专题04 双曲线专项训练（10大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题04 双曲线十大题型突破 【题型 1:双曲线标准方程与渐近线(基础必考)】 【题型 2:双曲线定义的应用(焦点距离)】 【题型 3:离心率求值(小题压轴高频)】 【题型 4:离心率取值范围(填空压轴)】 【题型 5:焦点三角形(多选题必考)】 【题型6:渐近线综合性质(多选热门)】 【题型 7:点差法(中点弦问题，双曲线特有陷阱)】 【题型 8:直线与双曲线位置关系(联立判别式)】 【题型 9:斜率和/斜率积定值(解答大题高频)】 【题型 10:弦长、面积最值(圆锥曲线大题收尾问)】 1.双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． （3）焦点：两个定点F1，F2. （4）焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 2.双曲线两种标准方程及几何性质的比较 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段，长：2a； 虚轴：线段，长：2b. 渐近线 离心率 e＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.双曲线方程的其他形式 （1）双曲线的一般方程：方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号.此时称方程Ax2＋By2＝C为双曲线的一般方程. （2）共焦点的双曲线系方程 ①与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). ②与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). 4.渐近线 （1）定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，常写成的形式. （2）三个定值 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数； ②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为； ③过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形的面积为. 5.离心率 （1）定义：定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以. （2）几何意义：几何意义：离心率是通过影响渐近线的斜率，来影响双曲线的“张口”大小的.因为，所以在的情况下，越大，渐近线的斜率就越大，双曲线的“张口”就越大；越小，渐近线的斜率就越小，双曲线的“张口”就越小. 6.通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径.通径的长度为：. 7.等轴双曲线与共轭双曲线 （1）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线有如下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长相等，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线互为共轭双曲线.例如，双曲线和是一对共轭双曲线.共轭双曲线有如下性质： ①共轭双曲线有相同的焦距和渐近线； ②共轭双曲线的离心率的倒数的平方和为1. 知识点二、双曲线的焦点三角形 如图，是双曲线上任意一点，，为双曲线的两个焦点， 我们把点到焦点的距离称为焦半径；当点不在同一条直线上时，它们构成一个三角形，即为焦点三角形，即. 设，则有以下常用关系式： （1）； （2）； （3）； （4）. 知识点三、双曲线焦半径 1．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式： , 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. 【解题大招】 1.定义优先:看到焦点距离，优先使用区分左支、右支，符号不能混淆。 2.焦点三角形:多选高频公式，配合余弦定理使用。（） 3.离心率:求值:几何条件转化为a,c齐次等式;求范围:抓住|PF| >c-a、角度限 制;牢记e >1。 4.直线与双曲线:联立三步检査:①二次项系数≠0;②判别式;③直线斜率≠渐近线斜率(广西阅卷重点扣分点) 5.点差法:中点弦算出结果一定要验证存在性，双曲线会出现伪中点，椭圆没有这个坑。 6.定值定点大题:韦达定理整体代换，不要单独求x1,x2，简化计算。 【题型1 双曲线标准方程与渐近线(基础必考)】 【例1】．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 【变式1-1】已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质求解即可. 【详解】因为双曲线的，，所以，. 又因为双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 【变式1-2】若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线中，则渐近线方程为， 已知直线是该双曲线的一条渐近线，则，解得． 【题型2 双曲线定义的应用(焦点距离)】 【例2】已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 【变式2-1】已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 【变式2-2】双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 【答案】9 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由双曲线，可知：， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在左支上，所以. 故答案为：9. 【题型3 离心率求值(小题压轴高频)】 【例3】已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率公式及的关系，可得的值，代入渐近线方程，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 【变式3-1】若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用双曲线离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，解得：，即; 故选：B 【变式3-2】与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定椭圆焦点的位置即坐标，设双曲线方程为，根据条件确定的值可得双曲线的方程. 【详解】椭圆的焦点坐标为. 可设双曲线方程为：，， 则 ， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 【题型4 离心率取值范围(填空压轴)】 【例4】若双曲线的离心率为3，则___________ 【答案】 【分析】分若焦点在轴、轴上两种情况，求出的范围，结合离心率的定义求解. 【详解】若焦点在轴上，则，，得， 则，得，满足题意； 若焦点在轴上，则，，无解， 则. 故答案为： 【变式4-1】设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可 【详解】因为表示双曲线的方程， 所以有，因此， 因为， 所以由 ， 即k的取值范围为， 故答案为：. 【变式4-2】已知双曲线C：的右焦点为F，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则C的离心率为________． 【答案】 【分析】根据垂直渐近线得到直线的方程为，然后分别于渐近线方程联立得到点，的坐标，最后根据列方程求离心率即可. 【详解】 设， 渐近线方程为，则直线的方程为， 联立得，则  ， 联立得，则， 因为，所以，即，整理得， 所以的离心率为. 故答案为：. 【题型5 焦点三角形(多选题必考)】 【例5】已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 【变式5-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 【变式5-2】已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 【题型6 渐近线综合性质(多选热门)】 【例6】（多选）已知双曲线的标准方程为，则（   ） A．其实轴长为2 B．其离心率为 C．其渐近线方程为 D．其焦点到渐近线的距离为 【答案】AD 【分析】根据双曲线的几何性质逐项判断. 【详解】双曲线的标准方程，则, 所以实轴长为2，A正确； 离心率为，B错误； 渐近线方程为，C错误； 一个焦点为，其到一条渐近线的距离为，D正确. 故选：AD 【变式6-1】（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的有（    ） A．的面积为1 B．到双曲线的一条渐近线的距离为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．以为直径的圆的方程为 【答案】AC 【分析】由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，由求出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项 【详解】对于A，由双曲线，可得，则， 设，则， 所以，得， 因为点在双曲线上，所以，解得， 所以的面积为，所以A正确； 对于BC，由得，所以双曲线的渐近线方程为，到一条渐近线的距离为，所以B错误，C正确； 对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为，所以D错误， 故选：AC 【变式6-2】（多选）已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为5 【答案】AB 【分析】由双曲线方程得，根据双曲线的定义可判断A；由离心率公式可判断B；求出渐近线方程可判断C；根据点到直线的距离公式可判断D． 【详解】对于A，由双曲线方程得，， ∵点P在双曲线的右支上，∴，故A正确； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，渐近线方程为，故C错误； 对于D，渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，故D错误．. 故选：AB． 【题型7 点差法(中点弦问题，双曲线特有陷阱)】 【例7】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，实轴长为2.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则 实轴长为2.，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）解法一：由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且， ， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 解法二：由（1）知，双曲线的方程为 设，， 则，化简得， 由为的中点，得， 则， 所以直线的方程为，经过点，所以，经验证此时直线与双曲线有两个交点， 所以直线的方程为. 【变式7-1】已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，倾斜角为. 【分析】（1）根据虚轴长得出，再结合渐近线方程计算求解； （2）应用双曲线定义结合是的右支上一点得出结合计算求值； （3）假定存在，利用中点弦问题列式求解并验证即得. 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式7-2】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由如下： 假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【详解】（1）设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. （2）略 【题型8 直线与双曲线位置关系(联立判别式】 【例8】 已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【变式8-1】已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，即可求出离心率范围. 【详解】双曲线的右焦点为， 因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率， 即，所以离心率. 故选：B 【变式8-2】已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立双曲线与直线的方程，利用列式求解即可. 【详解】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得. 故选：B. 【题型9 斜率和/斜率积定值(解答大题高频)】 【例9】已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 【答案】(1) (2)定点，定值1 【分析】（1）根据题意，利用点到直线的距离公式，求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程； （2）法一、假设存在点满足条件，当直线方程为时，求得；再设直线，联立方程组，由，得到，且和，求得，结合，求得的值，得到答案； 法二：设，联立方程组，得到，且和，求得，结合，求得的值；当轴时，求得的坐标，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：由原点到直线的距离， 因为以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切，所以， 又因为双曲线的焦距为4，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）解：法一：假设存在点满足条件， ①当直线方程为时，则， 所以； ②当直线方程不是时，可设直线， 联立方程组，整理得， 由，即，可得， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 法二：当直线不垂直轴时，设， 联立方程组，整理得， 由，可得， 设，可得， 则 ， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 当直线轴时，，联立方程组，解得， 可得，且， 所以； 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 【变式9-1】已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【答案】(1)； (2)证明：由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及斜率的坐标表示列式计算得证. 【详解】（1）双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）略 【变式9-2】已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. (1)求双曲线C标准方程； (2)已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，其值为. 【分析】（1）利用焦距为6可求，双曲线的方程可设为，将代入求解可得，即可求出曲线的轨迹方程. （2）设，计算，利用在椭圆上化简可得定值. 【详解】（1）由题意可得出：，则， 所以双曲线的方程可设为，因为经过点， 所以，化简可得：， 解得：或（舍去）， 所以双曲线C标准方程为：. （2），设， 因为在双曲线上，所以，则， 则. 所以为定值，其值为. 【题型10 弦长、面积最值(圆锥曲线大题收尾问)】 】 【例10】已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设 ，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 【变式10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得，再利用及求解即可； （2）设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可. 【详解】（1）方法1：根据题意，得，解得，所以双曲线C的标准方程为； 方法2：根据题意知， ，则，     双曲线C的标准方程为； （2）由题知直线斜率不为0，设过的直线为，     因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得（舍），     则直线MN的方程为.    【变式10-2】已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用双曲线的标准方程和几何性质结合已知条件求出相应的，进而求出双曲线方程； （2）根据直线和双曲线的位置关系，利用韦达定理结合已知条件构造方程求出直线斜率，进而得出直线方程． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 又 为双曲线的右焦点，轴，则， ， ， 双曲线的方程为：． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 直线的方程为， 原点到直线的距离， 联立， 得，直线与双曲线有两个交点， 且， ，且， 设，由韦达定理得，， ， 的面积为， ，即，，解得或（舍去）， ， 直线的方程为或． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线十大题型突破 【题型 1:双曲线标准方程与渐近线(基础必考)】 【题型 2:双曲线定义的应用(焦点距离)】 【题型 3:离心率求值(小题压轴高频)】 【题型 4:离心率取值范围(填空压轴)】 【题型 5:焦点三角形(多选题必考)】 【题型6:渐近线综合性质(多选热门)】 【题型 7:点差法(中点弦问题，双曲线特有陷阱)】 【题型 8:直线与双曲线位置关系(联立判别式)】 【题型 9:斜率和/斜率积定值(解答大题高频)】 【题型 10:弦长、面积最值(圆锥曲线大题收尾问)】 1.双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． （3）焦点：两个定点F1，F2. （4）焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 2.双曲线两种标准方程及几何性质的比较 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段，长：2a； 虚轴：线段，长：2b. 渐近线 离心率 e＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.双曲线方程的其他形式 （1）双曲线的一般方程：方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号.此时称方程Ax2＋By2＝C为双曲线的一般方程. （2）共焦点的双曲线系方程 ①与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). ②与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). 4.渐近线 （1）定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，常写成的形式. （2）三个定值 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数； ②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为； ③过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形的面积为. 5.离心率 （1）定义：定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以. （2）几何意义：几何意义：离心率是通过影响渐近线的斜率，来影响双曲线的“张口”大小的.因为，所以在的情况下，越大，渐近线的斜率就越大，双曲线的“张口”就越大；越小，渐近线的斜率就越小，双曲线的“张口”就越小. 6.通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径.通径的长度为：. 7.等轴双曲线与共轭双曲线 （1）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线有如下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长相等，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线互为共轭双曲线.例如，双曲线和是一对共轭双曲线.共轭双曲线有如下性质： ①共轭双曲线有相同的焦距和渐近线； ②共轭双曲线的离心率的倒数的平方和为1. 知识点二、双曲线的焦点三角形 如图，是双曲线上任意一点，，为双曲线的两个焦点， 我们把点到焦点的距离称为焦半径；当点不在同一条直线上时，它们构成一个三角形，即为焦点三角形，即. 设，则有以下常用关系式： （1）； （2）； （3）； （4）. 知识点三、双曲线焦半径 1．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式： , 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. 【解题大招】 1.定义优先:看到焦点距离，优先使用区分左支、右支，符号不能混淆。 2.焦点三角形:多选高频公式，配合余弦定理使用。（） 3.离心率:求值:几何条件转化为a,c齐次等式;求范围:抓住|PF| >c-a、角度限 制;牢记e >1。 4.直线与双曲线:联立三步检査:①二次项系数≠0;②判别式;③直线斜率≠渐近线斜率(广西阅卷重点扣分点) 5.点差法:中点弦算出结果一定要验证存在性，双曲线会出现伪中点，椭圆没有这个坑。 6.定值定点大题:韦达定理整体代换，不要单独求x1,x2，简化计算。 【题型1 双曲线标准方程与渐近线(基础必考)】 【例1】．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【题型2 双曲线定义的应用(焦点距离)】 【例2】已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【变式2-1】已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【变式2-2】双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 【题型3 离心率求值(小题压轴高频)】 【例3】已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【变式3-2】与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 离心率取值范围(填空压轴)】 【例4】若双曲线的离心率为3，则___________ 【变式4-1】设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________ 【变式4-2】已知双曲线C：的右焦点为F，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则C的离心率为________． 【题型5 焦点三角形(多选题必考)】 【例5】已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【变式5-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【变式5-2】已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【题型6 渐近线综合性质(多选热门)】 【例6】（多选）已知双曲线的标准方程为，则（   ） A．其实轴长为2 B．其离心率为 C．其渐近线方程为 D．其焦点到渐近线的距离为 【变式6-1】（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的有（    ） A．的面积为1 B．到双曲线的一条渐近线的距离为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．以为直径的圆的方程为 【变式6-2】（多选）已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为5 【题型7 点差法(中点弦问题，双曲线特有陷阱)】 【例7】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，实轴长为2.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【变式7-1】已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【题型8 直线与双曲线位置关系(联立判别式】 【例8】 已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 斜率和/斜率积定值(解答大题高频)】 【例9】已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 【变式9-1】已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【变式9-2】已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. (1)求双曲线C标准方程； (2)已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 【题型10 弦长、面积最值(圆锥曲线大题收尾问)】 】 【例10】已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【变式10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【变式10-2】已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $