专题06 抛物线（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题06 抛物线 1大高频考点概览 考点01 抛物线 考点01 抛物线 1．（2026·河北承德第二中学·联考）抛物线的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·河北衡水·三调）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（       ） A. 2 B. 1 C.  D. 4 3．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）已知曲线，则下列结论正确的是（       ） A. 当时，曲线C表示椭圆 B. 当时，曲线C表示双曲线 C. 曲线C可能表示两条直线 D. 曲线C不可能表示抛物线 5．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在拋物线上，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）（多选）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（     ） A.  B. 面积的最小值为2. C.  D. 可能为直角. 7．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）抛物线C：的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  11．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（2026·河北承德第二中学·联考）设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 14．（2026·河北衡水·三调）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则（       ） A. 2 B.  C. 8 D. 4 15．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是 A.  B. （）和 C. （） D. （）和（） 16．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（     ） A. k的取值范围为 B.  C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 17．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（       ） A.  B. 2 C. 3 D.  18．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（     ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 19．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 21．（2026·河北承德第二中学·联考）（多选）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则（     ） A.  B. 若，则直线过定点 C. 若，则直线的斜率为 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 22．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 23．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 24．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，，为抛物线上不同的两点，下列说法正确的是（     ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. 若的中点横坐标为2，则直线的斜率为 C. 直线的方程为 D. 若、、三点共线，则以为直径的圆一定与抛物线的准线相切 25．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（     ） A.  B. 点的坐标为 C. 设点，若点为上的动点，则的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 26．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）（多选）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为.设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则（       ） A. 准线的方程为 B.  C. 为钝角 D. 为钝角三角形 27．（2026·河北衡水·三调）抛物线的准线方程是　　　　　　　． 28．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点到抛物线的准线的距离为，则　　　　　. 29．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． （1）若线段中点的横坐标为1，求的值； （2）求的取值范围． 30．（2026·河北衡水·三调）已知点，，中恰有两个点在抛物线上， （1）求的标准方程； （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 31．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是　　　　　. 32．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 33．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是　　　　　　　　． 34．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 （1）求抛物线的方程； （2）设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 35．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 36．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知过的直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点． （1）求抛物线的方程； （2）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离． 37．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； （2）若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 38．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为　　　　　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抛物线 考点01 抛物线 考点01 抛物线 1．A 2．A 3．B 4．BD 5．D 6．BC 7．C 8．D 9．C 10．A 11．D 12．B 13．C 14．A 15．D 16．ABD 17．A 18．A 19．C 20．A 21．ABD 22．B 23．BCD 24．ACD 25．ABD 26．BD 27．【答案】 【分析】 将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程. 【详解】 由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 解得，故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 28．【答案】 【分析】 由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】 由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 29．【答案】（1）3；     （2）.      【分析】 （1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解. （2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解. (1) 小问详解： 抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. (2) 小问详解： 由直线过点，设直线的方程为， 由 消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 30．【答案】（1）     （2） ∵，∴， ∴设直线， 则联立方程组得 ，即， ∴，∴， ∴， ∴直线过动点. 【分析】 （1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的值，得到标准方程； （2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数的值，得到直线的定点. (1) 小问详解： 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 根据题意可知， ∴的标准方程为 (2) 小问详解： 略 31．【答案】 【分析】 分为且，和三种情况分别讨论的取值范围. 【详解】 抛物线的准线为直线， 当且时，曲线为椭圆在轴及其上方的部分， 因为直线与曲线只有一个交点，所以，解得； 当时，曲线为圆在轴及其上方的部分， 此时直线与其只有一个交点； 当时，曲线为双曲线在轴上方的一支，此时直线与曲线只有一个交点. 综上所述，实数的取值范围为. 32．【答案】（1）p的值为2，t的值为4．     （2）．      【分析】 （1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； (1) 小问详解： 由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． (2) 小问详解： 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程 ，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 33．【答案】1 【分析】 利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 34．【答案】（1）     （2） 证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立 ，得， 则， 所以， 则， 易知点O，A，B不共线，故和的夹角为钝角， 故为钝角三角形.      【分析】 （1）解法一：写出焦点到直线的距离公式，根据距离最小值，即可求解；解法二，利用几何意义，直接列式，即可求解； （2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明. (1) 小问详解： 解法一：抛物线C的焦点为， 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 点F到l的距离，d取最大值，当且仅当取最小值，即， 此时d取到最大值1，即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 解法二：因为动直线l过点， 所以点F到直线l的距离的最大值为点F到点的距离， 即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； (2) 小问详解： 略 35．【答案】（1）；     （2）①；②.      【分析】 （1）根据抛物线的定义求抛物线方程即可； （2）① 设，，，联立抛物线并应用韦达定理求，纵坐标的乘积；② 利用三角形面积公式列方程求参数，即可得斜率. (1) 小问详解： 由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； (2) 小问详解： ① 易得的斜率不为0，设，，， 由 ，得，得 ，故，纵坐标的乘积为. ② 由， 所以，则，故的斜率为. 36．【答案】（1）     （2）点的坐标为，最短距离为      【分析】 （1）设直线，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，再根据垂直得到点乘为0，代入韦达定理式，求出值即可； （2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，再结合二次函数性质即可求出最短距离. (1) 小问详解： 由题意知，直线的斜率不为0， 设直线方程为， 由 得，， 因为，所以，即， 所以，而，所以，所以 故，故抛物线的方程为； (2) 小问详解： 设点的坐标为， 则点到直线的距离， 当时，取得最小值，此时点的坐标为，最短距离为. 37．【答案】（1）或或     （2）      【分析】 （1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，综合可得出直线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值. (1) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则的方程为，与抛物线只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在，设的方程为， 联立 消去得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程为或或. (2) 小问详解： 因为直线过点，又过点，所以直线的方程为， 设、，联立 消去得，则， 因为点为抛物线的焦点，故， 即线段的长为. 38．【答案】4 【分析】 结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】 如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B，设，所以，所以，所以 ，在中，，， 又，所以，记准线与对称轴交于点C， 因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4. 故答案为：4. 39．【答案】（1）2     （2）16     （3）证明：设，，的方程为． 由 ，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由 ，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 【分析】 （1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可． （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可． （3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点． (1) 小问详解： 抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． (2) 小问详解： 由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立 ，得， ， 所以，， . (3) 小问详解： 略. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抛物线 1大高频考点概览 考点01 抛物线 考点01 抛物线 1．（2026·河北承德第二中学·联考）抛物线的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 因为抛物线的标准方程为，所以准线方程为， 故选：A. 2．（2026·河北衡水·三调）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（       ） A. 2 B. 1 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 根据条件，利用抛物线的定义，即可求出结果. 【详解】 因为到抛物线焦点的距离为， 所以由抛物线定义知，，解得， 故选：A. 3．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】 设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）已知曲线，则下列结论正确的是（       ） A. 当时，曲线C表示椭圆 B. 当时，曲线C表示双曲线 C. 曲线C可能表示两条直线 D. 曲线C不可能表示抛物线 【答案】BD 【分析】 根据椭圆、双曲线的标准方程，结合直线、抛物线方程，可得答案. 【详解】 若曲线C表示椭圆，则 ，解得，故A错误； 若曲线C表示双曲线，则，解得，故B正确； 曲线C不可能表示两条直线，故C错误； 无论m取何值，曲线C都不可能表示抛物线，故D正确． 故选：BD． 5．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在拋物线上，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 将代入可得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】 由题意可知，抛物线的准线为，点在抛物线上，则，解得，即， 则由抛物线的定义可得，． 故选：D 6．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）（多选）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（     ） A.  B. 面积的最小值为2. C.  D. 可能为直角. 【答案】BC 【分析】 对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【详解】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则 ， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 7．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】 抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 8．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）抛物线C：的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将抛物线方程化为标准式，得到，求出准线方程. 【详解】 抛物线的标准方程为， 抛物线C的焦点在x轴的负半轴上且，故其准线的方程为. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 由抛物线的定义结合题意计算可得. 【详解】 由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点F的距离为3， 根据抛物线的定义，可得点P到准线的距离为3，即，解得， 因点是抛物线上的点，则，又，则. 故选：C. 10．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 设，，由点差法即可求解. 【详解】 设，，则， 由 ：作差得， 得. 故选：A 11．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程． 【详解】 因为点在抛物线上，则， 可得抛物线， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为． 故选：D 12．（2026·河北承德第二中学·联考）设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用抛物线的定义求出的坐标，结合直角三角形可求答案. 【详解】 设，由抛物线的定义可得，所以，； 不妨设，则,所以. 故选：B 13．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 14．（2026·河北衡水·三调）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则（       ） A. 2 B.  C. 8 D. 4 【答案】A 【详解】由题意设，，再由的周长为得到关于的方程，从而求得的值. 【详解】双曲线渐近线方程为， 抛物线的准线方程为， 则，，， ， 又的周长为， ， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、抛物线的准线方程、三角形的周长等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将周长表示成关于的方程. 15．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是 A.  B. （）和 C. （） D. （）和（） 【答案】D 【详解】圆化为，圆心，半径，设动圆的圆心为，半径为，则根据题意，且，即，当时，化简有，即， 当时，化简有，即，故选择D. 点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点满足定义，它到准线的距离为，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力. 16．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（     ） A. k的取值范围为 B.  C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 【答案】ABD 【分析】 求出抛物线的焦点、准线方程，将直线的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A；利用抛物线的定义结合几何图形推理判断B；利用韦达定理求出判断C；利用斜率坐标公式、结合韦达定理求解判断D. 【详解】 抛物线C：的焦点，准线，点，直线， 对于A，由 消去得：，依题意， ， 解得且，因此k的取值范围为，A正确； 对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则， 因此，即，B正确； 对于C，由，得，设， 则，而，联立解得，C错误； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， ， 令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率， 而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确. 故选：ABD 【点睛】 关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键. 17．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（       ） A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】A 【分析】 设点，表示出点的坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】 设点，由轴，得，且， 又，则，又，所以. 故选：A 18．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（     ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【分析】 联立双曲线与抛物线方程得0，利用求出点的横坐标即可得答案. 【详解】 因为与在第一象限内存在交点，所以， 又，所以.联立 得0， 由对称性可知与在第四象限的交点的横坐标与点的横坐标相等， 故仅有一解，所以，得， 所以.将代入得， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 则，轨迹是圆的一部分. 故选：A. 19．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将点代入抛物线方程，再化简得到标准方程，由标准方程写出准线方程直接计算求解即可. 【详解】 因为点在抛物线上，所以，得到，抛物线的标准方程为，所以该抛物线的准线方程为。 故选：C 20．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【分析】 充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【详解】 分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 21．（2026·河北承德第二中学·联考）（多选）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则（     ） A.  B. 若，则直线过定点 C. 若，则直线的斜率为 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ABD 【分析】 根据抛物线定义求得，判断A选项；设直线方程，联立直线和抛物线方程，借助韦达定理，由得，解得，得到直线必过的定点，判断B选项；由得三点共线，设根据题意和抛物线的性质可知，，，然后由直角三角形边角关系求得斜率，判断C选项；求出外接圆圆心的纵坐标，即可求得该圆半径，判断D选项. 【详解】 对于A，根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线，，故A正确； 对于B，因为直线，，的斜率必存在，设直线的方程为，，， 联立方程 消去得，则，，，因为， 所以， 解得，满足，所以直线过定点，故B正确； 对于C，因为，所以直线过焦点，且， 设直线的倾斜角为，当在第一象限时，如图，过点，分别向准线作垂线段，， 过点向作垂线段，设，则，，， 则，，，， 当在第二象限时，同理可得，所以直线的斜率为，故C错误； 对于D，因为线段的垂直平分线为，所以外接圆圆心的纵坐标为，所以外接圆半径为，故D正确. 故选：ABD. 22．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】 过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 23．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 【答案】BCD 【分析】 对于A，由题设易得，进而得到抛物线：，，进而求解判断即可；对于B，设，，：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及向量运算可得为钝角，进而判断即可；对于C，表示出直线的斜率为，进而分析判断即可；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，结合抛物线的定义可得为的中点，可得平行于轴，进而求解判断即可. 【详解】 对于A，由题可知，则，则抛物线：，， 故，故A错误； 对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：， 联立 ，得， 则， 且，，则， 所以， 所以，因为， 所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为， 所以直线的斜率为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 因为为的中点，所以平行于轴， 因为，所以，则，即， 故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD 24．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，，为抛物线上不同的两点，下列说法正确的是（     ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. 若的中点横坐标为2，则直线的斜率为 C. 直线的方程为 D. 若、、三点共线，则以为直径的圆一定与抛物线的准线相切 【答案】ACD 【分析】 由标准方程得到焦点坐标和准线方程判断选项A；为抛物线上不同的两点，的中点横坐标为2，由斜率公式化简判断选项B；由点斜式直接写出直线的方程，将纵坐标用横坐标 表示化简即可判断选项C；利用抛物线定义证明圆心到准线的距离等于即可判断选项D. 【详解】 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 故抛物线的焦点到准线的距离为2，A正确； 直线的斜率，当的中点横坐标为2，有， 则直线的斜率为，故B错误； 由得直线的方程为， 即， 化简得，故C正确； 分别过两点作，垂足分别为， 设弦的中点为，作，垂足为，则， 故以为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故D正确． 故选：ACD． 25．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（     ） A.  B. 点的坐标为 C. 设点，若点为上的动点，则的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由抛物线的通径长求出的值，可判断B选项；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断C选项；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】 抛物线的焦点为，联立 ，解得 ， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立 可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立 可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则 ， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立 可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立 可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 【点睛】 方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 26．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）（多选）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为.设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则（       ） A. 准线的方程为 B.  C. 为钝角 D. 为钝角三角形 【答案】BD 【分析】 A选项，由四边形为菱形且，求出的值，得抛物线方程和准线方程；由已知可得直线的倾斜角为，方程为，与抛物线方程联立求出两点坐标，求出判断B选项，利用向量数量积判断角的范围验证CD选项. 【详解】 不妨设点在第一象限，如图， 对于A，由抛物线方程中的几何意义可知，， 四边形为菱形，， 为的中点，，解得， 抛物线的标准方程为，准线的方程为，A错误， 对于B，方法一： 在中，，，直线的倾斜角为， ，直线的方程为， 设，，联立得方程组 消去并整理，得， 解得 或 则，， ，， 则，B正确， 方法二： 若直线过焦点，则有结论：， ，，， ， 而，，B正确， 对于C，方法一： 易知，，， ， ，为锐角，C错误， 方法二： 由抛物线的性质可知，以为直径的圆与准线相切， 又直线的倾斜角为，切点不是点，则点在圆外， 由圆的性质可知，为锐角，C错误， 对于D，在中，， ，，， ， 为钝角，则为钝角三角形，D正确. 故选：BD. 27．（2026·河北衡水·三调）抛物线的准线方程是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程. 【详解】 由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 解得，故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 28．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点到抛物线的准线的距离为，则　　　　　. 【答案】 【分析】 由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】 由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 29．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． （1）若线段中点的横坐标为1，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）3；     （2）.      【分析】 （1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解. （2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解. (1) 小问详解： 抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. (2) 小问详解： 由直线过点，设直线的方程为， 由 消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 30．（2026·河北衡水·三调）已知点，，中恰有两个点在抛物线上， （1）求的标准方程； （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】（1）     （2） ∵，∴， ∴设直线， 则联立方程组得 ，即， ∴，∴， ∴， ∴直线过动点. 【分析】 （1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的值，得到标准方程； （2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数的值，得到直线的定点. (1) 小问详解： 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 根据题意可知， ∴的标准方程为 (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 分为且，和三种情况分别讨论的取值范围. 【详解】 抛物线的准线为直线， 当且时，曲线为椭圆在轴及其上方的部分， 因为直线与曲线只有一个交点，所以，解得； 当时，曲线为圆在轴及其上方的部分， 此时直线与其只有一个交点； 当时，曲线为双曲线在轴上方的一支，此时直线与曲线只有一个交点. 综上所述，实数的取值范围为. 32．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 【答案】（1）p的值为2，t的值为4．     （2）．      【分析】 （1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； (1) 小问详解： 由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． (2) 小问详解： 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程 ，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 33．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 34．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 （1）求抛物线的方程； （2）设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 【答案】（1）     （2） 证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立 ，得， 则， 所以， 则， 易知点O，A，B不共线，故和的夹角为钝角， 故为钝角三角形.      【分析】 （1）解法一：写出焦点到直线的距离公式，根据距离最小值，即可求解；解法二，利用几何意义，直接列式，即可求解； （2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明. (1) 小问详解： 解法一：抛物线C的焦点为， 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 点F到l的距离，d取最大值，当且仅当取最小值，即， 此时d取到最大值1，即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 解法二：因为动直线l过点， 所以点F到直线l的距离的最大值为点F到点的距离， 即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】（1）；     （2）①；②.      【分析】 （1）根据抛物线的定义求抛物线方程即可； （2）① 设，，，联立抛物线并应用韦达定理求，纵坐标的乘积；② 利用三角形面积公式列方程求参数，即可得斜率. (1) 小问详解： 由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； (2) 小问详解： ① 易得的斜率不为0，设，，， 由 ，得，得 ，故，纵坐标的乘积为. ② 由， 所以，则，故的斜率为. 36．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知过的直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点． （1）求抛物线的方程； （2）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离． 【答案】（1）     （2）点的坐标为，最短距离为      【分析】 （1）设直线，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，再根据垂直得到点乘为0，代入韦达定理式，求出值即可； （2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，再结合二次函数性质即可求出最短距离. (1) 小问详解： 由题意知，直线的斜率不为0， 设直线方程为， 由 得，， 因为，所以，即， 所以，而，所以，所以 故，故抛物线的方程为； (2) 小问详解： 设点的坐标为， 则点到直线的距离， 当时，取得最小值，此时点的坐标为，最短距离为. 37．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； （2）若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 【答案】（1）或或     （2）      【分析】 （1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，综合可得出直线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值. (1) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则的方程为，与抛物线只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在，设的方程为， 联立 消去得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程为或或. (2) 小问详解： 因为直线过点，又过点，所以直线的方程为， 设、，联立 消去得，则， 因为点为抛物线的焦点，故， 即线段的长为. 38．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】 如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B，设，所以，所以，所以 ，在中，，， 又，所以，记准线与对称轴交于点C， 因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4. 故答案为：4. 39．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【答案】（1）2     （2）16     （3）证明：设，，的方程为． 由 ，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由 ，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 【分析】 （1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可． （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可． （3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点． (1) 小问详解： 抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． (2) 小问详解： 由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立 ，得， ， 所以，， . (3) 小问详解： 略. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $