专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（       ） A. 若与共线，与共线，则与共线 B. 若存在实数、，使得，则、、共面 C. 若是空间的一个基底，且，则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】 利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】 当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以 ，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 2．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知，若不能构成空间的一个基底，则（       ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】 若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即 ， 解得 ， 故选：. 3．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）化简：（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】 . 故选：A 4．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知和的夹角为，且，则（       ） A.  B.  C. 3 D. 9 【答案】C 【分析】 根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 故选：C 5．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）在四面体中，是的重心.记，，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，由空间向量的运算，用表示，即可得到结果. 【详解】 连接并延长交于，则为的中点， 所以，， 所以， 所以，，所以. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】 依题意有. 故选：B. 7．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知，，若，则（     ） A.  B.  C. 5 D. 0 【答案】B 【分析】 由向量垂直得，得，再计算向量的模即可． 【详解】 依题意得，，得，解得， 则， 所以， 故选：B 8．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设点的坐标为，求出,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解. 【详解】 设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即 ，解得 ，所以点的坐标为. 故选：A 9．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）下列命题中正确的是（       ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 【答案】D 【分析】 根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可. 【详解】 对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确. 故选：D 10．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）与向量同向的单位向量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据单位向量的定义结合共线向量计算求解. 【详解】 因为，所以与向量同向的单位向量为. 故选：B 11．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 12．（2026·河北衡水·三调）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（       ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 【答案】ABC 【分析】 根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由空间向量基本定理判断C，由向量夹角的范围判断D． 【详解】 A选项，由于有两个向量共线，则三个向量一定共面，A正确； B选项，中，所以四点共面，B正确； 选项C，向量组是空间的一个基底，即不共面， 若共面，则存在实数，使得，所以，从而， 与向量组是空间的一个基底矛盾，所以不共面，C正确； 选项D，时，是钝角或，D错． 故选：ABC． 13．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）（多选）如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（       ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 【答案】BCD 【分析】 以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假. 【详解】 以为基底，则，，,. 对A：因为. 所以，故A错误； 对B：当是靠近的三等分点，即时， ， 又，所以.故，，共面.故B正确； 对C：因为， 所以：， 所以，故，故C正确； 对D：设，. 因为：. 所以，. 当时，有最小值，为：，故D正确. 故选：BCD 14．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知，，，若，，共面，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】C 【分析】 由题可得，据此可得答案. 【详解】 因为，，共面，所以可设， 即，则 ，解得，，． 故选：C． 15．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知，则的最小值与最大值分别为（     ） A. ，12 B. 2，12 C. 2，14 D. 10，14 【答案】B 【分析】 根据平面向量模长与数量积的关系结合向量夹角余弦值范围即可得的最小值与最大值. 【详解】 因为， 所以， 因为，则， 所以， 则的最小值与最大值分别为2，12. 故选：B. 16．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）设，向量，且，，则（     ） A.  B.  C. 4 D. 3 【答案】B 【分析】 由空间向量共线及数量积的坐标运算求解. 【详解】 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：B. 17．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，平面，为垂足，为棱的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 选择恰当的基底，由空间向量的线性运算及数量积运算的法则求解即可. 【详解】 由题可知， ,. 分别取的中点，连接，则. 所以，. 所以， 因为，， 所以 . 因为，，， 所以 故选：C. 18．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 选作为基底表示出向量，根据向量共线和四点共面的充要条件得到，再求模长. 【详解】 设， 则，且两两夹角为， 因此， 因为是的中点，所以， 同理， 又， 因为点在上，所以设， 所以， 又，，，四点共面， 所以存在唯一的实数对，使得， 故， 所以 ，解得， 所以， 所以 ， 故选：D 19．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，S到 的距离都等于2给出以下结论: ①； ②; ③； ④， 其中正确结论的序号　　　　　　　　. 【答案】② ③ 【分析】 利用向量的加法减法的几何意义判断① ②；利用向量数量积的定义判断③ ④ 【详解】 ①.判断错误； ②.判断正确； ③四棱锥中，，则 则.判断正确； ④中，，则 则.判断错误 故答案为：② ③ 20．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知单位向量与的夹角为． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）若，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解； （3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ， ； (3) 小问详解： 因为，所以 所以 ，解得． 21．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知空间向量，，两两夹角为，且，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】 由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 22．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点. （1）求； （2）求 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先设，，，得到，再平方即可得到答案； （2）由，，结合数量积的运算律求解数量积即可. (1) 小问详解： 因为在平行六面体中，点为线段中点，即． 设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底． 则， 因为． 所以； (2) 小问详解： ． 又， 所以 ． 23．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为　　　　　　　　　　米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【分析】 根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律，结合异面直线夹角的意义求解. 【详解】 依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 24．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）四边形中，“”是“是梯形”的　　　　　　　　　　　条件． 【答案】充分不必要 【分析】 根据共线向量的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】 若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立， 若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立. 所以“”是“是梯形”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 25．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，. （1）求； （2）若的外接圆半径为，求的周长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由平面向量数量积的定义可求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值； （2）由正弦定理可求出的值，利用余弦定理求出的值，由此可求得的周长. (1) 小问详解： 因为，由平面向量数量积的定义可得， 则，所以，为锐角， 所以，. (2) 小问详解： 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 所以，， 故的周长为. 26．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）四面体ABCD中，，. （1）证明：； （2）证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 【答案】（1） 方法一：因为得， 又，所以 即， 同理由得， 所以 即，得. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点， 因为面，面，∴ 又∵，且，面 则面，又面， ∴，即是一条高线 同理可证也是一条高线. 又，则点是的垂心，∴ 又，，平面，所以面， 又面，得     （2） 不妨设分别为棱的中点. 设， 则， ， ， 则，类似的可证明其余对棱中点连线距离相等.      【分析】 （1）方法一：因为得,转化为，同样得，最终可得到，即证. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点，只用证面，利用线面垂直的性质可得. （2）设，表示出对棱中点连接所成的向量，利用数量积的计算性质结合（1）中的结论求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得. 【详解】 在平行六面体中，，， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 2．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知中，点，满足，，设，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用向量线性运算法则得到答案. 【详解】 . 故选：A 3．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D． 【详解】 因为D，E分别为棱PB，AC的中点， 所以，A正确，C错误. 因为，且，， 所以，B正确. ，D错误. 故选：AB． 5．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】 如图，连接，    ∵N是的中点，， ，， ． 6．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）如图，四棱锥的底面为矩形，且，平面，且为的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先利用基底表示向量，然后再根据空间向量的数量积的运算法则进行求解即可 【详解】 已知点为中点， 则， 因为平面，平面，所以，又四边形为矩形，所以； 因此 . 故选：D 7．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值. 【详解】 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（     ） A. 当时，点的轨迹为线段 B. 当时，平面与平面的夹角为 C. 当时，三棱锥的体积随变化而变化 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】ABD 【分析】 将和都代入式子，得出点的运动轨迹，分析各个选项的对错，B选项,对角度可以用面与面的夹角定义，C选项，对于体积用线面平行分析，D选项，存在性问题可以用建系法做. 【详解】 由题可知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段， 点的轨迹为线段，故A正确； 对于B，当时，， 取的中点分别为，则，所以，所以点的轨迹为线段，因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，故，， 为平面与平面的夹角，因为为等边三角形， 为的中点，所以，故B正确； 对于C，当时，，所以， 故此时点的轨迹为线段，而，平面平面， 所以平面，则点到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故C错误； 对于D，当时，以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，    则，，，， 取，的中点分别为，，则，所以， 所以点的轨迹为线段．设，其中， 则，，因为平面，所以， 所以，此时与重合，故D正确． 故选：ABD． 9．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．    （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. (1) 小问详解： 因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 (2) 小问详解： 由题意得， 故 ． 10．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）在长方体中，设，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用基底进行数量积计算. 【详解】 因为，， 所以. 故答案为：-4. 11．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，点P是平面FAB内一点，则，点P是平面DBC内一点，则，点P是平面EAC内一点，则，即 ，解出即可求解. 【详解】 设， 因为，，， 点P是平面FAB内一点，则，且， 点P是平面DBC内一点，则，且， 点P是平面EAC内一点，则，且， 联立 ，解得 ，所以. 故答案为: . 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）设，向量，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】 由，则，解得，，故. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】 由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选：. 3．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知，若，则等于（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【分析】 由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解. 【详解】 因为，所以， 又因为，所以，解得. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知为在坐标平面Oyz内的射影，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 求得的坐标，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】 因为，所以在坐标平面Oyz内的射影的坐标为， 所以. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用空间中坐标关于面的对称性质确定坐标. 【详解】 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知空间向量，，若，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 由向量共线定理可得. 【详解】 因为，所以存在实数，使得，即. 即，，，所以，，所以. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D.  【答案】B 【分析】 根据坐标的定义可知. 【详解】 由题意可知，点到平面的距离为该点横坐标的绝对值，即为2． 故选：B． 8．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将点关于线的对称转化为点关于点的对称可得. 【详解】 因为在轴上的垂足的坐标为. 所以点关于轴对称的点就是关于的对称点. 所以对称点为，即. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在平行六面体中，，则长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用空间向量基本定理和向量的模公式求解. 【详解】 以为基底， 则， 而， 从而 ， 故选：A． 10．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知，，则线段的中点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，利用中点公式，准确计算，即可求解. 【详解】 由点，， 则线段的中点坐标为，即. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知向量，若，则的值为（       ） A. 10 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据向量垂直的坐标关系求出，再结合向量的坐标运算和模长公式求解. 【详解】 由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 12．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）如图，在长方形中，，则（     ） A. -9 B. -4 C. 4 D. 9 【答案】C 【分析】 根据互相垂直的两个向量的数量积为0，及平面向量数量积的坐标公式计算即可求出的值. 【详解】 在长方形中，由可知， 所以，解得. 故选：C 13．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用向量的夹角公式列式求解. 【详解】 向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线， 由，得，解得， 若共线，得，解得，因此当不共线时，， 所以实数的取值范围为. 故选：C 14．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设空间向量，则（       ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 【答案】B 【分析】 根据向量平行，列等式求解即可. 【详解】 因为，所以，解得 故选：B. 15．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（       ） A. 3 B.  C.  D. 4 【答案】D 【分析】 根据题意，求得，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为，，则， 且，其中点可以看作球心在原点，半径为的球上的点 所以表示球上的点到点距离， 最大值为球心到点的距离再加球的半径， 即. 故选：D 16．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）若是空间直角坐标系中的一点，则（       ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为3 D. 点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】 由空间直角坐标系点的概念逐项判断即可. 【详解】 点关于平面对称的点的坐标为，A错误. 点关于轴对称的点的坐标为，B正确. 点到平面的距离为3，C正确. 点到轴的距离为，D错误. 故选：BC 17．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）空间两定点，，动点满足，则点P围成的几何体体积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据向量之间的关系列出等式并进行化简，得到球的标准方程，进而根据球的体积公式求出结果即可. 【详解】 因为， 所以. 因为，所以， 化简得：. 配方得. 这是球的标准方程，球心坐标为，半径为2. 所以该几何体的体积为. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直二面角确定坐标系原点和坐标轴，建立空间直角坐标系，然后根据边长长度求出的空间坐标，最后根据空间两点距离公式求出结果. 【详解】 取的中点，连接. 因为折叠前四边形为正方形，， 所以. 因为平面与平面的夹角为直二面角， 所以平面，且. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为正方形边长为4，则，所以. 所以. 故选：C. 19．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（       ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】C 【分析】 设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】 对于A：因为，且，所以， 即 ，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 20．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知空间四边形四个顶点的坐标分别为，下列说法不正确的是（     ） A. 向量与共面 B. 向量在向量方向上投影向量的坐标为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 空间四边形外接球的表面积为 【答案】BC 【分析】 本题考查空间向量的共面、投影向量、线面角以及外接球表面积等知识点，解题思路是先求出相关向量的坐标，再根据向量的性质、线面角公式以及外接球的相关知识逐一分析选项. 【详解】 空间中任何两个向量都共面，故正确； ，所以， 从而向量在向量方向上投影向量为，故B错误； 而，设平面的一个法向量为 所以 ,令 得平面的一个法向量为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为，故C错误； 设空间四边形外接球的球心为， 则，即， 解得，所以半径为， 即外接球表面积为，故D正确． 故选：BC． 21．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知两点，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 由两点坐标求出向量的坐标，再根据向量模的计算公式计算即可. 【详解】 因为，，所以， 所以. 故答案为：10 22．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据空间点的对称性求解. 【详解】 关于平面对称的点横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称点的坐标为. 故答案为: 23．（2026·河北衡水·三调）若，，且，则的值是　　　　. 【答案】或 【分析】 求出，再由得到，列式求解即可求出答案. 【详解】 由题意得， 因为， 所以， 解得或. 故答案为：或. 24．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知向量，，若，则　　　　　. 【答案】 【分析】 利用向量共线的性质解决即可. 【详解】 由,有,可得,,可得. 故答案为：. 25．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若向量，，，则的值为　　　　　　　　　　　 【答案】5 【分析】 根据空间向量线性运算的坐标表示，以及空间向量数量积的坐标表示，求出结果. 【详解】 因为，，所以， 因为，所以. 故答案为：5. 26．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）平面内给定两个向量， （1）求； （2）若，求实数k的值. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据数乘向量以及向量加法的坐标运算得到的坐标，再利用坐标计算模长； （2）根据数乘向量以及向量加减法的坐标运算分别计算出两个共线向量的坐标，利用向量共线的坐标表示可求解. (1) 小问详解： 因为，， 所以，则 (2) 小问详解： 由题意，，. 因为，则，解得. 27．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据坐标写成基底表示的形式，再利用待定系数法，列式求解. 【详解】 由条件可知，， 设向量在基底下的坐标为， 所以， 所以 ，得，，， 所以向量在基底下的坐标为. 故答案为： 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（     ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】 由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 2．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）（多选）已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，那么下列说法中正确的是（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据直线方向向量和平面的法向量之间的关系，判断直线和平面的位置关系即可. 【详解】 当直线方向向量和平面的法向量平行时，线面垂直，所以A错误，C正确； 当直线方向向量和平面的法向量垂直时，线面平行或线在面内，所以B正确，D错误； 故选：BC. 3．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）（多选）如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【分析】 由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、距离等公式计算即可逐一验证判断. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因， 则，故，A正确； 对于B，，， 设平面AEF的法向量为， 则 故可取， 因，则，又平面AEF， 故平面AEF，故B正确； 对于C，因， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为， 则点到平面AEF的距离为，D正确. 故选：ABD. 4．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】 由题意，平面的一个法向量为，点， 所以， 所以点到平面的距离为． 故选：A 5．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点为平面内任意一点，有，由题意可得，可得x，y，z的关系，将选项分别代入检验，即可得答案. 【详解】 设点为平面内任意一点，有， 所以，可得. 对于选项A：，故在平面内，故A错误； 对于选项B：，故在平面内，故B错误； 对于选项C：，故不在平面内，故C正确； 对于选项D：，故在平面内，故D错误； 故选：C 6．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用基底表示出，结合向量夹角公式求得正确答案. 【详解】 连接， 以为空间一组基底， 则， ， 所以， ， 设直线与直线所成角为， 则, 由于异面直线夹角的取值范围是，所以. 故选：B 7．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 以为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】 以为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，由，则， 由点为的中点，则， 则，， 则， 故与所成角的余弦值为． 故选：A. 8．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（       ） A. － B.  C. － D.  【答案】B 【分析】 法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可； 法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可. 【详解】 设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N，. 解法一   取MN的中点G，连接BG，AG， 则G. 因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角． 又因为，， 所以，， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为.    解法二   设平面AMN的法向量 由于， ， 则 ，即 ， 令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是， 同理可求得平面BMN的一个法向量 . 所以 ， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】 由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以 ，令，得， 故选：D. 10．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作平面，垂足为，连接，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解，再利用向量的夹角余弦值的坐标运算得所求. 【详解】 作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设，所成的角为，所以. 故选：A. 11．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）（多选）如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（       ） A. 与所成的角为 B.  C.  D. 与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】 先建立空间直角坐标系，再应用异面直线的余弦公式计算判断A，应用数量积公式计算判断B，应用模长公式计算判断C，应用线面角正弦计算判断D. 【详解】 以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，， 所以，， 所以与所成的角为，，. 平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 所以，所以A，B正确，C，D错误. 故选:AB. 12．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，则（       ） A. 若直线是平面和平面的交线，则 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面的夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】 对于A先判断线面平行，再由线面平行的性质可得，对于BCD则用空间向量分别求角和距离可得. 【详解】 对于A：因为底面是菱形，所以，又因平面，平面，所以平面. 又平面平面，平面，由线面平行的性质定理有，故A正确； 设的中点为O，连，因为等边三角形，所以，而平面平面，所以平面. 又底面是边长为2的菱形，，所以三角形是等边三角形，所以， 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图： 所以，，.    对于B：，所以 ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，， 由 ，得 ，令，则，所以. 再设平面的法向量为，， 由 ，得 ，令，则，所以. 所以，故C错误； 对于D：因，平面的法向量， 与同方向单位法向量， 所以在上的投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 13．（25-26学年高二上·河北保定·期中）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】 解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面的距离相等 【答案】BC 【分析】 A选项根据正方体的性质判断；B选项根据面面平行的判定定理和性质定理判断；C选项根据基本事实得到平面截正方体的截面为，然后求面积；D选项根据点和点与平面的位置判断. 【详解】 A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错； B选项：取中点，连接，，因为，，分别为，，中点， 所以，，又平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面，故B正确； C选项：连接，，因为为的中点，所以，所以平面截正方体的截面为，， 故C正确； D选项：连接交于点，延长交的延长线于点， 因为为的中点，所以，，又，所以， 即为的三等分点，不是的中点，所以点和点到平面的距离不相等，故D错. 故选：BC． 15．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B. 16．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为 ， 则 ， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【点睛】 17．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（       ）． A.  B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 【答案】ABD 【分析】 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】 解：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系 则，，，，，，，，，， 对于A，，所以，则，故A正确； 对于B，，， 所以， 因此，直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，又，设平面的法向量为， 则 ，令，则，又， 则点到平面的距离， 又中，，则， 所以， 故，故C错误； 对于D，因为，，所以， 则，则四点共面， 又，，所以，则共面， 即存在实数、使得，故D正确； 故选：ABD． 18．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）设，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用三角恒等变换可得答案. 【详解】 因为，所以． 因为，所以， 所以，则． 故选：B. 19．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】 取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 20．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（    ） A.  B.  C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】 根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义判断B、C、D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A. 【详解】 因为平面平面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，，故为的中点， 从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 则直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为平面，则点到平面的距离为， 故点到平面的距离为，所以D正确. 故选：ACD. 21．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 由平面，且平面，所以 又由，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，且为中点， 可得，则， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为，则. 故选：B. 22．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，在棱长为3的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（       ） A. 当时， B. 当时，点到平面的距离为1 C. 直线与所成的角可能是 D. 若二面角的平面角的正弦值为，则或 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系后，容易求得即可判断A；对于B，利用空间向量法求解距离即可，对于C，利用空间向量法求解直线所成角即可，对D，根据面面角的空间向量求法即可判断. 【详解】 建立空间直角坐标系如图所示，    则， 对于A，因为，所以，所以， 故，故A说法正确； 对于B，，因为，由选项A知，所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即 ， 令，则，故， 所以点到平面的距离为，故B说法正确； 对于C，假设直线与所成的角可能是，则 设，则，所以， 又，所以， 整理得，解得，矛盾， 所以直线与所成的角不可能是，故C说法错误； 对于D，，由选项知， 设平面，平面的一个法向量分别为， 所以 ， ，即 ， ， 分别令，则，故， 设二面角的平面角为，则，故， 故由，解得或， 即或，故D说法正确. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是建立合适的空间坐标系，利用空间向量法求解角度与距离问题即可. 23．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（       ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与是异面直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】AD 【分析】 建立空间直角坐标系，用线面角解答A,用点到平面距离解答B,用平行解答C，画出平面的完整图形解答出D. 【详解】 如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴. ，，，，， 选项A：平面的法向量为,直线的方向向量为, 所以所成角的正弦值为,选项A正确. 选项B：,,设面的法向量为, ， ,令得, 距离，所以选项B错误. 选项C：,,所以，所以四点共面， 直线与不是异面直线，选项C错误. 选项D：因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰， 所以面积,故选项D正确. 故选：AD. 24．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（     ） A. 过M，N，Q三点的平面截正方体所得的截面图形是正六边形 B. 直线PM与直线QN是异面直线 C. 当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥体积的最大值为1 D. 若P到棱CD，的距离相等，则点P的轨迹是双曲线 【答案】ACD 【分析】 作出各棱中点，根据三角形中位线的关系可判断A；当点P在AB中点T处时再结合A可判断B；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离可判断C；以D为坐标原点，以DC，AD为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，先证明平面PEF，再设，表示出，然后化简可得D. 【详解】 如图所示，作出各棱中点，在正方体中，根据三角形中位线的关系，可知，，，且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A正确； 当点P在AB中点T处，由选项A可知，此时PM与直线QN为相交直线，所以B错误；    正方体棱长为2，则线段，则正六边形边长均为， 则，， 所以，所以为直角三角形，可得， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，， 设平面TRNMSQ的法向量为， 则 取，则， 又，则点P到平面TRNMSQ的距离， 故当时，即P与点D重合时，距离最大为， 故体积的最大值为，所以C正确； 如图所示，过P作于G，过P作于E，作于F，连接PF， 以D为坐标原点，以DC，AD为x轴，y轴，建立平面直角坐标系， 由于，，， 又，，平面，故平面PEF， 又平面，故， 设，则，， 当P到棱CD，距离相等时，即，，化简得，即点P的轨迹是双曲线，所以D正确. 故选：ACD. 25．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】 由题意可得，，， 则点A到直线的距离为. 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再求出向量夹角的余弦值. 【详解】 因为平面，平面，平面，所以，， 又，故以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，    因为， 所以， 则， 设平面的法向量， 则 ，取，可得， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 27．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. （1）设点为棱的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由已知，，可知，则， 又矩形中有，且， 平面，所以平面， 又， 则平面，所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面，所以平面.     （2）     （3）存在，点与点重合      【分析】 （1）利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）假设存在，设，由空间向量计算线面夹角，解方程求参数即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为， 设平面的法向量为， 由 ，得 ， 取，则， 即为平面的一个法向量， 因为， 设平面的法向量为， 由 ，得 ， 取，则， 即为平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，故. (3) 小问详解： 存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 理由如下： 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于. 设， 则. 所以 . 所以，解得或(舍去)， 因此，线段上存在一点，当点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值等于. 28．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，求得△的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可. 【详解】 根据题意，延长交于点，连接，如下所示： 在△中，容易知：； 同理，， 满足，设点到直线的距离为，由等面积法可知： ，解得，即点到直线的距离是. 故答案为：. 29．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 试题分析：因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以且，解之得： 考点：向量夹角及坐标运算. 30．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）如图，平面平面，，，，.    （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）.     （2）.      【分析】 （1）由面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，由点到平面的距离为计算可得. (1) 小问详解： 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又因为， 则以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知， 所以，，，，.    因为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 又，所以直线与平面所成角为. (2) 小问详解： 设平面的法向量为，， 则 ，令，则， 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 31．（2026·河北衡水·三调）如图，在棱长为3的正方体中，分别是上的点且.    （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 因为， 所以.     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， 设平面的一个法向量为 由 ，令，所以，， 故， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 故 所以平面与平面夹角的余弦值为. 32．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，为上靠近点的三等分点． 【详解】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出的坐标以及平面的一个法向量，计算即可求解； （2）假设线段上存在点符合题意，设可得， 求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解. 【详解】 （1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 则， ，，. 不妨设平面的一个法向量, 则有 ，即 ，取. 设直线与平面所成的角为，则 , 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）假设线段上存在点，使得二面角的余弦值. 设，则, 从而，，. 设平面的法向量, 则有 ，即 ，取. 设平面的法向量, 则有 ，即 ，取. , 解得：或（舍）, 故存在点满足条件，为上靠近点的三等分点． 【点睛】 求空间角的常用方法： （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 33．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）（多选）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且，是边长为1的等边三角形，． （1）求证：； （2）线段BD上是否存在点N，使得直线平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为四边形ADEF为正方形，所以， 又平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AD， 所以平面ABCD，又平面ABCD， 所以. （2）不存在，理由如下： 线段BD上不存在点N，使得直线平面AFN，证明如下： 取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK， 因为为正三角形，所以，在正方形ADEF中，， 又平面平面ABCD， 所以平面ADEF，所以，所以OB，OD，OK两两垂直， 以O为原点，分别以OB，OD，OK为x，y，z轴正方向建系，如图所示： 所以, 设，，所以, 所以, 所以 ，所以 ，即, 所以, 设平面AFN的法向量，则 ， 所以，令， 则一条法向量， 因为平面AFN，所以， 所以，此方程无解， 所以不存在点N，使得直线平面AFN. 【分析】 （1）根据条件，利用面面垂直的性质定理，即可得证； （2）线段BD上不存在点N，使得直线平面AFN；取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK，可证OB，OD，OK两两垂直，如图建系，求得各点坐标，设，，所以，即可求得N点坐标，即可求得平面AFN的法向量，根据题意，可得，因为方程无解，所以不存在点N. 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，并灵活应用，解题技巧在于设，进而可求出N点坐标，再利用向量法求解即可，计算难度大，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题. 34．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面.     （2） 易知两两垂直，以为坐标原点， 以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面.      （3）      【分析】 （1）取的中点，连接，先证出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，即可得到线线垂直，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）设，设平面的一个法向量，并求出法向量，又向量是平面的一个法向量，然后利用向量法表示出二面角的余弦值，即可求得，即可得出结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，则由（2）知，所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 35．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1） 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面；     （2） 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则 ，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面．      【分析】 （1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）长方体中，，，则点到直线的距离等于　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，连接，作垂直，垂足为，求出向量在向量上的投影，由勾股定理即可求点到直线的距离. 【详解】 如图，以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    连接，作垂直，垂足为， 由，，，得，， 所以， 又，所以点到直线的距离. 故答案为： 37．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，，，M是的中点.    （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值：若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明： ，M是的中点.，， 平面平面， 平面平面，平面， 平面，平面，      （2）     （3）存在，      【分析】 （1）推导出，从而平面，由此能证明． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平面，，是正三角形， 两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，0，， ，0，， 设是平面BCE的一个法向量， 则 ， 令，得， 轴与平面ABE垂直，是平面ABE的一个法向量 ， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故 二面角的余弦值为 (3) 小问详解： 假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为． 0，，， 设，， 则， 直线与平面所成的角为， ， 由，解得， 线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，且 38．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.    （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，为的中点，所以，        因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                     又平面，所以；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以，                     由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，        设平面的一个法向量， 则 即 ，解得，，所以，                     所以点到平面的距离.        (3) 小问详解： 由（2）得，，        设平面的一个法向量，则 即 令，解得，，所以，                     由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 39．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）如图，在直三棱柱中，，，，．    （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 【答案】（1）直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则    ，， ，故. （2） 【分析】 （1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）同上建系，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由 得： 令，则，则． 故，． 所求二面角的余弦值. 【点睛】 本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力． 40．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）.      【分析】 （1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. (1) 小问详解： 证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. (2) 小问详解： 由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. (3) 小问详解： 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 41．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是棱的中点. （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 不妨设， 由正方体的性质，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 可得，， 因为，所以.     （2）      【分析】 （1）不妨设，建系标点，可得，，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得：，，， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，，可得， 则， 可得与平面所成的角的正弦值为. 42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. 依题意得， 故， 故，所以. 由已知，且，平面EFD，平面EFD， 所以平面EFD.     （2）      【分析】 （1）由向量数量积坐标运算证明，结合已知线面垂直可证； （2）利用垂直关系找到二面角的平面角，转化为两向量与的夹角运算求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 已知，由（1）平面EFD，又平面EFD， 所以，且为锐角，故是平面与平面的夹角. 设点的坐标为，则， 由题意在线段上，所以， 所以， 即，. 设，则， 所以，点的坐标为，又点的坐标为， 所以，. 所以， 所以，即平面与平面的夹角大小为. 43．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，E为棱的中点，为等边三角形． （1）求证：； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图，连接，与相交于点F，连接CF，． 因为四边形为菱形，所以F为的中点，且．                               因为为等边三角形，所以，                                                      因为，BF、CF在面A1BC内，所以平面．                                                 因为平面，所以．                                                     因为，所以．     （2）      【分析】 （1）根据题意，先证平面，再由线面垂直的性质定理即可证明； （2）根据题意，设AC，AB的中点分别为O，G，连接，以O为坐标原点，的方向分别为x轴y轴z轴的正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设AC，AB的中点分别为O，G，连接． 由（1）可知，又，AB1、AC在面AB1C内， 所以平面，OB1、OC在面AB1C内，则OB1、OC与BC垂直， 因为，所以平面， 因为为等边三角形，所以．                                    以O为坐标原点，的方向分别为x轴y轴z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，                                                                                                                                             则， 所以， 由，得， 所以． 设平面的法向量为， 则 令，得．                设平面的法向量为， 则 令，得．                            设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 44．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F在SE 上，且. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 则， 因为，可得，所以， 则， 所以，所以.     （2）存在，      【分析】 （1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，求得，得到的坐标，结合，即可证得； （2）假设存在满足条件的点，设，求得平面和平面的法向量分别为和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：假设存在满足条件的点，设，则， 所以， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 因为为的中点，且，所以， 由（1）得，且，平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又因为平面与的夹角为， 所以， 整理得，解得或， 因为，所以，所以满足条件的点存在，且. 45．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 因为底面是正方形，则， 又底面，则， 以D为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面ABCD是正方形， 因此各点坐标为，，，，， E是PC中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则由、，得 令，可得， 所以，故，又不在平面内， 所以平面．     （2）     （3）      【分析】 （1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，验证为零即可证明； （2）求出，通过空间向量法求解即可； （3）求出，通过空间向量法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据点到平面的距离公式，点P到平面的距离为， 又，，， 所以． (3) 小问详解： ，所以，所以， 则． 46．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知中，， ，，分别取边的点，使得，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足. （1）求证：平面； （2）试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接，， 如图所示：              ∵为棱的中点，∴且， 而中，，， 则，且，∴，即. 且，∴四边形为平行四边形，∴. ∵平面，平面∴平面.     （2）存在，或，理由如下： 在的折起过程中，存在一个位置，满足二面角的大小为或，使得三棱锥的体积为. 在中，，，； 所以在立体图中，，，，平面， ∴是二面角的平面角， 且平面，∵平面，∴平面平面 在面内作于，如图所示： 则平面，∴为三棱锥的高. ，，∴， 所以到的距离为， 当为锐角时，，∴ ， 所以符合要求的的位置存在且二面角的大小为或.      【分析】 （1）首先根据题意，，从而得到四边形为平行四边形，即，再利用线面平行的判定即可证明平面. （2）首先根据题意是二面角的平面角，在面内作于O，利用三棱锥等体积转化得到，从而得到到的距离，即可得到二面角的大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键为利用等体积转化法得到，从而求高再计算正弦即可解题. 47．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面.     （2）      【分析】 （1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. 48．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则平面与平面夹角的余弦值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可. 【详解】 设菱形的边长为1，取的中点，连接，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以.    如图，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，. 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，同理，平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 49．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　　. 【答案】6 【分析】 建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 50．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由于点，分别为的中点，即为的中位线， 故，又，所以， 又平面，平面， 故平面．     （2）      【分析】 （1）由中位线及平行线的传递性得到，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，表示点的坐标，并求得平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则， 则， 设平面的法向量为， 则 ，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 51．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）如图，在正四棱柱中，，E为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面BDE的距离． 【答案】（1） 连接，,如图： 在中，，， 因为，所以. 在中，，，， 因为，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面.     （2）      【分析】 （1）根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）找出点到平面的距离所对应的线段，利用三角形的边角关系求点到平面距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，， 所以平面. 所以即为点到平面的距离为. 52．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因四边形是菱形，则和互相平分， 因F是中点，则F也是中点， 又，则， 因平面，平面，则平面；     （2）      【分析】 （1）连接，求证F也是中点，即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）以点为原点建系，利用线面角的空间向量法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过作与平行的直线与交于，因底面，则底面， 则以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由于，则，， 则，，，则， 所以， 易知平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为,， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 53．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，．    （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为平面，，，平面， 所以，，，        因为，， 所以，所以，        又因为，，，平面， 所以平面， 因为，所以平面.     （2） 由（1）易知，，，两两互相垂直， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，        则，，，，， 设，，        则，， 设平面的法向量为， 则 ，即 ，取，，满足条件， 所以可取，        ，，设平面的法向量为， 则 ，即 ，令，解得，， 所以，        由题意， 化简并整理得，解得（舍去），或， 所以，        综上所述，棱上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.      【分析】 （1）由平面得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理得证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 54．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，.    （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）在正方形中，. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）由线面垂直的定理证明平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立恰当的空间直角坐标系，三棱柱的体积转化为，可求结果； （3）根据两平面夹角的计算方法，可求得平面与平面夹角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则. 因为，，且， 所以，即. 因为，所以. 设平面的法向量为. 因为，， 所以 ，令，则. 易得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，， 所以. (3) 小问详解： 解：设平面的法向量为，因为，， 所以 ，令，得. 设平面与平面的夹角为. 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 55．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，平面平面． （1）证明：底面为矩形； （2）若为中点，作交于点． ①证明：平面； ②求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在平面内，作交于， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，而平面，所以 因为底面底面，所以， 而，平面，故平面， 而平面，所以， 而底面为平行四边形，故底面为矩形；     （2）① 因为为中点，所以 由（1）知平面平面，故， 又因为，平面， 所以平面； ②      【分析】 （1）在平面内，作交于，由已知可得平面，进而可得，可得，进而利用线面垂直的判定定理平面，可证结论； （2）① 由（1）可得，，进而利用线面垂直的判定定理可得结论；② 建立空间直角坐标系，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则 从而 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ，可取 由① 知平面，所以为平面的一个法向量 故， 故平面与平面夹角的余弦值 56．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知.    （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】（1） 矩形沿对角线将折起后，，， 又∵， 在中，，得 又∵，，面，面 所以面 又∵面，∴ 矩形中，， 又，面，面， ∴平面， 又∵面，所以平面平面.     （2）     （3）不存在，理由如下： 由（2）可知点，，，，    可得，，， 设，（，） 则，， 若直线MN与直线BC，PC，PD所成角相等， 则 即 整理得， 解得，，此时N不在内， 故不存在符合条件的N.      【分析】 （1）根据线面垂直推导出面面垂直. （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果. （3）建立空间直角坐标系，用向量的方法求出直线MN与直线BC，PC，PD所成角并使其相等. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知平面平面， 则可过点P作平面的垂线交BC于点O， 得面，且，，. 分别以OP、BC所在直线为z轴，y轴，以过点O且与CD平行的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，    ，， 设平面的一个法向量为， 则 ， ，可取； 因为平面， 所以可取平面的一个法向量为 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 略 57．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，M是上的点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由，所以， 所以，即， 所以，即， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面；     （2）      （3） 存在，      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用点到面的距离的向量求法即可得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 假设线段上存在点，使得点Q到平面的距离是， 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 所以， 所以点Q到平面的距离为，解得， 所以当时，存在点满足题意. 58．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 【答案】（1） 证明：因为平面平面CDE， 所以平面CDE.     （2）（i）； （ii）证明：同上建系，设平面CDE的法向量为， 则 ,令，得.      设平面CDE与平面BCE的夹角为， 由， 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于       .      【分析】 （1）直接运用线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,      则.        设平面BCE的法向量为，则 ， 令，得.        （i）设直线AD与平面BCE所成角为 ， 因为，所以， 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.        （ii）略 59．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即 ，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． (3) 小问详解： 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故 ，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（       ） A. 若与共线，与共线，则与共线 B. 若存在实数、，使得，则、、共面 C. 若是空间的一个基底，且，则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 2．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知，若不能构成空间的一个基底，则（       ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 3．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）化简：（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知和的夹角为，且，则（       ） A.  B.  C. 3 D. 9 5．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）在四面体中，是的重心.记，，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知，，若，则（     ） A.  B.  C. 5 D. 0 8．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）下列命题中正确的是（       ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 10．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）与向量同向的单位向量为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A.  B.  C.  D.  12．（2026·河北衡水·三调）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（       ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 13．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）（多选）如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（       ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 14．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知，，，若，，共面，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 15．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知，则的最小值与最大值分别为（     ） A. ，12 B. 2，12 C. 2，14 D. 10，14 16．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）设，向量，且，，则（     ） A.  B.  C. 4 D. 3 17．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，平面，为垂足，为棱的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，S到 的距离都等于2给出以下结论: ①； ②; ③； ④， 其中正确结论的序号　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知单位向量与的夹角为． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）若，求的值． 21．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知空间向量，，两两夹角为，且，则　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点. （1）求； （2）求 23．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为　　　　　　　　　　米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 24．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）四边形中，“”是“是梯形”的　　　　　　　　　　　条件． 25．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，. （1）求； （2）若的外接圆半径为，求的周长. 26．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）四面体ABCD中，，. （1）证明：； （2）证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知中，点，满足，，设，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）如图，四棱锥的底面为矩形，且，平面，且为的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（     ） A. 当时，点的轨迹为线段 B. 当时，平面与平面的夹角为 C. 当时，三棱锥的体积随变化而变化 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 9．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．    （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 10．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）在长方体中，设，，则　　　　　　． 11．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为　　　　　　　　　　. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）设，向量，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知，若，则等于（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知为在坐标平面Oyz内的射影，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  5．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知空间向量，，若，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 7．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D.  8．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在平行六面体中，，则长度为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知，，则线段的中点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知向量，若，则的值为（       ） A. 10 B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）如图，在长方形中，，则（     ） A. -9 B. -4 C. 4 D. 9 13．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设空间向量，则（       ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 15．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（       ） A. 3 B.  C.  D. 4 16．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）若是空间直角坐标系中的一点，则（       ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为3 D. 点到轴的距离为 17．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）空间两定点，，动点满足，则点P围成的几何体体积为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（       ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 20．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知空间四边形四个顶点的坐标分别为，下列说法不正确的是（     ） A. 向量与共面 B. 向量在向量方向上投影向量的坐标为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 空间四边形外接球的表面积为 21．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知两点，，则　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为　　　　　　． 23．（2026·河北衡水·三调）若，，且，则的值是　　　　. 24．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知向量，，若，则　　　　　. 25．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若向量，，，则的值为　　　　　　　　　　　 26．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）平面内给定两个向量， （1）求； （2）若，求实数k的值. 27．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为　　　　　　　　　　． 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（     ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 2．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）（多选）已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，那么下列说法中正确的是（     ） A.  B. 或 C.  D.  3．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）（多选）如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 4．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（       ） A. － B.  C. － D.  9．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）（多选）如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（       ） A. 与所成的角为 B.  C.  D. 与平面所成的角为 12．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，则（       ） A. 若直线是平面和平面的交线，则 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面的夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 13．（25-26学年高二上·河北保定·期中）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面的距离相等 15．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（       ）． A.  B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 18．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）设，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（    ） A.  B.  C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 21．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，在棱长为3的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（       ） A. 当时， B. 当时，点到平面的距离为1 C. 直线与所成的角可能是 D. 若二面角的平面角的正弦值为，则或 23．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（       ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与是异面直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 24．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（     ） A. 过M，N，Q三点的平面截正方体所得的截面图形是正六边形 B. 直线PM与直线QN是异面直线 C. 当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥体积的最大值为1 D. 若P到棱CD，的距离相等，则点P的轨迹是双曲线 25．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为　　　　　　. 27．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. （1）设点为棱的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 28．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是　　　　　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）如图，平面平面，，，，.    （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 31．（2026·河北衡水·三调）如图，在棱长为3的正方体中，分别是上的点且.    （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 32．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 33．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）（多选）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且，是边长为1的等边三角形，． （1）求证：； （2）线段BD上是否存在点N，使得直线平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 34．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 35．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 36．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）长方体中，，，则点到直线的距离等于　　　　　　　　　　. 37．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，，，M是的中点.    （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值：若不存在，说明理由. 38．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.    （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 39．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）如图，在直三棱柱中，，，，．    （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 40．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 41．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是棱的中点. （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值. 42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 43．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，E为棱的中点，为等边三角形． （1）求证：； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值． 44．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F在SE 上，且. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 45．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 46．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知中，， ，，分别取边的点，使得，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足. （1）求证：平面； （2）试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由. 47．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 48．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则平面与平面夹角的余弦值为　　　　　　. 49．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　　. 50．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 51．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）如图，在正四棱柱中，，E为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面BDE的距离． 52．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的余弦值. 53．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，．    （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 54．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，.    （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 55．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，平面平面． （1）证明：底面为矩形； （2）若为中点，作交于点． ①证明：平面； ②求平面与平面夹角的余弦值． 56．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知.    （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 57．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，M是上的点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 58．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 59．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．BCD 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．D 10．B 11．A 12．ABC 13．BCD 14．C 15．B 16．B 17．C 18．D 19．【答案】② ③ 【分析】 利用向量的加法减法的几何意义判断① ②；利用向量数量积的定义判断③ ④ 【详解】 ①.判断错误； ②.判断正确； ③四棱锥中，，则 则.判断正确； ④中，，则 则.判断错误 故答案为：② ③ 20．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解； （3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ， ； (3) 小问详解： 因为，所以 所以 ，解得． 21．【答案】 【分析】 利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】 由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先设，，，得到，再平方即可得到答案； （2）由，，结合数量积的运算律求解数量积即可. (1) 小问详解： 因为在平行六面体中，点为线段中点，即． 设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底． 则， 因为． 所以； (2) 小问详解： ． 又， 所以 ． 23．【答案】或2 【分析】 根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律，结合异面直线夹角的意义求解. 【详解】 依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 24．【答案】充分不必要 【分析】 根据共线向量的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】 若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立， 若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立. 所以“”是“是梯形”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由平面向量数量积的定义可求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值； （2）由正弦定理可求出的值，利用余弦定理求出的值，由此可求得的周长. (1) 小问详解： 因为，由平面向量数量积的定义可得， 则，所以，为锐角， 所以，. (2) 小问详解： 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 所以，， 故的周长为. 26．【答案】（1） 方法一：因为得， 又，所以 即， 同理由得， 所以 即，得. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点， 因为面，面，∴ 又∵，且，面 则面，又面， ∴，即是一条高线 同理可证也是一条高线. 又，则点是的垂心，∴ 又，，平面，所以面， 又面，得     （2） 不妨设分别为棱的中点. 设， 则， ， ， 则，类似的可证明其余对棱中点连线距离相等.      【分析】 （1）方法一：因为得,转化为，同样得，最终可得到，即证. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点，只用证面，利用线面垂直的性质可得. （2）设，表示出对棱中点连接所成的向量，利用数量积的计算性质结合（1）中的结论求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点02 空间向量基本定理 1．B 2．A 3．D 4．AB 5．B 6．D 7．C 8．ABD 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. (1) 小问详解： 因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 (2) 小问详解： 由题意得， 故 ． 10．【答案】 【分析】 利用基底进行数量积计算. 【详解】 因为，， 所以. 故答案为：-4. 11．【答案】 【分析】 设，点P是平面FAB内一点，则，点P是平面DBC内一点，则，点P是平面EAC内一点，则，即 ，解出即可求解. 【详解】 设， 因为，，， 点P是平面FAB内一点，则，且， 点P是平面DBC内一点，则，且， 点P是平面EAC内一点，则，且， 联立 ，解得 ，所以. 故答案为: . 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．B 15．D 16．BC 17．C 18．C 19．C 20．BC 21．【答案】10 【分析】 由两点坐标求出向量的坐标，再根据向量模的计算公式计算即可. 【详解】 因为，，所以， 所以. 故答案为：10 22．【答案】 【分析】 根据空间点的对称性求解. 【详解】 关于平面对称的点横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称点的坐标为. 故答案为: 23．【答案】或 【分析】 求出，再由得到，列式求解即可求出答案. 【详解】 由题意得， 因为， 所以， 解得或. 故答案为：或. 24．【答案】 【分析】 利用向量共线的性质解决即可. 【详解】 由,有,可得,,可得. 故答案为：. 25．【答案】5 【分析】 根据空间向量线性运算的坐标表示，以及空间向量数量积的坐标表示，求出结果. 【详解】 因为，，所以， 因为，所以. 故答案为：5. 26．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据数乘向量以及向量加法的坐标运算得到的坐标，再利用坐标计算模长； （2）根据数乘向量以及向量加减法的坐标运算分别计算出两个共线向量的坐标，利用向量共线的坐标表示可求解. (1) 小问详解： 因为，， 所以，则 (2) 小问详解： 由题意，，. 因为，则，解得. 27．【答案】 【分析】 首先根据坐标写成基底表示的形式，再利用待定系数法，列式求解. 【详解】 由条件可知，， 设向量在基底下的坐标为， 所以， 所以 ，得，，， 所以向量在基底下的坐标为. 故答案为： 考点04 空间向量的应用 1．B 2．BC 3．ABD 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．D 10．A 11．AB 12．ABD 13．B 14．BC 15．B 16．A 17．ABD 18．B 19．A 20．ACD 21．B 22．C 23．AD 24．ACD 25．【答案】 【分析】 利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】 由题意可得，，， 则点A到直线的距离为. 故答案为：. 26．【答案】 【分析】 根据条件建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再求出向量夹角的余弦值. 【详解】 因为平面，平面，平面，所以，， 又，故以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，    因为， 所以， 则， 设平面的法向量， 则 ，取，可得， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 27．【答案】（1） 由已知，，可知，则， 又矩形中有，且， 平面，所以平面， 又， 则平面，所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面，所以平面.     （2）     （3）存在，点与点重合      【分析】 （1）利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）假设存在，设，由空间向量计算线面夹角，解方程求参数即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为， 设平面的法向量为， 由 ，得 ， 取，则， 即为平面的一个法向量， 因为， 设平面的法向量为， 由 ，得 ， 取，则， 即为平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，故. (3) 小问详解： 存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 理由如下： 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于. 设， 则. 所以 . 所以，解得或(舍去)， 因此，线段上存在一点，当点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值等于. 28．【答案】 【分析】 根据题意，求得△的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可. 【详解】 根据题意，延长交于点，连接，如下所示： 在△中，容易知：； 同理，， 满足，设点到直线的距离为，由等面积法可知： ，解得，即点到直线的距离是. 故答案为：. 29．【答案】 【详解】 试题分析：因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以且，解之得： 考点：向量夹角及坐标运算. 30．【答案】（1）.     （2）.      【分析】 （1）由面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，由点到平面的距离为计算可得. (1) 小问详解： 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又因为， 则以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知， 所以，，，，.    因为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 又，所以直线与平面所成角为. (2) 小问详解： 设平面的法向量为，， 则 ，令，则， 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 31．【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 因为， 所以.     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， 设平面的一个法向量为 由 ，令，所以，， 故， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 故 所以平面与平面夹角的余弦值为. 32．【答案】（1）；（2）存在，为上靠近点的三等分点． 【详解】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出的坐标以及平面的一个法向量，计算即可求解； （2）假设线段上存在点符合题意，设可得， 求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解. 【详解】 （1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 则， ，，. 不妨设平面的一个法向量, 则有 ，即 ，取. 设直线与平面所成的角为，则 , 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）假设线段上存在点，使得二面角的余弦值. 设，则, 从而，，. 设平面的法向量, 则有 ，即 ，取. 设平面的法向量, 则有 ，即 ，取. , 解得：或（舍）, 故存在点满足条件，为上靠近点的三等分点． 【点睛】 求空间角的常用方法： （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 33．【答案】（1）因为四边形ADEF为正方形，所以， 又平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AD， 所以平面ABCD，又平面ABCD， 所以. （2）不存在，理由如下： 线段BD上不存在点N，使得直线平面AFN，证明如下： 取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK， 因为为正三角形，所以，在正方形ADEF中，， 又平面平面ABCD， 所以平面ADEF，所以，所以OB，OD，OK两两垂直， 以O为原点，分别以OB，OD，OK为x，y，z轴正方向建系，如图所示： 所以, 设，，所以, 所以, 所以 ，所以 ，即, 所以, 设平面AFN的法向量，则 ， 所以，令， 则一条法向量， 因为平面AFN，所以， 所以，此方程无解， 所以不存在点N，使得直线平面AFN. 【分析】 （1）根据条件，利用面面垂直的性质定理，即可得证； （2）线段BD上不存在点N，使得直线平面AFN；取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK，可证OB，OD，OK两两垂直，如图建系，求得各点坐标，设，，所以，即可求得N点坐标，即可求得平面AFN的法向量，根据题意，可得，因为方程无解，所以不存在点N. 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，并灵活应用，解题技巧在于设，进而可求出N点坐标，再利用向量法求解即可，计算难度大，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题. 34．【答案】（1） 取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面.     （2） 易知两两垂直，以为坐标原点， 以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面.      （3）      【分析】 （1）取的中点，连接，先证出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，即可得到线线垂直，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）设，设平面的一个法向量，并求出法向量，又向量是平面的一个法向量，然后利用向量法表示出二面角的余弦值，即可求得，即可得出结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，则由（2）知，所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 35．【答案】（1） 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面；     （2） 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则 ，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面．      【分析】 （1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．【答案】 【分析】 以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，连接，作垂直，垂足为，求出向量在向量上的投影，由勾股定理即可求点到直线的距离. 【详解】 如图，以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    连接，作垂直，垂足为， 由，，，得，， 所以， 又，所以点到直线的距离. 故答案为： 37．【答案】（1）证明： ，M是的中点.，， 平面平面， 平面平面，平面， 平面，平面，      （2）     （3）存在，      【分析】 （1）推导出，从而平面，由此能证明． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平面，，是正三角形， 两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，0，， ，0，， 设是平面BCE的一个法向量， 则 ， 令，得， 轴与平面ABE垂直，是平面ABE的一个法向量 ， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故 二面角的余弦值为 (3) 小问详解： 假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为． 0，，， 设，， 则， 直线与平面所成的角为， ， 由，解得， 线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，且 38．【答案】（1） 因为，为的中点，所以，        因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                     又平面，所以；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以，                     由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，        设平面的一个法向量， 则 即 ，解得，，所以，                     所以点到平面的距离.        (3) 小问详解： 由（2）得，，        设平面的一个法向量，则 即 令，解得，，所以，                     由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 39．【答案】（1）直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则    ，， ，故. （2） 【分析】 （1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）同上建系，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由 得： 令，则，则． 故，． 所求二面角的余弦值. 【点睛】 本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力． 40．【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）.      【分析】 （1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. (1) 小问详解： 证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. (2) 小问详解： 由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. (3) 小问详解： 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 41．【答案】（1） 不妨设， 由正方体的性质，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 可得，， 因为，所以.     （2）      【分析】 （1）不妨设，建系标点，可得，，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得：，，， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，，可得， 则， 可得与平面所成的角的正弦值为. 42．【答案】（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. 依题意得， 故， 故，所以. 由已知，且，平面EFD，平面EFD， 所以平面EFD.     （2）      【分析】 （1）由向量数量积坐标运算证明，结合已知线面垂直可证； （2）利用垂直关系找到二面角的平面角，转化为两向量与的夹角运算求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 已知，由（1）平面EFD，又平面EFD， 所以，且为锐角，故是平面与平面的夹角. 设点的坐标为，则， 由题意在线段上，所以， 所以， 即，. 设，则， 所以，点的坐标为，又点的坐标为， 所以，. 所以， 所以，即平面与平面的夹角大小为. 43．【答案】（1） 如图，连接，与相交于点F，连接CF，． 因为四边形为菱形，所以F为的中点，且．                               因为为等边三角形，所以，                                                      因为，BF、CF在面A1BC内，所以平面．                                                 因为平面，所以．                                                     因为，所以．     （2）      【分析】 （1）根据题意，先证平面，再由线面垂直的性质定理即可证明； （2）根据题意，设AC，AB的中点分别为O，G，连接，以O为坐标原点，的方向分别为x轴y轴z轴的正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设AC，AB的中点分别为O，G，连接． 由（1）可知，又，AB1、AC在面AB1C内， 所以平面，OB1、OC在面AB1C内，则OB1、OC与BC垂直， 因为，所以平面， 因为为等边三角形，所以．                                    以O为坐标原点，的方向分别为x轴y轴z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，                                                                                                                                             则， 所以， 由，得， 所以． 设平面的法向量为， 则 令，得．                设平面的法向量为， 则 令，得．                            设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 44．【答案】（1） 证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 则， 因为，可得，所以， 则， 所以，所以.     （2）存在，      【分析】 （1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，求得，得到的坐标，结合，即可证得； （2）假设存在满足条件的点，设，求得平面和平面的法向量分别为和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：假设存在满足条件的点，设，则， 所以， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 因为为的中点，且，所以， 由（1）得，且，平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又因为平面与的夹角为， 所以， 整理得，解得或， 因为，所以，所以满足条件的点存在，且. 45．【答案】（1） 因为底面是正方形，则， 又底面，则， 以D为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面ABCD是正方形， 因此各点坐标为，，，，， E是PC中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则由、，得 令，可得， 所以，故，又不在平面内， 所以平面．     （2）     （3）      【分析】 （1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，验证为零即可证明； （2）求出，通过空间向量法求解即可； （3）求出，通过空间向量法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据点到平面的距离公式，点P到平面的距离为， 又，，， 所以． (3) 小问详解： ，所以，所以， 则． 46．【答案】（1） 取中点，连接，， 如图所示：              ∵为棱的中点，∴且， 而中，，， 则，且，∴，即. 且，∴四边形为平行四边形，∴. ∵平面，平面∴平面.     （2）存在，或，理由如下： 在的折起过程中，存在一个位置，满足二面角的大小为或，使得三棱锥的体积为. 在中，，，； 所以在立体图中，，，，平面， ∴是二面角的平面角， 且平面，∵平面，∴平面平面 在面内作于，如图所示： 则平面，∴为三棱锥的高. ，，∴， 所以到的距离为， 当为锐角时，，∴ ， 所以符合要求的的位置存在且二面角的大小为或.      【分析】 （1）首先根据题意，，从而得到四边形为平行四边形，即，再利用线面平行的判定即可证明平面. （2）首先根据题意是二面角的平面角，在面内作于O，利用三棱锥等体积转化得到，从而得到到的距离，即可得到二面角的大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键为利用等体积转化法得到，从而求高再计算正弦即可解题. 47．【答案】（1） 平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面.     （2）      【分析】 （1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. 48．【答案】 【分析】 根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可. 【详解】 设菱形的边长为1，取的中点，连接，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以.    如图，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，. 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，同理，平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 49．【答案】6 【分析】 建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 50．【答案】（1） 由于点，分别为的中点，即为的中位线， 故，又，所以， 又平面，平面， 故平面．     （2）      【分析】 （1）由中位线及平行线的传递性得到，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，表示点的坐标，并求得平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则， 则， 设平面的法向量为， 则 ，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 51．【答案】（1） 连接，,如图： 在中，，， 因为，所以. 在中，，，， 因为，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面.     （2）      【分析】 （1）根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）找出点到平面的距离所对应的线段，利用三角形的边角关系求点到平面距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，， 所以平面. 所以即为点到平面的距离为. 52．【答案】（1） 因四边形是菱形，则和互相平分， 因F是中点，则F也是中点， 又，则， 因平面，平面，则平面；     （2）      【分析】 （1）连接，求证F也是中点，即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）以点为原点建系，利用线面角的空间向量法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过作与平行的直线与交于，因底面，则底面， 则以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由于，则，， 则，，，则， 所以， 易知平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为,， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 53．【答案】（1） 因为平面，，，平面， 所以，，，        因为，， 所以，所以，        又因为，，，平面， 所以平面， 因为，所以平面.     （2） 由（1）易知，，，两两互相垂直， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，        则，，，，， 设，，        则，， 设平面的法向量为， 则 ，即 ，取，，满足条件， 所以可取，        ，，设平面的法向量为， 则 ，即 ，令，解得，， 所以，        由题意， 化简并整理得，解得（舍去），或， 所以，        综上所述，棱上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.      【分析】 （1）由平面得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理得证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 54．【答案】（1）在正方形中，. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）由线面垂直的定理证明平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立恰当的空间直角坐标系，三棱柱的体积转化为，可求结果； （3）根据两平面夹角的计算方法，可求得平面与平面夹角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则. 因为，，且， 所以，即. 因为，所以. 设平面的法向量为. 因为，， 所以 ，令，则. 易得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，， 所以. (3) 小问详解： 解：设平面的法向量为，因为，， 所以 ，令，得. 设平面与平面的夹角为. 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 55．【答案】（1） 在平面内，作交于， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，而平面，所以 因为底面底面，所以， 而，平面，故平面， 而平面，所以， 而底面为平行四边形，故底面为矩形；     （2）① 因为为中点，所以 由（1）知平面平面，故， 又因为，平面， 所以平面； ②      【分析】 （1）在平面内，作交于，由已知可得平面，进而可得，可得，进而利用线面垂直的判定定理平面，可证结论； （2）① 由（1）可得，，进而利用线面垂直的判定定理可得结论；② 建立空间直角坐标系，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则 从而 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ，可取 由① 知平面，所以为平面的一个法向量 故， 故平面与平面夹角的余弦值 56．【答案】（1） 矩形沿对角线将折起后，，， 又∵， 在中，，得 又∵，，面，面 所以面 又∵面，∴ 矩形中，， 又，面，面， ∴平面， 又∵面，所以平面平面.     （2）     （3）不存在，理由如下： 由（2）可知点，，，，    可得，，， 设，（，） 则，， 若直线MN与直线BC，PC，PD所成角相等， 则 即 整理得， 解得，，此时N不在内， 故不存在符合条件的N.      【分析】 （1）根据线面垂直推导出面面垂直. （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果. （3）建立空间直角坐标系，用向量的方法求出直线MN与直线BC，PC，PD所成角并使其相等. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知平面平面， 则可过点P作平面的垂线交BC于点O， 得面，且，，. 分别以OP、BC所在直线为z轴，y轴，以过点O且与CD平行的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，    ，， 设平面的一个法向量为， 则 ， ，可取； 因为平面， 所以可取平面的一个法向量为 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 略 57．【答案】（1） 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由，所以， 所以，即， 所以，即， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面；     （2）      （3） 存在，      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用点到面的距离的向量求法即可得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 假设线段上存在点，使得点Q到平面的距离是， 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 所以， 所以点Q到平面的距离为，解得， 所以当时，存在点满足题意. 58．【答案】（1） 证明：因为平面平面CDE， 所以平面CDE.     （2）（i）； （ii）证明：同上建系，设平面CDE的法向量为， 则 ,令，得.      设平面CDE与平面BCE的夹角为， 由， 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于       .      【分析】 （1）直接运用线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,      则.        设平面BCE的法向量为，则 ， 令，得.        （i）设直线AD与平面BCE所成角为 ， 因为，所以， 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.        （ii）略 59．【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即 ，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． (3) 小问详解： 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故 ，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $