重难专题08 抛物线（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题08 抛物线 常考题型·精准突破 考点一 ：抛物线概定义及应用 题型1 抛物线定义及应用（重） 考点二：抛物线的最值问题 题型1 几何法求抛物线的最值（难） 题型2 坐标法求抛物线最值（高频） 考点三：抛物线的焦点弦问题 题型1 抛物线的焦点弦（高频） 考点四：抛物线的标准方程 题型1 求抛物线的标准方程（难） 考点五：直线与抛物线的位置关系 题型1 直线与双曲线的关系求参或弦长（难） 考点六：抛物线的定点、定值和最值 题型1 抛物线的定点、定值和最值（难、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 抛物线定义及应用 题型1 抛物线定义及应用 1．设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 考点二 抛物线的最值问题 题型1 几何法求抛物线的最值 7．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 11．（多选）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 题型2 坐标法求双曲线的最值 12．已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 13．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 15．（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 16．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 17．已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 考点三 抛物线的焦点弦问题 题型1 抛物线的焦点弦 19．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 20．（多选）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 21．（多选）已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 22．（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 23．（多选）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 24．记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 考点四 抛物线的方程 题型1 求抛物线的标准方程 25．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 26．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 27．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 28．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 29．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 30．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点五 直线与抛物线的位置关系 题型1 直线与抛物线的关系求参或弦长 31．已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 32．已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 33．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 34．若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 35．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 36．（多选）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 37．在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 38．已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 考点六 抛物线的定点、定值和最值 题型1 抛物线的定点、定值和最值 39．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 40．已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 41．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 42．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 43．已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与直线的斜率之积为． (1)求抛物线的方程； (2)为抛物线的焦点，若的面积为，求直线的方程； (3)若直线分别与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 44．已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，，是上的点，点是上异于，，的任意一点，直线与相交于点，直线与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； (3)若是外的一点，满足，过作的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 45．已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与轴负半轴交于点，，与轴分别交于点，，若，则（  ） A． B．1 C． D． 3．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 7．已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 8．设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知抛物线经过点，直线与交于、两点，则（    ） A． B．抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是 C．当时，的面积 D．过点、分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上 10．抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．三角形ABC面积的最小值为3 D．的最小值为 11．已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 三、填空题 12．在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 13．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 四、解答题 14．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 15．已知抛物线． (1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程； (2)动直线与抛物线C交于两点，交直线于点，动点的轨迹过点． （i）求证直线过定点，并求的值； （ii）为抛物线C上异于的不同两点，，直线与直线的交点的坐标为为参数．求四边形面积的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 抛物线 常考题型·精准突破 考点一 ：抛物线概定义及应用 题型1 抛物线定义及应用（重） 考点二：抛物线的最值问题 题型1 几何法求抛物线的最值（难） 题型2 坐标法求抛物线最值（高频） 考点三：抛物线的焦点弦问题 题型1 抛物线的焦点弦（高频） 考点四：抛物线的标准方程 题型1 求抛物线的标准方程（难） 考点五：直线与抛物线的位置关系 题型1 直线与双曲线的关系求参或弦长（难） 考点六：抛物线的定点、定值和最值 题型1 抛物线的定点、定值和最值（难、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 抛物线定义及应用 题型1 抛物线定义及应用 1．设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【详解】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 3．已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义结合中点坐标公式，由中点到轴的距离推导弦长的值. 【详解】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 4．已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可得，结合，可知，根据等腰三角形的性质可得. 【详解】设，作垂直于抛物线的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，又因为. 所以，即为等腰三角形，所以在的垂直平分线上.，所以. 5．已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 6．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，表达出，，从而得到方程，求出，进而得到点到的距离. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 考点二 抛物线的最值问题 题型1 几何法求抛物线的最值 7．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 8．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 9．已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线换成标准式，再分析的几何意义，利用抛物线的定义转化从而转化目标式计算出最小值. 【详解】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立， 则的最小值为. 10．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 11．已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形三边关系可以判断A、C，根据抛物线的定义可以判断B，根据可以判断D. 【详解】A：根据题意可知的坐标为，因为，，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； B：设在准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立，此时，，故B正确； C：因，则，当且仅当共线且顺次排列时等号成立，故C错误； D：由，所以成立，故D正确. 故选：ABD. 题型2 坐标法求双曲线的最值 12．已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 13．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 14．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 15．已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值. 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 16．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 17．已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 【答案】/ 【详解】 设，满足. 因为，， 所以，， 时，所以. 时 ，， 等号当且仅当时取到，所以. 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 考点三 抛物线的焦点弦问题 题型1 抛物线的焦点弦 19．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解. 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点， ∵，由与相似得：， ∵，∴. 20．设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】对于A，联立得到弦长的最小值为，再列方程即可求解；对于B，由得，进而得到，再利用向量证明即可；对于C，由可得，再求得，进而得到即可判断；对于D，由，得，再计算得到的表达式，并求出最值即可判断． 【详解】对于A，，设直线的方程为，， 联立得：，消去得， ， ， ，解得，故A正确； 对于B，由，得， 直线与垂直，故的斜率为，方程为， 代入准线得，即， ， 因此，即，故B正确； 对于C，当时，，结合， 解得， 点坐标为，由两点间距离公式： ，故C错误； 由，得， 由抛物线定义，， ， ， 当时，乘积取得最小值8，因此，故D正确． 21．已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组，整理得到一元二次方程，由韦达定理求得交点坐标的关系，由抛物线的定义和性质，逐一判断各个选项. 【详解】由题意可知，直线一定过焦点， 联立方程组，整理得， 设， 则， 即 当时，，由交点弦长公式可知，A选项正确； ， 则，B选项错误； 直线，则，则，， 因为，，所以，所以，，三点共线，C选项正确； ，所以，D选项错误. 22．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 23．过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【答案】ABD 【分析】本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项. 【详解】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 24．记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【分析】过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，结合向量条件与相似三角形比例关系求得|FB|，再由中点坐标性质和中位线公式计算p. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 考点四 抛物线的方程 题型1 求抛物线的标准方程 25．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【详解】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 26．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 27．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 28．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 29．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 30．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 考点五 直线与抛物线的位置关系 题型1 直线与抛物线的关系求参或弦长 31．已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点，将代入直线方程得， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得， 展开整理，. 设，，由一元二次方程根与系数关系得. 抛物线焦点弦长公式， 代入数值. 32．已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】A 【分析】求在点处的切线方程. 设，利用弦长公式可得，根据切线方程求得，分析可知点到直线的距离，即可得面积最大值. 【详解】设在处的切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 则在点处的切线方程为. 由题意可知：直线的斜率不为0， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，即，可得，， 则，整理可得， 又因为在点，处的切线方程分别为，， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 33．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 34．若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 35．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 【答案】ABC 【分析】根据已知确定焦点和准线，再设直线，联立抛物线方程并应用韦达定理判断A，用抛物线的定义表示弦长判断B，由中点公式及圆心到定直线的距离判断C，设，利用向量垂直关系的坐标表示得到，从而判断D. 【详解】由抛物线方程得， 所以焦点，准线， A：设过焦点的直线方程为，联立抛物线方程， 整理得，由，是交点， 根据韦达定理，正确； B：根据抛物线的焦点弦长公式， 由，，则， 所以， 因为，所以，当且仅当，取得最小值4，正确； C：设中点为，则， 圆的半径， 圆心到准线的距离为， 因为，所以该圆与准线相切，正确； D：设，，， 由得， 而，，则， 所以， 将，代入，得， 所以，可得， 对于任意直线，只要点的纵坐标满足，就能使得，直线的斜率（）， 由于可以取任意非零实数，所以直线的斜率可以是任意非零实数，并不一定为，错误. 36．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 37．在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 【答案】 【详解】因为抛物线，所以焦点，又因为直线倾斜角为，可知直线为. 代入抛物线可知，解得，，因为位于轴上方，所以，. 38．已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】首先求出直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理求出的面积. 【详解】抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为， 所以所在的直线方程为：，联立消去整理得：， 由韦达定理得：，， 点到直线：的距离为：， 所以的面积为：. 考点六 抛物线的定点、定值和最值 题型1 抛物线的定点、定值和最值 39．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【分析】（1）设直线AB方程：，与抛物线的方程联立，根据韦达定理，由垂直的向量表示，可得关于的方程，求解可得的值，从而得到直线所过定点； （2）由（1）可得面积， 根据韦达定理，并结合二次函数的最值求法可得面积的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 40．已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 41．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）略 （ii）略 42．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可. （ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 43．已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与直线的斜率之积为． (1)求抛物线的方程； (2)为抛物线的焦点，若的面积为，求直线的方程； (3)若直线分别与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)证明：直线的方程为：，所以，同理， 所以以为直径的圆的方程为：， 即， 因为，， 所以以为直径的圆的方程为：， ，解得或， 所以以为直径的圆过定点，且定点为与． 【分析】（1）设出直线方程，与抛物线联立，由韦达定理可得两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）根据的面积得到方程，求出，得到直线方程； （3）求出以为直径的圆的方程，得到定点坐标 【详解】（1）显然当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去； 设直线的方程为，与抛物线联立得①， 设，则，因为， 所以， 则，所以抛物线的方程为； （2）因为，方程①转化为，且， 因为， 所以， 因为的面积为，所以，解得， 所以直线的方程为或；    （3）略 44．已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，，是上的点，点是上异于，，的任意一点，直线与相交于点，直线与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； (3)若是外的一点，满足，过作的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)由题设，，设 （）， 所以，即， ，即， 由于直线与相交于点，直线与相交于点，则， 联立，解得，即得， 联立，解得，即得， 所以直线的斜率， 则其方程为，即恒过定点，得证； (3) 【分析】（1）根据已知有，化简整理即可得； （2）设 （），写出直线、直线，并求出它们与、的交点坐标，进而写出直线，即可证； （3）设，结合已知得，设切点，，从而得到，，即为方程的两根，韦达定理得，，进而有、，化简得，令，转化为研究的范围，构造且注意，从而得到范围. 【详解】（1）设圆心，由动圆过点且与直线相切， 所以，平方整理得的方程为． （2）略 （3） 设， 由得，且， 由在抛物线外部，所以​， 所以，则， 综上， 设切点，，而，则， 所以，，故且， 则为方程的两根，其中，则，， 在中，，，则， 所以，则到直线的距离， 所以，同理得， 所以，又，， 所以， 由，则 令，，则 ， 且 ， 由，故，即， 由 ， ， 设且，则 ，且，则，而， 此时 ， 所以，则​， 结合对勾函数的性质有，又时，， 所以，因此取值范围为. 45．已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得； （2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证； （ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以． （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，所以 ，，， 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点． （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，由，得，解得或， 即，或，， 故，又，点到直线MN的距离为， 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线和的焦点分别为、， 由题意得，，即， 由基本不等式，可得， 所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）. 故的最大值为. 2．已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与轴负半轴交于点，，与轴分别交于点，，若，则（  ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设圆的方程为， 且，得 ，根据在抛物线和圆上得 ，进而得到，坐标，结合已知得，，代入解析式求参数值. 【详解】已知抛物线的焦点为 以为圆心的圆的半径为，则圆的方程为， 该圆与轴负半轴交于点，令得 ，故 ， 圆与抛物线交于两点，由对称性可设 ，其中， 由在抛物线和圆上，则，消去化简得，所以， 从而的横坐标为，即 ， 由 得直线的斜率，方程为 ， 令得与轴的交点 ；同理得与轴交于点 ， 所以，已知 ，故 ，即，又 ， 而 代入 得 ，解得（负值舍去）， 由得，所以 ​​ 3．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 4．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，先求切线的斜率，进而得垂线的斜率，再求垂线的方程，进而得点的坐标，利用两点的距离公式得，解出，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，又，所以切线的斜率为， 所以过点的切线垂线的斜率为， 所以垂线的方程为，令，解得， 所以，所以， 所以，即， 解得，解得， 所以，所以. 5．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】结合题意与中垂线性质得到，并且联立方程得到，再结合两点间距离公式建立方程，求出，进而求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，， 若为线段的中垂线，则，而，， 则，而在抛物线上，得到，解得， 得到，解得，则，得到， 而，由两点间距离公式得，解得，故C正确. 6．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 7．已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，，，作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，利用几何关系得，从而得，进而求出点坐标，即可求解. 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 8．设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. 二、多选题 9．已知抛物线经过点，直线与交于、两点，则（    ） A． B．抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是 C．当时，的面积 D．过点、分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上 【答案】AD 【分析】将点代入抛物线的方程，求得，可判定A正确；根据抛物线的定义，结合抛物线的几何性质，可判定B错误；当时，联立方程组，利用韦达定理，求得，结合三角形的面积公式，可判定C错误；分别求得过点和的切线方程，联立方程组，求得交点的横坐标，可判定D正确. 【详解】对于A，因为抛物线经过点，可得， 即，解得，所以A正确； 对于B，由A选项知：抛物线的的方程为， 可得其焦点坐标为，准线方程为， 如图（1）所示，过点作，过点作， 根据抛物线的定义，可得， 所以， 当点和重合时，即三点共线时，取得最小值，所以B错误； 对于C，如图（2）所示，当时，直线， 令，可得，即直线恒过定点， 联立方程组，整理得， 设，可得，且， 可得， 所以的面积，所以C错误； 对于D，如图（3）所示，联立方程组，整理得， 可得，且， 设，不妨设， 当时，由，可得，则，可得， 所以过点的切线方程为，即， 同理可得：过点的切线方程为， 联立方程组，解得，即点在定直线上，所以D正确. 10．抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．三角形ABC面积的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D． 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 选项A：当时，可得，，，故A正确； 选项B：当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B正确； 选项C：设直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去x，化简整理得，设，，则，， 所以， 又点C到直线l的距离， 所以， 当且仅当时，等号成立，三角形面积的最小值为4，故C错误； 选项D：由抛物线的定义得 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 11．已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 三、填空题 12．在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 【答案】②④ 【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得. 【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 故答案为：②④ 13．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以抛物线的方程为.又点在抛物线上，所以， 由得，，即，则， 由焦半径公式可得. 四、解答题 14．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 15．已知抛物线． (1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程； (2)动直线与抛物线C交于两点，交直线于点，动点的轨迹过点． （i）求证直线过定点，并求的值； （ii）为抛物线C上异于的不同两点，，直线与直线的交点的坐标为为参数．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)抛物线C的焦点坐标为，准线方程为． (2)（i）设直线的方程为，，， 由得，则， 所以，解得． 所以直线的方程为，直线过定点． （ii）75 【分析】（2）（i）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立消元后得到韦达定理，根据，将韦达定理整体代入即可求得，代入直线方程可得定点；再根据，结合求得的定点坐标，利用数量积性质列关于的方程求解即可. （2）（ii）先表示直线与直线，根据交点的坐标得到直线过定点；根据，利用分割法表示四边形面积，利用弦长公式表示出后代入到面积公式中再利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）略 （2）（i）证明略 因为交于点，动点的轨迹过点， 所以，解得． （ii）法1：设， 则直线的方程为，直线的方程为， 因为直线与直线的交点，由（i）知， 将坐标代入直线的方程得，整理得， 同理． 将上面两式相乘可得 因，则 所以． 设直线的方程为，由得， 则，解得，所以直线过定点． 同理． 所以，当且仅当时等号成立 所以四边形面积的最小值为75． （ii）法2：设，则直线的方程为， 直线的方程为， 因为直线与直线的交点，由（i）知， 将坐标代入的方程 得， 则 将坐标代入直线的方程得 得， 则 所以 整理得，因，则． 设直线的方程为，由得， 则，解得，所以直线过定点． 同理． 所以，当且仅当时等号成立. 所以四边形面积的最小值为75． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 抛物线 常考题型·精准突破 考点一 抛物线定义及应用 题型1 抛物线定义及应用 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】ABD 6．【答案】C 考点二 抛物线的最值问题 题型1 几何法求抛物线的最值 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】ABD 题型2 坐标法求双曲线的最值 12．【答案】B 13．【答案】A 14．【答案】B 15．【答案】BCD 16．【答案】 17．【答案】/ 18．【答案】 考点三 抛物线的焦点弦问题 题型1 抛物线的焦点弦 19．【答案】D 20．【答案】ABD 21．【答案】AC 22．【答案】BD 23．【答案】ABD 24．【答案】 考点四 抛物线的方程 题型1 求抛物线的标准方程 25．【答案】C 26．【答案】D 27．【答案】D 28．【答案】B 29．【答案】C 30．【答案】C 考点五 直线与抛物线的位置关系 题型1 直线与抛物线的关系求参或弦长 31．【答案】A 32．【答案】A 33．【答案】A 34．【答案】B 35．【答案】ABC 36．【答案】ABC 37．【答案】 38．【答案】4 考点六 抛物线的定点、定值和最值 题型1 抛物线的定点、定值和最值 39．【答案】(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 40．【答案】(1)(2)①2；②直线过定点． 41．【答案】(1) (2)（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 42．【答案】(1)(2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 43．【答案】(1) (2)或 (3)证明：直线的方程为：，所以，同理， 所以以为直径的圆的方程为：， 即， 因为，， 所以以为直径的圆的方程为：， ，解得或， 所以以为直径的圆过定点，且定点为与． 44．【答案】(1) (2)由题设，，设 （）， 所以，即， ，即， 由于直线与相交于点，直线与相交于点，则， 联立，解得，即得， 联立，解得，即得， 所以直线的斜率， 则其方程为，即恒过定点，得证； (3) 45．【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】D 二、多选题 9．【答案】AD 10．【答案】ABD 11．【答案】ABD 三、填空题 12．【答案】②④ 13．【答案】 四、解答题 14．【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 15．【答案】(1)抛物线C的焦点坐标为，准线方程为． (2)（i）设直线的方程为，，， 由得，则， 所以，解得． 所以直线的方程为，直线过定点． （ii）75 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $