专题05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“问题类型-方法提炼-典例迁移”为主线，系统构建圆锥曲线定点、定值、定直线问题的解题体系，注重数学思维的逻辑推理与方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点问题|1典例+3变式|特殊探路+一般证明、恒等式系数法|从特殊位置探路到代数恒等证明，体现从具体到抽象的思维过程| |定值问题（弦长/斜率等9类）|9典例+27变式|直接消参法、特殊猜值法、几何性质法|按代数运算（消参）到几何直观（性质）分层，覆盖定量关系证明全场景| |定直线问题|1典例+3变式|轨迹消参法|通过参数方程消元，建立动点坐标与定直线方程的逻辑联系|

专题05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 （题型突破·举一反三） 题型一、圆锥曲线中的定点问题 题型二、弦长类定值 题型三、斜率类定值 题型四、角度类定值 题型五、位置关系类定值 题型六、向量类定值 题型七、面积类定值 题型八、距离类定值 题型九、参数类定值 题型十、圆锥曲线中的定直线问题 一、定点问题 证明直线或曲线恒过固定点，与参数取值无关． 特殊探路+一般证明：先取参数特殊值（如直线斜率为0、不存在），快速求出定点坐标，再证明一般情形下直线恒过该点，由特殊到一般简化推导． 恒等式系数法：设含参数的直线方程，联立圆锥曲线得韦达定理，将目标表达式整理为“参数×表达式+常数式=0”的形式，令参数系数与常数项同时为0，解方程组得定点．需验证斜率不存在等边界情况． 二、定值问题 证明斜率、距离、面积、比值等量为固定常数． 直接消参法：引入参数表示坐标或直线，将目标式全部用参数表达，通过代数化简、韦达定理代换消去参数，得到定值，是最通用方法． 特殊猜值法：先通过通径、焦点弦等特殊位置算出定值，再证明一般情形下目标式等于该值，适合复杂比值、面积类问题． 几何性质法：借助圆锥曲线定义、焦点弦公式、光学性质等几何结论，减少代数运算，快速推导定值． 三、定直线问题 多为动点轨迹为定直线，或切点弦、割线交点恒在定直线上． 轨迹消参法：设动点坐标，根据题设约束建立等式，代入曲线方程或韦达定理结果，消去参数得到直线方程． 题型01 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【解析】（1）根据椭圆的对称性，，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 所以，，，三点在椭圆上． 把，，代入椭圆， 得：， 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）证明：将椭圆按照向量平移， 则得到方程， 平移后，，设方程为， 即（构造齐次式）， 同除以得，， 因为点，的坐标满足这个方程， 所以，是这个关于的方程的两个根． 所以， 故过定点，平移回去可得过定点， 所以过定点． 【变式1-1】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【解析】（1） 由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【变式1-2】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得. 故动点的轨迹方程为. （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 【变式1-3】（2026·高二·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【解析】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 题型02 弦长类定值 【典例2】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设.    (1)求椭圆的标准方程： (2)当取何值时，等于椭圆短轴的长； (3)过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 【解析】（1）由题意，所以，所以， 所以椭圆方程为； （2）当时，，因此， 设直线的方程为， ，椭圆短轴长为2， 由得， 恒成立且，， 所以， 由，解得，所以或；    （3）由（2）知当时，，此时，， 当时，记直线的斜率为，则，直线的斜率为，所以， 所以， 综上，为定值． 【变式2-1】（2026·高二·上海嘉定·阶段检测）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点. (1)证明为定值，并写出点的轨迹方程. (2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，当直线的斜率为1时，求的值. 【解析】（1） 如下图所示， 圆化为标准方程： 圆心，半径，已知，则（同位角）, 又（均为半径），所以为等腰三角形，有. 因此，从而. 因为在线段上，所以 故，且， 故的轨迹是椭圆， 长轴长，故， 焦距，所以， 则， 椭圆中心为的中点，焦点在轴上， 方程为， 因为直线与轴不重合，所以不在轴上，即. 故点的轨迹方程为：. （2）直线过且斜率为1，方程为 与联立： 化简整理得：， 设，则 弦长公式： ， 圆心到直线的距离, 则， 故. 【变式2-2】（2026·高二·河北石家庄·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意得             解得所以的方程为. （2）设，由题意知，，，，     所以， 因为，所以当时，，         所以. （3）由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为，，，，， 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以，，，     所以.     联立直线与双曲线的方程，得 消去并整理，得， 由题意知，，，， 因为过且与双曲线的右支交于两点，所以，所以， 所以，     所以，     若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值.    【变式2-3】（2026·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【解析】（1）由题可知，解得， 故椭圆C的标准方程是 （2）设，依题可设直线方程为， 由，消去可得：， 故 于是，， 故 ， 故为定值. 题型03 斜率类定值 【典例3】（2026·山东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，上的点与其中一个焦点的距离的最小值为． (1)求的方程； (2)设直线与相交于不同的两点，． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）当时，求的值． 【解析】（1）依题意得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）由得. 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，即（*）， 设，，,则， 所以， 故， 因此为定值， （ⅱ），因此， 化简可得，即， 解得，均满足（*）， 故 【变式3-1】（2026·高二·天津津南·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 【解析】（1）由椭圆：，可得，右焦点， 所以，所以， 又，所以， 又椭圆的离心率为，所以，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）因为、，所以、， 又因为在椭圆上，所以，， 所以，， 则. （ⅱ）显然直线与轴不重合，设直线的方程为，, 由,得， 所以，解得. 由根与系数的关系可得， 所以， ， 由，得， 所以，即， 解得或（舍去），所以， 所以直线的方程为.. 【变式3-2】（2026·高二·江西景德镇·期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且过点. (1)求椭圆E的方程： (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率k不为0的直线交椭圆E于，两点 （i）当时，求； （ii）设直线和的斜率为，求证： 为定值. 【解析】（1）由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为. （2）（i）当时，直线的方程为， 联立得，解得或， 则. （ii）证明： 由（1）知椭圆的方程为，则右焦点， 易知过点的直线的斜率存在， 设，，的方程为， 联立，得， 则， ，， ， 为定值. 【变式3-3】（2026·高二·河北·期末）已知椭圆的焦距为，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于、两点（在的上方），且． (1)求的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与交于不同的两点、（在的左侧）．证明直线与的斜率之差的绝对值为定值． 【解析】（1）设的焦距为，由题知，则①. 将代入，解得，则②， 联立①②解得，所以的标准方程为. （2）由（1）知. 设， 联立与的方程得，化简整理得， 则， ，， . 故直线与的斜率之差的绝对值为定值1. 题型04 角度类定值 【典例4】（2026·高二·上海·期末）已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）由知，，，，则离心率，渐近线为； （2）由，的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ，得证. （3）由（2）知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为，则， 因为为劣弧，所以，则， 所以，即所对圆心角的大小为定值. 【变式4-1】（2026·高三·广东汕头·阶段检测）已知双曲线（，），、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于、两点，其中点位于第一象限内． （1）求双曲线的方程； （2）若直线、分别与直线交于、两点，求证：； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】试题分析：（1）由题可知： 1分 ∵，∴c＝2 2分 ∵，∴， ∴双曲线C的方程为： 3分 （2）证明：设直线的方程为：x＝ty＋2，另设：，， ∴， 4分 ∴ 5分 又直线AP的方程为，代入 6分 同理，直线AQ的方程为，代入 7分 ∴， ∴ ，∴ 9分 （3）当直线的方程为时，解得P（2，3）， 易知此时为等腰直角三角形，其中 ， 即，也即： 10分 下证：对直线存在斜率的情形也成立， ， 11分 ∵， ∴， 12分 ∴ 13分 ∴结合正切函数在上的图像可知， 14分 考点：考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系． 点评：解本题的关键是把直线方程与双曲线方程联立，利用设而不求的思想解题，注意探索性问题的解题步骤． 【典例5】（2026·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. (1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； (2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由双曲线Γ的方程得，，得， 则，即. 故，，渐近线方程为. （2）存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得. 易知直线l不与x轴重合.（当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左右顶点，，，不满足题意） 设，，AB的中点. 由得为等腰三角形， 则，， 即，， 即，.① 因为点A，B在Γ上，所以 ②－③得，即， 则，即， 所以.④ 联立①④，消去得， 解得或（舍）， 当时，，所以， 由得， 所以直线的方程为. 【变式5-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左焦点为，平面内一动点到点的距离与到直线的距离相等，过作的两条切线，切点分别为 . (1)求动点 的轨迹方程； (2)证明： （i） 平分 ； （ii）为定值. 【解析】（1）因为椭圆 的长轴长为4，左焦点为， 所以，所以直线为， 设，则，化简得：， 所以动点 的轨迹方程为； （2）（i）由（1）可知，所以椭圆方程为， 设， 则切线的方程为，切线的方程为， 因为 既在上，又在上， 所以，所以直线的方程为， 联立，消去得， 所以， 消去 得， 所以， 平分与共线与共线 与共线 ①， 下面证明①式成立： ②， ③， 将②③代入①得 ， 由于上式显然成立，于是①式成立，故平分 ； （ii） ， 所以为定值. 题型05 位置关系类定值 【典例6】（2026·高二·江苏镇江·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过椭圆上异于椭圆顶点的点作两条直线，分别与椭圆相交于异于点的点，若四边形为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值：若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，直线必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明. 【解析】（1）椭圆的离心率为，且过点 ，解得，； 椭圆C的方程为. （2）四边形的面积是定值，定值为，理由如下： ①当直线的斜率不存在时，此时，两点关于轴对称； ∵四边形为平行四边形，； 点在椭圆上，点为椭圆的左右顶点，不符合题意. ②当直线的斜率为0时，此时，两点关于轴对称； ∵四边形为平行四边形，； 点在椭圆上，点为椭圆的上下顶点，不符合题意. ③当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，. 联立，整理得， 则Δ，即； 由韦达定理得，； ； ∵四边形为平行四边形，； . ∵点在椭圆上，，整理得. ； ∵原点O到直线的距离； . ∴四边形的面积为定值. （3）定椭圆方程为，证明： 设定椭圆的方程为 由（2）得，直线的方程为. 联立，整理得， 则Δ ； 由（2）得； Δ； 直线与定椭圆相切，Δ，即，整理得 ； ，解得，. 定椭圆方程为，即. 【变式6-1】（2026·高二·湖南长沙·开学考试）双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P. (1)求双曲线C的方程； (2)证明：点P在定直线h上； (3)连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切. 【解析】（1）由题意得，所以，， 又因为双曲线过点，代入解得， 所以双曲线C的方程为. （2）证明：，所以，，， 设：， 联立得， 因为直线与右支交于两点，故. 设，，所以，， 故， 且， 所以， 因为，所以， 代入得， 故，所以点在定直线上. （3）证明：由（2）知，故， 而，所以， ， 所以的中点， 又 ， 所以，即， 所以点在以为直径的圆上， 另一方面，故直线的方向向量为, 而的方程为，故其方向向量为, 因，所以两个方向向量垂直，故， 所以以为直径的圆与直线相切于F点. 【变式6-2】（2026·高二·贵州遵义·期末）平面直角坐标系中，是圆上一动点，点，线段的中垂线交线段于点，交圆于两点，记的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)证明：直线与相切． (3)当位于点时，延长交圆于另一点，证明：内切于． 【解析】（1）由题意，可得，则有， 所以点的轨迹为以为焦点，半长轴为3的椭圆， 所以轨迹的方程为． （2）设直线，联立方程组，得， 则直线与相切当且仅当． 化简，得． ①当直线斜率不存在时，即点位于点或时，易知直线与相切； ②当直线的斜率存在时，即点不位于点和时，设， 则线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的中垂线的方程为， 即． 因为， 所以， 即．故直线与相切，得证． （3）当位于点时， 易得直线的方程为，直线的方程为． 设，联立方程组，得， 所以，所以． 易得，联立得， 设，过点作与相切且异于直线的切线． 由（2），得，即， 所以． 因为，， 所以． 联立直线方程， 代入，得， 即． 所以． 将代入，得． 解得， 所以直线也经过点，即直线与相切， 设点，过点作与相切且异于直线的切线，， 由（2），得，即， 所以． 因为，， 所以． 联立直线方程， 代入，得， 即． 所以． 将代入，得． 解得． 所以直线也经过点，即直线与相切， 由（2）知，直线与相切． 因为位于内部，所以内切于. 【变式6-3】（2026·高二·四川成都·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)若点在抛物线上，证明：直线为抛物线的切线； (3)若内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，求证：边所在直线与抛物线相切. 【解析】（1）易知抛物线焦点为， 其到直线的距离为，整理可得； 解得（舍去）， 故抛物线方程为 （2）若在抛物线上，则， 此时直线为 联立和，整理得， 故，即抛物线与直线仅有一个交点， 所以直线为抛物线的切线. （3）设，直线与抛物线切于点，如下图： 则， 又因为在两直线上，所以, 因此两点满足方程， 于是直线的方程为， 联立，整理可得； 因此可得， 又易知即为, 联立，整理得， 由韦达定理可得，即； 同理，又， 所以， 联立，整理可得， 因为，且 此时 ； 所以边所在直线与抛物线相切. 题型06 向量类定值 【典例7】已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为，由点在双曲线上，得， 由离心率为，得，又，联立解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线，设， ①直线斜率为，由直线l过点及，得直线的方程为， 代入双曲线，得， ，， 所以． 又点到的距离为， 的面积为． ②设，当直线不垂直于轴时，设，， 代入双曲线，得， ，，， 因此 ， 当且仅当，即时，为常数，为常数， 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值. 【变式7-1】（2026·高二·江苏徐州·期中）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意，， 解得． 双曲线方程为； （2）假设存在定点，使得为常数， 当直线的斜率不为时，可设直线的方程为， 联立，得． 由已知，且， 解得且， 设， ， ， ， 由已知为常数，与无关， ，即，此时． 在轴上存在定点，使得为常数． 当直线的斜率为时，直线与双曲线的交点坐标为和， 此时， 所以在轴上存在定点，使得为常数．    【变式7-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程. (2)设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意得，因为双曲线渐近线方程为， 所以， 又点在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：， 联立两式解得，， 所以双曲线的标准方程为：. （2）如图所示， 点,直线l与双曲线交于两点， 由题意得，设直线l的方程为，点坐标为， 联立得，， 设，， 则，， ， ， ，， 所以 ， 所以若要使得上式为常数，则， 即，此时， 所以存在定点，使得为常数. 【变式7-3】（2026·高二·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 题型07 面积类定值 【典例8】已知双曲线，记集合 (1)写出，，的坐标，猜想数列，的通项公式（说明猜想过程，不用证明）．并写出和的递推关系式； (2)试判断的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由 【解析】（1）当时，，故；尝试，3，对应的均不是完全平方数，当时，，故． 继续试算比较困难，观察和的数值关系，， 推广猜想：如果第n个点对应，那么第个点应该由第n个点乘以得到， 即，展开整理得：， 根据有理数与无理数部分分别相等，得到递推公式， 得，验证成立，故． 由，， 联立解得， （2）． 代入递推可得： ， 故（定值）． 【变式8-1】（2026·湖北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，M为E上的动点，且M到两焦点的距离的差的绝对值为2． (1)求E的方程； (2)过点M作斜率为和的直线，分别与E交于点G、H，求的最小值； (3)过点的直线交E于A、B两点，过点的直线交E于C、D两点，与交于点P，且与的斜率之积为．证明：与面积的乘积为定值． 【解析】（1）根据题意，，又，所以，则， 所以双曲线方程为. （2）设，则， ， 直线的方程为， 由得：， 设点坐标为，则是上述方程的解， 所以，整理得， 直线的方程为， 由得：， 设点坐标为，则是上述方程的解， 所以，整理得， ，同理， ， 所以， 又，即， 所以， 因为，所以，时取等号， 所以； （3）由（1）得，设， 则，化简得， 所以在双曲线上， ， 直线（即）相交于点，则与互补（或是对顶角） 所以，设直线与的夹角是，则， 所以， 直线过，设直线的参数方程为，其中为参数，表示点到对应点的有向距离，设对应参数分别为， 把代入双曲线方程得， 化简得， 所以，， 在直线上，， ， 又满足，，， ， ， ， 所以， 同理可得， 所以， 直线的斜率为，直线的斜率为，， ， ， 所以. 【变式8-2】（2026·高二·重庆·期中）平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程： (2)曲线的右焦点为，过点的直线与曲线相交于，两点，已知线段的中点为，求点的轨迹方程： (3)已知，是椭圆上的点，是上一点，若线段，的中点都在上，证明：的面积是定值. 【解析】（1）设，则，同理， 所以， 即，化简得. 即的方程为. （2）由（1）知，，所以，所以椭圆的右焦点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得，， 设，中点，则，， 于是，，代入直线方程， ， 两式相除，得，即，代入中，可得； 当直线斜率不存在时，直线为，由椭圆的对称性知，点为， 也满足， 综上，点的轨迹方程为. （3）设在椭圆上，在上，即， 因为的中点在上， 所以， 同理可得，， 又，， 化简可得，， 所以直线的方程为. 所以点到直线的距离， 联立，化简得， 所以，， 所以 ， 又， 所以，， 所以， 即的面积是定值. 【变式8-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）设双曲线的右焦点为，已知到一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线被所截得的弦长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线上一点，已知双曲线在处的切线的方程为. （i）已知分别交两条渐近线于两点，求证：（为坐标原点）面积是定值； （ii）若在第一象限，设与直线交于点，证明：平分. 【解析】（1）由题意得，解得，双曲线的方程为. （2）（i） 如图，联立，解得， 联立，解得， 由于，所以， 所以的面积； （ii）法1： 要证明平分，即证， 只需证， 只需证，即证， 易知，当时，解得，故， ， 又，故原命题得证. 法2：易知，当时，解得，故， ， 由于， 设， 则， 要证明平分只需证与共线， 即证， 即证，显然成立， 平分.. 题型08 距离类定值 【典例9】（2026·高二·北京·阶段检测）如图，点A、B、C分别为椭圆：的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点Q，直线与x轴相交于点M． (1)求该椭圆的离心率，并求出直线的方程； (2)试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线的方程为，线段的中点为，是否存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由椭圆方程得，， 所以. 所以椭圆的离心率. 又因为， 直线的方程为，即. （2）是定值. 设，，且，即. 因为，，所以直线方程为. 联立方程得解得. 所以. 因为，则直线方程为，令，得. 所以. 所以，. 所以. 所以是定值，定值为4. （3）设，. 因为，所以. 点在直线上，则，得 所以. 所以中点，即. 所以点T到：的距离. 设垂直于轴的直线方程为. 则点T到的距离. 所以. 因为，若为定值，则，即. 所以存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值，且的方程为. 【变式9-1】（2026·高二·河南·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 【解析】（1）由，得，即， 因此椭圆方程可写为 ，即， 将直线 代入椭圆方程得， 即 ， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 . （2）（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，. 联立，消去得 ， 则， 化简得，， 因为 ，所以 ，即 ， 而， 代入得 ， 所以 ， 整理得 ，所以，满足. 所以点到直线的距离， 由，得. 当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得， 则，由 ，得 ， 即，解得，所以，仍然成立. 综上，点到直线的距离为定值. （ⅱ）当直线的斜率存在时， 由（ⅰ）知 . 的面积， 由，令，则，， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当，即时，满足，取最大，最大值为. 所以面积的最大值为. 当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知，，，， 所以，， 所以， 因为，所以面积的最大值为. 【变式9-2】（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【解析】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 【变式9-3】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【解析】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 题型09 参数类定值 【典例10】（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 【变式10-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． (1)求的方程； (2)过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 【解析】（1）由椭圆的左焦点为，得椭圆的半焦距， 由到上任意一点的距离最小值为1，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由（1）得，直线的斜率存在，设其方程为，则， 由，得，而的面积是的面积的3倍， 则，由在线段上，得是线段的中点，于是， 又点在椭圆上，则，解得， 所以直线的方程为. （ii）由消去得， 设，则， 由，得，则，同理， 因此， 所以为定值. 【变式10-2】（2026·高二·海南·期末）如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．    (1)若，，，求与的四个交点的坐标． (2)求直线与直线交点的轨迹方程． (3)设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值． 【解析】（1）当，，时联立，得解得 ∴四个交点坐标分别为，，， （2）设，，又知，， 则直线的方程为 直线的方程为 由得 由点在椭圆上，故， 从而代入得； （3）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，故 因为点，均在椭圆上，所以， 由，知，所以．从而 因此为定值． 【变式10-3】（2026·高二·云南怒江·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线与椭圆交于A，B两点，且以线段为直径的圆过坐标原点O. ①证明：为定值. ②求面积的最大值. 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为 （2）①设，， 由，消去整理得， 所以， 则，， 又因为直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点， ∴，即， ∴， ∴， 即， 化简得，所以，即为定值； ②因为到直线的距离， 又 ， 所以， 又，所以，则， 所以 ， 因为且， 所以， 令，则， 所以， 令，所以 ， 所以当即，时取得最大值，所以， 即面积的最大值为. 题型10 定直线问题 【典例11】（2026·高二·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【解析】（1）由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． （2）设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． （3）设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 【变式11-1】（2026·高二·河南信阳·期末）已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【解析】（1）因为椭圆的焦距为，所以，即， 因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，所以，解得， 所以， 则椭圆的标准方程为． （2）法一：因为点，过点的动直线， 所以设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即． 设，，则，①． 因为，，所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得交点的横坐标②． 将，，代入②得③． 由①得，即④． 将④代入③中，得． 所以点的横坐标为4，即点在定直线上． 法二：设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即．设，， 则，，可得①． 由，，得直线的方程为， 直线的方程为．联立②， 消去，并整理得． 将①代入等式左边，得． 比较，系数，得，解得． 所以点的横坐标为，即点在定直线上． 法三（仿射变换）：作变换，， 则椭圆变为圆． 点，，保持不变． 过的直线变为过的直线，与圆交于． 由圆的几何性质（相交弦定理或相似三角形）可知（同法二）， 直线与的交点的横坐标恒为． 变换回原坐标，横坐标不变，则点的横坐标为， 即点在定直线上． 【变式11-2】（2026·高二·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【解析】（1）设，由题得， 即， 整理得， 所以 的方程为． （2）（ⅰ）由题得，     当的斜率为 时，可取，或，. 则，符合题意，此时的方程为 ；     当的斜率不为 时，设：，，， 联立，得， 则，，．     ，， 所以，即，不成立．     综上，的方程为 ．     （ⅱ）假设点在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与轴垂直．     由题可知的斜率不为，且直线：， 直线：，联立， 得 ， 所以点在定直线上． 【变式11-3】（2026·江西宜春·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上． 【解析】（1）因为，所以， 因为的离心率为，所以，解得， 所以的方程为． （2） 设直线的方程为，令，得， 设点，其中，则， 则， 所以， 所以直线的方程为， 所以， ， 当且仅当时等号成立． 故的最小值是6． （3） 证明：设，，直线的方程为， 联立，得， 所以，，且，， ， ． 设的外接圆方程为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，所以①，②， ①+②得， 其中， ， 所以， 即， ①-②得， 易得，且， 上式两边同时除以得， 整理得，即， 代入得， 所以，或． 当时，，不满足题意， 所以，即， 即点正在定直线上， 所以的外心恒在定直线上． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 （题型突破·举一反三） 题型一、圆锥曲线中的定点问题 题型二、弦长类定值 题型三、斜率类定值 题型四、角度类定值 题型五、位置关系类定值 题型六、向量类定值 题型七、面积类定值 题型八、距离类定值 题型九、参数类定值 题型十、圆锥曲线中的定直线问题 一、定点问题 证明直线或曲线恒过固定点，与参数取值无关． 特殊探路+一般证明：先取参数特殊值（如直线斜率为0、不存在），快速求出定点坐标，再证明一般情形下直线恒过该点，由特殊到一般简化推导． 恒等式系数法：设含参数的直线方程，联立圆锥曲线得韦达定理，将目标表达式整理为“参数×表达式+常数式=0”的形式，令参数系数与常数项同时为0，解方程组得定点．需验证斜率不存在等边界情况． 二、定值问题 证明斜率、距离、面积、比值等量为固定常数． 直接消参法：引入参数表示坐标或直线，将目标式全部用参数表达，通过代数化简、韦达定理代换消去参数，得到定值，是最通用方法． 特殊猜值法：先通过通径、焦点弦等特殊位置算出定值，再证明一般情形下目标式等于该值，适合复杂比值、面积类问题． 几何性质法：借助圆锥曲线定义、焦点弦公式、光学性质等几何结论，减少代数运算，快速推导定值． 三、定直线问题 多为动点轨迹为定直线，或切点弦、割线交点恒在定直线上． 轨迹消参法：设动点坐标，根据题设约束建立等式，代入曲线方程或韦达定理结果，消去参数得到直线方程． 题型01 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【变式1-1】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【变式1-2】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2026·高二·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 题型02 弦长类定值 【典例2】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设.    (1)求椭圆的标准方程： (2)当取何值时，等于椭圆短轴的长； (3)过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 【变式2-1】（2026·高二·上海嘉定·阶段检测）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点. (1)证明为定值，并写出点的轨迹方程. (2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，当直线的斜率为1时，求的值. 【变式2-2】（2026·高二·河北石家庄·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式2-3】（2026·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 题型03 斜率类定值 【典例3】（2026·山东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，上的点与其中一个焦点的距离的最小值为． (1)求的方程； (2)设直线与相交于不同的两点，． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）当时，求的值． 【变式3-1】（2026·高二·天津津南·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 【变式3-2】（2026·高二·江西景德镇·期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且过点. (1)求椭圆E的方程： (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率k不为0的直线交椭圆E于，两点 （i）当时，求； （ii）设直线和的斜率为，求证： 为定值. 【变式3-3】（2026·高二·河北·期末）已知椭圆的焦距为，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于、两点（在的上方），且． (1)求的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与交于不同的两点、（在的左侧）．证明直线与的斜率之差的绝对值为定值． 题型04 角度类定值 【典例4】（2026·高二·上海·期末）已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式4-1】（2026·高三·广东汕头·阶段检测）已知双曲线（，），、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于、两点，其中点位于第一象限内． （1）求双曲线的方程； （2）若直线、分别与直线交于、两点，求证：； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【典例5】（2026·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. (1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； (2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【变式5-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左焦点为，平面内一动点到点的距离与到直线的距离相等，过作的两条切线，切点分别为 . (1)求动点 的轨迹方程； (2)证明： （i） 平分 ； （ii）为定值. 题型05 位置关系类定值 【典例6】（2026·高二·江苏镇江·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过椭圆上异于椭圆顶点的点作两条直线，分别与椭圆相交于异于点的点，若四边形为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值：若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，直线必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明. 【变式6-1】（2026·高二·湖南长沙·开学考试）双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P. (1)求双曲线C的方程； (2)证明：点P在定直线h上； (3)连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切. 【变式6-2】（2026·高二·贵州遵义·期末）平面直角坐标系中，是圆上一动点，点，线段的中垂线交线段于点，交圆于两点，记的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)证明：直线与相切． (3)当位于点时，延长交圆于另一点，证明：内切于． 【变式6-3】（2026·高二·四川成都·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)若点在抛物线上，证明：直线为抛物线的切线； (3)若内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，求证：边所在直线与抛物线相切. 题型06 向量类定值 【典例7】已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】（2026·高二·江苏徐州·期中）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 【变式7-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程. (2)设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 【变式7-3】（2026·高二·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 题型07 面积类定值 【典例8】已知双曲线，记集合 (1)写出，，的坐标，猜想数列，的通项公式（说明猜想过程，不用证明）．并写出和的递推关系式； (2)试判断的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由 【变式8-1】（2026·湖北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，M为E上的动点，且M到两焦点的距离的差的绝对值为2． (1)求E的方程； (2)过点M作斜率为和的直线，分别与E交于点G、H，求的最小值； (3)过点的直线交E于A、B两点，过点的直线交E于C、D两点，与交于点P，且与的斜率之积为．证明：与面积的乘积为定值． 【变式8-2】（2026·高二·重庆·期中）平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程： (2)曲线的右焦点为，过点的直线与曲线相交于，两点，已知线段的中点为，求点的轨迹方程： (3)已知，是椭圆上的点，是上一点，若线段，的中点都在上，证明：的面积是定值. 【变式8-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）设双曲线的右焦点为，已知到一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线被所截得的弦长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线上一点，已知双曲线在处的切线的方程为. （i）已知分别交两条渐近线于两点，求证：（为坐标原点）面积是定值； （ii）若在第一象限，设与直线交于点，证明：平分. 题型08 距离类定值 【典例9】（2026·高二·北京·阶段检测）如图，点A、B、C分别为椭圆：的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点Q，直线与x轴相交于点M． (1)求该椭圆的离心率，并求出直线的方程； (2)试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线的方程为，线段的中点为，是否存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 【变式9-1】（2026·高二·河南·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 【变式9-2】（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【变式9-3】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 题型09 参数类定值 【典例10】（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式10-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． (1)求的方程； (2)过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 【变式10-2】（2026·高二·海南·期末）如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．    (1)若，，，求与的四个交点的坐标． (2)求直线与直线交点的轨迹方程． (3)设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值． 【变式10-3】（2026·高二·云南怒江·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线与椭圆交于A，B两点，且以线段为直径的圆过坐标原点O. ①证明：为定值. ②求面积的最大值. 题型10 定直线问题 【典例11】（2026·高二·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【变式11-1】（2026·高二·河南信阳·期末）已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【变式11-2】（2026·高二·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【变式11-3】（2026·江西宜春·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题5圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 参考答 案 题型01圆锥曲线中的定点问题 典例精析 【典例1】【解析】(1)根据椭圆的对称性， 两点必在椭园C上， 又B的横坐标为1，所以椭圆必不过R), 三点在椭圆。上. C 代入椭圆。 得： 13 a2+46=1 解得a2=4,b2=1, 2 所以椭圆c的方程为4+广=1. (2)证明：将椭圆C按照向量乃0=(0，-)平移， 则物到方件等+心+0=1→等+户+2y-0, 平移后A→A,B→B,设B方程为mr+y=1, 普+r+2 4+少+2y(m+）=0(构造齐次式)， 阿除以e得，+2片+2m上+{0. 因为点A,B的坐标满足这个方程， 所以k’kr是这个关于的方程的两个根. 1/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以w+kam=+s=子2n=-1=2m-2n=1,， 故AB过定点(2，-2)，平移回去可得AB过定点(2，)， 所以1过定点(2，). E 举一反三 【变式1-1】【解析】(1) + 由题可知c=1'2a=4→4=2，结合椭圆中。=B+c2可得b=5,所以椭圆方程为：4+3=l, 离心率：e=C-1 a 2 x=my+4 (2)()设直线： 联立x+y AB x=my+4 心1得 43 (3m2+4)y2+24my+36=0 △=(24m)2-4×(3m2+4)×36>0化简得：m2>4. 24m 36 设40x,),B,y),由韦达定理得：片+h=3m+443m2+4 S.ow=S.aw-S.oul2+ 化简得：SoMB= 24vm2-4 3m+4，令1Vm-4>0):则m=+4 5 V”(当且仅当31=161=45时取等)· t 3 (i)设D(0,d),E0,e) 号4子-0：令-0得：d数2：同理可行：e-头2 3 直线，m：y-3 x=0 2(x-1) Γ2(x2-10 入x=mw+4海，A6-2+业em2%+21+es67-2成t2,m-2%D 2my+6 2my2+6, 2my+6T2m,+6一带入韦 达定理化简得：d+e=144-m=4 36(4-m2) 所以pe中点坐标Q生学=@2)即pG的中点为定点 2/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V M 【变式121【解折】（④由慰意知k,本，人： x-1（x≠士1，否则斜率不存在)， 则kkm=上上=2 x+1x白3，即y2=32- 整理得x2 -3=1(0≠0) 故动点p的轨迹方程为- 3=10≠0) (2)易知F(2,0). 当直线l斜率存在时，设1：y=k(x-2). y=k(x-2) 联立 x=1，整理得 3 3-k2）x2+4k2x-(4k2+3）=01 由题意知k2≠3，△=(42+43-2)(4k2+3)=36(k2+1)>0, 4k2 4k2+3 设C(,y小D(3,)则x+=一35 k2-3 以CD为直径的圆恒过该定点T(,0),则TCTD=0,即(：-(，-)+y=0. 又(x-)(x2-)+y=(x-0(x-)+k(x-2(:-2)=(1+k2）x52-（+2k2)）(x+x)+P+4k2 -09号-2"r4-0 k2-3 3/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则(2-41-5)k2+31-P）=0, 「2-41-5=0 即1-P=0 ，解得，-1故T(←1,0) 当直线斜率不存在时，此时I:x=2,代入双曲线方程解得y=3, 不妨设C(2,3),D(2,-3),以CD为直径的圆为(x-2+y=9, 将T(-1,0)代入(x-2)+y=9中，等式成立 综上，存在满足条件的定点T,坐标为T(-1,0) 【变式13】【解折】（④C的焦点F0 准线方程为x=-卫 因为点MB,)在c上.Mr=3,所以2+号-3，p=2 所以C的方程为y2=4x. (2)①F(1,0),设4B为x=y+1,代入y=4x,消去x,得y-4-4=0. 设A(,乃)，B(x,),则片+=41，y2=-4. 所以(y-2)》=(y+)2-4y=162+16,以-2=4WP+1, 又pH=1所以AP4B的面积为Xx4P+1=2P≥2，当且汉当1=0时，取等号， 所以△PAB的面积的最小值为2.‘ D B ②设D(,),E(x4y4),又P(2,0). 直线4P的方程为(：-2)y=(x-2),与C方程联立，消去x得少-4(x-2)y-8=0, 又D是直线卢c的交点，所以%-8，为=8 同理北-8 乃2，所以y4=-16 当=4时，1=0，直线DE与x轴垂直，DE与x轴的交点为(4,0)， 4/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k=么-当=4=4 1 4时0直线的斜率。-号+y8820时十为7】 当 1≠0 DE 4y2 此时，可设直线DB的方程为y=27x+b，与c联立，消去x得y-8+8b=0, 所以y4=8b, 又=-16，所以h=-16,6=2 所以pe的方程化为方-子-).直线注0 综上，直线DE过定点(4,0) 题型02弦长类定值 三典例精析 【典例2】【解析】(1)由题意2a=6,2c=4V2,所以a=3,c=2V2,所以b=V-c2=1, x2 所以椭圆方程为g+y=1: 2)当a-7时，MM=282-子2，因a+ a 33 2 设直线MN的方程为y=k(x+2√2)，M(:,y,N(x,2),椭圆短轴长为2， 三+y2= 9 得 y=kx+22)1+9g2)x2+362k2x+982-1)=0 4>0恒成立且+5= 1+9g,￥5=982-) 36V2k2 1+9k2, 98k2-1 所以MN=V+V(x+x}-4xx=1+k. 36V2k2)2 -4× 6+6k2 1+9k2 1+9k2 1+9k2, 由4能-2，解物k=士停，所以a-名政g: 6+6M2 5π 5/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M O 1_31_5 (3)由2)知当a=5时，MN=号，此时Pg=2a-6:w+P四+。， 警a≠时，记直线的斜率为，则MN9,直线阳的斜率为，所2 6+6 6k2+6 9 PO= k2+9, 1 11+9k2,9+k25 所以MNP四6+62+6+6k23, 1 1 综上，1 P四为定伯 举一反至 【变式2-1】【解析】(1) 如下图所示， C A 圆x2+y2+2x-15=0化为标准方程：(x+1)+y2=16, 圆心A(-山，O),半径r=4,己知BE11AC,则∠EBD=∠ACD(同位角)， 又AC=AD=4(均为半径)，所以△ACD为等腰三角形，有∠ACD=∠ADC. 因此∠EBD=∠ADC=∠EDB,从而EB=ED. 因为E在线段AD上，所以AD=AE+ED|=AE+EB=4, 6/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故EA+EB=4,且A(-1,0),B(1,0), 故E的轨迹是椭圆， 长轴长2a=4,故a=2, 焦距2c=AB=2,所以c=1, 则b2=a2-c2=4-1=3, 椭圆中心为AB的中点(0,0)，焦点在x轴上， 方程为41 3 因为直线I与x轴不重合，所以E不在x轴上，即y≠0. 故点E的轨迹方程为：4+3 (2)直线I过B(,0)且斜率为1，方程为y=x-1. 4 3 4 3 化简整理得：3x2+4(x2-2x+1)=12=7x2-8x-8=0, 设M,N,必小则+写-号=多 弦长公式：MW=1+2V(x+x}-4xx, w--4》-g号-229 77 -2 、圆心到直线，的距离d=P+一 则1CD1=22-)=216-2)=24, CD 故MN =24×7=74 2412 [a2-b2=4, 【变式2-2】【解析】(1)由题意得 2,3 a+京= 「a2=8, 解得仔或所以c的方定为+号引 7/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y (2)设M(x,以，由题意知E(0,4)8+4=1,x=8-2y2,-2≤y≤2： 所以ME=V2+(y-4}2=Vy2-8y+24=√-(y+4}+40, 因为-2≤y≤2，所以当y=-2时，MEmx=6, 所以MNm=ME+V5=6+V5. (3)由题意得直线的斜率不为0， 故设1的方程为X=ty+2,A(x,),B(x2,2),P(x,为)，Q(x4,y4), x=y+2, 联立直线与的方程，得女+上=消去并整理，得 IC 84 (?+2y2+40-4=0 4t 4 所以△=162+16+2)=32+)>0，片+%=2+2,4=P+2: 所以MB=+7V+y'-4,=+ 162,164V2(+1） V(+22P+2=2+2 [x=y+2, 联立直线与双曲线父2=的方程，得y严山， 3 消去x并整理，得(-3)y2+4y+1=0, 4t 1 由题意知？-3≠0△=12？+12>0：⅓+%=P-3,y=F一3 1 因为过F(2,0)且与双曲线的右支交于两点，所以，=2一3<0，所以2<3 所以Pg=+FV(+y}-4y=1+ 162423(2+1 V(-322-3=3-P, m2+2,m3-P）(3V2-43m2+62+12W3m 所以4B+P四42+刊)23(C+ 24(2+) 若因P网为定位.则32-45m-62+125n即m=G 1 m 16 1 m 所以存在m三-6，使得4BPg为定值 8/61 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 2c=2 c 【变式2-3】【解析】(1)由题可知 a Z ,解得 a2=b2+c2 c=l,a=2,b=/3 x2,y2 故椭圆C的标准方程是4+3 =1 (2)设A(x,片)，B(x,h),依题可设直线AB方程为x=y-1, FO F2 B x=y-1 3=1消去可得： x(32+4)y2-6y-9=0 -9 故y+y2= 3+43=32+4 于是，aB=V+F+}-4,=1+ 144(2+1 122+1) V(32+42 312+4, 11 4F+BF AB 故AF BR AFIBF V(x+1)+x+1)+ 12(2+1) AB AB 312+4-4 }+,}+g+ 92+1）3, 312+4 1 1 4 故A风B丽为定值3 9/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03斜率类定值 三典例精析 [c2=a2-b2 c3 【典例3】【解析】(1)依题意得 a 2 ,解得 a-c=2-V5 a=2,c=V3,b=1 所以椭圆c的方程为4+广=1： y=c+2 (2)(i)由x+4y2-4=0得(42+10x2+16G+12=0 因为直线1与椭圆M有两个交点， 所以△=256k2-48(42+1)>0,即4k2-3>0(*), -16k 12 设C,y)D(,),C(-,-y)则+名=42+西=4k2+ 所以+h=k6+5)+4=-162+4 7+4s4 4k2+14k2+1 4 故k=kn=4+五-4k2三-1 名+x3-16k4k: 4k2+1 因此k=-k=- 4k 4为定值， (ii)CD=+=+4=+2 【-16k2 412 4k2+1 4k2+1 =4V1+k2V42-3 4k2+1, 因此4v1+2V4k2-3_24 4k2+113 化简可得100k4-119k2-543=0,即(k2-3100k2+181)=0, 解得k=±V3,均满足4k2-3>0(*), 故k=±V5 10/61 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 三举一反三 x2.y2 【变式3-1】【解析】(1)由椭圆c:言+左=1(a>b>0),可得A(-a,0,B(a,0),右焦点Fc,0) 所以AF=(c+a,0),FB=(a-c,0),所以AF.FB=d2-c2=1, 又a2-c2=b2,所以b2=1, 风c内8心*为号所后-0r0-妆-6c-). te 解得。=4所以椭圆c的方程为4+少=1： (2)(i)因为M(x,、N(x,),所以M(-x,、N(:,-), 又因为M,N在椭圆C上，所以手+=1，草+好=1 后香以-6年青4 44 则从=4-业乃+丛=-片-三=1 -为--为-号41 M M N 1 (i)显然直线，与x轴不重合，设直线，的方程为x=y-3,1= >0 11/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=y-3 年r-1e4y-5-0 由 所以△=362-20(+4)=16(-5)>0，解得1>V5. 6t 5 由根与系数的关系可得%+以=+4少+4， 所以MN=+7-%=+F0+y-4=+.42 2+41 M8-是--94 由M=MN:得+r.P5_P+16 t2+4 tt2+41 所以41+1P)2-5)=9(+16),即4-252-164=0， 4或，。4（合去），所以1=④5. 解得P- 2 V41 所以直线，的方程为x= 2y-3. 【变式3-2】【解析】(1)由题意知： cv2 a2,.a=v2c':.b=va-c2=c' V61 因的方程为克-1，起司代入方理得+1 及2G2所以椭圆p的方程为+ 2）0当豆时，直线Mw的方程为y-2), x +y2=1 4 2 x= 3 联立 得 y--2-4-0 解得∫x=0或 19 (y=-1y= 3 则=仔可-25 (ii)证明： 白a)知圆E的方程为号+y-1,测右焦点r化0)： 12161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 易知过点G(2,O)的直线MN的斜率存在， 设M(x,),N(x,乃)，MN的方程为y=k(x-2)(k≠0)， 女+1 2 联立 ,得 y=k(x-2）（1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0 则△=64k4-41+2K2)(8k2-2)=-16k2+8>0. 5+55 1+2k2, k+6=乃+之--2，-2=252 x-1x2-1x-1x2-1 (-(名3-) 8k2 4k2-2-8k2+2+4k2 1+22~2 1+2k2 8k2-28k2 =k =0 8k2-2 8k2 1+2k21+2k2+1 1+2k21+2k2+1 k+k2=0为定值 G 【变式3-3】【解析】(1)设E的焦距为2c,由题知c=1,则a2-b2=1①. 将1代入后+若1，解闲y-则-空3@ a a2=4 联立①②解得 份子所以E的标准方程为+ -=1. 2由山知4}-引 设M(x,y),N(,2),1:y=k(x-), y=k(x-1) 联立与的方程得 +=1 化简整理得 IE 43 42+3）x2-8k2x+4k2-12=0 则△=644-4(42+3(4k2-12)=1441+k2）>0, 13/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8k2 4k2-12 x+x2= 4k2+3’=42+3 3 kAM -kBN g-小2- 2_+2 2= 2 x-1x2-1 龙-1 x2-1 3 3 2 。38k2-8k2-6 24k2-128k2】 4k2+3(4+3+1 24k2-12-82+4k2+3=-1 故直线AM与BN的斜率之差的绝对值为定值1. 题型04角度类定值 三典例精析 【奥例【解折】（少由写了=1如，a店6=”6-2则离心率e-日子5新近线为 x a 3 x±V3y=0: (2)由F(2,0),1的斜率存在且不为0，设1的方程为y=k(x-2), y=k(x-2) 联立x-3y=3,消去y得(-32)2+122x-12-3=0 14/61 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1-3k2≠0 △>0 设 ,由题意得x+x2= -12k2 -32>0, A(x,y),B(x2,y2） x32= -12k2-3>0 1-3k2 -12k2 x+为=1-3k } -12k2-31 X1x2= 1-3k2 所以+：=”3+片3--245-2到 3 3 3 -2222 2%x++62-12-+3x12+6-3w)】 +)+ 9 122-3+x12+0-) =0,得证 -12k2 (3)由(2)知A=12k2+12>0恒成立，+5-3， 6k233k2+3 所以圆心到x=3的距离d= 32-122(3k2-' 半径r--M+2产+2_5+) 22 1-3k23k2-1 0 d 设一所对圆心角为，则02， 3(k2+1) 32-13 2(3k2-151+2) 2 MN 0 因为为劣弧，所以00，)则26， 所以0-行，即m所对圆心角的大小为定值等 举一反三 【变式4-1】【解析】试题分析：(1)由题可知：a=11分 :e=C-2,.c=22分 a a2+b2=c2,.b=V3, 15/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 六双曲线C的方程为子-号13分 (2)证明：设直线I的方程为：x=ty+2,另设：P(x,y),Q(x,乃)， 232-9y+120+9=0.4分 x=y+2 -12t 9 %+%=32二%=3-15分 又线o铃方为y小，代入侵3司分 同理直线0的方程为=红+，代入x方中化22】 气(2'2(+7分 -g小两-传小 9 9 9yiy2 9 94y2 :派派=4+4+5+切）44o+30+)4*4%+30+%)+9 9 、9 9× 312-1 42+x+9 99=0, 44 9分 MF,⊥NE, (3)当直线的方程为x=2时，解得P(2,3), 易知t时AM,P为等腰直角三角形，共中∠AP=∠PA=年， 即∠AEP=2∠PA,也即：=210分 下证：∠A,P=2∠PA5对直线I存在斜率的情形也成立， 2×当 m2∠P4=-m PAF,1-k1-生 2tam∠P45-2k24 名+1 24(为+1) (x+1)- +1 ,11分 -答=1→=-)， tan2∠PA5= 2%(x+1) -2y(x+)片 (:+°-3(x-1）-2(x+10(x-2)x-2,12分 16/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :am∠A,P=-k5=-》2=an2ZPAC13分 x-2 :结合正切两数在@引（行上的图像可如：∠A你P-22P414分 考点：考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系， 点评：解本题的关键是把直线方程与双曲线方程联立，利用设而不求的思想解题，注意探索性问题的解题 步骤. 【典例5】【解析】(1)由双曲线T的方程得ad=4,b=5,得a=2,b=V5, 则c2=a2+b2=9,即c=3. 故F(-3,0):5(B0),渐近线方程为y=±x=±5 b x. a (2)存在过点B的直线I与T的左、右两支分别交于A,B两点，使得∠FAB=∠FBA. 易知直线I不与x轴重合.（当直线I与x轴重合时，A,B为双曲线的左右顶点，∠AB=元，∠FBA=0, 不满足题意) 设A(x,乃)，B(,),AB的中点M(x,). 由∠EAB=∠FBA得△FAB为等腰三角形， 则FA=FB,FM⊥AB, 即FM⊥ME,k5wkM=-l, 即3点1，+g-9@ 〔足_左=1② 45 因为点A,B在T上，所以 左_五=1③ 45 国-雨楼-及吃受 则wkw-各，即名” no.%=5 所以46=5x6-15x.④ x+好=9 联立①04%=5买-15x'消去，得3x-5x,-12=0 17/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 解得=3或x=3(舍)， 当x=时，=士6⑤， 3 3 3 由koM·kMB= 得m=tV6硕 5 13 所以直线，的方程为y=士v65 13(x-3). A 【变式5-1】【解析】(1)因为椭圆C的长轴长为4，左焦点为F(-1,0), 所以2a=4c=1所以直线为x=-4 =-4， 设Ax,),则Vc+)2+y=x+4,化简得：y2=6x+15, 所以动点A的轨迹方程为y2=6x+15: x2,y2 (2)(0由(1)可知a=2,c=1,b2=d-c2=3,所以椭圆方程为4+3 =1, 设A(x%),P(飞，y),(x2,), 5+%=1, 测切线A的方程为宁+罗=1，切线40的方程为受+罗 因为A既在AP上，又在AQ上， +oy=1 43 所以 玉+业=1 ,所以直线 43 PO 的方程为+少=1 43 43 联立 ，消去得 号+学=1xB+4)2-24w+36-9%=0 43 18/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36-9x 所以为+ 24y 3+443+4, 消去y得(3x+46)x2-24xox+48-16=0, 24x0 48-16y 所以x+33+43+4, +2，s+l 平分∠PFQ台 FP,F⑨ 与一共线” 2+252+25与(+共线 1 FA FPFOFA 台(2xx2+5x+x)+8,xy2+xy+4y+2》与(x+1,)共线 台[2xx2+5:+x2)+8]y%=[xy2+x,+4y+2)1x,+1)①， 下面证明①式成立： 2x5+5(5+5)+8=244+5x+ 3x6+4y ②， Xy2+x2+4(y+y)= 12-3x边+x 4y% 12-3x+4%+y2) 4y% _12(6+）-65+40y+)= 24(x+4) 4yo 3x+4③， 将②③代入①得 245+5x+4-24%6+(+) 3x+4 3x+4y6 台4+5x,+x号=(+4)(0+1)， 由于上式显然成立，于是①式成立，故FA平分∠PF: os∠PF0- FP·F0_(x+l,片)(x32+l,2) (i) FP FO 2+2+ 614-2y-x6+4x） =5+(s+)++1 3x+4 6(x+4)21 43+(G+x)+4 1 12(6+x号+2x+1 12(x+4) 2 3x+4y 19/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以∠PF0=名为定值。 2π 题型05位置关系类定值 典例精析 【奥制61【g】网C导+若=o6>0的离率为，且过（码） 31 +41 a 2 ,解得 a2=b2+c2 a2=4b2=1 椭圆C的方程为4 +y2=1. (2)四边形OAPB的面积是定值，定值为V3,理由如下： ①当直线AB的斜率不存在时，此时A,B两点关于x轴对称； O D B ,四边形OAPB为平行四边形，∴OA+OB=OP； :点P在椭圆C上，∴·点P为椭圆的左右顶点，不符合题意 ②当直线AB的斜率为0时，此时A,B两点关于y轴对称： .四边形OAPB为平行四边形，∴.OA+OB=OP; 20161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点P在椭圆C上，∴点P为椭圆的上下顶点，不符合题意 ③当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=c+m,A(x,片)，B(x2,2) B 联立 +y=1 4 ，整理得 y=kx+m 4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=01 则4=16(4k2-m2+>0,即4k2-m2+1>0: 由韦达定理得+为= 8km 42+1’= 4m2-4 4k2+1 六片+乃=k(G+x)+2m=2m 4k2+1: ,四边形OAPB为平行四边形，∴.OA+OB=OP: 8km 2m 4k2+1'4k2+1 8km 2 2m 2 ·点在椭圆上， 4k2+1 4k2+1 -=1 P 4 1 4=医-}+-了=+x-=+及 8m2 4k2+1 4m-到_+4km 4k2+1 4k2+1 m :原点O到直线B的距离d=+: 六Saww=ABd=4mv42-m2+ 4K2+ =2√4k2+1.2 =2× =5 4k2+1 4k2+1 2 ∴.四边形OAPB的面积为定值V3 (3)定椭圆方程为+4少=1，证明： 设定枯圆的方程为。+导p>49>0 由(2)得，直线AB的方程为y=+m 21/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2,y2 联立 p2q,整理 y=kx+m (pk2+q)x+2p"kmx+p'm2-pq2=0 则4=4pmk2-4(p2k+92)p2m-p'g2）=4p2g2(p2k2-m2+92）： 由(2)得m=+好： &=pg(--小p对[e-+- 直线45定第到相切，4-0：则4p可[-k+行--0，整理得 (e-2+}0, [p2-1=0 g0解 4 p2=1’g2=- 4 x2,y2 定椭圆方程为了+一1 ,即 2+4y2=1 举一反三 【变式6-1】【解析】(1)由题意得，所以2a=2V3,a=V3, 又因为双曲线过点(2，V③)，代入解得b=3, 2=1. 所以双曲线C的方程为3-9 (2)证明：c=+b=25,所以A-5,0,B(3,0）,F25,0) 设l:x=my+2V3, 22161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2 y2 =1, 联立 39 得 x=my+23,(3m2-）y2+123my+27=0 因直线，与支交于两点，故马网 3 设M(6y)小N,)所以y+5=25m. 27 3m-1,h3m2- 做wy5e+-i5e+间。 o-间te间. 所+6-@+3_my+32 xr-3 (my2+3y myy+3y 12V3m 因为+5=3m三1-4W3m yiy2 27 9,所以 3m2-1 4g+5) = 9 9 代入得 +5_45g+⅓)+35 、 2-9%+272=-3, xp3 4N5+h)+V3 3%-9y2 故9所以p点在定商线 2 33y 35y (3)证明：由(2)知yn= 333 m中5+间ma+间，所9艺 x2+V3 35y+3 2my2y2+3V3(y2+2) Yp+yo 2(m+33my2+3V3 2m2y2+3W3m(y+y2)+27 27 +3V5× 123m 3 2m× 3m2-1 3m2-1 2 =3V3m. m2×、27 +3v3m× 12V3m +27 3m2-1 、3m2-1 23161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 533 所以r 的中点G -m 2’2 27yy2 27yy2 又p% 4my+3V3)m2+3W54my2+33m(y+为2)+27 27× 27 3m2-1 27 4, m2 27 123m 3m2-1 +3W3m× +27 L 3m2-1 r.kro= yp =-1 所以 5-255-25 ,即 2 2 FP⊥FQ 所以点F在以PQ为直径的圆上， 3V -m 2 另一方面KGr= -2 =-m,故直线的方向向量为 2 GF (1,-m) 而MN的方程为x-my-2V3=0,故其方向向量为(m,), 因1×m-mxI=0,所以两个方向向量垂直，故GF⊥MN, 所以以PQ为直径的圆与直线I相切于F点， 【变式6-2】【解析】(1)由题意，可得P吧=№，则有N№+QM=Pp+M=PM=6, 所以点9的轨迹为以(-2,0)，(2,0)为焦点，半长轴为3的椭圆， x2,y2 所以轨迹c的方程为)+51， M y=kx+b (2)设直线 1:y=kx+b 立方程组+号-1 5 (5+9k2)x2+18kbx+9b2-45=01 则直线1与C相切当且仅当△=3242b2-45+9k2)(9b2-45)=0 24161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 化简，得b2=5+9k2 ①当直线斜率不存在时，即点P位于点(-8,0)或(4,0)时，易知直线1与C相切： ②当直线的斜率存在时，即点P不位于点（-8,0)和(4,0)时，设P(6c0s8-2,6sin), 3sine 则线段pN的中点坐标为(3cos0,3sin0),直线pN的斜率为3cos0-2, 所以线段p的中垂线1的方程为y-3sin8=3sing”(r-3cosa) 即y=2,3cos0x+3-2cos0 -X+ 3sine sin 因为k= 2-3c0s0 3sin0 所以5+9k2=5+9 2-3cos02 5+4-12cos6+9c0s20_9-12c0s0+4eos203-2c0s02 3sine sin20 sin20 sine 即5+9k2=b2.故直线1与C相切，得证. (3)当P位于点（-2,6)时， 易得直线w的方程为y=+3,直线。的方程为= x+3 3 y= 设 联立方程组 2t+3 得 K(xg,y) (x+2)}2+y2=36 13x2-20x-92=0 所以-2+=3，所以无1 20 46 ( .2 易得 y=3x+3 ny=x+3 联立 +2y+-6期3420m. -x+ 3 13 13 设X(x乃)，过点X作与C相切且异于直线1的切线：y-y=m(x-). 由(2)，得(-mx)2=5+9m,即(x-9）m2-2xym+-5=0, 25/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以号m x2-9· 国%=骆+g方-2428智 209,20 72x-207-4x=12+13, 209.20. =3.-53.13+35-55+36 所以m=2-92_2 +207-915-12x 13+3 5x+36 y-八=15-12x x-x) 联立直线方程 3 y=-号x+3 2 2 3.2x=5x+36(x-x), 代入y=3+3,得2x-5=5-2 -任引 即15-12x3 所以5+6g号0-12x)-[5+36+05-12]小： 解得rs46 13, 所以直线也经过点K,即直线KX与C相切， 设点Y(化，)，过点Y作与C相切且异于直线l的切线，：y-=n(x-), 由(2)，得(%-mm,)}=5+9m2,即(-9）n2-2xn+片-5=0， 所以n-。 -9· 因%听=得+片=2-听-=留智智。 _209,20 209,20 所以n=3-5=3.31B=55+36 135+ 07-915-12x‘ 13 5x2+36(x-x) 联立直线方程 y-y2=15-12x 3 y=- 2+3 26161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 3.2.=5x+36(x-x), 代入⅓-55+3，得25=1512 5x号+36x22. 5x2+36,3 即15-12x3 315-12x+2月 所以5+36号05-12)[5%+36+205-12]小 2 将号=-725+207 13 +智代入得20-6-(7-1) 解得x=6 13 所以直线2也经过点K,即直线KY与C相切， 由(2)知，直线W与C相切： 因为C位于△XKY内部，所以C内切于△XKY. y 【变式63】【解标】（④易知抛物线：点为(？0。 3xP+2 其到直线 的距离为 2 =1, 3x+4y+2=0 V32+42 整理可得3P+2=5 2 14 解得p=2p=-3(舍去)， 故抛物线方程为y2=4x (2)若D(,)在抛物线上，则片=4x, 此时直线px-y+px=0为2x+2x-y=0 联立2+24-y=0和y=4g:整理得号+2-W=0, 故△=-4x=0,即抛物线与直线Pr-y+px=0仅有一个交点， 27161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以直线x+p此-yy=0为抛物线的切线 (3)设A,P),直线ABAC与抛物线y2=4x切于点P(x,y),Q(,乃)，如下图： 则AP:y=2(x+x),A0:y=2(x+x), 又因为A,1)在两直线上，所以AP:t=2+x),A0:=2(+x), 因此Px,),Q(:,)两点满足方程y=2(x+), 于是直线P9的方程为y=2(x+), y2=4x 联立y=2x+)整理可得y-2y+4=0 因此可得y+=21,yy=41, 又易知AB即为AP:y=2(x+x) [x=y 联立y=2(x+x)整理得-2x-2x=0' 由韦达定理可得：二”，即、2 同理=-25 y1,又n=x后，ye=x2, 所以BC:y=为(x-+,-￡K-,+G=k+)x- XB-XC XB-Xc y2=4x 联立y=(区+x)x-,整理可得(x,+xy2-4y-4x,=0 因为=4x,=4x,且+2=22，y2=41 ta-16:16+)-160（克 64xx2x片2x =16- 44 22 28161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =16-4y45+2）-16-20+y）-16-2x41x2=16-16=0: 2 2t2t 3 所以边BC所在直线与抛物线M相切： 题型06向量类定值 典例精析 【典制7】【行】《西设双确线的半面为。由点P2)在双曲线C号若-1，相子存山， 血窝心率为，得-5 9后2，又。+公=c2,联立解得a=2,=lc=N5 所以双曲线C的渐近线方程为y=士2： 2由④)知双面线C:号-产=1，设k,,B6, ①直线oP斜率为)，由直线1过点(2,0)及111OP,得直线，的方程为y=2x-1, 代入双曲线C:x -少=，得2+4杯-8=0 △=16+32=48>0，x+x2=-4,xx2=-8, -K--5*与-45-2店 又点p到，的距离为d=2-25 1+451 aPHB的面积为S=4d=25. ②设N(n,0),当直线l不垂直于y轴时，设l:x=my+2,m≠±2， 29161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 代入双自线C:号少-1，剂-2y广44+2=0： -4m 2 △=16m2-8(m2-2）=8m2+16>0,乃+为-nm-2,ym m2-2’ 因此NANB=(x-n(2-m）+y2=(my+2-n)(my+2-n)+y2 =(m2+1)yy2+m(2-n)(y+2)+(2-n)2 -(+22+2-小w2t2- 三4n-6)m+2+2-m}, m2-2 当议4如-6-即-.a92为多.i丽-名为数 m2-2 当直线1斜率为0时，4(2,0B以-V2,0,对于N(子，0)， 则M丽-5-X5--石 16 所以在，特上衣在定点N0,使得网.丽为定慎G 、7 举一反至 【变式7-1】【解析】(1)由题意， a2+b2=c2 c_v6 a 2 解得02=2，b2=1. x2 :双曲线方程为2少=1， (2)假设存在定点2,0)，使得M·QN为常数， 当直线l的斜率不为0时，可设直线的方程为x=y+1, x2 联立22=1 ，得 x=my+1’(m2-2)y2+2my-1=0 由已知m2-2≠0，且△=4m2+4(m2-2）>0, 30161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得m2≠2且m2>1, 设M(,y),N(,), 2m 1 y+%2m52-m, 六+5=m(以+2)+2=、4 2-m2, =(m+1(m+)=my+m0y+)+1=2m+2 2-m2 ∴⑨MQN=(x-4,y)(x-4)=(x-(x-)+yy -50+动+f-2+0 由已知2-2+7-41 +2-m为常数，与m无关， 7--0:即1=子，此时0mQ- 6 、在轴上存在定点Q 使得gM.QN为常数， 当直线1的斜率为0时，直线1与双曲线的交点坐标为(-V2,0)和(N2,0), 时0w-ow-(5-5-8-216 所以在，辅上存在定点9？0，使得QW.QN为常数 【变式7-2】【解析】(1)由题意得，因为双曲线渐近线方程为y= 2 x, =5→6=5 所以 a2 0, 31161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 169 又点(4,3)在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：。存=1， 169 -=1→a=2 联立两式解得a b=3 x2 y2 所以双曲线的标准方程为：4一3 =1 (2)如图所示， M 点E(-l,O),直线1与双曲线交于M,N两点， 由题意得，设直线I的方程为x=my-1,Q点坐标为（化，0）， （2y=1 联立43 得， x=my-1 (3m2-4)y2-6my-9=0 设M(x,y),N(x2y2), 6m -9 则y+%=3m2-4,%=3m2-4: +3=(m-0+(0my,-)=m0y+y2)-2=6m -2=8 3m2-42-3m2-4 x3=0my-l1m,-)=m2y-m0+,）+1=-2m2-4 3m2-41 2M=(x-4,),QN=(x2-t,y2), 所以2M·QN=(x-0x2-)+y2=xx2-(x+x)+2+y2 =-12m2=4-1,8t,9 3m-41“3m2-43m-4+ -12m-13-8+-463m2-4)-8-29+2 3m2-4 3m2-4 s-4-8+29 3m24+2, 所以若要使得上式为常数，则81+29=0， 32161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即1≈、2 ，此时QMQN=585 64 585 所以存在定点Q(8,0,使得OM,ON为常数 168 a262=1 【变式7-3】【解析】(1)将点 代入双曲线方程xy少，得 91 M(-4,2√2)N(3,-1) a26=1 11 [16u-8v=1 1 令u= v=存，9w-v=l，解得w=v=g,即d=公=8 x2 y2 因此，双曲线c的标准方程881. 公片=1 88 (2)设 ,且两点均在双曲线上，故 A(x,,Bx2,2) 左五=1 88 两式相减得点差公式： G-x+)_-+2-0,即K-xX+5)=0-X0+2） 8 8 又因为AB中点为G(4,2),故x+x=8,+y2=4,代入上式得8(x-x2)=4y-2),即 0y-y2)=2(x-x2) 若x=x2,则y=2,则A,B重合，且AB中点G(4,2),则A,B,G三点重合， 这与直线交C的右支于A,B两点矛盾 所以x≠3，因此直线，斜率k=二上=2 x1-x32 又因为直线I经过G(4,2)点，由点斜式得直线方程y-2=2(x-4),整理得y=2x-6. y=2x-6 联立2-y=8,得3x-24x+44=0判别式A=(-24-4×3×44=48>0, 且+6=8>05西=4 >,所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件。 因此直线1的方程为y=2x-6. 33161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=2x-6 G (3)由双曲线x2-y2=8得c2=a2+2-16,右焦点F(4,0), ①当直线l的斜率存在时，设直线：y=k(x-4),Ax,Bx,),中点G(,o). y=k(x-4) 联立x2-y2=8，整理得0-k)x2+8kx-162+8)=0 8k2 16k2+8 由韦达定理得：+名=2二=2-1， 因此：名=当+芝=42 2k21%=k(x0-4)=2二，， 因为圆以1B为直径，圆心为G·半径r-,所以a8=+名-542+D,-8+ k2-1 (k2-102’ 设P2,乃(2，y),将x=2代入圆G方程x-x}+0-}=r2, 得y2-2%y+(2-x2+-r2=0,故为+y4=2%yy4=(2-)2+-r2, 所以PG0G=(2-x0,y-%)(2-,y4-%)=(2-)+(y-6)(y4-%) =(2-+yy4-%(3+y4)+=2(2-x)}-2, 因为%-些所以2-5=2智， 4k2 (2-)2，代入上式， 所以PG.0G=2 2K2+)7 +y_8+8+-o k2-1 2-2(2-12(k2-12 ②当直线1斜率不存在时，1：x=4,易得P2,2),02,-2),G(4,0), 所以PG·0G=(-2,2)(-2,-2)=4-4=0,仍成立. 综上，PG·OG为定值0. 34161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型07面积类定值 典例精析 【典例8】【解析】(1)当y=1时，x2=4→x=2,故(2，)；尝试y=2,3,对应的x2均不是完全平 方数，当y=4时，x2=49→x=7,故(7,4). 继续试算比较困难，观察B和P的数值关系R→2+V3,乃→7+4W5=(2+V3)2, 推广猜想：如果第n个点对应(2+V3)”,那么第n+1个点应该由第n个点乘以(2+V3)得到， 即x1+y1V5=(x,+yV⑤)(2+V3),展开整理得：x1+y1V5=(2x,+3y)+(xn+2y,)N5, xa+=2x+3yn 根据有理数与无理数部分分别相等，得到递推公式=x,+2y,· 得=2×7+3×4=26，为=7+2×4=15验证成立，故(26,15). 由(x+y3)(x,-y5)=1→x+y5=(2+v5)°，x,-y.3=(2-v3), 联立解得飞=2+B+0-,以-2+5-0-3y 2 23 1 (2)S.on.=y 代入递推可得：nyH-xyn=xn(x,+2yn)-(2xn+3yn)yn =x+2xyn-2xy-3y2=x2-3y2=1, 故Sor=2 （定值). 举一反至 【变式81】【解折】(1)根据题意2a=2”a=1又e-=2,所以c=2则6=e--5: a 35161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以双唐线方梨为2-号1 （②设Mw小剥-号-1，后3 3 1 直线MG的方程为'-%=店-)， 3 由 1 -%=万-) 3 设G点坐标为(xa),则o,X是上述方程的解， 23.5. 3 yo 3 所以x+G= 8 整理得5-5 3 XG=- 4 1 直线Mm的方程为'-=一 x-). x-上=1 3 由 y-%=万x-） ,2+ 3 363=0 设H点坐标为(xH,yH),则oxH是上述方程的解， 23 5 3 %+ 31 所以x+XH=一 整理得 8 x=V5。-5 4 女8，-9雅6 4 4 2 4 又-分-1，即店=3-3 所以-0-+牙=呢- 36161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为x≥1，所以GH≥9-9=27 一44，=1时取等号， 2735 所以GHm=4=2： (3)由(1)得F-2,0),E(2,0),设P(x,), 则m=2”23,化简得3买-片=12 x+2x-2 所以P在双曲线3x2-y2=12上， SnSx-PAPDsin∠APDPCin∠BPC, 直线AB,CD(即，h)相交于点P,则∠APD与LBPC互补（或是对项角） 所以sin∠APD=sin∠BPC,设直线l与l2的夹角是0，则sin∠APD=sin∠BPC=sin0, 所以5.rwS.me-4P4 Pin20。 x=-2+1cosa 直线，过F(-2,0,设直线，的参数方程为y=1sna，其中，为参数，表示点F到对应点的有向距离， 设A,B,P对应参数分别为4，lB,4p, 「x=-2+1cos& 把y=1sina代入双曲线方程3x2-y=3得3-2+1cosw}-sinw}=3' 化简得3cos2a-sin2a)r2-121cosa+9=0, 12cosa 9 所以4，+1n-30osa-$in2a,4h3cosa-sin2a, P,%)在直线1上，4，=5（-2-5+2 cosa cosa' PAPB=k,-ta。-al=(4,-t4),-4=2-(色+1a)+ta 37161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =西+22_+2.12cosa 9 cosa cosa 3cos2a-sin2a 3cos2a-sin2a (xo+2)2(3cos2a-sin2a)-12(xo+2)cos2a+9cos2a cos2 a(3cos2a-sin2a) (xo+2)2(4cos2a-1)-12(xo+2)cos2a+9cos2a cos2a(4cos2a-1) (2x+1)2c0s2a-(x+2)2 cos2 a(4cos2a-1)' 又心%)满足3-听=12：乃=3城-12，亏-4= 3 kan=ya-tand, 七+2 tan2a=,8。=35-12-3。-2) (x+2)}(x+2}2+2, 1 1 cos2 a=- 七+2 +iama1+3。-2习4(-可， 七+2 所以PAP8=2+cos2a-G+2y 2+t 4(x。-1 -(6x+2 cos2a(4cos2a-1) 名+2西+2-0 =3x-1, 4(x。-1)x-1 同理可得PCPD=3x+1, 所以PAPBPCPD=3x。--3x+=96-1, 百线的翻率为2，直线，的斜率为人2：：=3 点-k 4+2-26-4 sin20=tan'o tan20 9 9 3 1 1+tan20 cos20 1*3P 6+93x6-12+9x-1, 所以5rnSm=4PAP9 sin20-49G-小’头 4 x-14 38161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3x+2yx+2y 【变式8-2】【解析】(1)设 则 P(x,y) V3+2 7，同理4，=13x-2y, 所以d+d= 5x+2y+3x-2y_6+8r_48, 7 7 7 x2.y2 即6x2+8y2=48,化简得8+6 十 =1. 即n的方程为写+若-1 (2)由(1)知，a=8,b2=6,所以c2=a2-b2=2,所以椭圆的右焦点F(V2,0, 当直线1斜率存在时，设直线方程为y=(x-V2), 1,k2 代入椭圆方程可得 8+6月 22+k10 3+ √2k2 ) 安 ,中点 ,则+=，出喝= 1,k2, Ax,y),B(x2,2) G(x,y) 8+6 8+6 于是，x=+龙=4V2k 2=3+4k,代入直线方程。 32k 3+4k2: x4,即k=3 两式相除，得上=3， y,代入x 4V2k2 3+4依中，可得3x2+4y2-32x=0: 当直线斜率不存在时，直线为x=V2,由椭圆的对称性知，G点为N2,0), 也满足3x2+4y2-3V2x=0 综上，点G的轨迹方程为3x2+4y2-32x=0. 3)设5，小F,在国C年+号=1上，Mw车n上，即32+4以=24 因为ME的中点在C上， 2 %+当2 所以(2 2=1→3(+5}+4(0%+y}=48” 3 39161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理可得，3(0+x)}+4(以+4)2=48， 又3x+4y=12,3x+4=12, 化简可得3x3+4=6,3x,x4+4yy4=6, 所以直线EF的方程为3xx+4yy=6 所以点y到直线的距离d=BG+-6_ 24-16 18 M EF V9x6+16y哈 V9x话+16听V9x后+16好' +=1 联立43 ，化简得 3xox+4yoy=6 （126+9x)x2-36xx+(36-48)=0 36-486_12-166_3-46 所t口e产0新暖器 61 所以EF=V+k2.V天+x}-4x,x= 23-46) 3 16y+9x 3x6+32y6-24 16+324-46) 3x+32y-(3x+4y) 16y 12 16y V场+18 7-+18%2_21+18 21%1 21y1 6 又9x+16听=3(24-46)+16%=72+4%=4(7+18)， 所以g+18=9G16死，E=9<+16网 2 12 所以S-号原d=5x6+165 18_321 12 V96+164’ 3V21 即。MBF的面积是定值4 40161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B E F F2 G A [b=1 【变式8-3】【解析】(1)由题意得 25-2 解得a=l,双曲线的方程为 a b=1 2-y2=1 (2)(i) MA y=x 如图，联立x-y=1解得M 1,1 联立w=1解得N1）】 y=-x +y0’+% 由于komkow=-l,所以OM⊥ON, √21 所以。的面积S=20M:0=26-为6+为3-1。 (i)法1： 2 41161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 要证明FO平分LOFP,即证∠PF0=2∠QFO, snm0-mp400j-,228 1-(了，即证r=,2光 只需证ks -2kor 1-(ks了， F0小1，帮得%数》 -1-0 2出 -21-2.2-0-2]。 (2-22)(x-1)% 1-(了-1-00-2-(-3-22jg-1)-(6,-明 yo (2-22)% (2-22)% (3-22)(+1)-(-1)(2-22)x+4-2W2-V2 2koF ”1-(化r了，故原命题得证 2:5F(a0小时解得%号a4 o-0小p-kw小0〔-5为月 由于F网=-2°+=-2)+-1=2x-1, 段=网高% FP FO 则s=(-2,%)+-2,0）=(-2)x+)%), 要证明F平分LOFP只需证s与F四共线， -%-+。 即证=后-1，显然成立， ∴FO平分∠OFP. 42161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型08距离类定值 典例精析 【典例9】【解析】(1)由椭圆方程得a=2,b=1, 所以c=V2-b=5. 所以椭圆的离心率e=S-5 a 2 又因为B(2,0),C(0,1) 直线C的方程为+片-1，即x+2y-2=0 (2)000M是定值， 设Pk,w小k>0>0:且尊+元=1，即1后- 4 因为420，如一2，所以直线4P方性为中2+2 2x0-4y+4 x= x,+2%+2 联立方程得 2c+2到解附 4 x+2y-2=0 x+2%+2 所以Q 2x-4y6+4 4y 。+2y+2’x+2。+2 y-1=x-0 因为C(0,) ,则直线CP方程为干0，令y=0得三 所以00= w司点小 00.0m-2x-4%+4×,。=2,-2%+2）=2x-2%+2)-2x(s-2%+2-4 所 x+2%+21-%x-2x%+2-6) 元-2x%+2×等266-2+2列 所以000M是定值，定值为4. (3)设M(m,0),(m>0). 43161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 因为000M=m=4,所以。=m m 点0在直线C上.则产+2%-20，得%=1-2 m m 4+m1-2+0 中点T m 所以 2， OM 所以点T到： 的距离d,= m21 m 1x+2y-1=0 V12+22 25 设垂直于y轴的直线2方程为y=1. 则脑T到班的年孩4-占女 所4-06女}小- 因为m>0:若d4为定值，则21=0，即1= 所以存在垂直于y轴的直线，使得点T到1和，的距离之积为定值，且，的方程为y=2 举一反三 【变式91】【解析】()庙e=2】 a2-b2 1 2，得 =2,即a2=2b2 回肤椭国活到写为茶+若1，年+2-2然， 将直线x+y-V6=0代入椭圆方程得2+2(-x+V6=2b2, 即3x2-4V6x+12-2b2=0, 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以△=0， 即(46-4×3×12-2b2）=0，解得2=2，则d=4, 父+=1 所以椭圆c的标准方程为4+2 44/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)(1)设直线1的斜率存在，其方程为y=c+m(m≠0)，M(:,),N(:,). y=kx+m 联立 +上-1消去得 .42 (1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=01 则△=(4km)-41+2k2)）(2m2-4）>0, 化简得42二m+2>0’+3=1+225=2 4km 1+2k2, 因为OM⊥ON,所以OM·ON=0,即xx+y2=0, 而=(c+m)(a,+m）=k2x+km(x+x)+m2, 代入得（+2)x+km(:+为)+m2=0, ,m40 整理得3m2-4k2-4=0,所以3m=4(k2+）,满足4k2-m2+2>0. 所以点o到直线，的距离d-m V1+k2, d=m-25 3m2 3 4 当直线，的斜泰不布在时设x,代入慌面方程得广=-写引】 则M(6,,N(化，-)，由OM1ON,得2-y2=0, 3 3，仍然成立。 W3 综上，点0到直线的距离为定值 3 (ⅱ)当直线的斜率存在时， 2 由(i)知MN=1+k2V(x+x2)}-4x2=V1+k2 4km -4× 2m2-4 1+2k2 1+2k2 =V1+k2 16m-42m-40+2k】-+e.22.yt2-m (1+2k2）2 1+2k2 45161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △onN的室银s-wd-y2g-9w 4+小=4小则e-"分m..2 3 3 224×"1+2-2u+0 所以w1- 2 3 4u-2 3 2W6Vu+0(2u-）_2W6211 3 2+ u 3 Vu u 2 因为w≥1，所以0<1s1」 所以当。左即u=2-分㎡=2时，满足m0A>0:MN取最大，最大植为，G 11 3 所以△OMN面积的最大值为3 x6=V2 3,叫2g 当直线，的刻率不存在时。由《i)知，M化功N- 3 所以d=23 4v5 ,MN=3, 所以s=MN,d=x25x45_4 -X 23331 因为5，所以AON面积的最大值为，2 2a=V2 【变式9-2】【解析】(1)根据题意， 2, b=1 46161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 所以双曲线C的渐近线方程为y=±。x=士V2x, a (2)设点O到直线MN的距离为d, 当直线oN1x.oN-ou-9N-5。 报据等面积法得Sav-2OMoN号d,解得d 3 当直线ON与x轴不垂直时，设直线ON的方程为y=(显然k≠0)， 则直线OM的方程为y=之，白化y1得 y=kx m+2呢、2 m+k2, 所以OW=1+2 m+k2①， 、J 同理，由二-y=1可求得 ②， 1 (2 MP- 根据等面积法得Sw=2OMoN=2MNd,即OM.ONP=Mwad, oMP-loNP_louP-oNp 11 w-OMP+ON,即oM+oN®. ,12k2-1,m+k23k2-1+m 将①②代入③得产=1+2+1+k2=1+2, 又点O到直线MW的距离为定值， 3_-1+m 所以=1，解得m=4 47161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m=4时，=3，即d= 1 3, 综上所述，m=4时，点O到直线MN的距离为定值. 【变式9-3】【解折】（①）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为有。=m,可得b=5a' .49 又由点r在双曲线c上，有。尔=1， 49 代入6=5a:有立3a=l,可得a=1”b=5: 故双曲线的标准方程为？- 31 (2)如图所示： 设点M的坐标为6，W）则无-号1，即35-店=3 双曲线的两条渐近线4，h的方程分别为V3x-y=0,√3x+y=0, 则点，到两条渐近线的距离分别为d= -y,4+ 2 则d4d,= 3x-WV5x,+_36-_3 2 44 所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 题型09参数类定值 三典例精析 【典例10】【解析】(1)设点E(x,)为C上任意一点，因为圆E过点F(山，0)且与直线1：x=-1相切， 所以EF与点E到直线1的距离相等，故V(x-1+y2=x+1,整理得y2=4x, 48161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即C的方程为y2=4x (2)(①因为点P(,2)是C上的一点，所以22=4，解得=1，即P(,2), 当点P到直线马的距离取得最大值时，有P1上， .1,所以直线的斜率为则直线1的方程为y=-x+ 又kre=1-0 y=-x+1 设A,y),B(,乃)由=4x，得x-6x+1=0所以x+3=6x=1' 所以AB=V1+(-1x-x=V2V(x+3)2-4x2=V2V6-4=8. (i)由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线4的方程为y=:+1(k≠0)，A(x,),B(x,), ,∫y2=4x 由=+1，得k2x+(2k-4)x+1=0 此时△=-16k+16>0即k<1即k<1且k≠0， 2k-4 1 又4+名=，6=京， 则战p的方医为y-2=冬号k-功。 令x=0:得点M的纵坐标为%=2+2=+ +2 x-1x-1 同理得点N的纵坐标为w=在+2 x2-1 由QM=00,0N=00,得2=1-yM,=1-yw. 1+1=1+1=x-1+为-112xx-(x+) 所以元应+（依-）x*-)店k 2,2k-4 1+心=2.即11为定值2 k-11 k2 2μ 49161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三举一反 x2 y 【变式10-1】【解析】(1)由椭圆c:a+存=1a>b>0)的左焦点为F-1,0):得椭圆c的半焦距。=1， 由F到C上任意一点的距离最小值为1，得a-c=1,解得a=2,b=V-2=V3, 2=1. 所以椭圆c的方程为4+3 (2)()由(1)得4(2,0)，直线I的斜率存在，设其方程为y=k(x+),则M(0,月， 由lFA,上3=3引OFL,得S44r=3SM,而△A,AM的面积是△OFA的面积的3倍， 则5w=8w由4在线股W上，得4是线段y的中点，于是4（总. 又点4在椭图c上，则+号1，解得k=士35 1612 3v5 所以直线，的方程为y= x+). 2 水 y=k(x+1) (由3x2+4y-12消去y得(42+3+82x+4k2-12=0' 8k2 4k2-12 设A,XbB,则x+6=4+3 4k2+3 50161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由M=,得，以-=1-，W则2= +1,同理“=-戈 x2+1, 25+x+五。 2.4k2-128x2 因此+4=(，+五)= 4k2+34k2+3-2(-12)=-8 x+1x2+1 xx2+x+x+14k2-128k2 42+342+3+1 -12+3 3, 所以+“为定值 x2 +y2=1 【变式102】【解析】(1)当， 时联立 、·得 a=2b=14=5 x2+y2=33x2-8= 解得x=±26 ∴四个交点坐标分别为 (259)5cs》9 (2)设A(,y),B(x,-y),又知4(-a,0),4(a,0), 则直线44的方程为y=本c+@)0 直线4B的方程为y=兰(-0)② x-a 0得-。 由点A(x,y)在椭圆C。上，故 (3)证明：设(，乃)，由矩形ABCD与矩形A'BCD'的面积相等，得4x=4,故= 因为点4在稀圆上，所以，-亭引=-等) 由4≠6，知￥≠，所以X+号=d.从而+=b 因此+=a+b为定值. e=e-1 a 2 12 【变式10-3】【解析】(1)依题意可得 q?+ h=1, 解得a=2, c2=a2-b2 c=1 b=3 51/61 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以椭圆c的标准方程为4+了] (2)①设A(x,),B(:,), 3x2+4y2-12=0 由y=ka+m ，消去y整理得(4k2+3)x2+8x+4m2-12=0 所以△=(8m)2-4(42+34m2-12)=48(4k2-m+3)>0, 则+名= k2+3,为3=4m2-12 -8km 4k2+3” 又因为直线AB与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过原点O, ∴.OAOB=0,即xx32+y2=0, .xx2+(+m)2+m)=0 .(k2+1)xx2+km(x+x2)+m2=0. 即K2+4m2-12+-8km 4k2+3 +m2=0, 4k2+3 m212 化简得2+7，所以7m-122=12'即7m2-12k为定值12 ②因为o到直线B的距窝- m Vk2+1 又AB=V1+K2x-xl =1+2V(:+x)2-4x -8km 2 44m2-12） =V1+k2 4k2+3 4k2+3 1+k2V192k2-48m2+144_43V1+k2V4k2-m+3 4K2+3 4k2+3 所议5m4-45i+4-m+325a小a-m3 2Vk2+1 4k2+3 4k2+3 又7m-12=12所以42-7m-2 3，则4k2+3=7m2-3 3 7m-3-m2 所以8m23mm+3_25m） 4K2+3 7m2-3 3 52161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6mV4m2-3 7m2-3 因为4=48(4-m2+3>0且42-7m-2≥0， 3 所以m2≥12 , 令，=m,则1 7 所以(54m}-36(4-3) (7t-3)2· 36×4+34u+12-3 令4=7-3≥9y所以.m=7 7 364u2+3u-27 u2 49 u2 +小+ 所以当u=18即1=3，m=±V5时(So厂取得最大值3，所以(S0)=V5, 即△AB0面积的最大值为V5, 1B 题型10定直线问题 三典例精析 【典例11】【解析】(1)由椭圆方程可知：a=2,则4(-2,0)，A,(2,0), 设P》则受+普=1，即呢-4动. xp+2xp-2x2-4x2-4 =-4 53161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 所以直线4P与4，P的斜率之积为定值一4： (2)设直线4P:y=k(x+2),k≠0，令x=4得y=6k,即G(4,6k): 由)可知：ku=则w= 3 4k 可得直线P的方为=-2小.◆4得y=是- 3 m--+2州-6 3 当且仅当6k= 2风，即k=±与时，等号成立， 所以GH的最小值为6. (3)设M(,y),N(x,),直线MN:y= x+m,m≠1' ,8x-4y+1=0 A M 1 y-2x+m 联立方程三+父1消去y =1 43 x2+mx+m2-3=0 因为△=m2-4(m-3)=12-3m>0,解得-2<m<2且m+1, 则+七3=-m,x=m2-3, 可得x+号=(：+x-2x2=(m)-2(m2-3)=-m2+6 则X+%+52mm, 54161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5-经+j++号化+)+m3-9 5--层. 设a4MN外接圆的方程为x+y'+Dx+Ey+F=0'D+E2-4F>0' 圆心为？)， 把点A(-2,0)代入圆的方程得F=2D-4, x++Dx+Ey+2D-4=0 因为点M'N在圆上，则G+巧+D,+,+2D-4=0: 可得（x+号)+(+)+D(:+x)+E(+)+4D-8=0, 即-m+6+3m+2）mD+3”E+4D-8=0,整理可得(m-4D-3”E=)。 2 2 42 且(-)+(-)+D(:-x)+E(出-h)=0, 整理可得（：+五)(：-x)+(以+)y-2)+D(:-x)+E(y-2)=0, Jx-53≠0 因为质为0安安分单%为)小 可得G+x-)++-)+D(-)+)E(-)=0, 即+名++)+D+E=0,'可得m+m+D+号5=0，整理可得m=4D+26 3 入-D受=n公=4-nrD-, 2 解得5=2D-5减=分2D, 当6=号2D时：m4D+26=1,不满足题意： 当E=2D- D E 2时，即4D+2E+1=0:则点22在定直线8x-4y+1=0上， 所以△4MN的外心在定直线8x-4y+1=0上： 综上所述：△AMN的外心在定直线8x-4y+1=0上. 举一反三 55161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式】【解折1(a因为椭胸C:子+号=a>60)的拒为25-以2G-2N5,即。=万， 因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，所以2a=4,解得a=2, 所以b=Va2-c2=1, x2 则椭圆c的标准方程为4+y=1. (2)法一：因为点P1,0),过点P的动直线1， 所以设直线的方程为x=my+1(当直线I的斜率不存在时，即x=1), x 将x=m+1代入椭圆方程4+少=1，得(my+y+4y=4 即(m2+4y2+2my-3=0. 设M(Gy)N,),则男+乃=-2m m2+4,5=- 3 m2+4①. 因为20叭：820)所以直线M的方程为y=产2c+2), 直线N的方程为y=产2-2)， 联立解得交点0的横坐标0=2怎-2引-2头5+2) (x2-2)-2(x+2) ② 将=网+1与=，：代入2得为么别+6® y+32 当+五=2m 电①得23，即m=3出+% 25④ 将@代入③中，得6=m2+61-6+%）2%+=4 y+3y2 y+3y2 所以点Q的横坐标为4，即点在定直线x=4上. 法二：设直线I的方程为x=my+1(当直线I的斜率不存在时，即x=1), x2 将x=m+1代入椭圆方程4+少=1，得(m+y+4y2=4 即(m2+4)y2+2my-3=0.设M(x,y),N(x,), 则X+g=m24y=m4可的网6+y)D 2m 56161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由42082,0)符直线Aw的方程为”本2+2习. 直线N的小程%产2-2.联2+2)产2〔-2@， 消去x,x2并整理得4myy=(x+2)4+3(x-2)乃2. 将①代入等式左边，得6%+6y=(x+2)y+3(x-2)y. x+2=6 比较y”乃，系数，得3(x-2)=6,解得x=4 所以点Q的横坐标为4，即点Q在定直线x=4上. 法三（仿射变换)：作变换x'=x,y=2y, 则挺四手+y-1变为风+y=4 点A(-2,0),B(2,0),P(1,0)保持不变. 过P的直线I变为过P的直线'，与圆交于MW”, 由圆的几何性质（相交弦定理或相似三角形）可知（同法二）， 直线AM与BN'的交点Q的横坐标恒为4. 变换回原坐标，横坐标不变，则点Q的横坐标为4， 即点Q在定直线x=4上. D B 【变式112】【解析】(A)设P化)，由题得(-2y+=x-, t-小r--或.整少，号- 4 所以，的方程为仁-少+ 4 31 (2）(i)由题得M050=x2=3. 当的斜率为0时，可取A(-1,0),B(3,0)或A(3,0),B(-1,0). 57161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则AOBO=1x3=3=MOFO,符合题意，此时r的方程为y=0: 当1'的斜率不为0时，设'：x=my,A(x,),B(x,2), 3(x-102+4y2=12 联立 x=my ，得(3m2+4y-6my-9=0 6m 9 则△=36(4m2+4)>0,片+%=3m+4:%=3m2+4 1A0=v+界=vm2+1l,B0=V+号=Vm+1, 所以A0B0=(m2+-3m+4 -3,甲m+3=3m+4不成立 综上，1'的方程为y=0 (ⅱ)假设点N在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与x轴垂直. 由题可知1'的斜率不为0，且直线BN:y=2, 3 3 直线： 3,联立x= 2y 2y2 3 y x=- AM y=2 3 得x= 3m% 2%2 2男3网5+0) y 2 my+2y+y）3%39n4+36m -3m2+423m2+4-3=-3, y 所以点N在定直线x=-3上」 【变式11-3】【解析】(1)因为44=2a=4,所以a=2, 因为c的离心率为5，所以匠-：4办1 a=2=2,解得2=3 质以C的方为子+号-1 (2) 58161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H 设直线4P的方程为y=k(x+2),令x=4,得G(4,6k), 设点P(,)小其中52则呢=3-3空 4 3 +2x24X44 3 所以kp=一4k: 所以直线么P的方程为少(-2)。 所似(） -（62品26刚2-6 当且仅当网-2时等号成立。 故GH的最小值是6. (3) 证明：设M(飞，，N(飞，)，直线MN的方程为y=2x+m(m≠)， (y-3xtm 2 联立 1 431 x2+mx+m2-3=0 所以△=12-3m2>0,-2<m<2,且￥+x2=-m,xx2=m2-3, 59161 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 片+为=2(：+)+2m= m 2 -+j发++受+m- 4 设△4MN的外接圆方程为x2+y2+Dx+y+F=0, 把点4(-2,0)代入圆的方程得F=2D-4, 因为点M,N在圆上，所以+片+Dx++2D-4=0①，号++Dx,+,+2D-4=0②， ①+②得(+号)+(+)+D(:+x)+E(以+)+4D-8=0, 其中x+号=(+x)2-2x2=(-m)2-2(m2-3)=-m2+6, 片+-6+-2-侵a到.a+到， 2 4 63m+2-mD+30E+4D-8=0, 所以-m2+6 4 2 a-40-&=g 42 ①-②得（x-x)+(-)+D(:-x)+E(y-)=0, ,-=1 易得x-x≠0，且无-为2： 上式两边同时除以x-x得+5++)+D+)E=0, 2 袋理得-m+m+D+=0,即m=4D+2E 3 2 代入m-n-6=-写得=40-2D+(D-, 2 42 所以E=2D-分，威E=2D, 当B-2D时，m=4D+2B=不满足题意， 2 所以E=2D,即4D+2E+1=0 D.-E 即点-2,2正在定直线8x-4y+1=0上， 所以△AMN的外心恒在定直线8x-4y+1=0上. 60161 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 61/61