精品解析：河北唐山市丰润区2024-2025学年高二第一学期期中考试数学试卷

丰润区2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 3. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 4. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 5. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于 A. B. C. D. 7. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线，，且，则实数__________. 13. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点，且斜率为； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 17. 根据已知条件求解： （1）已知直线和，两点，若直线l上存在点P使得最小，求P点坐标． （2）已知圆，直线．求直线l被圆C截得的弦最短时m的值以及最短弦长． 18. 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面 ． （1）求证：平面； （2）点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰润区2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】易知的斜率为，显然倾斜角为. 故选：C 2. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 3. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 4. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 5. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：,选B. 考点：向量表示 7. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 8. 已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程. 【详解】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 二、多项选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】判断在直线的同一侧，判断A的真假；求直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系判断B的真假；根据两直线垂直，斜率之积等于，求出高的斜率，利用点斜式可求边上的高所在的直线方程，判断C的真假；同理可得线段的中垂线的方程，判断D的真假. 【详解】对A：因为，，所以点在直线的同一侧，所以直线与线段无公共点，故A错误； 对B：因为直线的斜率为：，所以直线的倾斜角大于，故B正确； 对C：因为，所以边的高所在直线的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程可得的边上的高所在直线的方程为，即，故C正确； 对D：因为线段的中点坐标为，所以线段的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误； 故选：BC 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体图形特征证明平面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据五点共圆得到B；根据异面直线所成的角判断C错误；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易得，平面， 因平面，则， 又平面，， 故平面，因平面，故①， 连接，是正方形，， 因平面，平面，则， 因平面，， 故平面，又平面，则②， 因平面，又， 由① ，②可得平面，又平面，故平面平面，故A正确； 对于B：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故B正确； 对于C：取的中点，连接，则， 所以或其补角是异面直线所成的角， 又，则，故C错误； 对于D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与正方体有关的平面位置关系判断，异面直线所成角以及动点轨迹长度有关问题，属于较难题. （1）求异面直线所成的角时，常将其转化为与其中一条平行且与另一条直线相交所成的角，利用解三角形求解； （2）证明面面垂直时，通常由线面垂直证面面垂直； （3）证明多点在一个球面问题时，常设法寻找球心，证其到各点距离相等得到. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线，，且，则实数__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据垂直关系列出关于的方程，由此求解出结果即可. 【详解】因为，所以， 化简可得，解得或， 故答案为：或. 13. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，， 所以， 则直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点，且斜率为； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【小问1详解】 因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. 【小问2详解】 当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明：分别为的中点， 为正方形， ,平面平面， 平面.； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过空间角的向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知平面 建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，，， 设平面的一个法向量为 则，令则， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 根据已知条件求解： （1）已知直线和，两点，若直线l上存在点P使得最小，求P点坐标． （2）已知圆，直线．求直线l被圆C截得的弦最短时m的值以及最短弦长． 【答案】（1） 点坐标为. （2） ，最短弦长为. 【解析】 【小问1详解】 首先判断和在直线的同侧， 作关于直线的对称点，则，，的中点在上， 所以 ，解得， 根据两点之间线段最短，当为直线与直线的交点时，最小，直线的方程为， 联立方程： 解得. 【小问2详解】 将直线的方程整理为，可得直线恒过定点，判断得在圆内部， 圆心，半径，当直线垂直于时，弦长最短，，故直线的斜率为，即，解得. 此时圆心到直线的距离，由弦长公式得最短弦长为. 18. 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面 ． （1）求证：平面； （2）点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：若分别为中点，连接， 由，，则 为直角梯形，且为中位线， 所以，且， 由，则，又，可得， 面面 ，面，面面， 则面 ，面 ，故，则， 由面 ，则，又，均在面内， 所以面，面，可得， 所以，故，即， 由，则，而均在面内， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面 ，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论； （2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系， 所以， 令且，则， 则，，， 若是面的一个法向量，则， 令 ，则， 由题意， 整理得，故，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两个定点，满足的点，得到关系式化简即可得出曲线Γ的方程； （2）根据条件，用表示出面积，再利用基本不等式，即可求出结果. 【小问1详解】 由题设知，两边化简得， 所以点的轨迹的方程为 【小问2详解】 由题意知直线的斜率一定存在，设，即， 因为原点到直线的距离，， 所以，当且仅当时，取得等号， 又当时，由，得到，解得， 所以直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $