋(－r)2＝r2，解得r＝L，则负电子的速度大小为v＝，选项B错误；当从MN边射出的正电子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为120°，则最长时间tm＝×，选项C正确；正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为tm'＝，选项D错误。 【变式训练6-7】如图所示，直角三角形内包括边界存在垂直于纸面向里的匀强磁场，，，两个带异种电荷的粒子分别沿方向射入磁场，偏向左边的粒子恰好没有从边射出磁场，偏向右边的粒子恰好垂直边射出磁场，忽略粒子重力和粒子间的相互作用。若正、负粒子的速度大小之比为，则正、负粒子的比荷之比为() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意，画出粒子运动轨迹图。 由几何关系可知，由，可得，正、负粒子的速度大小之比为，则正、负粒子的比荷之比为。 【变式训练6-8】如图，直角三角形中，，处在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电粒子。不计粒子的重力和相互间作用力，则（　　） A．边上有粒子到达区域的长度为 B．边上有粒子到达区域的长度为 C．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】B 【解析】AB．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得 如图所示 由几何关系可得边上有粒子到达区域的长度为，故A错误，B正确； C．当点入射速度方向趋近于平行时，从边射出的粒子在磁场中运动的时间趋近于0，故C错误； D．如图所示 粒子从边上点射出时，对应的圆心角最大，所用时间最长，由几何关系可知，最大圆心角为，则最长时间为，故D错误。 故选B。 【变式训练6-9】（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ACD理想分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速率不同的质子（重力不计），所有质子均能通过D点，质子比荷，则质子的速度可能为（　　） A．2BkL B． C． D． 【答案】BD 【解析】因质子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图所示 所有圆弧所对圆心角均为，质子可能的运动半径 （n=1，2，3，…） 由洛伦兹力提供向心力得 即 （n=1，2，3，…） 【变式训练6-10】（多选）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．若粒子射入速度大小变为，方向不变，在磁场运动的时间为 【答案】BC 【解析】A．带正电粒子由d点进入磁场e点射出磁场，则电场力方向从a指向b，根据左手定则可知，磁场方向垂直直面向里，故A错误； B．粒子运动轨迹为圆心，为半径，则 解得 故B正确； C．粒子在磁场中运动的时间 故C正确； D．当粒子速度变为远来一半，根据 可知半径变为原来一半，轨迹如图所示 粒子在磁场中运动的时间 故D错误。 【变式训练6-11】（多选）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（    ） A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长 B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长 C．从边射出的电子的最大速度为 D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同 【答案】BC 【解析】A．因为电子束从A点以不同的速度沿角平分线射入磁场，电子从AC边射出时速度与边界的夹角均为，电子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角均为，电子在磁场中运动周期是相同的，由 可知，从AC边射出的电子在磁场中的运动时间与轨迹长度无关，故A错误； B．由于从AC边射出的电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角相等，所以轨迹半径越大轨迹越长，根据洛伦兹力提供向心力，有，可得电子在磁场中运动轨迹半径 即轨迹半径越大，说明电子速度越大，故B正确； C．电子从AC边的C点射出时，电子轨迹半径最大且为a，由洛伦兹力提供向心力 解得，故C正确； D．从AC边射出的电子轨迹不同，但所经历的时间相同，从AC边射出的电子偏转角均为60°，动量变化量大小为，因速度不同，动量变化量不同，故D错误。故选BC。 【变式训练6-12】（多选）如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中末画出），磁感应强度的大小为B，三角形的边长为L，B点有一离子源，能发出速率相同、方向不同的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为，粒子的速率，粒子的重力忽略不计，不考虑粒子之间的相互作用，（已知）。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．与BC边夹角为的粒子从BC边射出，且射出的速度方向与BC边夹角仍为 C．从BC边射出的粒子轨迹可能与AC边相切 D．当粒子射入磁场速度方向与BC边夹角为时，从AC边射出的粒子在磁场中运动的时间最短 【答案】AD 【解析】ABC．洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，所以有 所以粒子做圆周运动的半径为 又因为粒子的速率 解得 所以当粒子射入磁场的速度方向与BC边夹角为时，粒子恰好从C点射出，速度方向与BC边夹角为，则粒子的速度方向与BC边界夹角在内均从BC边界射出磁场，从C点射出磁场的粒子在磁场中运动时间最长，最长时间为 而 解得 故A正确，BC错误； D．当粒子从AC边界的中点O射出时，BO为到AC边的最短距离，因此当BO为轨迹上的弦长时所对应的圆心角最小，即对应的粒子在磁场中运动的时间最短，设粒子射入磁场时速度方向与BO的夹角为，则根据几何关系有 ， 解得 所以 此时粒子射入磁场时速度方向与BC边界夹角为，故D正确。 故选AD。 【变式训练6-13】（多选）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是(　　) A.磁场的磁感应强度大小为 B.粒子从bQ之间(不包括b、Q点)第二次通过ab边 C.粒子从PQ之间(不包括P、Q点)第二次通过ab边 D.粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 【答案】　AD 【解析】粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得r＝，由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m，联立解得B＝，故A正确;由几何关系知，粒子第二次通过ab边时恰好过P点，故B、C错误;设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则T＝，粒子在三角形abc内运动的路程为s＝2×2×cos 30°＝L，粒子从a点到第二次通过ab边所用的时间为t＝2×T＋T＋，故D正确。 【变式训练6-14】（多选）如图所示，等腰直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，为边的中点，为边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从点以大小不同的速率沿方向射入磁场，分别从点射出磁场，其轨迹圆心分别为（图中未标出），所用时间分别为，且，边长度为，则（　　） A． B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从点与从点射出的速率之比为 D．两点距离为 【答案】ACD 【解析】A．粒子运动轨迹如图所示 从d、c两点射出时，对应的圆心角相等，都等于90°，所以，它们在磁场中运动时间也相等，即，又由于t1：t3=3：2 因此t2：t3=3：2 故A正确； B．由于t1：t3=3：2，又因为，从d点射出时对应的圆心角为90°，所以，从e点射出时，对应的圆心角为60°，即 变形得 故B错误； C．根据ab=L，由几何关系得，， 根据牛顿第二定律得 得 由于q、m、B相同，速度与半径成正比 故C正确； D．两点距离为 故D正确； 故选ACD。 【变式训练6-15】（多选）如图6所示的直角三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(包括边界，图中未画出)，∠ACB＝30°，一带正电的粒子由AC中点以速率v0沿垂直AC方向射入磁场，经磁场偏转后从AC边离开磁场，已知AB＝L，粒子的质量为m、电荷量为q，粒子重力忽略不计。则下列说法正确的是(　　) 图6 A.磁感应强度的大小可能为 B.磁感应强度最小时，粒子的出射点到C点的距离为 C.从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间均为 D.当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时，增大粒子的入射速度，粒子在磁场中的运动时间缩短 【答案】　BD 【解析】　根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，可知半径越大，磁感应强度越小，粒子能从AC边离开磁场的临界轨迹如图所示，由几何关系可得OC＝2r，AC＝2AB＝2L，可得CD＝r＝L，则有r＝≤，解得B≥，故A错误，B正确；根据题意可知，从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间为t＝＝·≤，故C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝＝，粒子在磁场中运动时间为t＝·T＝，当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时，增大粒子的入射速度，粒子运动半径增大，则粒子从BC边离开磁场，速度越大，轨迹对应的圆心角θ越小，粒子在磁场中的运动时间越短，故D正确。 【变式训练6-16】（多选）如图所示，在一个直角三角形区域内，存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个比荷相同的带电粒子以一定的速度均沿方向射入磁场，分别从边上的P、Q两点射出，已知粒子只受磁场力的作用，则（　　） A．从P点射出的粒子速度小 B．从Q点射出的粒子速度小 C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间较短 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 【答案】AD 【解析】根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有 解得 由图知，粒子运动的半径 则粒子从P点射出的粒子速度小，故B错误A正确； CD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系（图示弦切角相等）可得，粒子在磁场中偏转的圆心角相等均为，则粒子在磁场中运动的时间为 根据可得，粒子做圆周运动的周期为 结合题意可知，两粒子在磁场中运动的时间一样长，故C错误D正确。 【变式训练6-17】（多选）如图所示，直角三角形abc区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，∠b=30°，ac=L，磁场的磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O沿平行于ac方向以不同的速率射入磁场，能从ac边射出磁场的粒子的速度大小可能是（　　） A．0.4 B．0.46 C．0.49 D．0.6 【答案】BC 【解析】能从ac边射出磁场的粒子的临界条件是，轨迹分别与bc、ac相切。则由几何关系可知此时离子的轨迹半径为 离子在磁场中洛伦兹力提供向心力，则有 联立可得 故BC正确，AD错误。 【变式训练6-18】（多选）如图所示，在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD＝30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD边收集到的粒子的速度可能为(　　) A. B. C. D. 【答案】　CD 【解析】　粒子从E点垂直CD边射入，若粒子恰好从D点射出，如图所示，由几何关系可知运动半径为r1＝×L，根据qv1B＝m，可得v1＝;若粒子轨迹与AC边相切，由几何关系可知r2＝×sin 30°＝L，根据qv2B＝m，可得v2＝，可知粒子从AD边射出时的速度范围≤v≤，故C、D正确。 【变式训练6-19】（多选）如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，两个相同的带电粒子先后沿AB方向从A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则(　　) A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子速度大 C．从P点射出的粒子，在磁场中运动时间长 D．两粒子在磁场中运动时间一样长 【答案】　BD 【解析】　根据带电粒子在匀强磁场中的运动特点，分别画出从P、Q出射的粒子的轨迹如图：由图可知从Q出射的粒子的轨道半径更大一些，由qvB＝m可知，R＝，所以从Q点射出的粒子速度大，A错，B对；粒子在磁场中运动的周期满足T＝，与速度v无关，所以两个粒子周期相同，又因为轨迹对应的圆心角相等，所以两粒子在磁场中运动时间t＝T一样长，C错、D对．正确答案为B、D. 【变式训练6-20】（多选）如图所示，在直角三角形区域内，存在方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，边长为，，。一质量为、电荷量为的粒子从边上距点为的点垂直射入匀强磁场，要使粒子从边射出磁场区域，则() A.粒子速率应大于 B.粒子速率应小于 C.粒子速率应小于 D.粒子在磁场中的最短运动时间为 【答案】AC 【解析】由几何知识知，，，粒子运动轨迹与边相切为一临界状态如图甲，由几何知识知，得，根据，可以求得，此为粒子从边射出的最小临界速度； 粒子恰能从边射出的另一临界状态为轨迹与边相切如图乙，由几何知识知切点恰为点，轨迹半径，再根据，解得，此为粒子从边射出的最大临界速度，选项A、C正确，B错误； D.粒子从边射出，速度的最小偏转角为，所以最短运动时间为，选项D错误。 【变式训练6-21】（多选）如图所示，在直角区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场未画出，磁感应强度大小为。点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为，电荷量为，速率均为，长为且，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是() A.从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B.带电粒子在磁场中的运动半径为 C.边上有粒子到达区域的长度为 D.边上有粒子到达区域的长度为 【答案】ACD 【解析】解：、粒子在磁场区域内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 ， 结合，解得粒子的轨迹半径为：， 自边射出的粒子在磁场中运动的最短时间的运动轨迹交于点，圆弧所对应的圆心角为，自边射出的粒子在磁场中运动的最长时间的运动轨迹交于点交于点，圆弧所对应的圆心角为，如图所示 根据，解得粒子的运动周期为：， 则自边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为：，故B错误，A正确； C、边上有粒子到达区域的长度为之间的距离，由几何关系可得 ，故C正确； D、边上有粒子到达区域的长度为之间的距离，由几何关系可得，故D正确。 【变式训练6-22】如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。时刻，磁场方向正好垂直于abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从a点垂直于ac边射出，并从P点第一次进入三角形abc区域。磁感应强度大小始终为B。不计带电粒子重力，求： （1）粒子的荷质比； （2）粒子第一次到达c点的时刻。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据牛顿第二定律得 根据几何关系可得 联立解得 （2）粒子的运动轨迹如图所示 粒子在磁场中的运动时间为 粒子做圆周运动的周期为 在磁场外运动的时间为 粒子第一次到达c点的时刻为 联立解得 【变式训练6-23】如图所示，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一电荷量为的粒子从静止开始经电压为U的电场加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场。一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d。不计重力。求： (1)带电粒子的质量m； (2)带电粒子运动至x轴的位置到坐标原点的距离x； (3)带电粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设粒子在电场中加速获得的速度为v，有 设粒子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，如图所示 洛伦兹力提供向心力，有 其中 得 （2）由几何关系可得带电粒子运动至x轴的位置到坐标原点的距离 （3）设粒子做圆周运动的周期为T，粒子在磁场中运动的时间 周期 得 题型07：带电粒子在矩形（及其它四边形）边界磁场中的运动 【典型例题1】如图，正方形内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点以速度射入磁场，速度方向垂直于。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从边的中点、点和点射出，在磁场中运动的时间分别为、和，则() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为，设正方形的边长为，则，，，则有。 故选A。 【典型例题2】如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．粒子b的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最短 D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 【答案】B 【解析】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，说明其受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电，故A错误； B．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由可得轨道半径。由于三个粒子的质量和电荷量大小相等，所在磁场相同，由图可知，粒子的轨迹半径最大，则粒子的速度最大，根据动能公式可知，粒子的动能最大，故B正确； C．根据粒子在磁场中运动的周期，可知三个粒子运动周期相同。粒子在磁场中运动时间，其中为轨迹对应的圆心角。由图可知，粒子完成了半个圆周运动，其余两粒子、均未完成半个圆周就射出边界，因此粒子在磁场中运动的时间最长，故C错误； D．粒子在磁场中运动时受到的向心力即为洛伦兹力，由对B选项的分析可知，粒子的轨迹半径最小，说明其速度最小，因此粒子在磁场中运动时受到的向心力最小，故D错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，一电子以与磁场方向垂直的速度v从P处沿PQ方向进入长为d、宽为h的匀强磁场区域，从N处离开磁场，若电子质量为m，带电荷量为e，磁感应强度为B，则(　　) A．电子在磁场中运动的时间t＝ B．电子在磁场中运动的时间t＝ C．洛伦兹力对电子做的功为Bevh D．电子在N处的速度大小也是v 【答案】 D 【解析】 电子在磁场中受到洛伦兹力，洛伦兹力与电子的运动方向垂直，故该力并不改变电子的速度大小，只改变电子的运动方向，因为力与运动的方向垂直，故洛伦兹力不做功，选项C错误，选项D正确；电子在磁场中运动的时间等于电子在磁场中通过的路程与速度的比值，电子在磁场中通过的是PN弧的长，而该段弧长既不等于d，也不等于h，所以选项A、B均错误。 【典型例题4】如图所示，边长为L的正方形内表面涂有荧光材料，粒子打在表面会被吸收并发出荧光。正方形区域内存在方向垂直该平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，粒子源从正方形边的中点P沿垂直磁场方向持续发射质量为m、电量为q的带正电的某种粒子，发射速度方向斜向上，速度大小与发射角的关系为，为发射速度方向与水平方向的夹角，，其中的粒子恰好从边中点射出。不计粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子从P点运动至与边相切所需的时间为 B．粒子在边发出荧光的总长度为L C．打在B点的粒子轨道半径为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】AC 【解析】A．当的粒子速度v=v0，粒子恰好从AB边中点射出，则 当粒子从P点运动至与DC边相切时，则轨道半径 即 可知所有粒子的轨迹圆心都在AB边上；当轨迹与DC相切时 由几何关系 可得 r=L α=60° 则粒子运动的时间 选项A正确；    B．当粒子轨道与DC边相切时，粒子打到BC边上的位置为上边缘，可知粒子在边发出荧光的总长度小于L，选项B错误；    C．打在B点的粒子轨迹如图，此时轨迹与B点相切，设，则 其中 由几何关系 解得 解得轨道半径为 选项C正确； D．当轨迹圆与B点相切时，粒子在磁场中转过的角度大于90°，此时运动时间 选项D错误。 故选AC。 【典型例题5】如图所示，矩形ABCD区域内有匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为3d，AD边长为d，E是CD边上的一点，F是AB边上的一点，且。在E点有一粒子源，大量同种粒子以相同速率从E点向磁场内沿各个方向射出，粒子均带正电，电荷量均为q，质量均为m。如图，速度与DE边的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．粒子做匀速圆周运动的轨道半径为d C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 【答案】BD 【解析】A．粒子运动轨迹如图所示 速度与DE的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，粒子带正电，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，磁场方向垂直于纸面向外，故A错误； B．由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 故B正确； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为二分之一圆周，因此最长时间为二分之一周期，即最长时间为 故C错误； D．由图可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中区域的面积，即为 故D正确。 故选BD。 【典型例题6】如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 【答案】ABD 【解析】如图所示 B．粒子带正电不可能从与60度夹角的O点射入经过B点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 由牛顿第二定律 解得粒子运动的速度大小为 故B正确； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，故C错误； D．由图可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中区域的面积，即为 故D正确； A．由图可知，当速度垂直时，粒子刚好从点射出，如下图所示 由几何关系可知，当速度方向与的夹角为时，恰好从点射出，则从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为 故A正确。 【变式训练7-1】如图所示，带电粒子从正方形区域abcd的ad边中点，以垂直于ad边的初速度v0射入该区域。当该区域只存在垂直纸面向内的匀强磁场时，带电粒子恰好从b点射出；当该区域只存在沿ad方向的匀强电场时，带电粒子恰好从c点射出。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中的运动时间大于在电场中的运动时间 C．粒子射出磁场的速度大小等于射出电场的速度大小 D．粒子在磁场中受到的力的大小等于在电场中受到的力的大小 【答案】B 【解析】A．由左手定则可得粒子带正电，故A错误； B．电场中初速度方向匀速直线运动 得 在磁场中做匀速圆周运动的时间 显然弧长大于正方形边长，故B正确； C．磁场中洛伦兹力不做功，粒子射出速度大小仍为；电场中电场力对粒子做正功，动能增加，射出速度大小大于，因此二者不相等，故C错误； D．由几何关系可知 计算得粒子轨迹半径 洛伦兹力 在电场中 电场力，二者不相等，故D错误。 故选B。 【变式训练7-2】如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（　　） A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等 B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长 C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度 【答案】B 【解析】ABC．电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式 可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据 可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误； D．从bc边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式 可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确。 【变式训练7-3】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 【答案】B 【解析】若电子从a点射出，运动轨迹如图线①所示， 有qvaB＝m Ra＝ 解得va＝＝ 若电子从d点射出，运动轨迹如图线②所示，有qvdB＝m ＝＋l2，解得vd＝＝ 选项B正确。 【变式训练7-4】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 【答案】B 【解析】A．由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间刚好从c点射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期。当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射入正方形内时，如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹①。由图可知，当轨迹①与ab相切时为带电粒子从ab边射出的临界值，根据几何关系 则该带电粒子从ab边射出经历的时间一定不大于，故A错误； B．作出从边射出的临界轨迹②。由图可知，当轨迹②与相切时为带电粒子从边射出的临界值，根据几何关系 则该带电粒子从边射出经历的时间一定不大于，故B正确； C．作出从cd边射出的临界轨迹③。由带电粒子运动轨迹的对称性可知，该带电粒子从cd边射出经历的时间一定是，故C错误； D．作出从边射出的临界轨迹④。由图可知，当轨迹④与相切时为带电粒子从边射出的临界值，根据几何关系 则该带电粒子从边射出经历的时间一定不大于，故D错误。 故选B。 【变式训练7-5】如图所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处于真空中，则下列结论中正确的是(　　) A．从两孔射出的电子速率之比vc∶vd＝2∶1 B．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比tc∶td＝1∶2 C．从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比ac∶ad＝∶1 D．从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比ωc∶ωd＝2∶1 【答案】AB 【解析】因为r＝，从a孔射入，经c，d两孔射出的粒子的轨道半径分别为正方形边长和边长，所以＝＝，A正确； 粒子在同一匀强磁场中的运动周期T＝相同， 因为tc＝，td＝，所以＝，B正确； 因为向心加速度an＝， 所以＝＝，C错误；因为ω＝，所以ω相同，D错误． 【变式训练7-6】如图所示，正方形区域ABCD中有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电粒子(不计重力)以一定速度沿AB边的中点M垂直于AB边射入磁场，恰好从A点射出，则(　　) A．若该粒子从A点射入，粒子将从M点射出 B．仅增大该粒子的速度，粒子在磁场中运动时间将变小 C．若将该粒子速度增大为原来的2倍，粒子将从D点射出 D．仅增大磁感应强度，粒子在磁场中运动时间将增大 【答案】 B 【解析】 由安培左手定则可知，该粒子从A点射入磁场的洛伦兹力方向向上，将无法从M点射出，故A错误；带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，根据公式r＝与t＝，若仅增大该粒子的速度，粒子在磁场中的半径将增大，转过的圆心角将减小，运动的时间也将减小，故B正确；根据公式r＝与T＝，若仅增大磁感应强度，粒子在磁场中半径将减小，但仍然转过半圈，时间等于半个周期t＝＝，运动时间将减小，故D错误；若正方形ABCD的边长为a，由几何关系可知，r＝a，又根据公式r＝，将该粒子速度增大为原来的2倍，圆周的半径也将增大为原来的2倍，粒子将从AD的中点射出，故C错误。 【变式训练7-7】如图7所示，边长为a＝0.4 m正方形区域ABCD内无磁场，正方形中线PQ将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为B＝0.2 T的匀强磁场区域，PQ右侧磁场方向垂直于纸面向外，PQ左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为m＝1×10－8 kg、电荷量为q＝2×10－6 C的带正电粒子从AB中点以某一速率垂直于AB射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是(　　) 图7 A.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的最大速度为12 m/s B.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为10 m/s C.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 m/s D.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为2 m/s 【答案】　C 【解析】　根据题意可知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得v＝，若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得(2n＋1)r＝(n＝0，1，2，…)，解得v＝(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，速度最大为vmax＝8 m/s，当n＝1时，v＝ m/s，当n＝2时，v＝ m/s，故C正确，A、B、D错误。 【变式训练7-8】如图6所示，虚线框MNQP内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点垂直于PQ边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则(　　) 图6 A.粒子a带负电，粒子b、c带正电 B.若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 C.若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 D.若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电荷量最大 【答案】　C 【解析】　由左手定则可知a带正电，b、c带负电，由图可知Rb>Ra>Rc，由粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有qvB＝m＝ma，解得R＝，a＝，若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的运动速度最小，加速度最小，故A、B错误；若三个粒子入射的速度相同，则粒子c的比荷最大，粒子c在磁场中的加速度最大，故C正确；若三个粒子入射的动量相同，则粒子c的带电荷量最大，故D错误。 【变式训练7-9】如图所示，宽度为d的边界平行的有界匀强磁场，有一质量为m、电荷量绝对值为q的带电粒子（重力不计）从P点以垂直于磁场边界的速度v射入匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝30°，磁场的磁感应强度大小为B。下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子带正电 B．磁场的宽度 C．粒子通过磁场的时间为 D．洛伦兹力对粒子做正功 【答案】C 【解析】根据图可知电荷开始受到向下的洛伦兹力，且洛伦兹力与运动方向始终垂直，故电荷做圆周运动；由左手定则判断粒子电性；画出轨迹，由几何知识和洛伦兹力充当向心力求出磁场的宽度；根据由几何知识求出轨迹所对的圆心角，由求出时间。 解：A.带电粒子水平向右射入垂直于纸面向里的磁场中，受到向下的洛伦兹力，根据左手定则可知，该带电粒子带负电，故A错误； B.带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 由图中的几何关系可得 解得 故B错误； C.粒子在磁场中运动的周期 在磁场中运动的时间 解得 故C正确； D.洛伦兹力的方向时刻与粒子速度方向垂直，不做功，故D错误。 故选：C。 【变式训练7-10】如图所示，高中物理研究小组设计了一个实验方案来研究空气阻力和洛伦兹力在带电粒子运动时对粒子的影响：将一个比荷为k的粒子以初速度v0射入一个与粒子速度方向垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，匀强磁场区域足够大，在空气阻力和洛伦兹力的共同作用下，粒子最终的位移为d；撤去磁场，射入一个初状态完全相同的粒子，若空气阻力大小与带电粒子运动的速度大小成正比，粒子重力不计，则该粒子的位移大小应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正则动量，结合在有、无磁场过程中的不同状态分析求解。 解：由题可知f＝γv，γ为比例系数， 有磁场时，分解为x与y轴方向研究，假设x轴方向上总位移为x，y轴方向上总位移为y，则 根据动量定理在y轴方向上可得﹣γ∑vyΔt+qB∑vxΔt＝0 即﹣γy+qBx＝0 根据动量定理在x轴方向上可得﹣γ∑vxΔt﹣qB∑vyΔt＝﹣mv0 即﹣γx﹣qBy＝﹣mv0 联立解得比例系数与磁场的关系满足： 无磁场时，根据动量定理可得﹣γx′＝﹣mv0 联立解得 故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练7-11】质量和带电量都相同的两个粒子，以不同的速率垂直于磁感线方向射入匀强磁场中，两粒子的运动轨迹如右图中①、②所示，粒子的重力不计，下列对两个粒子的运动速率v和在磁场中运动时间t及运动周期T、角速度ω的说法中正确的是（   ） A．v1 > v2 B．t1 > t2 C．T1 > T2 D．ω1 > ω2 【答案】B 【解析】A．两个粒子垂直于磁感线方向射入匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力 得，根据图中轨迹知，所以知，故A错误； CD．根据 得 两粒子的运动周期相同，角速度相同，故CD错误； B．两粒子的运动周期相同，在磁场中运动时间 根据图中轨迹知，则，故B正确。 故选B。 【变式训练7-12】（多选） 空间存在着一个正方形匀强磁场区域。一束电子从a点以垂直磁感应强度方向射入，初速度方向与ab平行，其中一部分自c射出，一部分从d射出，它们在磁场中运动的轨迹半径分别为rc和rd，运动时间分别为tc和td，不计重力和电子间相互作用，则（ ） A.rc＞rd B.rc＜rd C.tc＞td D.tc＜td 【答案】 A D 【解析】 AB、电子在匀强磁场中运动，洛伦兹力做向心力，电子做匀速圆周运动； 故电子在a点射入，初速度方向与ab平行，故电子运动轨迹的圆心在ad直线上； 又有电子运动轨迹的圆心在电子运动轨迹上任意两点的垂直平分线上； 设正方形匀强磁场区域的边长为L，由几何关系可得：rC＝L，， 故rc＝2rd＞rd，故A正确，B错误； CD、根据洛伦兹力做向心力可得：， 故电子运动周期，即电子运动周期相同； 又有自c射出的电子转过的中心角为90°，故运动时间为； 从d射出的电子转过的中心角为180°，故运动时间为； 故，故C错误，D正确。 【变式训练7-13】（多选） 如图所示的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从ad边中点e沿ec方向射入磁场。当射入速度大小为v时，恰好从bc边中点f飞出磁场。不计粒子所受重力。下列说法正确的是（　　） A．当粒子速度大小为时，粒子离开磁场时的速度方向与磁场边界垂直 B．当粒子速度大小为时，粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了90° C．粒子两次射入速度大小分别为，在磁场中运动时间分别为，若，则有 D．若粒子射入速度大小合适，可能从ab边界上任一点飞出磁场 【答案】ABC 【解析】A．由左手定则判断，粒子带负电，做匀速圆周运动 周期 设正方形边长为L，粒子射入速度方向与ef时夹角为θ，有 当粒子射入速度大小为v时，轨迹对应的圆心角为，运动时间 由几何关系可得 当粒子速度大小为时，轨迹半径 粒子的轨迹圆心恰好位于cb边的延长线上，如图1所示，粒子离开磁场时速度方向应与磁场边界垂直，故A正确； B．设粒子速度大小为时，在磁场区域运动过程中速度方向改变了90°，轨迹半径 如图2所示。由几何关系可得 解得 即 故B正确； C．粒子入射速度变小，轨迹半径变小，粒子两次射入速度大小分别为，只要两次不都是从ea边射出，时，轨迹半径 轨迹对应的圆心角 则有 若两次都是从ea边射出，时，轨迹半径 轨迹对应的圆心角 则有 故C正确； D．当入射速度使粒子运动轨迹恰好与ab边界相切时，设切点为g，速度再小时，粒子就从ea边射出，所以粒子不可能在ag间飞出磁场，故D错误。 故选ABC。 【变式训练7-14】（多选）（多选）如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为（　　） A.∶＝1∶1 B.∶＝2∶1 C.t1∶t2＝2∶3 D.t1∶t2＝1∶3 【答案】AC 【解析】两粒子的运动轨迹如图所示；设正方形区域边长为L，则从b点飞出的粒子的运动轨迹半径为r1＝L；从c点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；根据qv0B＝m，可得＝，则∶＝1∶1，选项A正确，B错误；根据T＝可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项C正确，D错误。 【变式训练7-15】（多选） 如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，则(　　) A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出 B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出 C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d点射出 D．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从f点射出所用时间最短 【答案】 AD 【解析】 作出示意图如图所示，根据几何关系可以看出，当粒子从d点射出时，轨道半径增大为原来的二倍，由半径公式R＝可知，速度也增大为原来的二倍，A项正确，显然C项错误；当粒子的速度增大为原来的四倍时，才会从f点射出，B项错误；据粒子的周期公式T＝，可见粒子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角，所以从e、d射出时所用时间相等，从f点射出时所用时间最短，D项正确． 【变式训练7-16】（多选） 如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场．在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场．在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是(　　) A．带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同 B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场 C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场 D．从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场 【答案】　ABD 【解析】　画轨迹草图如图所示，由图可知粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故A、B、D正确． 【变式训练7-17】（多选） 长7l、高2l的矩形区域abcd中，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。纸面内大量电荷量为q、质量为m的带负电粒子(不计重力)，从d点以相等的速率v＝沿各个方向射入磁场，e为bc边中点，如图所示。则下列说法正确的是(　　) A.从c点射出的粒子速度偏转角度最大 B.be区域没有粒子射出 C.粒子在磁场运动的最大位移为5l D.粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】　BCD 【解析】如图所示，轨迹与ab边相切的粒子位移最大，轨迹所对的弦最长，运动时间最长，偏转角最大，根据qvB＝m，可得r＝5l。若轨迹与ab边相切，由几何关系可得af＝4l，fb＝3l，gO＝4l，则gf＝l，粒子恰好从bc边中点e射出，be区域没有粒子射出，可得最大位移为de＝＝5l，故A错误，B、C正确;由几何关系可知圆弧dfe所对的圆心角为直角，则粒子在磁场中运动的最长时间为四分之一周期，即t＝，故D正确。 【变式训练7-18】（多选） 如图所示，在竖直平面矩形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从的中点射入磁场，速度方向与磁场垂直且与的夹角，粒子经过磁场偏转后在点垂直穿出。已知矩形的宽为，粒子电荷量为，质量为，重力不计。则下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】BD 【解析】A．粒子进入磁场后沿顺时针方向做圆周运动，由左手定则可知，粒子带负电，A错误； BC．由题意可知，粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得，粒子做圆周运动的轨道半径为 根据粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，可得 解得 B正确，C错误； D．由几何关系可知电荷在磁场中偏转了135°，则在磁场中运动的时间为 D正确。 【变式训练7-19】（多选） 在矩形区域内存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，边长为，边长为。带正电的粒子从O点沿方向以不同速率射入，已知粒子的质量为m、电荷量为q，粒子所受重力及粒子间的相互作用均忽略不计。取，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．垂直边界射出时，粒子的速度大小为 D．垂直边界射出时，粒子的速度大小为 【答案】AC 【解析】AB．由几何关系有 解得 设粒子做圆周运动的半径为R，由 可得 可知粒子在磁场中做圆周运动的周期和速度无关。由几何关系可知粒子偏转的最大圆心角 粒子运动的最长时间 故A正确，B错误； CD．粒子垂直于边射出时，由几何关系有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练7-20】（多选） 如图，矩形区域MNPQ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，区域的长宽分别为2L和L。速度大小为的带电粒子从P点处沿PQ方向射入矩形区域，经过时间t从MN的中点离开磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．仅将粒子的速度变为，粒子将从M点离开矩形区域 C．仅将粒子的速度变为，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为 D．仅将粒子的速度变为，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为 【答案】AD 【解析】A．根据题意可知，粒子进入磁场后受竖直向下的洛伦兹力，由左手定则可知，粒子带正电，故A正确； BCD．根据题意，设粒子以进入磁场时轨迹半径为，由几何关系有 解得 即经过时间t粒子从MN的中点垂直离开磁场，此时轨迹的圆心角为，则有 仅将粒子的速度变为，由洛伦兹力提供向心力有 可得，此时轨迹半径为 设粒子从点离开磁场，到点的距离为，由几何关系有 解得 即粒子不是从M点离开矩形区域，设此时轨迹的圆心角为，则有 解得 则粒子在矩形区域磁场中的运动时间为，故BC错误，D正确。 故选AD。 【变式训练7-21】（多选） 如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图所示    由几何关系可知 半径最大为从a点射出，如图所示    由几何关系可知 由牛顿第二定律有 解得 则有 为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为 故选BC。 【变式训练7-22】（多选） 等腰梯形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AB、CD长度分别为L和2L，∠D＝60°。下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是（　　） A．若AB边有α粒子射出，则BC边一定有α粒子射出 B．若AB边有α粒子射出，则AD边一定有α粒子射出 C．若α粒子可以到达A点，则其最小速率为 D．运动轨迹与AD边相切（由CD边出磁场）的速率最小的α粒子在磁场中的运动时间为 【答案】BD 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后分析粒子运动过程，根据题意分析答题。 解：A.如下图所示 当AB边恰有α粒子射出时，由几何关系可知，粒子运动轨迹没有到达BC边，故A错误； B.由几何关系可知，当AB边恰有α粒子射出时，轨迹圆与AB相切，此时与该圆半径相等的圆也一定与AD相切，即若AB边有α粒子射出，则AD边一定有α粒子射出，故B正确； C.如下图所示 由几何关系可知，当时，速度最小，其半径为 由 可得 故C错误； D.如下图所示 当时，速度最小，由 得 故D正确。 故选：BD。 【变式训练7-23】（多选） 如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是(　　) A.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C.若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45° D.若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 【答案】　ACD 【解析】　若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必经过cd边，作出一种粒子运动轨迹图，如图甲所示，粒子从C点垂直于BC射出，A、C正确;当粒子穿过ad边速度方向与ad边夹角为60°时，若粒子从cd边再次进磁场，作出粒子运动轨迹如图乙所示，则粒子不能垂直BC射出，若粒子经bc边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图丙所示，则粒子一定垂直BC边射出，B错误，D正确。 题型08：带电粒子在其它规则边界匀强磁场中的运动 【典型例题1】 如图，磁感应强度为B的匀强磁场区域足够大，磁场方向垂直纸面向里。中间有一边界截面为正六边形的无磁场区域，O为正六边形的中心，PQ为其一边。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从P点以与OP成30°角的速度垂直磁场射入匀强磁场区域，之后从Q点第一次返回无场区。不计粒子重力，则粒子在磁场中从P点运动到Q点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：粒子在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，θ＝60°，则粒子转过的圆心角为300°，粒子做圆周运动的周期，则运动时间，代入数据可得t，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练8-1】如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力．则(　　) A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1 B．vb∶vc＝2∶2，tb∶tc＝1∶2 C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2 【答案】　A 【解析】　带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，由几何关系得，rc＝2rb，θb＝120°，θc＝60°，由qvB＝m得，v＝，则vb∶vc＝rb∶rc＝1∶2, 又由T＝，t＝T和θb＝2θc得tb∶tc＝2∶1，故选项A正确，B、C、D错误． 【变式训练8-2】(多选）如图，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为，电荷量为的粒子均匀分布在宽为区域内，紧邻且平行于边以速度进入圆形区域。不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．打在边的粒子在矩形磁场中运动的最短时间为 B．矩形区域内粒子所经过的面积为 C．打到屏上的粒子数占总数的比例为 D．打到屏上的粒子数占总数的比例为 【答案】ABD 【解析】洛伦兹力提供向心力 ​​代入可得 所有粒子轨道半径均为。 根据磁聚焦结论：平行入射的粒子，轨道半径等于圆形磁场半径，所有粒子出圆形后均从点进入矩形区域，方向不同。 A．打在边（）的粒子，圆心角越小，运动时间越短。 最短圆心角对应最短弦长，当粒子打在边的点时，弦长，由弦长公式 可得​，即。 周期​，运动时间，A正确； B．沿平行于方向射入的粒子打在点，此时为最远路径，如图所示 则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和 解得，B正确； CD．如图所示 打到点的粒子速度方向与边垂直，是由点射入的粒子。 故打在边的粒子数占总数的比例为； 假设从点射入的粒子正好打在点，由图可知为打到边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°。 则打在边上的粒子数占总数的比例为，C错误，D正确。 故选 ABD。 【变式训练8-3】如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图．在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场．对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点．CM垂直磁场左边界于M，且OM＝d.现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0.若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求： (1)磁感应强度的大小和方向(提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象)． (2)离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间． 【答案】　(1) 　垂直纸面向外　(2) 【解析】　(1)设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R.由qv0B＝，R＝d，得B＝，磁场方向垂直纸面向外． (2)设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t.如图分析有： 得， 方法一：设弧长为s ，s=2(θ+α)×R′ 方法二：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T= 归纳总结：①粒子圆心的确定，根据半径一定过圆心，并且半径和运动方向垂直，所以入射速度和出射速度的垂线或者入射点和出射点连线的中垂线即为半径．②粒子在磁场中的运动时间等于在磁场中的圆心角和圆周角的比值和周期的乘积. 题型09：带电粒子在部分象限存在匀强磁场中的运动 【典型例题1】如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D．1∶1 【答案】B 【解析】　正、负粒子在磁场中运动轨迹如图所示，正粒子做匀速圆周运动在磁场中的部分对应圆心角为120°，负粒子做匀速圆周运动在磁场中的部分对应圆心角为60°，故时间之比为2∶1. 【典型例题2】如图所示，在xOy坐标系第一象限内存在方向沿x轴负方向的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为E，一质量为m、电荷量为（）的带电粒子从坐标原点O以速度沿y轴正方向射入电场，带电粒子恰好经过点．若将匀强电场换为垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，带电粒子在偏转的过程中离x轴的最远距离与M点到x轴的距离相等，不计粒子的重力．则E、B分别为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由题意可知，带电粒子做类平抛运动经过M点，加速度为 由类平抛知识可知， 联立解得 根据洛伦兹力提供向心力有 由题述可知 联立解得 故选A。 【典型例题3】如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选C。 【典型例题4】（多选）如图所示，在坐标系的Ⅰ、Ⅳ象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在轴上的点同时以相同速率沿纸面内向各个方向发射大量相同带电粒子（粒子重力不计），其中粒子沿平行轴正方向发射，经磁场偏转后到达轴上的点，则下列说法正确的有（　　） A．轴上有粒子射出磁场的长度为 B．轴上有粒子射出磁场的长度为 C．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 D．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 【答案】AC 【解析】AB．设粒子在磁场中运动的轨道半径为，作出粒子的运动的轨迹如图所示 由几何关系得 解得 令粒子能到达轴的最高点为，对应弦长为直径，则长度 粒子能到达轴的最低点为，对应轨迹与y轴相切，则长度 则轴上有粒子射出磁场的长度为，故A正确，B错误； CD．粒子的偏转角 解得 后到达点的粒子轨迹如图所示，根据几何关系可知，其偏转角 粒子在磁场中运动的时间 粒子在磁场中运动的时间 它们到达点的时间差，故C正确，D错误。 故选AC。 【典型例题5】如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为。在空间坐标（x＝0，）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为，速度为的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、均为已知量）。求： (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T； (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L； (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例。 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】1）由洛伦兹力提供向心力可得   解得轨迹半径 根据周期 联立解得 （2）粒子打x轴上的范围如图所示，x轴右侧长度为 x轴左侧，F与x轴相切，由几何关系知 联立可得 （3）粒子恰好跟x轴负半轴相切，半径与y轴夹角，满足       解得 粒子恰好跟x轴正半轴相切，半径与y轴夹角，满足       则 则能到达x轴粒子所占粒子总数的比例 【典型例题6】一带电质点，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第Ⅰ象限所示的区域(下图所示)．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计． 【答案】　 【解析】　质点进入xOy平面的磁场区域内做匀速圆周运动，由qvB＝m得R＝. 据题意，要求质点垂直Ox轴射出，它在磁场区域内必经过圆周， 且此圆周应与入射和出射的方向线相切，过这两个切点M、N作入射和出射方向的垂线， 其交点O′即为圆心(下图所示)． 因此该粒子在磁场内的轨道就是以O′为圆心， R＝为半径的一段圆弧(图中虚线圆弧)． 在通过M、N两点的所有圆周中，以MN为直径的圆周最小(如图中实线所示)． 因此所求圆形区域的最小半径为rmin＝MN＝·R＝. 【变式训练9-1】如图所示，在、的长方形区域中有一磁感应强度大小B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子圆周运动的半径 B．长方形区域的边长满足关系 C．长方形区域的边长满足关系1 D．粒子射入磁场的速度大小 【答案】C 【解析】AD．最先从磁场上边界中飞出的粒子在磁场中的偏转角最小，对应的圆弧最短，可以判断出是沿y轴方向入射的粒子；其运动的轨迹如图甲，则由题意偏转角 由几何关系得 带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得 所以 AD错误； BC．当时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图乙所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，，回旋角度为，设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得 解得 则 由图可得 解得 B错误，C正确。 【变式训练9-2】如图所示，在直角坐标系的轴的上方空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，在O点有一粒子源沿纸面向磁场中各个方向发射大量相同带负电粒子，若所有带电粒子都能从点离开磁场，不计带电粒子重力及粒子间的相互作用力，则带电粒子在点发射时的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD．若，带电粒子会沿x轴做匀速直线运动，故AD错误； BC．若，则有 则 若粒子速度为v，与y轴方向夹角为，则有 解得 则，即若所有带电粒子都能从点离开磁场，则所有粒子的速度沿y轴方向的分速度都相同，故B正确，C错误。 故选B。 【变式训练9-3】如图所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场．不计重力的影响．由这些条件可知(　　) A．不能确定粒子通过y轴时的位置 B．不能确定粒子速度的大小 C．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间 D．以上三个判断都不对 【答案】　D 【解析】　带电粒子以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，故带电粒子一定在磁场中运动了周期，从y轴上距O为x0处射出，回旋角为90°，由r＝可得v＝＝，可求出粒子在磁场中运动时的速度大小，另有T＝＝，可知粒子在磁场中运动所经历的时间，故选D. 【变式训练9-4】下端封闭、上端开口、内壁光滑的细绝缘玻璃管竖直放置，管底放一个直径略小于玻璃管内径的带正电小球。空间存在着水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，以带电小球所在初始位置为原点，建立坐标系如图所示。使玻璃管保持竖直沿轴正方向匀速运动，小球离开管之前的运动轨迹正确的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】小球随玻璃管在水平方向做匀速直线运动，根据左手定则，竖直方向受向上的洛伦兹力，大小为是恒力，由牛顿第二定律得，可知小球的加速度不随时间变化，恒定不变，故小球竖直方向做匀加速直线运动，水平方向做匀速直线运动，则小球运动轨迹是开口向上的抛物线。 故选B。 【变式训练9-5】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电粒子，在纸面内从轴上的点射入磁场，入射速度方向与轴正方向的夹角为时，粒子垂直轴离开磁场。不计粒子的重力。则() A.粒子一定带负电 B.粒子入射速率为 C.粒子在磁场中运动的时间为 D.粒子离开磁场的位置到点的距离为 【答案】D 【解析】A.粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误； 粒子垂直轴离开磁场， 运动轨迹如图 粒子运动的半径为， 洛伦兹力提供向心力， 解得， 轨迹对应的圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为， 故BC错误； D.粒子离开磁场的位置到点的距离为，故D正确。 故选：。 【变式训练9-6】如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计粒子重力。根据上述信息可以得出(　　) A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B.带电粒子在磁场中运动的速率 C.带电粒子在磁场中运动的时间 D.该匀强磁场的磁感应强度 【答案】　A 【解析】　如图，找出轨迹圆心O'，画出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹，利用三角函数知识求出轨迹半径r＝a，OO'＝a，则轨迹方程为x2＋a2(x>0，y>0)，故A正确;由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，得v＝，B和v均不可得出，故B、D错误;因为T＝，B未知，不能求出周期T，也不能求出带电粒子在磁场中运动的时间，故C错误。 【变式训练9-7】在如图所示的xOy平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa是两磁场的边界，且与x轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】　C 【解析】　设带电粒子在B1中运动的半径为R1，在B2中运动的半径为R2，根据条件作出粒子的运动轨迹如图所示， 由图中几何关系可知R1＝2R2，根据qvB＝m可得＝＝，故C正确，A、B、D错误． 【变式训练9-8】如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120° 角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负分别是（   ） A．，正电荷 B．，正电荷 C．，负电荷 D．，负电荷 【答案】C 【解析】由题意可知粒子向右偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷。作出粒子运动轨迹如图所示，设粒子的轨迹半径为r，根据几何关系有 r＋rsin30°＝a 根据牛顿第二定律有     联立解得 【变式训练9-9】Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　) A. B. C.(1＋) D. 【答案】　C 【解析】粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)，故C正确。 【变式训练9-10】如图所示，在xOy平面的的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量质子从原点O朝各个方向均匀发射到第一象限内，发现从磁场上边界射出的质子数占总数的，不计质子间相互作用及重力，则质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据洛伦兹力提供向心力可得 可知速率相等的大量质子的运动半径也相等，可知从原点均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的，则从磁场上边界射出的电子的发射角度范围有 则根据质子的偏转轨迹和几何关系可得，能从上边界射出的电子的发射角度在 设轨迹半径为 R ，则由几何关系知 代入得 故选C。 【变式训练9-11】如图所示，在充满磁场的空间中，以镭放射源为坐标原点建立平面直角坐标系xOy。磁场方向以x轴为边界，y＞0区域垂直于平面向里，y＜0区域垂直于平面向外，磁感应强度大小B＝k1|y|（k1＞0）。元素发生衰变，向y轴正方向射出三种射线①、②、③，射线①和射线③的速度之比约为1：9，质子与电子的质量之比约为1836：1，则（　　） A．射线③是弱相互作用引起的，其穿透能力弱，用一张纸就能挡住 B．射线②是镭原子能级跃迁产生的，可用于探测金属构件内部的缺陷 C．若比荷为k2的粒子形成射线①，其经纵坐标为y1的位置时分速度 D．组成射线①和③的两种粒子离x轴的最大距离之比约为20：1 【答案】D 【解析】先通过左手定则判断三种射线的带电性质与种类，再逐一分析选项，其中D项通过对洛伦兹力的水平分量积分求解粒子离x轴的最大距离，最终确定D正确。 解：首先根据左手定则判断三种射线，磁场向里，粒子初速度沿y正方向，向左偏的①带正电，向右偏的③带负电，不偏转的②不带电，因此①是α射线（氦核，正电），②是γ射线（不带电），③是β射线（电子，负电）； A.③是β射线，由弱相互作用引起，但β射线穿透能力较强，一张纸不能挡住β射线，故A错误； B.②是γ射线，γ射线是原子核能级跃迁产生的，不是原子（核外）能级跃迁，故B错误； C.洛伦兹力水平分量提供的加速度为， 根据加速度的定义式有， 联立积分可得， 解得， 方向向左，故C错误； D.粒子到达离x轴最大距离ym时，vy＝0，速率v0不变（洛伦兹力不做功），即|vx|＝v0； 代入上式得，解得， 则，故D正确。 故选：D。 【变式训练9-12】如图所示，在xOy平面上的第一象限全部区域有垂直向里的匀强磁场，有一位于第二象限的电子源持续不断地沿x轴正方向发射速率均为v的电子，形成沿y轴方向均匀分布的电子流，电子源所在位置的纵坐标分布范围为R～2R。荧光屏的上端固定于x轴上，其横坐标分布范围为0～5R，荧光屏上被电子碰撞的位置均会显示荧光。电子每次碰撞过程中机械能损失75%，碰撞前后速度方向与荧光屏的夹角相等（与竖直方向对称）。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力，忽略电子间的相互作用。若所有电子最终均静止在荧光屏上（没有离开第一象限），则磁感应强度B的取值范围是（　　） A．0≤B B．B C．B D．B 【答案】B 【解析】根据洛伦兹力提供向心力求出电子做圆周运动的表达式，当半径最小时对应的B最大，同理当半径最小时B最大，进而求出磁感应强度B的取值范围。 解：根据洛伦兹力提供向心力有 由于每次碰撞过程动能变为原来的四分之一，所以速度大小应变为原来的二分之一，即 电子与荧光屏第一次碰撞时速度方向与荧光屏的夹角为θ，则 rmin（1+cosθ）＝2R 联立解得 则 x1＝rsinθ 所以 所以 ， 所以B的取值范围为 故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练9-13】在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，两个相同的带电粒子①和②在P点垂直磁场射入，①的速度与x轴负方向成45°，②的速度与x轴正方向成45°，如图所示。二者均恰好垂直于y轴射出磁场。不计重力，不考虑带电粒子之间的作用力，根据上述信息可以判断的是（    ） A．带电粒子①在磁场中运动的半径大 B．带电粒子①在磁场中运动的平均速度大 C．带电粒子②在磁场中运动的轨迹短 D．带电粒子②在磁场中运动的平均速度大 【答案】B 【解析】AC．根据题意，作出两粒子的运动轨迹图，如图所示 由图可知，①粒子的运动轨迹短，②粒子的轨迹长，两粒子匀速圆周运动的半径为 故AC错误； BD．由题可知，粒子做匀速圆周运动的周期相等，平均速度等于位移与所用时间的比值，即 由此可知 故B正确，D错误。 【变式训练9-14】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（　　） A．粒子一定带正电 B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 【答案】ACD 【解析】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确； BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图 粒子运动的半径为 洛伦兹力提供向心力 解得粒子入射速率 若，粒子运动轨迹如图 根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确； D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图 根据几何关系可知 解得 D正确。 【变式训练9-15】（多选)如图，一个质量为m，电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成45°角。OP=a。则以下说法正确的是（　　）    A．带电粒子运动轨迹的半径为a B．磁场的磁感应强度为 C．OQ的长度为 D．粒子在第一象限内运动的时间为 【答案】BD 【解析】A．带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如下图    设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得 解得 故A正确； B．根据牛顿第二定律可得 解得 故B正确； C．根据几何知识可得 故 故C错误； D．带电粒子做匀速圆周运动的周期为 由几何知识可得 则 故D正确。 故选BD。 【变式训练9-16】（多选)如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点(图中未画出)时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则(　　) A．该粒子带正电 B．A点与x轴的距离为 C．粒子由O到A经历时间t＝ D．运动过程中粒子的速度不变 【答案】　BC 【解析】根据粒子的运动方向，由左手定则判断可知粒子带负电，A项错；运动过程中粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，D项错；粒子做圆周运动的半径r＝，周期T＝，从O点到A点速度的偏向角为60°，即运动了T，所以由几何知识求得点A与x轴的距离为，粒子由O到A经历时间t＝，B、C两项正确． 【变式训练9-17】一匀强磁场垂直于xOy平面，分布在一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，某时刻经过原点O，速度大小为v，方向沿x轴正方向，后来经过y轴上点P时，速度方向与y轴正方向的夹角为30°，P到O的距离为d，如图10所示。若粒子重力忽略不计，点O在磁场中。则粒子从点O到P的时间t和磁场区域的最小半径Rmin分别为(　　) 图10 A.t＝ B.t＝ C.Rmin＝ D.Rmin＝ 【答案】　AC 【解析】　粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知d＝＋r，α＝120°，粒子运动半径r＝，粒子从点O到P的时间为t＝×＋＝，A正确，B错误；磁场区域的直径等于粒子圆周运动的弦长时，半径最小，有Rmin＝＝，C正确，D错误。 【变式训练9-18】如图11所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m＝5.0×10－8 kg、电荷量为q＝1.0×10－6 C的带电粒子，从静止开始经U0＝2.5 V的电压加速后，从P点沿图示方向进入磁场，已知OP＝15 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： 图11 (1)带电粒子到达P点时速度v的大小； (2)若磁感应强度B＝2.0 T，粒子从x轴上的Q点离开磁场，求OQ的距离； (3)若粒子不能进入x轴上方，求磁感应强度B′满足的条件。 【答案】　(1)10 m/s　(2)45 cm　(3)B′≥ T 【解析】　(1)根据动能定理可知qU0＝mv2 代入数据可得v＝＝ m/s＝10 m/s。 (2)根据qvB＝可得粒子在磁场中的轨迹半径 r＝＝0.25 m＝25 cm 根据几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆心恰好在x轴上，因此 OQ＝r＋rcos 37°＝45 cm。 (3)若粒子不能进入x轴上方， 临界状态时，运动轨迹恰好与x轴相切，如图所示， 根据几何关系可知 r′＋r′sin 37°＝OP 由qvB′＝ 解得B′＝ T 因此若粒子不能进入x轴上方，磁感应强度 B′≥ T。 【变式训练9-19】如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设粒子的速度为，由 得粒子在第二象限的轨道半径为 粒子在第三象限的轨道半径为 则 （2）粒子从O点射入第二象限到再次射入第二象限，完成一次周期性运动,如图所示，粒子在磁场中运动时的圆心角为 由 得粒子在第二象限中运动的时间为 粒子在第三象限中运动的时间为 则粒子达成一次周期性运动的时间为 （3）粒子从O点入射，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 第二次经过x轴的位置到第一次经过x轴的位置的距离为 则粒子第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 【变式训练9-20】研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 【变式训练9-21】磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【解析】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故 其中 则该粒子通过速度选择器的速率为 （2）粒子在区域内做匀速圆周运动，从ON的中点垂直ON射入磁屏蔽区域，由几何关系可知 由洛伦兹力提供给向心力 联立可得 由于，根据洛伦兹力提供给向心力 解得 当时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 可得 故粒子打在y轴3L处，综上所述y轴上可能检测到该粒子的范围为。 （3）若在Q处检测到该粒子，如图 由几何关系可知 解得 由洛伦兹力提供向心力 联立解得 其中 根据磁屏蔽效率可得若在Q处检测到该粒子，则 【变式训练9-22】如图所示，一个质量为m，电荷量为－q，不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)穿过第一象限的时间． 【答案】　(1)　(2) 【解析】　(1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知： Rcos30°＝a，得R＝ Bqv＝m，得B＝＝. (2)带电粒子在第一象限内运动时间t＝·＝. 【变式训练9-23】如图所示，在坐标系的第一象限内存在匀强磁场，磁感应强度为。一带电粒子在点以与轴正方向成的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于轴射出磁场。已知带电粒子质量为、电荷量大小为电性未知，，不计重力。根据上述信息，求： 带电粒子的电性，在磁场中运动的速率； 带电粒子在磁场中运动的时间； 带电粒子在磁场中运动垂直于轴射出磁场的坐标。 【答案】见解析 【解析】由粒子的运动轨迹可知此粒子带正电，粒子恰好垂直于轴射出磁场，作两速度的垂线交点为圆心，轨迹如图所示 由几何关系可知， 洛伦兹力提供向心力，有 解得带电粒子在磁场中运动的速率为； 带电粒子圆周的圆心角为，而周期为， 则带电粒子在磁场中运动的时间为； 粒子恰好垂直于轴射出磁场，圆心在轴上，圆心的横坐标为，带电粒子在磁场中运动垂直于轴射出磁场的坐标， 得，则带电粒子在磁场中运动垂直于轴射出磁场的坐标为。 【变式训练9-24】如图，在直角三角形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压加速后，沿平行于轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在边上某点以垂直于轴的方向射出。已知点为坐标原点，点在轴上，与轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为，不计重力。求 带电粒子的比荷； 带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间。 【答案】见解析 【解析】解：设带电粒子的质量为，电荷量为，加速后的速度大小为， 根据动能定理可得： 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，粒子在磁场中运动轨迹如图所示： 根据洛伦兹力提供向心力可得： 根据几何关系可得： 联立式可得： 由几何关系可知，带电粒子射入磁场后运动到轴所经过的路程为 则带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间为： 联立式可得：。 答：带电粒子的比荷为； 带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间为。 【变式训练9-25】某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的y>0区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子漂入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场（加速电场未画出），经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值。已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。 (1)求a离子在磁场中速度大小； (2)求b离子在照相底片上形成的亮线长度； (3)若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，求的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）a离子经电压为U的电场加速，以的速度进入磁场区域，根据动能定理得 解得 （2）同理可得b离子进人磁场时的速度应满足 解得 b离子在磁场中做匀速圆周运动，其轨道半径为，根据洛伦兹力提供向心力得 联立解得 如图所示 b离子沿y轴方向入射时打在底片的位置与原点O距离最远，可得 b离子沿与y轴方向成角的两个方向入射打在底片上同一位置，此时位置与原点O距离最近，由几何关系可得 如图所示，可得b离子在照相底片上形成的亮线长度为 解得 （3）a离子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为，根据洛伦兹力提供向心力得 联立解得 当加速电压取最小值时，a离子运动半径最小为 a离子打在照相底片上的位置与原点O的最近距离为 同理当加速电压取最大值时，b离子运动半径最大为 b离子打在照相底片上的位置与原点O的最远距离为 要在底片上完全分辨出a、b两种离子，应满足 联立解得 即的最大值为。 【变式训练9-26】为探测粒子在中磁场的运动，可用云室来显示它们的径迹。如图所示，在xOy平面内，圆心位于x轴负半轴上的圆形磁分析器，半径为R，与y轴相切于坐标原点O，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场。三个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子甲、乙、丙，分别以速度同时从边界上的a、b、c三个点沿着y轴正方向射入磁分析器中，b与圆心的连线垂直于x轴，a、c到连线的距离均为，三个粒子都从O点离开磁分析器。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。 (1)求匀强磁场磁感应强度的大小及甲、丙粒子到达O点的时间差。 (2)若在的区域存在着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为磁分析器中磁场的2倍，且处有一垂直于x轴的足够大的荧光屏（图中未画出），求甲、丙粒子打在荧光$ 第06讲 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：带电粒子在直线边界磁场中的运动 10 题型02：带电粒子在平行边界磁场中的运动 21 题型03：带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题 27 题型04: 带电粒子在半圆形或弧形边界磁场中的运动问题 44 题型05：带电粒子在环形磁场中的运动 47 题型06：带电粒子在三角形边界的磁场中的运动 55 题型07：带电粒子在矩形（及其它四边形）边界磁场中的运动 66 题型08：带电粒子在其它规则边界匀强磁场中的运动 77 题型09：带电粒子在部分象限存在匀强磁场中的运动 78 题型10：带电粒子在有界磁场中运动的临界值极值问题 92 题型11：带电粒子在有界磁场中运动的多解问题 97 巩固提升 100 1. 考点地位：高考磁场板块重点、难点，是带电粒子磁场运动的核心考法，多选、计算题高频出现，常作为中档或压轴小问，分值高。 2. 考查形式：选择题常考查轨迹判断、圆心半径、临界条件；计算题以矩形、圆形、三角形有界磁场为载体，考查单粒子或者多粒子入射，经常结合临界极值、多解问题。 3. 命题特点：磁场区域有明确边界，粒子在磁场内做一段圆弧，出磁场后做直线运动；核心难点不在公式，而在几何作图；常考：粒子源发射大量粒子、速度大小/方向可变、轨迹与边界相切临界情况。 核心公式：qvB，r＝， T＝ 1. 掌握洛伦兹力特点，会用左手定则判断粒子偏转方向，区分正负电荷。 2. 熟练在直线边界、圆形边界磁场中，画轨迹、找圆心、利用几何关系求半径、圆心角。 3. 会处理两类经典模型： ①速度大小固定，入射方向转动（旋转圆模型）； ②方向固定，速度大小变化（缩放圆模型）。 4. 识别临界条件（轨迹与磁场边界相切），能分析多解成因，不漏情况。 5. 会计算粒子在磁场中的运动时间：t＝T 知识点一：带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 1.圆心的确定方法 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 ③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 2.半径的计算方法 方法一　由R＝求得 方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得 例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。 ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。 3.时间的计算方法 方法一　利用圆心角、周期求得t＝T 方法二　利用弧长、线速度求得t＝ 例如：t＝T＝T＝T t＝＝ 知识点二：带电粒子在有界磁场中运动的常见情形 1.直线边界磁场(进出磁场具有对称性）如图所示 ①解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 ②如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 2.平行边界(往往存在临界条件) 双边平行直线边界如图所示，粒子进出磁场存在临界条件 ①解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 ②如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 3.圆形边界 ①沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示) ②粒子做圆周运动的半径r＝ ③粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90° 正对圆心射入圆形磁场区域 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 不对圆心射入圆形磁场区域 两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形 4.三角形边界磁场 三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图甲、乙所示。 解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式 ①从某顶点射入。 ②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。 (2)射出点的判断 其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。 5.矩形边界 矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。 解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入) (1)两个临界半径 ①从d点射出：r1＝。 ②从c点射出：r＝＋ab2。 (2)三种情况 ①r≤r1，粒子从ed段射出。 ②r1<r≤r2，粒子从cd段射出。 ③r>r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。 知识点三： 带电粒子在磁场中的运动的临界问题 1.临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直． 2.几种常见的求极值情况(速度一定时) (1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切． 圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： 当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长． (2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直． 如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短． 3.带电粒子在磁场中运动的临界问题处理方法（极限与临界思想）： (1)放缩法 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入磁场，这些粒子的轨道半径随速度变化而变化， 越大， 越大，以入射点P为定点圆心位于 的直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件。 v (2)平移法 粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入磁场，它们在磁场中运动的半径相同，若入射速度为 ，则半径为 ，同时可发现这些粒子运动的圆心在以入射点P为圆心，半径为的圆上，解题时可采用平移法进行处理。 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． 知识点四：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的多解问题 1．受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图带电粒子一速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。 v b a 2．磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度不确定而形成的多解。 如图带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。 v b a 注意： 1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。 如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。 2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题 处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。 甲　　　　　　　乙 (1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。 (2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。 (3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。 一：基础四步解题法 1. 定偏转：左手定则判断粒子向哪一侧偏转，初步画出圆弧轨迹草图。 2. 2. 找圆心 ①直线边界：入射点速度垂线、弦的中垂线，交点即为圆心； ②圆形磁场边界：沿半径入射，一定沿半径射出（重要二级结论）。 3. 几何求半径、圆心角：勾股定理、三角函数、弦长公式，找到轨迹圆半径和磁场区域边长/半径的几何关系。 4. 代入公式求解：求速度、比荷、运动时间，分析临界、多解。 二：两大核心模型解题技巧 1. 缩放圆（入射方向不变，速度大小变化） 速度v变大→半径r变大；临界：轨迹圆刚好和磁场边界相切，是粒子能射出磁场的最大/最小速度。 2. 旋转圆（速度大小不变，入射方向改变，粒子源发射） 轨迹圆半径固定，圆心绕入射点旋转；找最远出射点：以入射点为圆心、2r为半径画圆。 三：临界，多解突破口 1.临界标志：轨迹圆弧刚好与磁场边界相切，这是速度极值的条件。 2.多解来源：磁场方向可双向、粒子电性不确定、圆弧轨迹存在多种可能。 3.运动时间：圆心角越大，运动时间越长；找最长/最短时间，本质找最大/最小圆心角。 四、高频易错点 1. 混淆轨迹圆的圆心和磁场区域的圆心（圆形磁场最容易错）。 2. 圆心角≠偏转角：粒子速度偏转角等于轨迹对应的圆心角，不要和磁场区域夹角弄混。 3. 求时间忘记：周期T和速度无关，只看圆心角。 4. 只找到一种轨迹，漏掉多解情况。 5. 左手定则负电荷判断出错，偏转方向画反。 题型01：带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典型例题1】边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 【典型例题2】如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为(　　) A．3 B．2 C. D. 【典型例题3】质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图两种虚线所示，下列表述正确的是 A．M带负电，N带正电 B．M的速度率小于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运行时间大于N的运行时间 【典型例题4】如图所示，虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，在直角三角形中，，。两个带电荷量数值相等的粒子a、b分别从、两点以垂直于的方向同时射入磁场，恰好在点相遇。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．a带负电，b带正电 B．a、b两粒子的周期之比为 C．a、b两粒子的速度之比为 D．a、b两粒子的质量之比为 【典型例题5】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为q。以下正确的为（　　） A．粒子能到达de中点 B．从bc边界出的粒子运动时间相等 C．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【典型例题6】(多选)如图所示，直线AD为磁感应强度大小为B的匀强磁场的边界线，AD与水平线成θ=30°角，M、N为竖直放置的两个带有狭缝的金属板，板间电压为U。一带正电的粒子（初速度为零）经电场加速后从C点水平射入磁场，从CD间的E点离开磁场，C、E间距离为L，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．仅将加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时出射点与入射点之间的距离为L D．仅加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时粒子在磁场中运动时间为原来的倍 【变式训练1-1】如图，直线MN右侧无穷大区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。有一个带负电的粒子，质量为m，所带电荷量大小为q，从A点斜向下与直线MN成45°角以一定的初速度垂直进入磁场中，一段时间后从直线MN上某点离开匀强磁场区域，不考虑粒子的重力，下列关于该粒子运动的描述，正确的是（　　） A．粒子在磁场中的运动时间为 B．若其他条件不变，粒子入射的初速度大小变为原来的两倍，则粒子在磁场的运动时间变为原来的一半 C．若其他条件不变，粒子带正电，则粒子在磁场的运动时间变为原来的三倍 D．若其他条件不变，粒子入射的初速度大小变为原来的，则粒子在磁场的运动时间变为原来的一半 【变式训练1-2】如图是比荷相同的两粒子从O点垂直进入直线边界匀强磁场区域的运动轨迹，下列说法正确的是（　　） A．a带负电，b带正电 B．a的带电量比b的带电量小 C．a运动的速率比b的小 D．a的运动时间比b的短 【变式训练1-3】如图所示，在水平虚线MN边界的下方是一垂直纸面向里的匀强磁场，质子（）和α粒子（）先后从边界上的A点沿与虚线成 角的方向射入磁场，两粒子均从B点射出磁场。不计粒子的重力，则（　　） A．两粒子在磁场中运动的轨迹不相同 B．两粒子在磁场中运动的速度大小相同 C．两粒子在磁场中运动的动能相同 D．两粒子在磁场中运动的时间相同 【变式训练1-4】如图所示，轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场，两个比荷相同的正负电荷（不计重力）以相同速度从点先后射入磁场，最终均从轴离开磁场。不计两电荷间的相互作用，关于两电荷在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．两电荷所受洛伦兹力的大小一定相同 B．两电荷在磁场中的运动时间一定相等 C．两电荷重新回到轴时的速度一定相同 D．正电荷从轴上点右侧射出磁场，负电荷从轴上点左侧射出磁场 【变式训练1-5】在x轴上方有垂直于纸面的匀强磁场，同一种带电粒子从O点射入磁场。当入射方向与x轴的夹角α=45° 时，速度为v1、v2的两个粒子分别从a、b两点射出磁场，如图所示，当α=60°时，为了使粒子从ab的中点c射出磁场，则速度应为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为t。若该微粒经过p点时，与一个静止的不带电微粒发生完全非弹性碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。不计重力。新微粒运动的（     ） A．轨迹为pb，至屏幕的时间将小于t B．轨迹为pc，至屏幕的时间将大于t C．轨迹为pb，至屏幕的时间将等于t D．轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t 【变式训练1-7】如图所示，两个速度大小相同、比荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2∶1 B．比荷之比为2∶1 C．时间之比为3∶2 D．周期之比为2∶1 【变式训练1-8】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为L D．放射源S发射的粒子中有20%的粒子可以击中ab板 【变式训练1-9】如图所示，空间中存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，为磁场中一等边三角形区域，C为边的中点，E为DF上一点，，。一比荷为k的带电粒子从A点沿的垂线方向射入磁场，改变入射速度的大小，使粒子分别经过C、E点，若粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子从A点运动到C点的时间为 B．若粒子经过C点，则入射速度大小为2kBL C．D点和E点间的距离为 D．若粒子经过E点，则入射速度大小为 【变式训练1-10】 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中。哪个图是正确的？（ ） A. B. C. D. 【变式训练1-11】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知氕核的质量为m，电荷量为q。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-12】如图所示，在直线边界的上方存在垂直纸面向里磁感应强度为的匀强磁场，点在上。现从点垂直在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为、电量均为的粒子，已知，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-13】如图所示，在实线以上的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边界点有一粒子源，能射出质量为、电荷量为+的带电粒子，粒子以不同的速率垂直向上进入磁场，若粒子从边界射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间最短是 B．粒子在磁场中运动的时间最长是 C．粒子的速率可能是 D．粒子的速率可能是 【变式训练1-14】如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（　　） A．粒子带负电 B．从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率 C．从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间 D．所有粒子所用最短时间为 【变式训练1-15】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，bc为半径为r的半圆，ab、 cd与直径bc共线，ab间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q （q>0）的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。从abcd边界射出磁场所用时间最短的粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-16】(多选)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则a、b两粒子(　　) A.运动半径之比为∶1 B.初速率之比为1∶ C.运动时间之比为5∶2 D.运动时间之比为6∶5 【变式训练1-17】(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则(　　) A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B.所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 【变式训练1-18】(多选)如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A.质子在磁场中运动的半径为 B.α粒子在磁场中运动的半径为l C.质子在磁场中运动的时间为 D.质子和α粒子发射的时间间隔为 【变式训练1-19】(多选)如图，ab和ac是无限大磁场的分界线，在ab和ac的上下两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。，P、Q是分界线上的两点，且。现有一质量为m、电荷量为的粒子从P点沿PQ方向水平射出，粒子射出速度，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子运动的轨迹半径为 B．粒子由P点运动到Q点所用的时间为 C．若射出速度为，粒子第一次运动到ac边上的位置到a点的距离为 D．若射出速度为，粒子由P点运动到Q点所用时间为 【变式训练1-20】(多选)如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上．不计重力．下列说法正确的有(　　) A．a、b均带正电 B．a在磁场中飞行的时间比b的短 C．a在磁场中飞行的路程比b的短 D．a在P上的落点与O点的距离比b的近 【变式训练1-21】(多选)如图所示，MN是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界。 一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点。下列说法正确的有 A．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v0 B．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v0 C．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于 D．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于 【变式训练1-22】(多选)如图所示，空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场中有一粒子源O，可以均匀地向各个方向同时发出质量为m、电荷量为q、速率为v的带正电的粒子。PQ是平行磁场放置的足够长的挡板，P、Q为挡板的端点，挡板P端与O点的连线与挡板垂直，。假设打在挡板上的粒子都会瞬间被挡板吸收且其电荷被及时导走，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，（磁场区域足够大）下列判断正确的是（     ） A．若磁感应强度，则发出的粒子运动到挡板的最短时间为 B．若磁感应强度，则发出的粒子运动到P点最长时间为 C．若磁感应强度，则发出的粒子运动到挡板的最短时间为 D．若磁感应强度，则发出的粒子运动到挡板左侧最远的点离P点的距离为 【变式训练1-23】(多选)如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【变式训练1-24】(多选)如图所示，半圆弧BCD为匀强磁场边界的一部分，磁场方向垂直于纸面向外。某带正电的粒子从A点垂直于磁场边界射入，已知圆弧的半径为R，圆心O与ABD共线，AB＝R，粒子的电量为q，质量为m，初速度为v0，要使带电粒子运动到D点，不计粒子的重力。则磁感应强度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-25】如图所示，两个同种粒子和，质量均为，电荷量均为，初速度大小均为，从点沿垂直磁场方向进入匀强磁场中，如图，的初速度方向与屏垂直，的初速度方向与的初速度方向成角，最后都打到屏上，不计重力。 判断、粒子带正电还是负电。 求在磁场中飞行的轨道半径和位移的大小。 求在磁场中飞行的周期和时间。 题型02：带电粒子在平行边界磁场中的运动 【典型例题1】如图所示，有界匀强磁场边界线SP平行于MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2则t1：t2为（重力不计）（ ） A.1：3 B.4：3 C.1：1 D.3：2 【典型例题2】如图所示，真空区域内有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电的粒子不计重力，沿着与夹角为的方向以某一速度射入磁场中，粒子恰好未能从边界射出磁场。下列说法不正确的是() A. 可求出粒子在磁场中运动的半径 B. 可求出粒子在磁场中运动的加速度大小 C. 若仅减小射入速度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短 D.若仅增大磁感应强度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短 【典型例题3】如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则（　　） A．两粒子圆周运动的周期之比 B．两粒子的质量之比 C．两粒子的轨道半径之比 D．两粒子的速率之比 【典型例题4】(多选)如图4所示是小齐同学设计的一个能够测量电流的装置，其上部是一根粗细均匀横截面积为S的竖直细管，下部是一截面为正方形(边长为L)的容器。该容器左右两壁为导体，其他各面是绝缘的，其底部与大气相通。容器内有一个正方形的金属活塞，其边长也为L，可在容器内无摩擦滑动。活塞下面有一轻质弹簧支撑着，已知弹簧的劲度系数为k，活塞上部充有密度为ρ的绝缘油(测量过程中细管内始终有绝缘油)。容器的左右两壁与一电路连接，整个装置放在水平向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。开关K闭合前，活塞处于静止状态，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，则(　　) 图4 A.闭合开关K后，竖直细管中油柱的上表面会向上移动 B.闭合开关K后，竖直细管中油柱的上表面会向下移动 C.若油柱稳定后上表面变化的高度为x，则回路中的电流为I＝x D.若油柱稳定后上表面变化的高度为x，则回路中的电流为I＝x 【典型例题5】 如图所示，两平行金属板P、Q竖直放置，两极板间的电压为U．放在P板附近的离子源释放出质量为m，带电量为－q的离子，离子经加速电场加速后垂直磁场边界从A点进入一个匀强磁场，磁场左右边界平行，距离为l。该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。不计离子的重力。 （1）认为离子飘入加速电场时的速度很小，近似为零，求粒子从A点进入磁场的速度v； （2）若离子刚好从D点离开磁场，且离开磁场时，向下偏移的距离，求该离子在磁场中的运动时间； （3）若加速电压U和磁场的磁感应强度B均可调，欲使粒子不能从右边界射出，应如何调节U和B？ 【变式训练2-1】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是(　) A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为 【变式训练2-2】如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏转角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d B.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为 C.带电粒子在匀强磁场中运动的时间为 D.匀强磁场的磁感应强度大小为 【变式训练2-3】两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比 C．两粒子的速度大小之比 D．两粒子的质量之比 【变式训练2-4】如图5，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面(xOy平面)向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x轴正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点，SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为(　　) 图5 A. B. C. D. 【变式训练2-5】如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-6】(多选)如图所示，在直角坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A.它的轨道半径为d B.它进入磁场时的速度为 C.它在磁场中运动的时间为 D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 【变式训练2-7】(多选)真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-8】如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： (1)电子运动的轨迹半径r； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间t。 【变式训练2-9】如图所示的狭长区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，区域的左、右两边界均沿竖直方向，磁场左、右两边界之间的距离，磁场磁感应强度的大小为某种质量为，电荷量的带正电粒子从左边界上的点以水平向右的初速度进入磁场区域，该粒子从磁场的右边界飞出，飞出时速度方向与右边界的夹角为重力的影响忽略不计． 求该粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 求该粒子的运动速率； 求该粒子在磁场中运动的时间． 【变式训练2-10】如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 题型03：带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题 【典型例题1】如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，若带电粒子速率不变，磁场方向改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　 B．45° C．60° D．120° 【典型例题2】 如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)，从A点沿半径方向以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并由B点射出，且∠AOB＝120°，则该粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 【典型例题3】如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为R B．粒子的比荷为 C．由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D．从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为 【典型例题4】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　）    A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向竖直向下 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【典型例题5】如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 【典型例题6】（多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t；不计带电粒子所受重力，则（　　） A．该带电粒子带正电 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2R C．若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为2t 【典型例题7】（多选)如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度（大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断正确的是（　　）。 A．该粒子的初速度为 B．该粒子从bc弧中点以相同的速度进入磁场后在磁场中运动的时间是第一次运动时间的1.5倍 C．以从b点沿各种方向进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点 D．以从b点沿各种方向进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是 【典型例题8】如图所示，平面直角坐标系内有一圆形有界磁场Ⅰ和一矩形有界磁场Ⅱ（未画出）。磁场Ⅰ圆心坐标为，半径为，磁场Ⅱ位于轴左侧。磁场Ⅰ、Ⅱ的方向均垂直纸面向外，磁感应强度的大小分别为，有界区域边界上均有磁场。位于坐标原点的粒子源（大小忽略不计）可以向轴右侧任意方向发射质量均为、电荷量均为、速率均为的同种带正电粒子，这些粒子的出射点都位于轴下方的一段圆弧（为圆弧上离点最远的点，未画出）上。若从点出射的带电粒子依次经过真空区域、磁场Ⅱ、真空区域后恰好能回到点，且该粒子先后两次经过轴的速度方向与轴的负方向的夹角相同。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)P点的坐标； (2)从P点射出的粒子在矩形磁场区域中运动的时间； (3)矩形磁场区域的最小面积。 【变式训练3-1】图示为一粒子速度选择器原理示意图．半径为10 cm的圆柱形桶内有一匀强磁场，磁感应强度大小为1.0×10－4 T，方向平行于轴线向外，圆桶的某直径两端开有小孔，粒子束以不同角度由小孔入射，将以不同速度从另一个孔射出．有一粒子源发射出速度连续分布、比荷为2.0×1011C/kg的带正电粒子，若某粒子出射的速度大小为2×106 m/s，粒子间相互作用及重力均不计，则该粒子的入射角θ为(　　) A．30° B．45° C．53° D．60° 【变式训练3-2】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成600角．现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( ) A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以速度v1（沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（　　） A．半径之比为 B．半径之比为 C．时间之比为 D．时间之比为 【变式训练3-4】如图所示，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆周上一点，在O点处有一粒子源，可沿半径方向射出不同速率的相同带电粒子，其中带电粒子1、2分别从A、B两点飞出磁场，且两粒子的入射方向与出射方向的夹角（锐角）均为60°，不考虑带电粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子1、2的速率之比为（　　） A．3：1 B．1：3 C．：1 D．1： 【变式训练3-5】如图所示，在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的圆形边界匀强磁场中，磁场半径为。、两个带正电的粒子以相同的动能，沿平行于直径的方向射入磁场，射入点与的距离为，已知、两粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角分别为和，且。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．、两粒子速率之比 B．、两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比 C．、两个粒子质量之比 D．、两个粒子磁场中运动时间之比 【变式训练3-6】如图所示，在平面中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为。电子在磁场中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-7】如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（未画出），一质量为m、带电荷量为的微粒从圆上的N点以一定的速度沿图中虚线方向射入磁场，从圆上的M点离开磁场时的速度方向与虚线垂直。已知圆心O到虚线的距离为，不计微粒所受的重力，下列说法正确的是（　　） A．微粒在磁场区城内运动的时间为 B．微粒射入磁场时的速度大小为 C．微粒在磁场中运动的轨迹半径为 D．微粒到圆心O的最小距离为 【变式训练3-8】如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。质量为m、电荷量为q的带正电粒子由M点沿与过该点的直径成30°角的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。不计粒子重力，则(　　) A.粒子的运动速度大小为 B.粒子在磁场中运动的时间为 C.若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变 D.若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长 【变式训练3-9】如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是（　　） A.粒子带正电 B.粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C.粒子在磁场中运动的时间为 D.圆形磁场区域的半径为tan θ 【变式训练3-10】如图所示，以O为圆心、MN为直径的圆的左半部分内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个不计重力、质量相同、带电量相同的带正电粒子a、b和c以相同的速率分别沿aO、bO和cO方向垂直于磁场射入磁场区域，已知bO垂直MN，aO、cO和bO的夹角都为30°，a、b、c三个粒子从射入磁场到射出磁场所用时间分别为ta、tb、tc，则下列给出的时间关系不可能的是（ ） A.ta＜tb＜tc B.ta＜tb＝tc C.ta＝tb＜tc D.ta＝tb＝tc 【变式训练3-11】一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-12】如图所示，正三角形的三条边都与圆相切，在圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质子P(H)和氦核Q(He)都从顶点A沿∠BAC的角平分线方向射入磁场，质子P(H)从C点离开磁场，氦核Q(He)从相切点D离开磁场，不计粒子重力，则质子和氦核的入射速度大小之比为(　　) A．6∶1 B．3∶1 C．2∶1 D．3∶2 【变式训练3-13】如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（　　） A.沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短 B.沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子 C.沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为 D.沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8 【变式训练3-14】如图所示是半径为R的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔a和b，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为B的匀强磁场中。质量为m、电荷量为﹣q的粒子，从小孔a以一定初速度与ab连线成θ角入射，最终从b孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若θ，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若θ，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若θ，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若θ，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 【变式训练3-15】如图10所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) 图10 A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 【变式训练3-16】xOy平面内存在垂直于该平面的半径为R的圆形磁场区域，与直角坐标系y轴、x轴相切于P、Q两点。一带电粒子从P点以速率v指向圆心方向进入磁场，恰好从Q点离开。若该带电粒子从P点进入磁场时的速度方向变为θ=60°，如图所示，速度大小不变，不计重力。则该粒子经过x轴时的坐标位置及在第一象限运动的时间分别为(　　) A.(+1)R，(+ B.(+1)R， C.2R，(+ D.， 【变式训练3-17】如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子（）和α粒子（）先后从边界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，α粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为。质子和α粒子的动能之比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-18】如图所示，圆形区域的圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径。从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场。已知，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子带正电荷 B．乙粒子与甲粒子的比荷之比为3：1 C．乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为3：1 D．乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为3：1 【变式训练3-19】（多选)如图所示，半径为R的圆形区域磁场内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，半径OC与ON成600夹角。质子甲、乙分别以速率v、从A点沿直径AN方向射入磁场，甲、乙分别从C、D点（D点未画出）射出磁场。质子的电荷量为q、质量为m，下列说法正确的是（　　） A．质子甲在磁场中运动的轨迹半径为 B．质子乙在磁场中运动的轨迹半径为 C．质子甲在磁场中运动的时间为 D．A、D两点之间的距离为 【变式训练3-20】（多选)如图所示，在xOy坐标平面第一象限的圆形区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆的半径为R，与x轴和y轴分别相切于P点和Q点，圆心在C点，在y轴上A（0，R）点沿x轴正向射出一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，粒子进入磁场后经偏转刚好经过圆心C，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为R B．粒子出磁杨时的速度方向沿y轴正向 C．粒子出磁场时的速度大小为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【变式训练3-21】（多选)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子1可能为中子 B．粒子2可能为电子 C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 【变式训练3-22】（多选)研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为R、圆心为O的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，cd、ab为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为v0，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上P点射入磁场，入射速度方向平行于cd、与OP夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【变式训练3-23】（多选)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0沿和直径成角的方向垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点射出。已知为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是（　　）    A．该点电荷带负电 B．该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R C．该点电荷的比荷为 D．该点电荷在磁场中的运动时间为 【变式训练3-24】（多选)如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，直径ab水平。电子带电荷量为、质量为m，以速率v从a处始终沿纸面射入磁场，当电子在a处的速度方向与aO夹角为30°、斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60°。不计电子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为 B．改变入射方向，当电子经过O点时，电子在磁场中的运动时间为 C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变 D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变 【变式训练3-25】（多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 【变式训练3-26】（多选)如图8所示，半径为R的一圆形区域，O为圆心，P为边界上的一点，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为－q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速率v＝射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向夹角为θ＝30°。下列说法正确的是(　　) 图8 A.两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R B.a粒子在磁场中运动的时间为 C.b粒子在磁场中运动的时间为 D.a、b粒子离开磁场时的速度方向夹角为30° 【变式训练3-27】（多选)如图所示，半径为的圆形区域内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，和是边界圆的两条互相垂直的直径。为半径上的点，且。为磁场边界上的点，。从点沿方向射入大量电子，电子的质量为，电荷量大小为，电子的速率范围从到足够大。沿半径放置长为的挡板，挡板厚度不计，电子打到挡板上时即被挡板吸收。已知，不计电子重力，则关于从弧段离开磁场区域的电子，在磁场中运动的最短时间和最长时间，下列说法正确的是（　　） A．最短时间大于 B．最短时间小于 C．最长时间小于 D．最长时间大于 【变式训练3-28】（多选)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 【变式训练3-29】（多选)如图所示，真空中半径为R的圆形区域内有垂直圆面，磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆周上P点有粒子源，圆外与OP平行放置粒子收集板，板长为R，板关于与垂直于OP过圆心O的直线对称放置。粒子源可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相同，质量均为m，电荷量均为q的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．能够打在收集板上的粒子数占总数的 C．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直 【变式训练3-30】（多选)如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，为圆心。在磁场边界上点有一粒子源，粒子可以沿圆面向磁场内各个方向射出质量均为、电荷量均为的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子1在磁场中做圆周运动半径等于 B．粒子1在磁场中运动的偏向角为 C．粒子1在磁场中运动的时间为 D．沿方向射入的粒子从磁场出射速度与粒子1从磁场出射速度方向相同 【变式训练3-31】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t. (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？ 【变式训练3-32】地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害．为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场．如图所示，模拟地球半径为R，地球赤道平面附近的地磁场简化为赤道上方厚度为2R、磁感应强度大小为B、方向垂直于赤道平面的匀强磁场．磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子．研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球．不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应． (1)求粒子的比荷； (2)若该种粒子的速度为v，则这种粒子到达模拟地球的最短时间是多少？ 【变式训练3-33】 一半径为R的薄圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒可绕其中心轴线转动，圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变。一不计重力的负电粒子从小孔M沿着MN方向射入磁场，当筒以大小为ω0的角速度转过90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒。 （1）若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，求该粒子的荷质比和速率分别是多大？ （2）若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与MN方向成30°角，则要让粒子与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为多大？ 【变式训练3-34】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°.一质量为m、带电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)． 【变式训练3-35】如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板MN，圆顶点P有一速率为v0的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子的重力不计． (1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间； (2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板MN上时速度的垂直分量． 题型04:带电粒子在半圆形或弧形边界磁场中的运动问题 【典型例题1】如图所示，半圆形区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子第一次以的速度对准圆心O垂直直径射入匀强磁场，粒子从该磁场中射出且向下偏转，偏转角度为，第二次该带电粒子以的速度仍对准圆心O垂直直径射入匀强磁场，忽略粒子受到的重力，下面说法中正确的是（　　）（已知） A．粒子带正电 B．粒子第二次的偏转角度为 C．粒子第一次与第二次在磁场中的运动时间之比是 D．如果第二次粒子的入射速度过小，可能不能射出磁场 【典型例题2】如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q（q>0），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长 C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向 D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1 【变式训练4-1】如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，A、B为半圆直径的两个端点，O点为半圆的圆心，ON为圆的半径。现有带电粒子a、b分别以不同的速度从A点和B点沿半径方向同时进入磁场，并同时从N点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间相互作用。已知∠AON＝60°，则粒子a、b（　　） A．做圆周运动的半径之比为1： B．运动的速率之比为3：2 C．比荷之比为2：1 D．运动的角速度之比为1：2 【变式训练4-2】如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点，，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出，O点处也有磁场），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R B．从CO射出磁场的粒子运动时间不同 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子可能从圆弧边界射出 【变式训练4-3】如图所示,长方形abcd长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场),磁感应强度B=0.25T.一群不计重力、质量m=3×10－7kg、电荷量q=+2×10－3C的带电粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域(　　) A．从Od边射入的粒子,出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子,出射点分布在Oa边和ab边 D．从aO边射入的粒子,出射点分布在ab边和be边 【变式训练4-4】(多选)半径为R的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b两粒子从圆周上的P点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2，AOB为直径，∠AOP＝60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是(　　) A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.a、b两粒子的比荷之比为3∶2 C.a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1 D.a、b两粒子的轨道半径之比为1∶3 【变式训练4-5】(多选)半将半径为r的铜导线半圆环AB用两根不可伸长的绝缘绳a、b悬挂于天花板上，AB置于垂直纸面向外的大小为B的磁场中，现给导线通以自A向B大小为I的电流，则(　　) 图8 A.通电后两绳拉力变小 B.通电后两绳拉力变大 C.安培力为πBIr D.安培力为2BIr 【变式训练4-6】(多选)半如图所示，PQO为圆心角为的有界区域，O点为圆心，半径为R，M点为圆弧PQ的中点。区域内有方向垂直纸面向外的匀强磁场。完全相同的两个带电粒子a和b，以相同的速度v分别从P、M点飞入匀强磁场区域，粒子a的速度方向与PO成角。已知粒子a恰好从Q点飞出，a、b粒子所受重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a和b均带正电荷 B．粒子b也从Q点飞出磁场区域 C.粒子a在磁场中做圆周运动的半径为2R D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为2：1 题型05：带电粒子在环形磁场中的运动 【典型例题1】我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装罫创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的动量之比为（　　） A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．3∶1 【典型例题2】托卡马克环形容器是核聚变工程中重要装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点发射a、b两个粒子，都恰好经过磁场外边界。已知a粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，b粒子沿内圆的切线方向发射，a、b都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受重力和相互作用。则（　　） A．外圆半径等于2R0 B．a粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．b粒子速度大小为 D．b粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 【典型例题3】（多选）地磁场对射入的宇宙粒子有偏转作用，假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的 倍。如图所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN为磁场圆边界的直径，MN左侧宽度为的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为的粒子垂直MN以速度v射入地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则（　　）    A．地磁场的磁感应强度大小为 B．打在地面时速度方向指向O的粒子在磁场中的运动时间为 C．从M点射入的粒子在磁场中速度偏转角的余弦值为 D．仅增大粒子速度，能打到地表的粒子数一定减少 【典型例题4】（多选）中核集团正式签约承建全球首个全高温超导核聚变实验装置，彰显了我国在此领域技术水平居国际前列。在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示为核聚变中磁约束装置的简化图，圆环状匀强磁场区域的内半径为R1，外半径为R2，磁感应强度大小为B，方向垂直于环面，中空区域内带电粒子的质量为m，电荷量为q，具有各个方向的速度。下列说法正确的是（　　） A．要使所有带电粒子约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为 B．从内环边缘相切射出的所有带电粒子都约束在磁场区域内运动的最大速度为 C．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域， D．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域， 【典型例题5】如图所示，直径分别为和的同心圆处于同一竖直面内，为圆心，为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（I区）存在垂直圆面向里的匀强磁场，小圆内部（II区）存在垂直圆面向外的匀强磁场。质量为、电量为的粒子由点紧靠大圆内侧以速度竖直向上射入磁场。不计粒子的重力。 (1)若粒子运动轨迹与小圆相切，求I区磁感应强度的大小； (2)若I区、II区磁感应强度的大小均为，粒子运动一段时间后再次经过点，求这段时间粒子运动的路程。 【变式训练5-1】新一代“人造太阳”装置——中国环流器二号M装置（HL-2M）在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，核聚变主要原料氕核和氘核均从圆心O沿半径方向射出，被约束在半径为和两个同心圆之间的环形区域，该区域存在与环面垂直的匀强磁场。则下列说法正确的是（    ） A．若有粒子从该约束装置中飞出，则应减弱磁场的磁感应强度 B．若两种粒子速率相同，氕核不会从该约束装置中飞出，则氘核也一定不会从该约束装置中飞出 C．若两种粒子在磁场中做圆周运动的半径相同，则两种粒子具有相同大小的动量 D．若氘核在磁场中运动的半径，则氘核会从该约束装置中飞出 【变式训练5-2】如图所示，环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R，外圆半径为，圆心为O。在内圆边界上的P点有一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子沿OP方向以某一速度射入磁场，粒子恰好不从磁场外边界射出。不计粒子重力，以下说法正确的是（     ） A．粒子在运动过程中可能不经过圆心O B．如果仅将粒子的电荷量变为-q（q>0），粒子一定从磁场外边界射出 C．粒子运动的速度大小为 D．粒子从P点射入磁场到第一次回到P点的时间为 【变式训练5-3】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【变式训练5-4】如图所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场（图中均未画出），磁场2的磁感应强度大小是磁场1的二倍。已知电子电荷量为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动。则以下说法错误的是（    ） A．电场方向垂直圆环平面向里 B．电子运动周期为 C．匀强磁场2的磁感应强度大小为 D．电场强度大小为 【变式训练5-5】极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：为地球球心，为地球半径，将地磁场在半径为到之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成角向上方（图中2方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-6】（多选）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-7】（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【变式训练5-8】（多选）中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-9】（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 【变式训练5-10】（多选）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O为地球球心、R为地球半径。地磁场只分布在半径为R和的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可以到达地面 B．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均无法到达地面 C．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面 【变式训练5-11】（多选）如图所示，I区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。I区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（　　） A．在I区的轨迹圆心不在O点 B．在I区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2 C．在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37 D．在I区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148 【变式训练5-12】近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 题型06： 带电粒子在三角形边界的磁场中的运动 【典型例题1】如图所示，边长为2a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m电荷量为-q（q>0）的同种带电粒子（不计重力），从AB边的中点，以不同速率沿不同方向射入磁场区域（均垂直于磁场方向射入），下列说法错误的是（　　） A．若粒子均平行于BC边射入，则从BC边射出的粒子最大速率为 B．若粒子均平行于BC边射入，则从BC边射出的粒子最小速率为 C．若粒子均垂直于AB边射入，则粒子可能从BC边上距B点a处射出 D．若粒子射入时的速率为，则粒子从BC边射出的最短时间为 【典型例题2】如图所示，在边长为L的等边三角形内分布着垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，在三角形的中心有一个点状的粒子源O，它可沿平行纸面的各个方向发射质量为m，电荷量为+q，速率为的同种粒子。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（　　） A．有部分粒子能够击中三角形的顶点 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若磁感应强度大小为，仍有粒子能射出三角形区域 【典型例题3】如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，，点处的粒子源持续将比荷为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】（多选）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外（包含边界）存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．粒子从bQ之间（不包括b、Q点）第二次通过ab边 C．粒子从PQ之间（不包括P、Q点）第二次通过ab边 D．粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 【典型例题5】（多选）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在边长为的等边三角形内，是边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作用下，从点沿纸面以平行于边方向、大小不同的速率射入三角形内，不考虑粒子间的相互作用力，已知粒子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正确的是（　　）    A．粒子垂直边射出时，半径等于 B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长 C．粒子可能从点射出，且在磁场中运动的时间为 D．粒子可能从边射出，且在磁场中运动时间为 【典型例题6】(多选）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则以下说法中正确的是（    ）    A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【典型例题7】边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域AOB各个方向瞬时射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，所有粒子的速率均为v 。如图所示，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，不计粒子之间的相互作用和重力的影响，已知sin 35°≈0.577。求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）带电粒子在磁场中运动的最长时间； （3）沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。 【变式训练6-1】如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度B的大小需满足(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< 【变式训练6-2】如图所示，空间中存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，ΔB1DF为磁场中一等边三角形区域，C为B1D边的中点，E为DF上一点，AB1＝L，B1D＝2L。一比荷为k的带电粒子从A点沿AB1的垂线方向射入磁场，改变入射速度的大小，使粒子分别经过C、E点，若粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子从A点运动到C点的时间为 B．若粒子经过C点，则入射速度大小为2kBL C．D点和E点间的距离为 D．若粒子经过E点，则入射速度大小为 【变式训练6-3】如图所示，边长为的等边三角形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为边的中点，一个质量为、电荷量为的带电粒子平行边从D点射入磁场，粒子的速度大小为，且刚好垂直边射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．匀强磁场的磁感应强度 C．若只改变该粒子射入磁场的速度大小，则粒子一定不能从点射出磁场 D．若只改变该粒子射入磁场的速度方向，则粒子可以从边射出磁场，且在磁场中运动的时间可能是 【变式训练6-4】如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为(　　) A. B. C. D. 【变式训练6-5】如图所示，在区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，，，。在顶点处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向区域内各个方向均匀射入比荷为、速率为的带负电的粒子，有的粒子能从边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（    ） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．边有粒子射出的区域长度为 D．从边射出的粒子速度最大偏转角为 【变式训练6-6】如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是(　　) A.可能有正电子从M点射出磁场 B.负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C.从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D.正电子在磁场中运动的最长时间为 【变式训练6-7】如图所示，直角三角形内包括边界存在垂直于纸面向里的匀强磁场，，，两个带异种电荷的粒子分别沿方向射入磁场，偏向左边的粒子恰好没有从边射出磁场，偏向右边的粒子恰好垂直边射出磁场，忽略粒子重力和粒子间的相互作用。若正、负粒子的速度大小之比为，则正、负粒子的比荷之比为() A. B. C. D. 【变式训练6-8】如图，直角三角形中，，处在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电粒子。不计粒子的重力和相互间作用力，则（　　） A．边上有粒子到达区域的长度为 B．边上有粒子到达区域的长度为 C．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【变式训练6-9】（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ACD理想分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速率不同的质子（重力不计），所有质子均能通过D点，质子比荷，则质子的速度可能为（　　） A．2BkL B． C． D． 【变式训练6-10】（多选）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．若粒子射入速度大小变为，方向不变，在磁场运动的时间为 【变式训练6-11】（多选）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（    ） A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长 B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长 C．从边射出的电子的最大速度为 D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同 【变式训练6-12】（多选）如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中末画出），磁感应强度的大小为B，三角形的边长为L，B点有一离子源，能发出速率相同、方向不同的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为，粒子的速率，粒子的重力忽略不计，不考虑粒子之间的相互作用，（已知）。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．与BC边夹角为的粒子从BC边射出，且射出的速度方向与BC边夹角仍为 C．从BC边射出的粒子轨迹可能与AC边相切 D．当粒子射入磁场速度方向与BC边夹角为时，从AC边射出的粒子在磁场中运动的时间最短 【变式训练6-13】（多选）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是(　　) A.磁场的磁感应强度大小为 B.粒子从bQ之间(不包括b、Q点)第二次通过ab边 C.粒子从PQ之间(不包括P、Q点)第二次通过ab边 D.粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 【变式训练6-14】（多选）如图所示，等腰直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，为边的中点，为边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从点以大小不同的速率沿方向射入磁场，分别从点射出磁场，其轨迹圆心分别为（图中未标出），所用时间分别为，且，边长度为，则（　　） A． B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从点与从点射出的速率之比为 D．两点距离为 【变式训练6-15】（多选）如图6所示的直角三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(包括边界，图中未画出)，∠ACB＝30°，一带正电的粒子由AC中点以速率v0沿垂直AC方向射入磁场，经磁场偏转后从AC边离开磁场，已知AB＝L，粒子的质量为m、电荷量为q，粒子重力忽略不计。则下列说法正确的是(　　) 图6 A.磁感应强度的大小可能为 B.磁感应强度最小时，粒子的出射点到C点的距离为 C.从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间均为 D.当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时，增大粒子的入射速度，粒子在磁场中的运动时间缩短 【变式训练6-16】（多选）如图所示，在一个直角三角形区域内，存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个比荷相同的带电粒子以一定的速度均沿方向射入磁场，分别从边上的P、Q两点射出，已知粒子只受磁场力的作用，则（　　） A．从P点射出的粒子速度小 B．从Q点射出的粒子速度小 C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间较短 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 【变式训练6-17】（多选）如图所示，直角三角形abc区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，∠b=30°，ac=L，磁场的磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O沿平行于ac方向以不同的速率射入磁场，能从ac边射出磁场的粒子的速度大小可能是（　　） A．0.4 B．0.46 C．0.49 D．0.6 【变式训练6-18】（多选）如图所示，在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD＝30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD边收集到的粒子的速度可能为(　　) A. B. C. D. 【变式训练6-19】（多选）如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，两个相同的带电粒子先后沿AB方向从A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则(　　) A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子速度大 C．从P点射出的粒子，在磁场中运动时间长 D．两粒子在磁场中运动时间一样长 【变式训练6-20】（多选）如图所示，在直角三角形区域内，存在方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，边长为，，。一质量为、电荷量为的粒子从边上距点为的点垂直射入匀强磁场，要使粒子从边射出磁场区域，则() A.粒子速率应大于 B.粒子速率应小于 C.粒子速率应小于 D.粒子在磁场中的最短运动时间为 【变式训练6-21】（多选）如图所示，在直角区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场未画出，磁感应强度大小为。点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为，电荷量为，速率均为，长为且，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是() A.从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B.带电粒子在磁场中的运动半径为 C.边上有粒子到达区域的长度为 D.边上有粒子到达区域的长度为 【变式训练6-22】如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。时刻，磁场方向正好垂直于abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从a点垂直于ac边射出，并从P点第一次进入三角形abc区域。磁感应强度大小始终为B。不计带电粒子重力，求： （1）粒子的荷质比； （2）粒子第一次到达c点的时刻。 【变式训练6-23】如图所示，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一电荷量为的粒子从静止开始经电压为U的电场加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场。一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d。不计重力。求： (1)带电粒子的质量m； (2)带电粒子运动至x轴的位置到坐标原点的距离x； (3)带电粒子在磁场中运动的时间t。 题型07：带电粒子在矩形（及其它四边形）边界磁场中的运动 【典型例题1】如图，正方形内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点以速度射入磁场，速度方向垂直于。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从边的中点、点和点射出，在磁场中运动的时间分别为、和，则() A. B. C. D. 【典型例题2】如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．粒子b的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最短 D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 【典型例题3】如图所示，一电子以与磁场方向垂直的速度v从P处沿PQ方向进入长为d、宽为h的匀强磁场区域，从N处离开磁场，若电子质量为m，带电荷量为e，磁感应强度为B，则(　　) A．电子在磁场中运动的时间t＝ B．电子在磁场中运动的时间t＝ C．洛伦兹力对电子做的功为Bevh D．电子在N处的速度大小也是v 【典型例题4】如图所示，边长为L的正方形内表面涂有荧光材料，粒子打在表面会被吸收并发出荧光。正方形区域内存在方向垂直该平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，粒子源从正方形边的中点P沿垂直磁场方向持续发射质量为m、电量为q的带正电的某种粒子，发射速度方向斜向上，速度大小与发射角的关系为，为发射速度方向与水平方向的夹角，，其中的粒子恰好从边中点射出。不计粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子从P点运动至与边相切所需的时间为 B．粒子在边发出荧光的总长度为L C．打在B点的粒子轨道半径为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【典型例题5】如图所示，矩形ABCD区域内有匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为3d，AD边长为d，E是CD边上的一点，F是AB边上的一点，且。在E点有一粒子源，大量同种粒子以相同速率从E点向磁场内沿各个方向射出，粒子均带正电，电荷量均为q，质量均为m。如图，速度与DE边的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．粒子做匀速圆周运动的轨道半径为d C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 【典型例题6】如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 【变式训练7-1】如图所示，带电粒子从正方形区域abcd的ad边中点，以垂直于ad边的初速度v0射入该区域。当该区域只存在垂直纸面向内的匀强磁场时，带电粒子恰好从b点射出；当该区域只存在沿ad方向的匀强电场时，带电粒子恰好从c点射出。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中的运动时间大于在电场中的运动时间 C．粒子射出磁场的速度大小等于射出电场的速度大小 D．粒子在磁场中受到的力的大小等于在电场中受到的力的大小 【变式训练7-2】如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（　　） A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等 B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长 C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度 【变式训练7-3】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 【变式训练7-4】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 【变式训练7-5】如图所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处于真空中，则下列结论中正确的是(　　) A．从两孔射出的电子速率之比vc∶vd＝2∶1 B．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比tc∶td＝1∶2 C．从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比ac∶ad＝∶1 D．从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比ωc∶ωd＝2∶1 【变式训练7-6】如图所示，正方形区域ABCD中有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电粒子(不计重力)以一定速度沿AB边的中点M垂直于AB边射入磁场，恰好从A点射出，则(　　) A．若该粒子从A点射入，粒子将从M点射出 B．仅增大该粒子的速度，粒子在磁场中运动时间将变小 C．若将该粒子速度增大为原来的2倍，粒子将从D点射出 D．仅增大磁感应强度，粒子在磁场中运动时间将增大 【变式训练7-7】如图7所示，边长为a＝0.4 m正方形区域ABCD内无磁场，正方形中线PQ将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为B＝0.2 T的匀强磁场区域，PQ右侧磁场方向垂直于纸面向外，PQ左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为m＝1×10－8 kg、电荷量为q＝2×10－6 C的带正电粒子从AB中点以某一速率垂直于AB射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是(　　) 图7 A.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的最大速度为12 m/s B.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为10 m/s C.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 m/s D.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为2 m/s 【变式训练7-8】如图6所示，虚线框MNQP内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点垂直于PQ边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则(　　) 图6 A.粒子a带负电，粒子b、c带正电 B.若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 C.若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 D.若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电荷量最大 【变式训练7-9】如图所示，宽度为d的边界平行的有界匀强磁场，有一质量为m、电荷量绝对值为q的带电粒子（重力不计）从P点以垂直于磁场边界的速度v射入匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝30°，磁场的磁感应强度大小为B。下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子带正电 B．磁场的宽度 C．粒子通过磁场的时间为 D．洛伦兹力对粒子做正功 【变式训练7-10】如图所示，高中物理研究小组设计了一个实验方案来研究空气阻力和洛伦兹力在带电粒子运动时对粒子的影响：将一个比荷为k的粒子以初速度v0射入一个与粒子速度方向垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，匀强磁场区域足够大，在空气阻力和洛伦兹力的共同作用下，粒子最终的位移为d；撤去磁场，射入一个初状态完全相同的粒子，若空气阻力大小与带电粒子运动的速度大小成正比，粒子重力不计，则该粒子的位移大小应为（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-11】质量和带电量都相同的两个粒子，以不同的速率垂直于磁感线方向射入匀强磁场中，两粒子的运动轨迹如右图中①、②所示，粒子的重力不计，下列对两个粒子的运动速率v和在磁场中运动时间t及运动周期T、角速度ω的说法中正确的是（   ） A．v1 > v2 B．t1 > t2 C．T1 > T2 D．ω1 > ω2 【变式训练7-12】（多选） 空间存在着一个正方形匀强磁场区域。一束电子从a点以垂直磁感应强度方向射入，初速度方向与ab平行，其中一部分自c射出，一部分从d射出，它们在磁场中运动的轨迹半径分别为rc和rd，运动时间分别为tc和td，不计重力和电子间相互作用，则（ ） A.rc＞rd B.rc＜rd C.tc＞td D.tc＜td 【变式训练7-13】（多选） 如图所示的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从ad边中点e沿ec方向射入磁场。当射入速度大小为v时，恰好从bc边中点f飞出磁场。不计粒子所受重力。下列说法正确的是（　　） A．当粒子速度大小为时，粒子离开磁场时的速度方向与磁场边界垂直 B．当粒子速度大小为时，粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了90° C．粒子两次射入速度大小分别为，在磁场中运动时间分别为，若，则有 D．若粒子射入速度大小合适，可能从ab边界上任一点飞出磁场 【变式训练7-14】（多选）（多选）如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为（　　） A.∶＝1∶1 B.∶＝2∶1 C.t1∶t2＝2∶3 D.t1∶t2＝1∶3 【变式训练7-15】（多选） 如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，则(　　) A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出 B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出 C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d点射出 D．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从f点射出所用时间最短 【变式训练7-16】（多选） 如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场．在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场．在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是(　　) A．带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同 B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场 C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场 D．从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场 【变式训练7-17】（多选） 长7l、高2l的矩形区域abcd中，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。纸面内大量电荷量为q、质量为m的带负电粒子(不计重力)，从d点以相等的速率v＝沿各个方向射入磁场，e为bc边中点，如图所示。则下列说法正确的是(　　) A.从c点射出的粒子速度偏转角度最大 B.be区域没有粒子射出 C.粒子在磁场运动的最大位移为5l D.粒子在磁场中运动的最长时间为 【变式训练7-18】（多选） 如图所示，在竖直平面矩形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从的中点射入磁场，速度方向与磁场垂直且与的夹角，粒子经过磁场偏转后在点垂直穿出。已知矩形的宽为，粒子电荷量为，质量为，重力不计。则下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【变式训练7-19】（多选） 在矩形区域内存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，边长为，边长为。带正电的粒子从O点沿方向以不同速率射入，已知粒子的质量为m、电荷量为q，粒子所受重力及粒子间的相互作用均忽略不计。取，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．垂直边界射出时，粒子的速度大小为 D．垂直边界射出时，粒子的速度大小为 【变式训练7-20】（多选） 如图，矩形区域MNPQ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，区域的长宽分别为2L和L。速度大小为的带电粒子从P点处沿PQ方向射入矩形区域，经过时间t从MN的中点离开磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．仅将粒子的速度变为，粒子将从M点离开矩形区域 C．仅将粒子的速度变为，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为 D．仅将粒子的速度变为，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为 【变式训练7-21】（多选） 如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练7-22】（多选） 等腰梯形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AB、CD长度分别为L和2L，∠D＝60°。下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是（　　） A．若AB边有α粒子射出，则BC边一定有α粒子射出 B．若AB边有α粒子射出，则AD边一定有α粒子射出 C．若α粒子可以到达A点，则其最小速率为 D．运动轨迹与AD边相切（由CD边出磁场）的速率最小的α粒子在磁场中的运动时间为 【变式训练7-23】（多选） 如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是(　　) A.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C.若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45° D.若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 题型08：带电粒子在其它规则边界匀强磁场中的运动 【典型例题1】 如图，磁感应强度为B的匀强磁场区域足够大，磁场方向垂直纸面向里。中间有一边界截面为正六边形的无磁场区域，O为正六边形的中心，PQ为其一边。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从P点以与OP成30°角的速度垂直磁场射入匀强磁场区域，之后从Q点第一次返回无场区。不计粒子重力，则粒子在磁场中从P点运动到Q点的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-1】如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力．则(　　) A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1 B．vb∶vc＝2∶2，tb∶tc＝1∶2 C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2 【变式训练8-2】(多选）如图，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为，电荷量为的粒子均匀分布在宽为区域内，紧邻且平行于边以速度进入圆形区域。不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．打在边的粒子在矩形磁场中运动的最短时间为 B．矩形区域内粒子所经过的面积为 C．打到屏上的粒子数占总数的比例为 D．打到屏上的粒子数占总数的比例为 【变式训练8-3】如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图．在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场．对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点．CM垂直磁场左边界于M，且OM＝d.现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0.若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求： (1)磁感应强度的大小和方向(提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象)． (2)离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间． 题型09：带电粒子在部分象限存在匀强磁场中的运动 【典型例题1】如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D．1∶1 【典型例题2】如图所示，在xOy坐标系第一象限内存在方向沿x轴负方向的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为E，一质量为m、电荷量为（）的带电粒子从坐标原点O以速度沿y轴正方向射入电场，带电粒子恰好经过点．若将匀强电场换为垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，带电粒子在偏转的过程中离x轴的最远距离与M点到x轴的距离相等，不计粒子的重力．则E、B分别为（    ） A．   B．   C．   D．   【典型例题3】如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【典型例题4】（多选）如图所示，在坐标系的Ⅰ、Ⅳ象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在轴上的点同时以相同速率沿纸面内向各个方向发射大量相同带电粒子（粒子重力不计），其中粒子沿平行轴正方向发射，经磁场偏转后到达轴上的点，则下列说法正确的有（　　） A．轴上有粒子射出磁场的长度为 B．轴上有粒子射出磁场的长度为 C．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 D．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 【典型例题5】如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为。在空间坐标（x＝0，）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为，速度为的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、均为已知量）。求： (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T； (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L； (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例。 【典型例题6】一带电质点，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第Ⅰ象限所示的区域(下图所示)．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计． 【变式训练9-1】如图所示，在、的长方形区域中有一磁感应强度大小B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子圆周运动的半径 B．长方形区域的边长满足关系 C．长方形区域的边长满足关系1 D．粒子射入磁场的速度大小 【变式训练9-2】如图所示，在直角坐标系的轴的上方空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，在O点有一粒子源沿纸面向磁场中各个方向发射大量相同带负电粒子，若所有带电粒子都能从点离开磁场，不计带电粒子重力及粒子间的相互作用力，则带电粒子在点发射时的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-3】如图所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场．不计重力的影响．由这些条件可知(　　) A．不能确定粒子通过y轴时的位置 B．不能确定粒子速度的大小 C．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间 D．以上三个判断都不对 【变式训练9-4】下端封闭、上端开口、内壁光滑的细绝缘玻璃管竖直放置，管底放一个直径略小于玻璃管内径的带正电小球。空间存在着水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，以带电小球所在初始位置为原点，建立坐标系如图所示。使玻璃管保持竖直沿轴正方向匀速运动，小球离开管之前的运动轨迹正确的是() A. B. C. D. 【变式训练9-5】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电粒子，在纸面内从轴上的点射入磁场，入射速度方向与轴正方向的夹角为时，粒子垂直轴离开磁场。不计粒子的重力。则() A.粒子一定带负电 B.粒子入射速率为 C.粒子在磁场中运动的时间为 D.粒子离开磁场的位置到点的距离为 【变式训练9-6】如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计粒子重力。根据上述信息可以得出(　　) A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B.带电粒子在磁场中运动的速率 C.带电粒子在磁场中运动的时间 D.该匀强磁场的磁感应强度 【变式训练9-7】在如图所示的xOy平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa是两磁场的边界，且与x轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【变式训练9-8】如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120° 角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负分别是（   ） A．，正电荷 B．，正电荷 C．，负电荷 D．，负电荷 【变式训练9-9】Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　) A. B. C.(1＋) D. 【变式训练9-10】如图所示，在xOy平面的的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量质子从原点O朝各个方向均匀发射到第一象限内，发现从磁场上边界射出的质子数占总数的，不计质子间相互作用及重力，则质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-11】如图所示，在充满磁场的空间中，以镭放射源为坐标原点建立平面直角坐标系xOy。磁场方向以x轴为边界，y＞0区域垂直于平面向里，y＜0区域垂直于平面向外，磁感应强度大小B＝k1|y|（k1＞0）。元素发生衰变，向y轴正方向射出三种射线①、②、③，射线①和射线③的速度之比约为1：9，质子与电子的质量之比约为1836：1，则（　　） A．射线③是弱相互作用引起的，其穿透能力弱，用一张纸就能挡住 B．射线②是镭原子能级跃迁产生的，可用于探测金属构件内部的缺陷 C．若比荷为k2的粒子形成射线①，其经纵坐标为y1的位置时分速度 D．组成射线①和③的两种粒子离x轴的最大距离之比约为20：1 【变式训练9-12】如图所示，在xOy平面上的第一象限全部区域有垂直向里的匀强磁场，有一位于第二象限的电子源持续不断地沿x轴正方向发射速率均为v的电子，形成沿y轴方向均匀分布的电子流，电子源所在位置的纵坐标分布范围为R～2R。荧光屏的上端固定于x轴上，其横坐标分布范围为0～5R，荧光屏上被电子碰撞的位置均会显示荧光。电子每次碰撞过程中机械能损失75%，碰撞前后速度方向与荧光屏的夹角相等（与竖直方向对称）。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力，忽略电子间的相互作用。若所有电子最终均静止在荧光屏上（没有离开第一象限），则磁感应强度B的取值范围是（　　） A．0≤B B．B C．B D．B 【变式训练9-13】在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，两个相同的带电粒子①和②在P点垂直磁场射入，①的速度与x轴负方向成45°，②的速度与x轴正方向成45°，如图所示。二者均恰好垂直于y轴射出磁场。不计重力，不考虑带电粒子之间的作用力，根据上述信息可以判断的是（    ） A．带电粒子①在磁场中运动的半径大 B．带电粒子①在磁场中运动的平均速度大 C．带电粒子②在磁场中运动的轨迹短 D．带电粒子②在磁场中运动的平均速度大 【变式训练9-14】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（　　） A．粒子一定带正电 B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 【变式训练9-15】（多选)如图，一个质量为m，电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成45°角。OP=a。则以下说法正确的是（　　）    A．带电粒子运动轨迹的半径为a B．磁场的磁感应强度为 C．OQ的长度为 D．粒子在第一象限内运动的时间为 【变式训练9-16】（多选)如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点(图中未画出)时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则(　　) A．该粒子带正电 B．A点与x轴的距离为 C．粒子由O到A经历时间t＝ D．运动过程中粒子的速度不变 【变式训练9-17】一匀强磁场垂直于xOy平面，分布在一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，某时刻经过原点O，速度大小为v，方向沿x轴正方向，后来经过y轴上点P时，速度方向与y轴正方向的夹角为30°，P到O的距离为d，如图10所示。若粒子重力忽略不计，点O在磁场中。则粒子从点O到P的时间t和磁场区域的最小半径Rmin分别为(　　) 图10 A.t＝ B.t＝ C.Rmin＝ D.Rmin＝ 【变式训练9-18】如图11所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m＝5.0×10－8 kg、电荷量为q＝1.0×10－6 C的带电粒子，从静止开始经U0＝2.5 V的电压加速后，从P点沿图示方向进入磁场，已知OP＝15 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： 图11 (1)带电粒子到达P点时速度v的大小； (2)若磁感应强度B＝2.0 T，粒子从x轴上的Q点离开磁场，求OQ的距离； (3)若粒子不能进入x轴上方，求磁感应强度B′满足的条件。 【变式训练9-19】如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 【变式训练9-20】研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【变式训练9-21】磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 【变式训练9-22】如图所示，一个质量为m，电荷量为－q，不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)穿过第一象限的时间． 【变式训练9-23】如图所示，在坐标系的第一象限内存在匀强磁场，磁感应强度为。一带电粒子在点以与轴正方向成的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于轴射出磁场。已知带电粒子质量为、电荷量大小为电性未知，，不计重力。根据上述信息，求： 带电粒子的电性，在磁场中运动的速率； 带电粒子在磁场中运动的时间； 带电粒子在磁场中运动垂直于轴射出磁场的坐标。 【变式训练9-24】如图，在直角三角形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压加速后，沿平行于轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在边上某点以垂直于轴的方向射出。已知点为坐标原点，点在轴上，与轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为，不计重力。求 带电粒子的比荷； 带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间。 【变式训练9-25】某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的y>0区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子漂入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场（加速电场未画出），经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值。已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。 (1)求a离子在磁场中速度大小； (2)求b离子在照相底片上形成的亮线长度； (3)若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，求的最大值。 【变式训练9-26】为探测粒子在中磁场的运动，可用云室来显示它们的径迹。如图所示，在xOy平面内，圆心位于x轴负半轴上的圆形磁分析器，半径为R，与y轴相切于坐标原点O，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场。三个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子甲、乙、丙，分别以速度同时从边界上的a、b、c三个点沿着y轴正方向射入磁分析器中，b与圆心的连线垂直于x轴，a、c到连线的距离均为，三个粒子都从O点离开磁分析器。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。 (1)求匀强磁场磁感应强度的大小及甲、丙粒子到达O点的时间差。 (2)若在的区域存在着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为磁分析器中磁场的2倍，且处有一垂直于x轴的足够大的荧光屏（图中未画出），求甲、丙粒子打在荧光屏上的点之间的距离d。 【变式训练9-27】研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 题型10：带电粒子在有界磁场中运动的临界值极值问题 （一）带电粒子在磁场中运动的极值问题 【典型例题1】（多选）如图所示，直角三角形AOC，，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下列说法正确的是（ ） A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场 B. 磁场方向垂直AOC平面向里 C. CD间的距离为 D. 粒子从C点到D点时间为 【典型例题2】（多选）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段是屏与纸面的交线，长度为，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；，P为垂足，如图所示，已知，若上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-1-1】（多选）如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．它的轨道半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 【变式训练10-1-2】（多选）长为l的水平放置极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度大小为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　） A．使粒子的速度 B．使粒子的速度 C．使粒子的速度 D．使粒子的速度 【变式训练10-1-3】（多选）如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子（不计粒子重力），在竖直平面内，沿着与MN夹角为的方向射入磁场中。则下列说法正确的是（　　）    A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出 B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是 C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为 D．若在该空间再加一个匀强电场，粒子有可能做匀加速直线运动 （二）带电粒子在磁场中运动的极值问题 【典型例题1】如图所示，OACD是一长为OA=l的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．粒子一定带正电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．粒子从O到A所需的时间为 D．矩形磁场的宽度最小值为 【典型例题2】如图所示，空闻有半径为R的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O为处有一粒子源，时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的半径为，则（　　） A．粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为 B．粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为 C．时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为 D．时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为 【典型例题3】如图，在真空室内的P点，能沿纸面向各个方向不断发射电荷量为，质量为m的粒子（不计重力），粒子的速率都相同。ab为P点附近的一条水平直线，P到直线ab的距离PC=L，Q为直线ab上一点，它与P点相距。当直线ab以上区域只存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时，水平向左射出的粒子可到达Q点；当ab以上区域只存在平行该平面，方向竖直向下的匀强电场时，水平向左射出的粒子也可到达Q点。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： （1）粒子的发射速率； （2）匀强电场的场强大小； （3）仅有磁场时，能到达直线ab的粒子所用最短时间。 【变式训练10-2-1】（多选）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间 B．打在收集板上的粒子的最大速率 C．整个过程中位移最小的粒子速率 D．整个过程中位移最小的粒子运动的时间 【变式训练10-2-2】（多选）如图所示，在竖直面内按虚线分割为两个区域，区域上部分有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，虚线部分是一个半圆，半径为R，部分是水平直线，长度为；部分为等高水平直线，长度为R。一群质量为m、电荷量为的粒子从c点竖直向上射入磁场。在磁场中，关于运动时间最长的粒子的速度v和时间t，下列关系式正确的有（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-2-3】（多选）如图所示，直角三角形abc区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是（    ） A．粒子运动的速率可能为 B．粒子在磁场中运动的时间可能为 C．bc边界上有粒子射出的区域长度最大为 D．有粒子经过的磁场区域的面积最大为 【变式训练10-2-4】（多选）如图所示，在竖直平面内有两个同心圆，圆心在O点，小圆内部区域Ⅰ和两圆之间的环形区域Ⅱ均存在匀强磁场（图中未画出），Ⅰ、Ⅱ区域磁场磁感应强度大小分别为、2B，已知Ⅰ区域磁场方向垂直竖直平面向外，带正电的粒子a从O点竖直向上射出，粒子a质量为m、电荷量为q、速度大小为v，粒子a射出小圆区域时，速度方向斜向上且与水平方向的夹角为30°，不计粒子重力和粒子间相互作用。P点为过O点的水平直径与小圆的右侧交点。下列说法正确的是（　　） A．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向里，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为 B．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向外，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为 C．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，粒子a从O点射出能回到O点且速度方向竖直向下，此过程中的轨迹长度最短为 D．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，且粒子a始终不会飞出大圆，则粒子a从O点射出到第二次经过P点所用时间为 题型11：带电粒子在有界磁场中运动的多解问题 【典型例题1】(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直于OQ方向向上射出一束负离子，离子所受的重力及离子间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的取值范围和方向可能是(　　) A.B>，垂直于纸面向里 B.B>，垂直于纸面向里 C.B>，垂直于纸面向外 D.B>，垂直于纸面向外 【典型例题2】(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【典型例题3】(多选)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内无磁场，圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子从O点以大小为v的速度沿半径方向射出，射出后粒子做周期性运动。不计粒子重力，则粒子运动的周期可能为（　　）    A． B． C． D． 【典型例题4】(多选)中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-1】(多选)如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练11-2】(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【变式训练11-3】(多选)如图，纸面内有一矩形abcd，其长ab为4l、宽ad为，P、Q为ab边上的点，。在矩形abcd外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为。一质量为m、带电荷量为q（）的粒子，从P点垂直ab以速度向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为，粒子从P点垂直ab射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-4】(多选)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-5】(多选)如图所示，分别在平面直角坐标系xOy的第二、三象限加垂直纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。从P点(-L，0)发射比荷为k、带正电的粒子，速度大小为v，方向与x轴成θ角，粒子恰能垂直穿过y轴，不计粒子重力。 (1)(5分)求B大小的可能值； (2)(5分)求粒子到达y轴的时间； 一：单选题 1.如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为( ) A．3 B．2 C. D. 2.如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直于竖直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC为该圆的一条直径，O为圆心．一带电粒子以初速度v0从C点垂直磁场沿竖直方向射入圆形区域，离开磁场时速度方向恰好水平向左．已知该粒子从C点入射时速度方向与直径AC的夹角θ＝45°，不计粒子重力，则有(　　) A．该粒子一定带负电 B．该粒子的比荷为 C．该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R D．该粒子在磁场中的运动时间为 3.如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是( ) A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶ C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1 D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2 4.如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为(　　) A. B. C. D. 5.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和2a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一电子以速率v沿半径方向射入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使电子不能进入内部无磁场区域，磁场的磁感应强度B最小为( ) A. B. C. D. 6.如图，宽为的平行直线边界1、2间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为（）的带电粒子从边界1上点以大小为、方向与边界1成60°的初速度射入磁场，一段时间后，粒子再次回到边界1，不计粒子的重力，则磁感应强度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.如图所示，虚线的上方区域和下方区域均有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小分别为和，两虚线之间无磁场，重力不计的带正电粒子以垂直于磁场方向的速度从点射入上方区域，其运动轨迹如图所示，下列说法正确的是（　　） A．第一次从到的运动时间小于从到的 B．磁场均垂直纸面向外 C．磁感应强度 D．轨迹内上下两区域磁通量 8.如图所示，间距为d的两竖直P、Q虚线边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，O点到边界P、Q的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从O点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角θ＝60°。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界P、Q，经历一段时间后，粒子到达O点正上方的A点（图中未画出）处，则O、A两点间的距离可能等于（　　） A． B． C． D． 9.如图所示，平面直角坐标系中，一个半径为、弧长略小于半圆的圆弧形挡板关于轴对称放置，其圆心位于原点。以为上边界、为下边界、圆弧形挡板为右边界，左边界无穷远的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为。其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子，从处以某一初速度沿轴正向射出，恰好从处进入磁场Ⅱ，之后与挡板仅发生一次碰撞，碰后速度大小变为原来的、方向与碰前相反，最后经过处回到磁场Ⅰ。不计粒子重力及碰撞时间，整个过程粒子电量保持不变，下列说法正确的是（     ） A．粒子初速度的大小为 B．两个磁场磁感应强度大小关系为 C．粒子第二次离开磁场I的位置坐标为 D．粒子从处至处的时间为 10.如图所示，I区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其边界为半径为的圆形；II区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其外边界为边长可调的等边三角形，内边界与I区边界重合；三角形与圆形的中心同为点。I区和II区的磁感应强度大小比值为。一带正电的粒子从I区外边界上点沿三角形某一条边的中垂线方向进入磁场，若一段时间后粒子又从点离开。取。则三角形边长至少为（     ） A． B． C． D． 二：多选题 1.如图所示，边长为的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一质量为，带电量为的粒子从边中点垂直入射，恰能从点离开磁场，不计粒子重力，则正确的是（　　） A．粒子带正电 B．此时粒子入射速度大小为 C．为使粒子从点射出，速度大小应调整为 D．粒子从进入到从点射出用时小于 2.如图所示，直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度为B，，，，A处有一个粒子发射源，可以在内发射不同速率的同种带负电粒子，粒子的比荷为k。若粒子的速率用（未知）表示，初速度与AB边的夹角用（未知）表示，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（　　） A．若，粒子从BC边离开磁场的最短时间为 B．若，粒子从AB边射出的最大速率为kBL C．若且粒子恰好不从BC边射出，则 D．若且粒子恰好不从BC边射出，则 3.空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示的正方形虚线为其边界.一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射.这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子.不计重力.下列说法正确的是( ) A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大 4.如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为(　　) A.∶＝1∶1 B.∶＝2∶1 C．t1∶t2＝2∶3 D．t1∶t2＝1∶3 5.如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴．已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计．则( ) A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距(＋1)a 6.如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B.一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场．其中某一速率为v的电子从Q点射出边界．已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则( ) A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相同 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 7.如图，半径为R的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某质量为m、带电荷量为q的粒子从圆上P点沿半径方向以速度v0射入匀强磁场，粒子从Q点飞出，速度偏转角为60°.现将该粒子从P点以另一速度沿半径方向射入匀强磁场，粒子离开磁场时，速度偏转角为120°，不计粒子重力．则(　　) A．该粒子带正电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．该粒子第二次射入磁场的速度为 D．该粒子第二次在磁场中运动的时间为 8.如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．它的轨道半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 三：填空题 1．边长为a的正方形，处于有界磁场如图，一束电子水平射入磁场后，分别从A处和C处射出，则vA：vC=________；所经历的时间之比tA：tB=________．.   2．居里夫人是世界上最伟大的科学家之一，在放射性的研究方面取得了卓越的成就．若某次研究射线的实验中，将放射源放在一个半径为的圆柱形容器中心轴线上A处，如图所示，放射源产生不同速率的同种粒子，沿AO方向从小孔O射出，进入一个圆心在A处磁感应强度大小为B的环形匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，容器内无磁场，设其中有一粒子速度为，在磁场中运动的半径为，不计粒子重力和粒子间的相互作用。则：（1）该粒子的比荷______________， （2）若圆形有界磁场的半径为，且从O处射出的所有粒子都不能出磁场，求粒子的最大半径=____________。    四：解答题 1．如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 2．如图所示平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴上有M、P两点，两点的横坐标满足。在区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E（未知）；在区域内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B（未知），一带电量为q，质量为m的正电粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成角射入（速度大小未知），在点C（）以速度垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，。求： (1)求磁感应强度B的大小； (2)求电场强度E的大小； (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出），求D点的纵坐标 3．如图，在平面内，长方形区域内存在与轴平行的匀强电场；和是以和为圆心的两个四分之一圆，内部均有垂直圆面的匀强磁场，前者磁场布满整个区域，后者未布满；是一块与轴平行的荧光屏，横坐标。有一紧靠边的离子源（图中未画出），其释放的电子从边上各点飘入电场（不计电子的初速度），全部经过点，再经区域飞出，最终均垂直打在H屏上。已知图中部分点的坐标为：、、；和内的磁感应强度大小分别为和；电子电荷量为，质量为，不计电子间的相互作用。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)从边出发的电子运动到屏的最长时间与最短时间之差； (3)内磁场分布区域的最小面积。 4.如图所示，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在纸面向外.某时刻在x＝l0、y＝0处，一质子沿y轴负方向进入磁场；同一时刻，在x＝－l0、y＝0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直.不考虑质子与α粒子间的相互作用，设质子的质量为m，电荷量为e.则： (1)如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？ (2)如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？方向如何？ 5.如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变．一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力． (1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； (2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离． 6.如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t； (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $