专题05 立体几何与空间向量新文化及新定义问题七类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以新定义为载体，通过“阅读理解-语言转化-工具运算-结果检验”通法，整合立体几何与空间向量知识，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心框架|四大步骤（定义理解等）+两原则（严格遵循定义等）|从新定义问题共性提炼普适解法| |题型归纳|7题型（曲池等），每题型1典例+3变式|文言文拆解、参数设元等7类题型模版|传统几何模型与新定义融合，从具体到抽象| |压轴挑战|16题（选择/填空/解答）|综合应用通法与题型技巧|高难情境下知识迁移，提升创新意识|

专题05 立体几何与空间向量新文化及新定义问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、九章算术中的“曲池” 题型五、”离散曲率“ 题型二、“达·芬奇方砖”与“阿基米德体” 题型六、向量叉乘 题型三、空间中的”平面方程“ 题型七、其他新定义问题 题型四、”曼哈顿距离“ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 高中数学新定义信息题是高考热点题型，所有题型均围绕阅读理解定义.数学语言转化.常规工具运算.结果检验四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是严格遵循题干给出的全新定义，禁止套用固有认知随意拓展，二是读懂符号规则之后再列式运算，所有算出的答案均需要代入定义复核验证. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、九章算术中的“曲池 典例1 （25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：以古代数学典籍记载的几何体为载体，给出全新名称与体积.面积定义，求解相关几何量 2.方法：拆解文言文题干信息，转化为熟悉的棱台类几何体模型→提取上下底面尺寸.高度等已知条件→代入对应体积公式计算→对照题意检验几何量取值范围 变式1-1（23-24高二上·广东中山·阶段检测）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 变式1-2（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为________. 变式1-3（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，平面，，，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 类型二、“达·芬奇方砖” 典例2 （24-25高二上·浙江绍兴·期中）（多选）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为，则（    ） A．点到直线的距离是 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线到平面的距离是 D．直线与平面所成角的正弦值为 题型模版 1.特征：依托分割正方形图形背景，定义新的几何面积关系式，求解线段长度.面积最值 2.方法：设线段参数建立变量关系→利用平面几何相似.勾股定理搭建等式→转化为函数或者方程求解→检验参数符合图形边长约束 变式2-1（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转成图3所示的集合体．若图3中每个正方体的棱长都为1，则（   ） A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C．点到直线的距离为 D．异面直线与所成角的正切值为 变式2-2（24-25高二上·广东珠海·阶段检测）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（   ） A． B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 变式2-3（多选）立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的下列说法中正确的有（   ） A．该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等 B．与所成的角是的棱有18条 C．与平面所成的角 D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 题型三、空间中的”平面方程“ 典例3 （25-26高二上·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为 ．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出空间平面一般方程定义，结合空间向量考察点面位置关系.距离计算 2.方法：读懂平面方程系数几何含义，平面法向量→利用点代入方程判断点是否在平面内→套用点到平面距离公式运算 变式3-1（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为. 利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为且平面α过点，直线l过点A且其一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 变式3-2（24-25高二下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，求平面的方程； (2)求证：是平面的一个法向量； (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 变式3-3（24-25高二上·安徽·期中）（多选）空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的正弦值为 题型四、”曼哈顿距离“ 典例4 （24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为______________. 题型模版 1.特征：定义两点曼哈顿距离（空间拓展），研究轨迹.最值问题 2.方法：根据定义写出距离表达式→借助绝对值几何意义，分类讨论去掉绝对值符号→结合图像或者不等式求解最值.轨迹范围 变式4-1（24-25高三上·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，_____；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_____． 变式4-2（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 变式4-3（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离. (1)已知点，求的值； (2)已知点，点是直线上任意一点，求的最小值； (3)已知在空间直角坐标系中，，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 题型五、”离散曲率“ 典例5 （2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：给出离散曲率全新代数定义，结合数列.坐标点列进行运算求值 2.方法：定位题干离散曲率计算公式→依次代入序列中点坐标逐项运算→寻找递推规律简化运算，规避大量重复计算 变式5-1（24-25高一下·山西运城·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 变式5-2（25-26高一下·山西太原·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示．    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度． 变式5-3（25-26高一下·四川乐山·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的四棱锥，其底面为正方形，且平面，点为棱上的一动点．    (1)如图1，若点为棱上靠近点的一个三等分点，、分别为、的中点，证明：平面； (2)如图2，若四棱锥在点处的离散曲率为且，过、、三点的平面交棱于点，证明：平面平面； (3)若四棱锥在点、、、处的离散曲率和为，点为棱上一动点，求直线与平面所成角的取值范围． 题型六、向量叉乘 典例6 （2024·山东泰安·二模）两个向量和的叉乘写作，叉乘运算结果是一个向量，其模为，方向与这两个向量所在平面垂直.若，，则.如图，已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，分别是，，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知，，为中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间右手直角坐标系. ①求； ②求三棱锥的体积. 题型模版 1.特征：拓展高中向量知识，定义二维/三维向量叉乘运算法则，考察向量面积.垂直判 2.方法：熟记题干叉乘运算规则，不混用向量数量积公式→若，按定义计算→利用叉乘模长求平行四边形面积 变式6-1（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 变式6-2（24-25高二上·辽宁·期中）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 题型七、其他新定义问题 典例7 （24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为．在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与不重合），．则下列结论中正确的是（   ） A．线段长度的取值范围是 B．存在点使得平面 C．存在点使得 D．存在点使得与平面所成角的正弦值为 题型模版 1.特征：题干临时创设全新运算.新集合.新概念，无固定模型，综合函数.数列.几何知识 2.方法：圈画定义中限定条件，划出关键词→先用特殊值理解定义规则→将问题转化为常规高中数学模型求解→最终结果返回原始定义验证 变式7-1（24-25高二上·河北·阶段检测）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 变式7-2《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2） 埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与 (1)求异面直线与成角余弦值； (2)求平面与平面的夹角正弦值； (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 变式7-3在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接．如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，，与圆柱底面相切于A，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线．点线段中点，点在线段上，且．已知圆柱，底面半径为2，. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面?若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由； (3)如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二上·河南·阶段检测）《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形的顶点为“框架点”，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥与，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·阶段检测）图1是中国古代建筑中的斗拱结构，，是互相垂直横梁，是与横梁垂直的立柱，从柱顶上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱.在某古代建筑中（图2），记，，，与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东枣庄·期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东东莞·阶段检测）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（    ） A．若向量，向量，则 B．若向量，向量，则 C．若向量，向量，则当且仅当时， D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为 8．（2025·四川成都·三模）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 9．（24-25高二上·四川宜宾·期中）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ）    A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 三、填空题 10．（23-24高二上·辽宁大连·阶段检测）世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点,法向量为的平面的方程是_________. 11．（23-24高二下·江苏连云港·阶段检测）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_______. 12．（24-25高二下·福建漳州·期末）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，平面为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________.    13．（23-24高二上·四川凉山·期中）空间中的平面可以用代数方程表示：过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成的角的正弦值是__________. 四、解答题 14．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的体积． 15．（25-26高二上·湖北随州·阶段检测）出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan  Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)已知点，，求的值； (2)记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； (3)已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 16．（24-25高三上·江苏泰州·阶段检测）一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交，则称该直线是两条异面直线的公垂线，并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段，公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离． (1)用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义． (2)证明：两条异面直线的公垂线有且仅有一条． (3)在空间直角坐标系中，直线过点，方向向量；直线过点，方向向量，试问：与是否共面？ Ⅰ．若共面， （ⅰ）求与交点的坐标． （ⅱ）已知，记与所确定的平面为，记与所确定的平面为，若，试问：是否确定？若确定，求出的单位方向向量；若不确定，请说明理由． Ⅱ．若异面， （ⅰ）请给出证明． （ⅱ）为与的公垂线，，求与之间的距离． （ⅲ）求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何与空间向量新文化及新定义问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、九章算术中的“曲池” 题型五、”离散曲率“ 题型二、“达·芬奇方砖”与“阿基米德体” 题型六、向量叉乘 题型三、空间中的”平面方程“ 题型七、其他新定义问题 题型四、”曼哈顿距离“ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 高中数学新定义信息题是高考热点题型，所有题型均围绕阅读理解定义.数学语言转化.常规工具运算.结果检验四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是严格遵循题干给出的全新定义，禁止套用固有认知随意拓展，二是读懂符号规则之后再列式运算，所有算出的答案均需要代入定义复核验证. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、九章算术中的“曲池 典例1 （25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型模版 1.特征：以古代数学典籍记载的几何体为载体，给出全新名称与体积.面积定义，求解相关几何量 2.方法：拆解文言文题干信息，转化为熟悉的棱台类几何体模型→提取上下底面尺寸.高度等已知条件→代入对应体积公式计算→对照题意检验几何量取值范围 变式1-1（23-24高二上·广东中山·阶段检测）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：连接，，因为为弧的中点， 则，为正三角形，于是， 因为平面，，则有平面， 又平面，于是， 而，平面， 因此平面，又平面， 所以． (2) 【分析】（1）由为正三角形，证明，再利用线面垂直的性质得，进而利用线面垂直的判定推理平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值即可. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点睛：第一问的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理，并灵活应用； 第二问的关键是建立空间直角坐标系，确保每个点的坐标准确无误的找到，再借助空间向量求解即可. 变式1-2（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 变式1-3（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，平面，，，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 【分析】由题意可求出所在圆的半径为，所在圆的半径为，再以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，继而可得各点坐标，再利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】设所在圆的半径为，则， 则,. 设所在圆的半径为，则， 则,. 因为平面，平面，则, 由题意可以以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示， 则，， 又为的中点,则， 则，,， 设平面的法向量， 则, 令，则，则. 设直线与平面所成角为， 则 . 即直线与平面所成角的正弦值为. 类型二、“达·芬奇方砖” 典例2 （24-25高二上·浙江绍兴·期中）（多选）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为，则（    ） A．点到直线的距离是 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线到平面的距离是 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】易知可将该组合体补全成棱长为的正方体，建立空间直角坐标系，利用坐标法可得空间距离与夹角. 【详解】 如图所示，易知可将该组合体补全成棱长为的正方体， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则，，，， A选项：，则， 所以到直线的距离，A选项正确； B选项：，则异面直线与所成角的余弦值为，B选项错误； C选项：易知直线，且平面，平面， 则平面， 所以直线到平面得距离及为点到平面的距离， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，C选项正确； D选项：易知平面的应该法向量为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为，D选项正确； 故选：ACD. 题型模版 1.特征：依托分割正方形图形背景，定义新的几何面积关系式，求解线段长度.面积最值 2.方法：设线段参数建立变量关系→利用平面几何相似.勾股定理搭建等式→转化为函数或者方程求解→检验参数符合图形边长约束 变式2-1（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转成图3所示的集合体．若图3中每个正方体的棱长都为1，则（   ） A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C．点到直线的距离为 D．异面直线与所成角的正切值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标，A求出相关向量，根据向量的数乘及加减运算计算即可；B计算出，结合二次函数的性质求解即可；C根据向量法求点到直线的距离公式求解即可；D根据向量法求异面直线的夹角即可. 【详解】以为原点，以，为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. A：，，，. ，正确； B：设 ，则，所以. 所以，， 所以. 令 ，则在上单调递减，在上单调递增. 又，， 所以在上的最大值为3，即的最大值为3，错误； C：，， ，，. 所以点到直线的距离为，正确； D：，， 设异面直线与所成角为 . 则， 所以，，正确. 故选：ACD 变式2-2（24-25高二上·广东珠海·阶段检测）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（   ） A． B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】 A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B错误； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误. 故选：C 变式2-3（多选）立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的下列说法中正确的有（   ） A．该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等 B．与所成的角是的棱有18条 C．与平面所成的角 D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 【答案】CD 【分析】将半正多面体补成正方体，考虑外接球的球心，可判断A；由两直线所成角的定义可判断B；由线面角的定义可判断C；建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求出直线与直线所成角的余弦值的取值范围，可判断D． 【详解】设该半正多面体棱长为，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上；将该半正多面体补成正方体，正方体的棱长为2，可得该半正多面体的外接球与原正方体的外接球的球心重合，所以该半正多面体的外接球半径为, 原正方体的外接球的半径，故A错误； 与成的棱有和与面相对的面上的还有和与面相对的面上的共16条，故B错误； 由平面，可得为与平面所成角，由于为等腰直角三角形，所以，故C正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以; 又设， 则. 令则 所以 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.故D正确. 故选：CD. 题型三、空间中的”平面方程“ 典例3 （25-26高二上·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为 ．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得平面方程，然后得出法向量，最后用空间向量线面角公式计算. 【详解】因为点在平面内，所以，解得， 所以平面,由题意得平面的一个法向量为． 因为，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故选：C 题型模版 1.特征：给出空间平面一般方程定义，结合空间向量考察点面位置关系.距离计算 2.方法：读懂平面方程系数几何含义，平面法向量→利用点代入方程判断点是否在平面内→套用点到平面距离公式运算 变式3-1（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为. 利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为且平面α过点，直线l过点A且其一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用材料带入点求出平面方程，结合材料变形待定系数得出其法向量，再利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】将点代入中，得， 方程整理为. 由题意，可得平面α过点，且法向量. 设直线与平面夹角为， 则，∴故直线l与平面α所成角的大小为. 故选：B 变式3-2（24-25高二下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，求平面的方程； (2)求证：是平面的一个法向量； (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离； （3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，由，得， 所以平面的方程为． （2）记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以．     所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． （3）， 设为平面的一个法向量，则令，得， 所以． 因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为，                             设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 变式3-3（24-25高二上·安徽·期中）（多选）空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】对于A，将点代入直线的方程，即可判断；对于B，由题意可得平面的法向量为，平面的法向量为，再根据平面与平面夹角的向量求法，求解后即可判断；对于C，由题意可得平面的法向量，且点在平面内，从可得，再根据点到平面距离的向量求法，求解后即可判断；对于D，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，求解后即可判断. 【详解】解：对于A，将点代入直线的方程， 则有， 所以点在直线上，故正确； 对于B，因为平面的方程，即为， 所以平面的法向量为， 同理，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为，故正确； 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量，且点在平面内， 所以， 设点到平面的距离为， 则，故错误； 对于D，因为平面的方程为，即， 所以平面的法向量； 又因为平面的方程为， 所以平面的法向量； 设直线的方向向量为， 则有， 所以，取， 则有， 又因为平面的方程为 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则，故正确. 故选：ABD. 题型四、”曼哈顿距离“ 典例4 （24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为______________. 【答案】 【分析】设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 故答案为：. 题型模版 1.特征：定义两点曼哈顿距离（空间拓展），研究轨迹.最值问题 2.方法：根据定义写出距离表达式→借助绝对值几何意义，分类讨论去掉绝对值符号→结合图像或者不等式求解最值.轨迹范围 变式4-1（24-25高三上·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，_____；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出向量、的坐标，结合题中定义可求得的值；分析可知在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上，设点，，利用题中定义结合三角函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，则，， 所以． 因为在上底面内（含边界）运动，且， 则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上， 可设，则，，， 所以，， 因为，则，所以． 故答案为：；. 变式4-2（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 【答案】(1)（i）2； （ii）当时，设直线上任意一点， 因此； 当时，设，， 因此； 当时，同理， 所以. (2). 【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；（ii）在直线上取点，按与之一为0分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可. （2）设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】（1）（i），则. （ii）略 （2）设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 【点睛】关键点点睛：充分理解曼哈顿距离的定义，并转化为与之相关联的数学问题求解是关键. 变式4-3（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离. (1)已知点，求的值； (2)已知点，点是直线上任意一点，求的最小值； (3)已知在空间直角坐标系中，，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值即可； （3）不妨将平移到处，利用曼哈顿距离定义求得围成的图形为八面体，即可求解其表面积. 【详解】（1）由题意可得，所以. （2）因为动点为直线上一点，则， 所以， 即 当时，； 当时，； 当时，. 综上，当时，的最小值为2. （3）动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长为的等边三角形， 其表面积为. 证明如下：不妨将平移到处，设， 若，则. 当时，即， 设， 则， 所以四点共面， 所以当时，在边长为的等边三角形内部（含边界）. 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足， 所以满足方程的点， 构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界） 由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 题型五、”离散曲率“ 典例5 （2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得， 解法1：根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； 解法2：利用等体积转换法即可求出； 解法3：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量代入公式即可； （3）如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面ABC，平面ABC，得， 又，AC，平面PAC，则平面PAC， 由平面PAC，得，即， 又，即，解得． 解法1：过点A作于点M，由平面PAC，平面PAC，得， 又平面PCB，则平面PCB， 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长． 在中，，所以，点A到平面PBC的距离为． 解法2：设点到平面的距离为， 则，， 所以，即点到平面的距离为． 解法3：过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，， 设平面PBC的法向量， 则，即，令，则，得， 所以点到平面的距离． （ii）存在．过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得： ， 所以， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 设平面的法向量， 则即 令，则，得 则， 整理得，解得： ， 所以，所以． 题型模版 1.特征：给出离散曲率全新代数定义，结合数列.坐标点列进行运算求值 2.方法：定位题干离散曲率计算公式→依次代入序列中点坐标逐项运算→寻找递推规律简化运算，规避大量重复计算 变式5-1（24-25高一下·山西运城·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； （3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. 变式5-2（25-26高一下·山西太原·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示．    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据离散曲率的定义求解即可. （2）根据线面垂直的判定定理、线面垂直的性质，结合离散曲率的定义求得；根据点到平面距离的定义，结合三角函数求解即可. （3）根据三角函数之间的关系得到关于的方程，求解即可. 【详解】（1）由离散曲率的定义得 ， ， ， ， 所以． （2）因为平面，平面，所以. 又，，，平面，则平面. 又平面，所以，即. 又，即，解得. 过点作于点，    因为平面，平面，所以. 又，，平面，则平面. 因此线段的长即为点到平面的距离. 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）依题意，，，， 则，. 设，则， ， 在中，， 由，得，， 因此， 而，解得， 所以． 变式5-3（25-26高一下·四川乐山·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的四棱锥，其底面为正方形，且平面，点为棱上的一动点．    (1)如图1，若点为棱上靠近点的一个三等分点，、分别为、的中点，证明：平面； (2)如图2，若四棱锥在点处的离散曲率为且，过、、三点的平面交棱于点，证明：平面平面； (3)若四棱锥在点、、、处的离散曲率和为，点为棱上一动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接、，记：， 在正方形中，、分别为、的中点，则， 又平面，平面，平面．     而在正方形中，易知点是中点，从而． 又点为棱上靠近点的一个三等分点，从而． ，从而， 又平面，平面， 平面．    又平面，平面，， 平面平面．     平面，平面      (2)证明：在正方形中，， 平面，平面， ， 平面，平面，， 平面， 又平面， ，即．     四棱锥在点处的离散曲率为， ， 即．     ， 又平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ． ，则点必为中点，即为的中位线， 在等腰直角三角形中，．    又，，则． 又平面，平面，， 平面．     平面， 平面平面    (3) 【分析】（1）根据题意先证出平面与平面平面，再利用面面平行的性质证出线面平行； （2）根据新定义结合忆知条件计算出，再结合等腰直角三角形的性质和已知条件可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （3）用新定义求出角度，结合题意得为直线与平面所成的角，然后在中求解即可. 【详解】（1）略. （2）略. （3）由题意，四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为： . 四棱锥在点、、、处的离散曲率和为， 即：， 四棱锥在点处的离散曲率为：， 平面，平面， 平面，. ， 即：． 不妨令：，从而在中，易知， 过点作，连接，显然平面，在中，为直线与平面所成线面角（记：）， 当点与点重合时，直线与平面所成线面角为． 当点与点不重合时， 不妨设，从而在中， 由余弦定理得：，则． 由，知，即：，则， 在中，． ， 令，则，， 当时，，从而，则． 综上所述：直线与平面所成线面角．    题型六、向量叉乘 典例6 （2024·山东泰安·二模）两个向量和的叉乘写作，叉乘运算结果是一个向量，其模为，方向与这两个向量所在平面垂直.若，，则.如图，已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，分别是，，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知，，为中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间右手直角坐标系. ①求； ②求三棱锥的体积. 【答案】(1) 证明：在中，，分别为，中点 在中，，分别为，中点 平面，平面 平面 连，， , 四边形为平行四边形 , 四边形为平行四边形 平面，平面 故平面 平面，平面，且 平面平面 (2)①；② 【分析】（1）根据中点关系可得线线平行，即可证明平面，平面，进而根据面面平行的判定求证， （2）根据长度关系，利用勾股定理可得平面，进而建立空间直角坐标系，利用法向量求解点面距，即可根据锥体体积公式求解. 【详解】（1）略 （2），， ，， 又，， ，平面，， 平面 又平面，平面平面 ，为中点 又平面平面 平面 以的方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的空间右手直角坐标系， 则，，， ， ， 法一：是平面的法向量 法二：设是平面的法向量，则 ，即 取，则， 到平面的距离 三棱锥的体积 题型模版 1.特征：拓展高中向量知识，定义二维/三维向量叉乘运算法则，考察向量面积.垂直判 2.方法：熟记题干叉乘运算规则，不混用向量数量积公式→若，按定义计算→利用叉乘模长求平行四边形面积 变式6-1（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 【答案】(1)证明如下： 左边由定义可得：， 右边 左边． 故等式得证. (2)，几何意义为以向量构成的平行六面体的体积； (3). 【分析】（1）利用数量积的定义式以及同角三角函数的平方式，结合题意，可得答案； （2）根据叉乘积的定义以及点面距的向量公式，结合平行六面体的体积公式，可得答案； （3）由（2）可得向量运算的几何意义，求得三棱锥的体积，根据图象以及（1）的等式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）略 （2）设，由定义可得底面的面积为：， 又因为同时与垂直的向量，故为底面的法向量， 则平行六面体的体高为：， 所以平行六面体的体积为：， 又因，故点在底面的投影为的重心，易得， 所以． 所以，，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积． （3）如图，设正四面体的棱长为，其中 设，且平面与交于，与交于， 故有，又由（2）可得： ， ， 同理， 由（1）可得：， 所以， ， 所以，即． 变式6-2（24-25高二上·辽宁·期中）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 【答案】(1)证明：因为， 所以 ， 所以. (2)①证明：设，， 则， 所以， ， 所以，， 所以是平面的一个法向量； ②的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直. 【分析】（1）利用空间向量叉乘的坐标表示直接计算即可得证； （2）①利用空间向量数量积的坐标表示证得，，从而得证；②利用空间向量夹角与模的坐标表示证得，结合①中结论即可得解. 【详解】（1）略 （2）①略 ②设，， 则， 所以 ， 而 ， ， 所以， 又， 所以 ， 所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 题型七、其他新定义问题 典例7 （24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为．在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与不重合），．则下列结论中正确的是（   ） A．线段长度的取值范围是 B．存在点使得平面 C．存在点使得 D．存在点使得与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【分析】由题意作出，(为中点)，建立空间坐标系，利用空间得量逐一判断即可. 【详解】取中点，过点在平面内作于， 过点在平面内作于，下面证明点即点. 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，故平面，即， 同理可证平面平面， 则，，依题意，点即点. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间坐标系： 设，则，， 所以， 所以，则， 则，， 对于A，因为， 所以， 又因，则， 所以，故A正确； 对于B，因为， 则平面的一个法向量为， 又因为， 令，解得， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，由于，， 令， 得，因为，此方程无解， 所以不存在点使得，故C错误； 对于D，因为，， 所以， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 设与平面所成角为，因， 则， 令，即，解得，与矛盾， 所以不存在点使得与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：涉及求空间角和距离时，利用空间向量求解，能使问题简单化. 题型模版 1.特征：题干临时创设全新运算.新集合.新概念，无固定模型，综合函数.数列.几何知识 2.方法：圈画定义中限定条件，划出关键词→先用特殊值理解定义规则→将问题转化为常规高中数学模型求解→最终结果返回原始定义验证 变式7-1（24-25高二上·河北·阶段检测）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明：由余弦定理可得： ，且, 所以， 即， 消去，则有： 即； ②. 【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解； （2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明； ②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，平面两两垂直， 所以， 所以球面三角形ABC的面积； （2）①略； ②由题意可知是球的直径，则有, 又， 所以平面， 又因为平面， 所以, 又因为， 所以平面，平面， 所以， 又因为直线与平面所成的角分别为，， 所以， 不妨令， 则，， 又因为,,, 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则 可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以； 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以， 要使取最小值，则取最大值， 因为 令， 则， 所以 当且仅当时等号成立， 则的最大值为， 所以取最小值为. 【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些. 变式7-2《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2） 埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与 (1)求异面直线与成角余弦值； (2)求平面与平面的夹角正弦值； (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)； (2)； (3)表面积为，体积为. 【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果； （2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦值，进而得出结果； （3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 则由题意可得，，，，，，，. 又分别是的中点，所以，. 所以，， 则， 所以异面直线与成角余弦值为. （2）解：由（1）可得，，，，. 设是平面的一个法向量， 则， 即， 令，可得是平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量， 因为 则， 即，取，可得是平面的一个法向量. 则， 所以平面与平面的夹角正弦值为. （3）解：由（1）（2）可得，，，，，，. 所以， 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 又， 所以，即， 所以四边形为菱形. 又，， 所以. 设是平面的一个法向量，则， 即，取， 则是平面的一个法向量. 又，所以点到平面的距离. 所以四棱锥的体积， 四棱锥的体积 因为，，. 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离. 同理可得点到直线的距离. 所以四棱锥的侧面积. 所以埃舍尔体的表面积为，体积为. 变式7-3在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接．如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，，与圆柱底面相切于A，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线．点线段中点，点在线段上，且．已知圆柱，底面半径为2，. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面?若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由； (3)如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)． 【分析】（1）如图，是从原图中抽出的部分图形，取中点，证明，再证明，得，从而可证得线面平行； （2）以为原点，分别以，，所在方向为，，轴的正方向建立如图所示有空间直角坐标系，设，由，求得，即存在； （3）在（2）的坐标系下，将矩形作为参照物，不妨设顺时针旋转，得出各点坐标，设与平面所成的角为，由线面角的向量法求得，利用换元法、基本不等式求得最大值． 【详解】（1）证明：如图，是从原图中抽出的部分图形，取中点， 又是中点，则且，所以是平行四边形， 所以， 又，，所以，又，所以， 所以， 平面，平面，所以平面； （2）以为原点，分别以，，所在方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系．如图， 则，，，，设， 所以，，，若平面． 则，即时，平面． （3）在（2）的坐标系下， 将矩形作为参照物，不妨设顺时针旋转，则，即，，所以，因为轴与平面垂直，则平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，， 则， 若，则； 若，令，， 则 ， 当且仅当即，即时，取得最大值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二上·河南·阶段检测）《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形的顶点为“框架点”，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥与，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，以及平面的法向量和直线的方向向量，利用向量法即可求得结果. 【详解】以O为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，， 则，，． 设平面的法向量为，则，即 令，可得． 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 故选：A. 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 3．（24-25高三·全国·阶段检测）图1是中国古代建筑中的斗拱结构，，是互相垂直横梁，是与横梁垂直的立柱，从柱顶上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱.在某古代建筑中（图2），记，，，与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：利用空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的向量公式可求出结果. 【详解】依题意可知，两两垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系： 设 ， 则，，，，，， 设 ， 则，，，， 则 ， ， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得，得， 所以与平面所成角的正弦值为 ， 与平面所成角的余弦值为， 又已知与平面所成角的余弦值为， 所以 ，得，得， 因为， 所以 . 故选：C 4．（24-25高二上·山东枣庄·期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】因为平面的方程为， 所以平面的法向量可取， 同理平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 则直线l与平面所成角的正弦值为 . 故选：A 5．（23-24高二上·广东东莞·阶段检测）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得. 【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    于是，， 又为的中点，则，，,， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，， 在下底面作， 以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图： 因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得， 则即，即， ，，，， ，， . 所以， 又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（    ） A．若向量，向量，则 B．若向量，向量，则 C．若向量，向量，则当且仅当时， D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为 【答案】BD 【分析】根据题意直接计算进而判断A；通过空间直角坐标系数量积的运算法则计算B；根据题意直接判断C；根据题中的概念判断得到三棱锥是棱长为1的正四面体，再结合二面角定义法求解方法进行求解判断D. 【详解】对于A，若向量， 向量， 则，故A错误； 对于B，若向量，向量， 此时在空间直角坐标系中，故B正确； 对于C，若向量，向量， 当时，，则， 此时，显然不成立，故C错误； 对于D，若向量，向量，向量， 则三棱锥是棱长为1的正四面体，如图所示，取中点，连接， 在等边中，易知，, 则即为二面角的平面角， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：BD 8．（2025·四川成都·三模）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 【答案】AB 【分析】根据题意，设，由向量相等的条件求，可判断AB；利用反证法判断C；根据条件无法判断，，是否线性相关，判断D. 【详解】若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得，取， 所以，A正确； 若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得， 所以，，线性无关，B正确； 假设，，线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则， 因为，，线性无关，则，得， 与假设矛盾，C错误； 对于非零向量，，，若存在实数，使得， 即， 所以， 但不能确定，，是否线性相关，D错误. 故选：AB 9．（24-25高二上·四川宜宾·期中）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ）    A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【答案】ACD 【分析】证明，根据面面平行的判定定理即可判断A；分别取AD、BC中点M、N，连接MN，由，可得平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，证得，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，利用余弦定理判断是否为直角，即可判断B；利用平行直线得出异面直线所成的角，然后利用正三角形可判断C；利用空间向量法求角判断D 【详解】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对；    根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令，    则， 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. 三、填空题 10．（23-24高二上·辽宁大连·阶段检测）世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点,法向量为的平面的方程是_________. 【答案】 【分析】在空间直角坐标系中,若法向量为,且平面过点,那么平面方程为计算可得. 【详解】过点,法向量为的平面的方程为, 即. 故答案为:. 11．（23-24高二下·江苏连云港·阶段检测）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_______. 【答案】 【分析】根据题目信息可得平面的法向量为，再利用两平面的交线与两法向量都垂直可求得直线的方向向量为，即可计算出直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】平面的方程为，所以平面的法向量为， 平面与平面的法向量分别为，， 设直线的方向向量为，则，即，取 设直线与平面所成的角为， 则. 故答案为：. 12．（24-25高二下·福建漳州·期末）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，平面为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________.    【答案】 【分析】由题意可求出所在圆的半径为，所在圆的半径为，再以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，继而可得各点坐标，再利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】 设所在圆的半径为，则， 则,. 设所在圆的半径为，则， 则,. 因为平面，平面，则, 由题意可以以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示，    则，， 又为的中点,则， 则，,， 设平面的法向量， 则, 令，则，则. 设直线与平面所成角为， 则 . 故答案为:. 13．（23-24高二上·四川凉山·期中）空间中的平面可以用代数方程表示：过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成的角的正弦值是__________. 【答案】/ 【分析】利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】联立三个平面方程 得直线与交于点， 由题意可知， 即的一个法向量为， 同理可知的一个法向量分别为：， 设直线的一个方向向量为， 则，取，即， 则直线与平面所成的角的正弦值为. 故答案为： 四、解答题 14．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的体积． 【答案】(1) 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 根据已知得，，，，， ，，，，， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令，则， 因为，所以， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面即可； （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解； （3）利用向量法求出，再由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）略 （2），，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 与平面所成角的正弦值为. （3）因为， ，， 所以， 所以． 15．（25-26高二上·湖北随州·阶段检测）出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan  Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)已知点，，求的值； (2)记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； (3)已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 【答案】(1) (2). (3) 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义直接求解即可； （2）设动点为直线上一点，则.据此，将转化为的函数，利用函数的单调性求得的最小值，即； （3）设，根据曼哈顿距离的定义，求出点动点P围成的几何体形状，进而求得其表面积. 【详解】（1），所以. （2）设动点为直线上一点，则， 所以，即， 当时，单调递增，所以； 当时，单调递增，所以； 当时，单调递减，； 综上，，所以. （3）动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形， 其表面积为. 证明如下：设，因为，所以若，则. 当时，. 设，，，则. 所以， 所以，，，四点共面，所以当时，P在边长为的等边三角形内部（含边界）. 同理，对等边三角形内部任意一点，， 设，则. 所以，所以. 所以满足方程的点P，构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 16．（24-25高三上·江苏泰州·阶段检测）一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交，则称该直线是两条异面直线的公垂线，并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段，公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离． (1)用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义． (2)证明：两条异面直线的公垂线有且仅有一条． (3)在空间直角坐标系中，直线过点，方向向量；直线过点，方向向量，试问：与是否共面？ Ⅰ．若共面， （ⅰ）求与交点的坐标． （ⅱ）已知，记与所确定的平面为，记与所确定的平面为，若，试问：是否确定？若确定，求出的单位方向向量；若不确定，请说明理由． Ⅱ．若异面， （ⅰ）请给出证明． （ⅱ）为与的公垂线，，求与之间的距离． （ⅲ）求． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)异面，（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；（ⅲ） 【分析】（1）根据定义，将两条直线用表示，用且对于任意平面或来表示两条直线异面，一条直线与两条直线垂直，则为共垂线段，垂足之间的距离即为两条异面直线的距离； （2）反证法，假设的另外一条直线也是两条异面直线与的公垂线，从而推出，与共面，与与异面矛盾，从而只有一条； （3）（ⅰ）反证法，假设与共面，在平面内，根据两条直线的方向向量得到平面的法向量，再根据推出矛盾，从而与异面； （ⅱ）找到共垂线段，转化成点到平面的距离，利用点到面的距离公式求解； （ⅲ）利用空间向量坐标运算、垂直的坐标表示求M坐标，进而确定向量坐标. 【详解】（1）设两条直线分别为和，且对于任意平面或． 若，则称为与的公垂线． 线段为与的公垂线段，线段的长度为与之间的距离． （2） （反证法）假设的另外一条直线也是两条异面直线与的公垂线， 不妨设． 平移得到，使得，则且． 记与所决定的平面为． 由于，故，又因为，且，故． 由于，故，又因为，且，故． 又因为，所以，故与共面，与题设矛盾． 所以两条异面直线与的公垂线是唯一的，有且仅有一条． （3） 异面， （ⅰ）证明：（反证法）假设与共面，设面的法向量． 分别平移，使起点分别落在点和点处，则均在面内． 于是且，得即取． 显然在面内，故，得，但， ， 与矛盾，故与异面． （ⅱ）平移得到，使得．设与所确定的平面为． 因为，所以，又因为，所以，即． 故与之间的距离，即线段的长度等于点到面的距离． 因为与异面，所以，又因为，所以． 所以点到面的距离等于点到面的距离． 而点到面的距离， 故与之间的距离为． （ⅲ）因为与异面，所以与平面（记作面）相交，而非在面内． 因此对于起点在点处的，只存在唯一的，使得的终点落在面内．又因为，故． ， 设面的法向量为，由于，故的法向量， 而与均在面内，故，且，即， 所以即取． 因为在面内，所以，得． ， ，故，解得， ． 【点睛】方法点睛：本题中将异面直线之间的距离转化成点到面的距离问题，得到答案. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $