专题04 双曲线几何性质（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题04双曲线几何性质 常考题型·精准突破 题型1 双曲线的焦点、焦距 题型2 共焦点的双曲线标准方程 题型3 双曲线的对称性 题型4 双曲线的实轴、虚轴 题型5 由实轴、虚轴求双曲线标准方程 题型6 双曲线的渐近线 题型7 共渐近线的双曲线标准方程 题型8 双曲线的离心率 题型9 共离心率的双曲线的标准方程 题型10 离心率的取值范围 题型11 双曲线的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型1 双曲线的焦点、焦距 【例1】（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，得， 焦点在轴上，所以焦点坐标为.故选：A 【变式1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为双曲线的焦点在轴， 又椭圆与双曲线有共同的焦点，所以，所以.故选：B. 【变式2】（25-26高三下·河北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，.所以，.所以. 【变式3】（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线可知，其渐近线方程为， 由题意可知，，所以，则，解得， 所以双曲线C的焦距为．故选：D． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又 且,由基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立，又，所以, 化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即, 解得,综上所述，. 【变式5】（25-26高二上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【答案】 【解析】由题知双曲线的焦点在轴上， 设半焦距为，由双曲线性质得：， 因为椭圆与双曲线焦点相同，故椭圆的焦点也在轴上，即， 由椭圆的性质得：，所以，即，由，解得：. 【变式6】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆和双曲线共焦点；则的值为______． 【答案】7 【解析】由题意，椭圆的焦点在轴，所以，解得． 【变式7】（25-26高二上·四川自贡·期末）双曲线的一个焦点为，则______. 【答案】1 【解析】因双曲线的一个焦点为，则有，解得. 【变式8】（25-26高二下·贵州·阶段检测）若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为，则，得， 则，故该双曲线的焦距为. 【变式9】（25-26高二上·全国·课后作业）设A、B、C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则焦距为______. 【答案】 【解析】设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在RtABF中，OF为斜边AB上的中线， 即有， 令，，， 由双曲线的定义有，，所以. 在RtEAC中，，代入，化简可得. 又得，. 在RtEAF中，，即，所以. 题型2 共焦点的双曲线标准方程 【例2】（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）与椭圆焦点相同且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线的方程为 椭圆的焦点坐标为双曲线中的，① 双曲线过点，② ③解①②③得，，双曲线的方程为．故选：A 【变式1】（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【答案】B 【解析】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3， 又双曲线C：=1的离心率为，所以，即a=2，所以b=， 故所求的双曲线方程为=1.故选：B. 【变式2】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【解析】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 【变式3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 【答案】 【解析】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 【变式4】（25-26高二·全国·课后作业）与双曲线有相同焦点且过点的双曲线的方程为___________. 【答案】/ 【解析】依题意，设所求双曲线为. 又两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立得. 故所求双曲线方程为. 题型3 双曲线的对称性 【例3】（25-26高二上·福建厦门·期中）为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点为， 由双曲线的对称性可知，， 则 ．故选：C. 【变式1】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 【答案】C 【解析】因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、，所以只有选项C正确，故选：C 【变式2】（25-26高三上·河北保定·期末）为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为， 依题意可得，则，即双曲线的方程为. 因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.故选：D. 【变式3】（2026·江西抚州·模拟预测）已知双曲线C：的左焦点为为左支上一点，与关于原点对称，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即，与关于原点对称， ∴，又且，即∴， 在Rt△中，，则， ∴，故双曲线的渐近线为. 故选：B 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】设， 由题意及对称性可得， 则，即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是.    【变式5】（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 【答案】1 【解析】由题知其焦点均在轴上，又因为焦点相同，即， 因为四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，利用椭圆以及双曲线对称性可知四个交点均在直线上， 不妨设第一象限的公共点为，则有且， 消去得，即，解得， 【变式6】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 【答案】6 【解析】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 题型4 双曲线的实轴、虚轴 【例4】（26-27高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 其一条渐近线方程为，可得， 而，所以可得，则双曲线的实轴长为. 【变式1】（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】 由题可知该双曲线中，解得， 又双曲线的一条渐近线为，因此，又，得，所以实轴长为. 【变式2】（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【解析】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上，又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 【变式3】（2026·浙江温州·二模）双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】双曲线，对应，所以，所以实轴长为. 【变式4】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【解析】双曲线，则，所以双曲线的虚轴长为.故选：C 【变式5】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）若双曲线C：的焦距长为10，则该双曲线的虚轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由双曲线方程得，焦距长，得， 根据关系，，所以，.故选：D. 【变式6】（25-26高三上·河南·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的虚轴长与焦距之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为， 由题知，，于是，则. 故选：A. 【变式7】（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为__________. 【答案】 【解析】由题意知该双曲线与双曲线有公共渐近线， 故设该双曲线方程为，代入，得，解得 所以，故该双曲线的实轴长， 题型5 由实轴、虚轴求双曲线标准方程 【例5】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可设双曲线的方程为， 由题意，，故，故双曲线的方程为，故选：A 【变式1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为.故选：A 【变式2】（25-26高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得，∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得，∴的方程为． 综上，的方程为或．故选：C． 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或．故选：B． 【变式4】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为.故选：A. 【变式5】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【解析】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得，所以双曲线的标准方程为. 题型6 双曲线的渐近线 【例6】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为.故选：B 【变式1】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：A. 【变式2】（25-26高三上·江西·开学考试）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，所以双曲线的标准方程为， 双曲线的渐近线方程为，即.故选：D． 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）双曲线的虚轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线的虚轴长为2，焦距为4， 所以，即，所以，即 因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为.故选：C 题型7 共渐近线的双曲线标准方程 【例7】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则，即. 因为双曲线焦距为，所以.又，所以， 解得，.故双曲线方程为. 【变式1】（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 【变式2】（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为， 又双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线方程为，化为标准方程为. 【变式3】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以，所以双曲线为. 【变式4】（2026·辽宁鞍山·一模）与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意有的渐近线为，因为的渐近线为，故A错误； 由的渐近线为，故B错误，由的渐近线为，故C正确； 由的渐近线为，故D错误，故选：C. 【变式5】（2026·江苏淮安·模拟预测）双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的方程为，， 代入点，则，则方程为，即.故选：B. 【变式6】（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得.故双曲线的方程为. 【变式7】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________. 【答案】 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程， 因为双曲线过点，所以，即，则该双曲线的标准方程为. 【变式8】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【解析】设双曲线方程为，将点代入得，得， 故双曲线方程为. 【变式9】（25-26高二上·北京·阶段检测）请写出一个焦点在轴，且以为渐近线方程的双曲线的标准方程____________. 【答案】（只要满足就行） 【解析】设双曲线的标准方程为，， 由题意可知，，满足条件的一组解为， 所以满足条件的一个双曲线的标准方程为. 【变式10】（25-26高三·全国·一轮复习）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程. 【答案】 【解析】设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为， 因为在所求双曲线上，将其代入，得，则， 则得，化成标准方程为. 故所求双曲线方程为. 题型8 双曲线的离心率 【例8】（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年高三年级十一月月考数学试卷）已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线 的渐近线方程为 . 由得 ，又，所以离心率. 【变式1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意，设，，， 则，则，则. 【变式2】（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，，则，则该双曲线的离心率为. 【变式3】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 【变式4】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以， 因为，，所以， 因为，所以，所以. 【变式5】（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设双曲线的左右焦点为，满足，第一象限渐近线方程为， 因为在轴上，则， 又是正三角形，，而三点共线， 故，是的中点， 在中，，由余弦定理，故， 设，则，解得，即，故， 则，故，． 【变式6】（2026·云南昆明·模拟预测）若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】由双曲线的一个焦点坐标为， 得，且，解得， 所以双曲线的离心率. 【变式7】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】设，则， 由双曲线定义可得，即， 所以，，又，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得， 故离心率． 题型9 共离心率的双曲线的标准方程 【例9】（25-26高二上·安徽宣城·阶段检测）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 【变式1】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的焦点坐标为. 可设双曲线方程为：，， 则， 所以所求双曲线方程为.故选：A 【变式2】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为.故选：D. 【变式3】（25-26高三上·福建·开学考试）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，，解得，， 所以，故该双曲线方程为．故选：A. 【变式4】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即， 因为的离心率是2，所以，即， 所以，故双曲线的标准方程为.故选A 【变式5】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的焦点为， 依题意设双曲线方程为， 又双曲线的离心率，所以，解得， 所以双曲线方程为.故选：C 【变式6】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 【答案】 【解析】由题设知椭圆中，则，则焦点为， 所以双曲线中c=1，且焦点在x轴上， 又离心率，解得，故， 所以双曲线的方程为. 题型10 离心率的取值范围 【例10】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 【变式1】（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（）， 由共轭双曲线的定义，其共轭双曲线的标准方程为， 对，半焦距，离心率，故； 对，半焦距，离心率，故； 则， 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 因此， 又，故， 即的最小值为2. 【变式2】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有，从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. 【变式3】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 【变式4】（25-26高二下·湖北·期中）设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，且， ，， 所以. 【变式5】（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，， 又，则， 则，则， 在中，，故， ，则， 综上，双曲线的离心率的取值范围为. 【变式6】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率，即. 【变式7】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 题型11 双曲线的实际应用 【例11】（25-26高二下·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 【变式1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意画出轴截面如下图所示：    设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为.故选：A 【变式2】（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则.故选：C. 【变式3】（25-26高二上·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【解析】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东，故选：A. 【变式4】（25-26高二下·浙江·阶段检测）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【解析】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米.故选：D 【变式5】（25-26高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. 由题意可知，设，则， 设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为， 所以，所以方程可化简为， 将和的坐标代入式可得，解得， 则笔筒最细处的直径为.故选：C. 【变式6】（25-26高二上·云南文山·期末）年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为__________；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心__________cm. 【答案】 【解析】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为， 即可得，因此离心率为； 设双曲线的方程为，将代入计算可得，解得； 所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm. 【变式7】（2026·辽宁大连·二模）青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】由题意作出轴截面如图：以花瓶最细处横截面圆的直径为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 设双曲线的方程为：， 花瓶最细处横截面圆直径为，设B为花瓶上瓶口轴截面上的点， 则由已知可得是双曲线上的点，且, 故,解得，故 故， 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由双曲线方程，可知，，即，， 又因为双曲线的渐近线， 所以，解得，所以，则， 所以双曲线的离心率，故A正确. 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线：的右焦点为，渐近线为， 则点到直线的距离为． 点到直线的距离为． 所以到的两条渐近线的距离之和为. 3．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意解得，， 所以双曲线的渐近线方程为． 4．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以，故. 所以渐近线方程为. 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为双曲线C的一条渐近线方程为，所以， 所以离心率. 6．（2026·福建泉州·模拟预测）双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，所以，所以， 所以双曲线方程为. 7．（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）已知圆锥曲线和均经过点，则的焦点与的渐近线之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，所以的焦点为. 由，所以的渐近线方程为. 所以的焦点与的渐近线之间的距离为. 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 9．（2026高三上·全国·专题练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 可得，所以点在线段的垂直平分线上， 设是的中点，则直线的斜率为，即直线的方程为， 联立方程，解得； 联立方程，解得； 不妨设，，则， 代入直线的方程可得， 且，整理可得，进而可得， 即，可得， 所以该双曲线的离心率. 10．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 11．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，， 所以. 在中，由余弦定理可得， 化简得，所以， 则，等号成立时， 则，则的最小值为. 故选：B 12．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知双曲线：与双曲线：互为共轭双曲线，设它们的离心率分别为和，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为，且，则，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：A 13．（多选）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【答案】ACD 【解析】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 14．（多选）（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交于，两点，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】AC 【解析】 由双曲线方程：可知，，，则渐近线方程，选项A正确； 双曲线离心率公式，选项B错误； 将代入双曲线方程：可得，，即，则，，的面积为，选项C正确； ，故的周长为，选项D错误. 15．（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【解析】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 16．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）双曲线的渐近线方程是______. 【答案】 【解析】将双曲线方程化为标准形式： ， 可知该双曲线焦点在轴上，其中实半轴长，虚半轴长， 则焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为 . 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线是双曲线的一条渐近线，则______． 【答案】3 【解析】双曲线的渐近线方程为， 又，所以. 18．（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【答案】 【解析】直线中，令，得， 所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以． 因为双曲线为等轴双曲线，即，所以， 即，故等轴双曲线方程为． 19．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】3 【解析】令，，解得，故， 因为，所以， 又因为，解得， 所以双曲线的离心率为. 20．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． 【解】（1）椭圆的焦点坐标为，，所以． 设双曲线方程为． 因为，所以． 所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）知双曲线的渐近线方程为，即. 21．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04双曲线几何性质 常考题型·精准突破 题型1 双曲线的焦点、焦距 题型2 共焦点的双曲线标准方程 题型3 双曲线的对称性 题型4 双曲线的实轴、虚轴 题型5 由实轴、虚轴求双曲线标准方程 题型6 双曲线的渐近线 题型7 共渐近线的双曲线标准方程 题型8 双曲线的离心率 题型9 共离心率的双曲线的标准方程 题型10 离心率的取值范围 题型11 双曲线的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型1 双曲线的焦点、焦距 【例1】（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26高三下·河北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【变式6】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆和双曲线共焦点；则的值为______． 【变式7】（25-26高二上·四川自贡·期末）双曲线的一个焦点为，则______. 【变式8】（25-26高二下·贵州·阶段检测）若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 【变式9】（25-26高二上·全国·课后作业）设A、B、C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则焦距为______. 题型2 共焦点的双曲线标准方程 【例2】（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）与椭圆焦点相同且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【变式2】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为_____． 【变式3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 【变式4】（25-26高二·全国·课后作业）与双曲线有相同焦点且过点的双曲线的方程为____. 题型3 双曲线的对称性 【例3】（25-26高二上·福建厦门·期中）为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【变式1】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 【变式2】（25-26高三上·河北保定·期末）为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江西抚州·模拟预测）已知双曲线C：的左焦点为为左支上一点，与关于原点对称，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【变式5】（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 【变式6】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 题型4 双曲线的实轴、虚轴 【例4】（26-27高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式1】（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【变式3】（2026·浙江温州·二模）双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【变式5】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）若双曲线C：的焦距长为10，则该双曲线的虚轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6】（25-26高三上·河南·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的虚轴长与焦距之比为（    ） A． B． C． D． 【变式7】（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为__________. 题型5 由实轴、虚轴求双曲线标准方程 【例5】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 题型6 双曲线的渐近线 【例6】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·江西·开学考试）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）双曲线的虚轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型7 共渐近线的双曲线标准方程 【例7】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·辽宁鞍山·一模）与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·江苏淮安·模拟预测）双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【变式7】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________. 【变式8】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【变式9】（25-26高二上·北京·阶段检测）请写出一个焦点在轴，且以为渐近线方程的双曲线的标准方程____________. 【变式10】（25-26高三·全国·一轮复习）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程. 题型8 双曲线的离心率 【例8】（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年高三年级十一月月考数学试卷）已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．2 【变式6】（2026·云南昆明·模拟预测）若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 【变式7】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 题型9 共离心率的双曲线的标准方程 【例9】（25-26高二上·安徽宣城·阶段检测）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·福建·开学考试）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 题型10 离心率的取值范围 【例10】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·湖北·期中）设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为__________． 【变式7】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 题型11 双曲线的实际应用 【例11】（25-26高二下·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【变式2】（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【变式4】（25-26高二下·浙江·阶段检测）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【变式5】（25-26高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（25-26高二上·云南文山·期末）年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为__________；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心__________cm. 【变式7】（2026·辽宁大连·二模）青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为___________. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．（2026·福建泉州·模拟预测）双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）已知圆锥曲线和均经过点，则的焦点与的渐近线之间的距离为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 9．（2026高三上·全国·专题练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 12．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知双曲线：与双曲线：互为共轭双曲线，设它们的离心率分别为和，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 13．（多选）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 14．（多选）（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交于，两点，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的面积为 D．的周长为 15．（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 16．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）双曲线的渐近线方程是______. 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线是双曲线的一条渐近线，则______． 18．（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 19．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 20．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． 21．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $