专题05 抛物线定义、方程与几何性质（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题05抛物线定义、方程与几何性质 常考题型·精准突破 题型1 抛物线的定义 题型2 由标准方程求焦点坐标及准线方程 题型3 求抛物线的标准方程 题型4 抛物线的实际应用问题 题型5 由抛物线的几何性质求标准方程 题型6 抛物线几何性质的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 抛物线的定义 ( 解题贴士 ： 　 对抛物线定义的理解 （ 1 ）“ 一动三定 ”： 一动点 M ； 一定点 F （ 即焦点 ）， 一定直线 l （ 即准线 ）， 一定值 1 （ 即动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为 1 ）； （ 2 ） 定义中要注意强调定点 F 不在定直线 l 上 . 当直线 l 经过点 F 时 ， 点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线 . ) 【例1】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离，故 . 【变式1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】设抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为，则，由于，故. 【变式2】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则. 【变式3】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为，所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 【变式4】（25-26高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立，则的最小值为. 【变式5】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为______. 【答案】 【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，得，解得. 所以抛物线的方程为，即，其焦点为，准线为. 所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 【变式61】（25-26高二下·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9，所以，解得. 【变式7】（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】对于抛物线，可得，即，因此焦点为， 由抛物线的定义可知，故，其中为点到直线的距离， 由几何性质可知，的最小值为焦点到直线的距离，当且仅当位于向直线所作的垂线段上时取等号，根据点到直线的距离公式，焦点到直线的距离为： 因此的最小值为 ◆题型2 由标准方程求焦点坐标及准线方程 ( 解题贴士 ： 　 求焦点坐标与准线方程时 ， 一般先将所给方程化为标准形式 ， 由方程得到参数 p ， 从而得到焦点坐标与准线方程 . ) 【例2】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 【变式1】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 【变式2】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知是抛物线的焦点，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故，解得． 【变式3】（25-26高二下·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上，所以，所以它的焦点是. 【变式4】（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先将抛物线方程整理为标准形式：，可得，解得，因此焦点坐标为． 【变式5】（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为. 【变式6】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得或， 不妨设，因为，所以， 即，解得，又因为抛物线的焦点坐标为，即. 【变式7】（2026·北京·模拟预测）将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，则抛物线为，化成抛物线的标准式，故准线方程为. 【变式8】（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在抛物线上，则， 即，解得或（舍）， 因为抛物线准线方程为，即，因此，抛物线C的准线方程为. 【变式9】（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程，所以抛物线C的准线方程为． 【变式10】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 【变式11】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】设动点的坐标为，由题意得， 等式两边平方得：化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 【变式12】（26-27高三上·河南·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 【答案】2 【解析】由双曲线，所以， 其焦点为，抛物线的焦点为． 由题意得，两边平方并整理得， 即．因为，所以． 【变式13】（25-26高三下·北京·开学考试）若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为，则___________． 【答案】 【解析】由题可得抛物线是开口向右的抛物线，可得 ， 即，因此准线方程为， 由横坐标为的点到焦点的距离为，可得：，即，解得. ◆题型3 求抛物线的标准方程 ( 解题贴士 ： 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 ) 【例3】（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线过焦点， 所以，所以，所以抛物线方程为． 【变式2】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义结合题意可得，所以抛物线的方程为. 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，，所以抛物线标准方程是．故选：D． 【变式4】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 则，即，所以抛物线的标准方程为.故选：B 【变式5】（2026·广西柳州·二模）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为， 则，即，所以抛物线的标准方程为.故选：C ◆题型4 抛物线的实际应用问题 ( 解题贴士 ： 求解抛物线实际应用题的步骤 ) 【例4】（25-26高三上·北京东城·期末）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m，所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为.故选：B 【变式1】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为6米，深度为1米，那么抛物线的焦点到顶点的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为. 已知接收天线的口径为6米，深度为1米，那么抛物线上一点的坐标为. 代入抛物线方程，得，. 所以抛物线的焦点到抛物线的顶点距离为米.故选：B 【变式2】（25-26高二上·广西钦州·期末）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为．故选：A 【变式3】（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以.故选：A 【变式4】（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 接收天线的口径为，深度为，则抛物线上有一点的坐标为，代入抛物线方程中， 解得，.所以信号接收器与抛物线顶点的距离为.故选：D 【变式5】（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【解析】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上，所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则，所以，所以拱顶到水面的距离是8. ◆题型5 由抛物线的几何性质求标准方程 ( 解题贴士 ： 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 （ 1 ） 代数法 ： 将几何性质转化为坐标表达式 ， 解方程 （ 组 ） 求出未知数 ； （ 2 ） 几何法 ： 将几何性质与抛物线定义相结合 ， 采用几何法求出焦距 ， 从而得到抛物线的标准方程 . ) 【例5】（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【解析】由得：． ，所以或， 因为．． 解得或，∴抛物线方程为或． 【变式1】（25-26高二下·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，得或（舍），则， 则，得，则抛物线的方程为. 【变式2】（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【解析】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 【变式3】（2026·贵州毕节·二模）已知抛物线与过点的直线交于A，B两点，且满足，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意过点的直线一定不平行于轴， 设其方程为，， 联立方程组 代入整理得：， 则， 因为，即，所以，即， 得，解得，所以. 【变式4】（26-27高二上·全国·课后作业）抛物线的顶点是椭圆的中心，准线过椭圆的左顶点，且垂直于坐标轴，则其标准方程为______． 【答案】 【解析】椭圆方程化为标准形式为， 则其中心为原点，左顶点为， 故抛物线的顶点为原点，准线为． 由题意可设抛物线的标准方程为，可得，故． 因此，所求抛物线的标准方程为． 【变式5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若（为坐标原点），则的值为_______． 【答案】1 【解析】设，， 联立，消去整理得， 则，，， 因为，所以，即， 所以，即，解得. 【变式6】抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为___. 【答案】 【解析】依题意可设抛物线的方程为，    则经过焦点且倾斜角为的直线方程为， 设直线交抛物线于，两点， 由消去得， 所以， 由抛物线的定义可得，解得， 所以所求的抛物线方程为， 同理可得当抛物线开口向左时，可求得抛物线方程为， 综上该抛物线的方程为， ◆题型6 抛物线几何性质的应用 ( 解题贴士 ： 利用抛物线的性质可以解决的问题 （ 1 ） 对称性 ： 解决抛物线的内接三角形问题 ； （ 2 ） 焦点、准线 ： 解决与抛物线的定义有关的问题 ； （ 3 ） 范围 ： 解决与抛物线有关的最值问题 ； （ 4 ） 焦点弦 ： 解决焦点弦问题 . ) 【例6】（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：，所以. 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 【变式2】（2026·江苏扬州·三模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】抛物线，焦点，准线方程为， 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离也为5， 即点的横坐标为4，代入可得，因此. 【变式3】（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为点在抛物线上，将其代入,可得， 则，故. 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由抛物线的定义可得，所以. 【变式5】（2026·福建漳州·二模）已知A，B为抛物线上的动点，为AB中点且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设抛物线的准线为，焦点为，则， 过点作于，过点作于，连接，， 设 ，根据抛物线的定义，， 因 是 中点，所以，故, ，得，解得， 当且仅当A，B，F 三点共线时等号成立. 所以的最小值为2. 【变式6】（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【解析】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 【变式7】（多选）（25-26高二上·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 【答案】ABC 【解析】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 【变式8】（多选）（26-27高三上·河北保定·阶段检测）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【答案】AD 【解析】选项 A，抛物线的焦点为，是关于原点的对称点，故，由，且是的中点，得， 因为都在抛物线上，代入抛物线方程得，， 即，，所以，得，由，解得，故 A 正确； 选项 B，由，抛物线方程为，其准线方程为，故 B 错误； 选项 C，由，，因为点B在第一象限，故，即，故， 所以，故 C 错误； 选项 D，如图，延长AF与抛物线交于点C，在F的右侧且在x轴上取一点X， 焦点，，， 可得，说明直线与关于轴对称，所以， 因为，所以，故D 正确. 【变式9】（多选）（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【解析】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 【变式10】（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知点为直线与抛物线的一个交点，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________． 【答案】5 【解析】因为点为直线与抛物线的一个交点， 所以，且，故，解得， 故抛物线C的焦点为，，. 【变式11】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为________． 【答案】2 【解析】设，由抛物线的方程可知， 由抛物线的定义可得，． 【变式12】（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_______________ ． 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 不妨设点位于第一象限，由，得，解得， 故，则有，所以的面积. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·山东·阶段检测）点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得抛物线的焦点为， 由两点间距离公式得距离为，故B正确. 2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设，作垂直于抛物线的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，又因为. 所以，即为等腰三角形，所以在的垂直平分线上.，所以. 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 4．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 5．（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为， 所以原点到准线的距离为：​， 则根据题意最小距离为，可得：. 6．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线：（）的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将抛物线化为标准方程：，所以抛物线的准线方程为：. 7．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为， 过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为， 由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为， 将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得， 解得或， 由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得， 所以点的坐标为， 又因为，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为. 8．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 9．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    10．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 11．（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，当时，曲线，即，其焦点为； 当时，曲线，即，其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以.设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 由，得，所以，所以， 所以.    12．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】设过焦点 的直线为 ，联立抛物线 得 ， 设，由韦达定理得： ， 所以中点纵坐标为 ，即 ； 、两点代入直线可得，， 则两式相加可得， 所以弦长，所以； 又因为，即，代入可得， 化简为 ，解得 . 13．（多选）（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 【答案】BC 【解析】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，因为，由图可知，所以D错误. 14．（多选）（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 【答案】ACD 【解析】由抛物线知，，，所以抛物线准线方程为，故A正确； 若为等腰直角三角形，则或， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾，故B错误； 设，易知直线斜率不为，设直线， 由，可得，， 则 若、、共线，则三点所在直线，则， 所以面积， 当时等号成立，故C正确； 若，则，， 代入，解得或（舍去）， 所以直线，直线恒过，故D正确. 15．（多选）（2026·广东深圳·模拟预测）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，设直线的方程为，， 联立得：，消去得， ， ， ，解得，故A正确； 对于B，由，得， 直线与垂直，故的斜率为，方程为， 代入准线得，即， ， 因此，即，故B正确； 对于C，当时，，结合， 解得， 点坐标为，由两点间距离公式： ，故C错误； 由，得， 由抛物线定义，， ， ， 当时，乘积取得最小值8，因此，故D正确． 16．（2026·广东广州·模拟预测）抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】原抛物线标准形式为：，则，故， 故该抛物线的准线方程为. 17．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是_____． 【答案】 【解析】在抛物线中，，得. 焦点坐标为，焦点在轴上， 根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离为. 18．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【解析】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 19．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，写出满足条件的一个的值，________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】抛物线关于轴对称，正方形有3个顶点在抛物线上， 不妨设正方形顶点与坐标原点重合，顶点关于轴对称， 由正方形边长为2，，得，则点的坐标为，即, 将代入抛物线方程，得，整理得，解得，满足，符合题意. 20．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【答案】14 【解析】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以， ，， 所以， 即该光线经过的路程为. 21．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【解】（1）证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 22．（2026·安徽·模拟预测）设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 【解】（1）证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； （2）由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. 23．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05抛物线定义、方程与几何性质 常考题型·精准突破 题型1 抛物线的定义 题型2 由标准方程求焦点坐标及准线方程 题型3 求抛物线的标准方程 题型4 抛物线的实际应用问题 题型5 由抛物线的几何性质求标准方程 题型6 抛物线几何性质的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 抛物线的定义 ( 解题贴士 ： 　 对抛物线定义的理解 （ 1 ）“ 一动三定 ”： 一动点 M ； 一定点 F （ 即焦点 ）， 一定直线 l （ 即准线 ）， 一定值 1 （ 即动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为 1 ）； （ 2 ） 定义中要注意强调定点 F 不在定直线 l 上 . 当直线 l 经过点 F 时 ， 点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线 . ) 【例1】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4】（25-26高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为______. 【变式61】（25-26高二下·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【变式7】（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． ◆题型2 由标准方程求焦点坐标及准线方程 ( 解题贴士 ： 　 求焦点坐标与准线方程时 ， 一般先将所给方程化为标准形式 ， 由方程得到参数 p ， 从而得到焦点坐标与准线方程 . ) 【例2】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知是抛物线的焦点，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3】（25-26高二下·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式7】（2026·北京·模拟预测）将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式8】（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9】（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式10】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式11】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【变式12】（26-27高三上·河南·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 【变式13】（25-26高三下·北京·开学考试）若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为，则___________． ◆题型3 求抛物线的标准方程 ( 解题贴士 ： 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 ) 【例3】（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·广西柳州·二模）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． ◆题型4 抛物线的实际应用问题 ( 解题贴士 ： 求解抛物线实际应用题的步骤 ) 【例4】（25-26高三上·北京东城·期末）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为6米，深度为1米，那么抛物线的焦点到顶点的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（25-26高二上·广西钦州·期末）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式4】（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. ◆题型5 由抛物线的几何性质求标准方程 ( 解题贴士 ： 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 （ 1 ） 代数法 ： 将几何性质转化为坐标表达式 ， 解方程 （ 组 ） 求出未知数 ； （ 2 ） 几何法 ： 将几何性质与抛物线定义相结合 ， 采用几何法求出焦距 ， 从而得到抛物线的标准方程 . ) 【例5】（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式1】（25-26高二下·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【变式3】（2026·贵州毕节·二模）已知抛物线与过点的直线交于A，B两点，且满足，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27高二上·全国·课后作业）抛物线的顶点是椭圆的中心，准线过椭圆的左顶点，且垂直于坐标轴，则其标准方程为______． 【变式5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若（为坐标原点），则的值为_______． 【变式6】抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为___. ◆题型6 抛物线几何性质的应用 ( 解题贴士 ： 利用抛物线的性质可以解决的问题 （ 1 ） 对称性 ： 解决抛物线的内接三角形问题 ； （ 2 ） 焦点、准线 ： 解决与抛物线的定义有关的问题 ； （ 3 ） 范围 ： 解决与抛物线有关的最值问题 ； （ 4 ） 焦点弦 ： 解决焦点弦问题 . ) 【例6】（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式2】（2026·江苏扬州·三模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 【变式3】（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5】（2026·福建漳州·二模）已知A，B为抛物线上的动点，为AB中点且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6】（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【变式7】（多选）（25-26高二上·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 【变式8】（多选）（26-27高三上·河北保定·阶段检测）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【变式9】（多选）（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【变式10】（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知点为直线与抛物线的一个交点，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________． 【变式11】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为________． 【变式12】（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_______________ ． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·山东·阶段检测）点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 6．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线：（）的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 13．（多选）（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 14．（多选）（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 15．（多选）（2026·广东深圳·模拟预测）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 16．（2026·广东广州·模拟预测）抛物线的准线方程为______． 17．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是_____． 18．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 19．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，写出满足条件的一个的值，________． 20．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 21．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 22．（2026·安徽·模拟预测）设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 23．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $