专题06 圆锥曲线常用二级结论（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题06圆锥曲线常用二级结论 常考题型·精准突破 题型1 椭圆、双曲线的焦点三角形 题型2 圆锥曲线的通径 题型3 双曲线渐近线距离问题 题型4 圆锥曲线的切线方程 题型5周角定理（斜率积为定值） 题型6 抛物线的的焦点弦问题 题型7 焦比公式 题型8 焦半径公式 题型9 圆锥曲线的第三定义 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 椭圆、双曲线的焦点三角形 ( 解题贴士 ： 1、椭圆焦点三角形的面积为 （ 为焦距对应的张角） 双曲线中焦点三角形的面积为 （ 为焦距对应的张角） ) 【例1】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 . 【变式1】（2026·福建三明一模）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【变式3】（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高三上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 ◆题型2 圆锥曲线的通径 ( 解题贴士 ： 1. 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径 2. 椭圆 和双曲线 通径的端点坐标为 ，抛物线 通径的端点坐标为 . 3. 椭圆和双曲线的通径长为 ，抛物线的通径长为 . ) 【例2】（2026·江苏南通一模）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖北十堰二模）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026届高三上学期12月期中考试数学试卷）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）(多选)已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 ◆题型3 双曲线渐近线距离问题 ( 解题贴士 ： ① 双曲线的焦点到渐近线的距离为常数 . ② 双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 . ) 【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的离心率为，、为C的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，则（ ） A． B． C．2 D． 【变式3】设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，P为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【变式4】已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ） A． B． C． D． ◆题型4 圆锥曲线的切线方程 ( 解题贴士 ： 1. 设 为椭圆 上 的点, 则过该点的切线方程为 2 . 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为 3 . 设 为抛物线 上的点, 则过该点的切线方程为 ) 【例4】（2026·山东日照·一模）已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】求双曲线在点处的切线方程． 【变式2】已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【变式3】一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． ◆题型5周角定理（斜率积为定值） ( 解题贴士 ： 周角定理： 已知点 P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点， A ， B 为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中， ，在双曲线中， ) 【例4】（2026·河北衡水·一模）已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为 A． B． C． D． 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆 ，则以点为中点的弦所在的直线方程为__________ 【变式3】已知椭圆，求斜率为 的平行弦的中点轨迹方程. ◆题型6 抛物线的的焦点弦问题 ( 解题贴士 ： 已知倾斜角为 直线的 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，则 ① . ② . ③ , . ) 【例6】（2026·湖南株洲·一模）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 【变式2】（多选）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的横坐标为3，则 D．若，则 【变式3】（多选）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（ ） A．直线的斜率为 B． C． D． ◆题型7 焦比公式 ( 解题贴士 ： ① 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点，直线 的倾斜角为 ，且 ，则 间 满足 . ② 设双曲线 － ＝1( a >0， b >0)的右焦点 F， 过 的直线 与 双曲线右支于 A ， B 两点， 直线 的倾斜角为 ，且| |＝ λ | |，则双曲线的离心率等于 . ③ 设抛物线 的焦点 F， 过 的直线 与 抛物线交于 A ， B 两点， 直线 的倾斜角为 ，且 ，则 . ) 【例7】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A． B．2 C． D．3 【变式1】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． ◆题型8 焦半径公式 ( 解题贴士 ： （1）椭圆焦半径 设 为椭圆上的一点， 为椭圆的一个焦点， ， 焦半径坐标式 ① 焦点在 轴：焦半径 (左加右减)； ②  焦点在 轴：焦半径 (上加下减)． （2） 双曲线 焦半径　 设 为双曲线上的一点， 为双曲线的一个焦点， ① 焦点在 轴： 在左支 ， 在右支 ； ② 焦点在 轴： 在下支 ， 在上支 ． 焦半径角度公式 ： （P与F位于同侧取正，位于异侧取负） （3） 抛物线 焦半径　 设 为抛物线上的一点， 为抛物线的焦点， ① 焦点在 轴：焦半径 ②  焦点在 轴：焦半径 ) 【例8】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 【变式3】已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则______. 【变式4】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. ◆题型9 圆锥曲线的第三定义 ( 解题贴士 ： 第三定义 ： 平面内与两个定点 ， 的斜率乘积等于常数 的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时 ；当常数大于0时为双曲线，此时 ． 推论： 平面内与两个关于原点对称的点 ， 的斜率乘积等于常数 的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时 ；当常数大于0时为双曲线，此时 ． ) 【例9】设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【变式1】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2.（2026·山东枣庄二模）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 3.（2026·河北沧州一模）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则（   ） A． B． C． D． 4.（2026·江苏盐城模拟）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5.（2026·江苏南京二模）已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若,则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 6.（2026·云南楚雄一模）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7.（2026·安徽阜阳一模）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8.（2026·江西萍乡三模）设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9.（多选）（2026·辽宁大连二模）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则 （    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有个交点 D．或 10.（多选）（2026·四川泸州一模）已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 11.（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 12.（2026·天津南开一模）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为_______． 13.（2026·山东临沂一模）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 14.（2026·浙江绍兴二模）如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为（    ） A． B． C． D． 15.（2026·福建福州三模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16.（2026·四川绵阳一模）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06圆锥曲线常用二级结论 常考题型·精准突破 题型1 椭圆、双曲线的焦点三角形 题型2 圆锥曲线的通径 题型3 双曲线渐近线距离问题 题型4 圆锥曲线的切线方程 题型5周角定理（斜率积为定值） 题型6 抛物线的的焦点弦问题 题型7 焦比公式 题型8 焦半径公式 题型9 圆锥曲线的第三定义 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 椭圆、双曲线的焦点三角形 ( 解题贴士 ： 1、椭圆焦点三角形的面积为 （ 为焦距对应的张角） 双曲线中焦点三角形的面积为 （ 为焦距对应的张角） ) 【例1】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 . 【答案】或 【解析】设，则. ， 又，，即.解得：. 所求椭圆的标准方程为或. 【变式1】（2026·福建三明一模）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设,由，可得， 由双曲线焦点三角形的面积公式: ，可得：，故选：C. 【变式2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 【变式3】（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 【变式4】（25-26高三上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得.故选：A. ◆题型2 圆锥曲线的通径 ( 解题贴士 ： 1. 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径 2. 椭圆 和双曲线 通径的端点坐标为 ，抛物线 通径的端点坐标为 . 3. 椭圆和双曲线的通径长为 ，抛物线的通径长为 . ) 【例2】（2026·江苏南通一模）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，，解得，， 可得，所以.故选：C. 【变式1】（2026·湖北十堰二模）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，由，可得， 所以，所以以为直径的圆的半径是，圆心为， 所以，，解得，所以抛物线方程.故选：B. 【变式2】（2026届高三上学期12月期中考试数学试卷）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，椭圆的焦点在轴上， 所以，，， 因为椭圆的通径长为6，所以，即，解得， 故椭圆的离心率.故选：C 【变式3】（2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）(多选)已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【解析】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得，，所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． ◆题型3 双曲线渐近线距离问题 ( 解题贴士 ： ① 双曲线的焦点到渐近线的距离为常数 . ② 双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 . ) 【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以，所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D 【变式1】已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，原点为，线段与的另一条渐近线交于点， 则由题意可得 所以， 所以双曲线的渐近线的斜率为， 则双曲线的渐近线方程为.故选：B. 【变式2】已知双曲线的离心率为，、为C的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】根据题意，，则，， 可知渐近线方程为，即，且， 则，，， 可得， 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以．故选：D. 【变式3】设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，P为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】依题意，不妨设点在第二象限，如图， 因为，所以， 则，故， 所以，又，双曲线的渐近线方程为， 所以在中，， 即，故，所以双曲线的离心率为.故选：B. 【变式4】已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确，故选：C． ◆题型4 圆锥曲线的切线方程 ( 解题贴士 ： 1. 设 为椭圆 上 的点, 则过该点的切线方程为 2 . 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为 3 . 设 为抛物线 上的点, 则过该点的切线方程为 ) 【例4】（2026·山东日照·一模）已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在椭圆上，故可得，解得； 由类比可得椭圆在点处的切线方程为：，整理可得，故选：C. 【变式1】求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【解析】因在双曲线上，双曲线在点处的切线方程为. 【变式2】已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】设，由题意得，过点的切线的方程为， 令，可得，令，可得，所以△OMN面积， 又点在椭圆上，所以，所以 ， 当且仅当，即时“等号”成立，所以△OMN面积的最小值为2．故选B 【变式3】一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过双曲线上一点，作双曲线的切线，切线方程为，将代入切线方程，解得：，代入双曲线方程解得：， 则切线方程：，由该切线的斜率为，可得， 由双曲线的离心率，故选：B. ◆题型5周角定理（斜率积为定值） ( 解题贴士 ： 周角定理： 已知点 P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点， A ， B 为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中， ，在双曲线中， ) 【例4】（2026·河北衡水·一模）已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（常规解法）由题意可知，， 设，，即 又，， 解得（舍），，故选B （结论解法）由结论可得kPA·kPB=-=e2-1，即，故选B 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】（常规解法）设，则有，即有， 由椭圆方程不妨设短轴端点的坐标分别为、， 则，故选C. （结论解法）由椭圆方程，可得，在椭圆中，kPA·kPB=-=，故选C 【变式2】已知椭圆 ，则以点为中点的弦所在的直线方程为__________ 【答案】 【解析】由椭圆方程知 ，则，原点 与中点 连线的斜率 。设弦所在直线斜率为 ，根据垂径定理 ，即： ，由点斜式得 ，整理得： . 【变式3】已知椭圆，求斜率为 的平行弦的中点轨迹方程. 【答案】 【解析】设平行弦的中点为 ，已知 ， ，由垂径定理 ，代入数据得： 整理得 。 由于中点必须在椭圆内部，需满足 。 将 代入边界方程 ，解得 。 故轨迹方程为 。 ◆题型6 抛物线的的焦点弦问题 ( 解题贴士 ： 已知倾斜角为 直线的 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，则 ① . ② . ③ , . ④ 以 AB 为直径的圆与准线相切 ； 以 MN 为直径的圆与 AB 切于焦点 F ； 以焦半径 AF （ BF ） 为直径的圆与 y 轴相切 . ) 【例6】（2026·湖南株洲·一模）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即.故选：D. 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】抛物线焦点为，即，， 故抛物线，准线方程为，由焦点弦性质知，以弦为直径的圆与准线相切.故选:B． 【变式2】（多选）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的横坐标为3，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设，当直线垂直于轴，可得， 所以,得 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B正确； 对于C，由的中点的横坐标为3，可得：， ， 又，所以，C正确； 对于D，过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得，所以，可得：， 所以，D正确，故选：BCD 【变式3】（多选）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（ ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得， 则，则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. ◆题型7 焦比公式 ( 解题贴士 ： ① 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点，直线 的倾斜角为 ，且 ，则 间 满足 . ② 设双曲线 － ＝1( a >0， b >0)的右焦点 F， 过 的直线 与 双曲线右支于 A ， B 两点， 直线 的倾斜角为 ，且| |＝ λ | |，则双曲线的离心率等于 . ③ 设抛物线 的焦点 F， 过 的直线 与 抛物线交于 A ， B 两点， 直线 的倾斜角为 ，且 ，则 . ) 【例7】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即.故选：D. 【变式1】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示：因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵，∴，∴故选：B 【变式2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由抛物线，则，其焦点， 由题意易知直线的斜率存在，可设为， 设，，，， 联立可得，消去可得，， 由韦达定律可得，， 由，，且，则， 由，则，解得，， 所以.故选：A. 【变式3】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设，则， 过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C， 过B作AD的垂线，垂足为E. 根据双曲线的第二定义可得，， ， 由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°， ∴，，.故选：A. ◆题型8 焦半径公式 ( 解题贴士 ： （1）椭圆焦半径 设 为椭圆上的一点， 为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ① 焦点在 轴：焦半径 (左加右减)； ②  焦点在 轴：焦半径 (上加下减)． 焦半径角度公式 ： （2） 双曲线 焦半径　 设 为双曲线上的一点， 为双曲线的一个焦点， ① 焦点在 轴： 在左支 ， 在右支 ； ② 焦点在 轴： 在下支 ， 在上支 ． 焦半径角度公式 ： （P与F位于同侧取正，位于异侧取负） （3） 抛物线 焦半径　 设 为抛物线上的一点， 为抛物线的焦点， ① 焦点在 轴：焦半径 ②  焦点在 轴：焦半径 焦半径角度公式 ) 【例8】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______. 【答案】， 【解析】如图，设，则 由焦点弦公式，， 由焦半径公式，， ，所以. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【解析】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．    【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 【答案】3 【解析】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 【变式3】已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则______. 【答案】2 【解析】设，则，由焦半径公式， ， 所以， 从而，即. 故答案为：. 【变式4】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. 【答案】 【解析】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则 ，解得、， 的坐标为． ◆题型9 圆锥曲线的第三定义 ( 解题贴士 ： 第三定义 ： 平面内与两个定点 ， 的斜率乘积等于常数 的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时 ；当常数大于0时为双曲线，此时 ． 推论： 平面内与两个关于原点对称的点 ， 的斜率乘积等于常数 的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时 ；当常数大于0时为双曲线，此时 ． ) 【例9】设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的第三定义可知，求值即可. 【详解】由题意可知点关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知， 又由，则. 故选：. 【变式1】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的第三定义可求得答案 【详解】根据椭圆的第三定义可知， 又， 所以. 故选：C 【变式2】（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 【详解】根据椭圆的第三定义可知，解得，故选B. 【变式3】（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对，两点的位置特殊化，再结合圆锥曲线的第三定义可快速求出答案. 【详解】特殊化法：当，两点也关于原点对称时，可得所以椭圆的离心率，故选A. 综合攻坚·知能拔高 1.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，焦距等于2，故选B． 2.（2026·山东枣庄二模）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由C：可得，三角形的面积为，即的面积是，故选 3.（2026·河北沧州一模）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线准线方程为，设， 则，得. 4.（2026·江苏盐城模拟）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点的切线的方程为，即，过点且与直线垂直的直线方程为，即，故选B 5.（2026·江苏南京二模）已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若,则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线为，， 则，得， 故得p＝4（舍负）,即抛物线C的方程为，故选C 6.（2026·云南楚雄一模）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当，两点也关于原点对称时，可得所以椭圆的离心率，故选A. 7.（2026·安徽阜阳一模）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则，所以直线l：， 则O到直线l的距离为，所以的面积为. 8.（2026·江西萍乡三模）设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的性质知，当在椭圆左右顶点时最大，且的面积也最大，故，即，又，故解得. 9.（多选）（2026·辽宁大连二模）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则 （    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有个交点 D．或 【答案】AC 【解析】依题意，设直线，，， 由，整理得，则， 所以，，所以， 解得，所以，又，解得， 所以，又，所以，故A正确； 因为，故B错误； 以为直径的圆与轴相切，即仅有个交点，故C正确； 因为，若，则，解得或； 若，则，解得或； 即、或、， 所以或，故D错误.故选：AC 10.（多选）（2026·四川泸州一模）已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 【答案】ABC 【解析】对于A，  弦AB的最小值为通径，故A正确; 对于B，由双曲线的定义得,, 所以,, , 则三角形的周长,故B正确; 对于C,设,则，两式相减得 即，即得， 故C正确; 对于D, 若直线AB的斜率为,所以，所以，所以， 所以，故D错误，故选ABC. 11.（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 【答案】/ 【解析】由题意， 在中，令，可得，所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则， 其中，所以，则， 所以，则. 12.（2026·天津南开一模）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连接， ∵以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点， ∴根据对称性可知该圆也过左焦点为， ∴， ∵和互相平分， ∴四边形是平行四边形，且为矩形， ∴，， 又根据双曲线焦点三角形面积公式，得， ∴，即，∴， 13.（2026·山东临沂一模）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，易知， 则，， 又，所以.故选C 14.（2026·浙江绍兴二模）如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆在其上一点的切线方程为. ，得点，同理. 因此，，故选B. 15.（2026·福建福州三模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，，则．由焦点三角形面积公式得 设，则，所以，所以，所以， 两边同时平方得，解得，又，所以，故选D． 16.（2026·四川绵阳一模）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值 【答案】13 【解析】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)， 由直线PQ过抛物线的焦点，则， 圆C2：圆心为(2,0)，半径1， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为13. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $