第1章 一元二次方程 章节复习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1章《一元二次方程》章节复习 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D．0 3．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知菱形的边长是一元二次方程的一个根，且两条对角线长的和为，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D．或 6．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7．已知，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 8．定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 9．如图，小球悬浮于液体中，若，小球质量为，则的值为（    ） A．1 B．4 C．或1 D．或4 10．数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（   ） A．张 B．王 C．李 D．陈 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 12．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是 ． 13．已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 14．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 15．关于的方程有两个实数根，则的最大值为 ． 16．若a是方程的一个根，则的值为 ． 17．如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折． 18．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）解下列一元二次方程 （1） （2） 20．（8分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21．（10分）对于，同学们展开了探究：当时，该等式成立；当时，该等式成立． （1）当时，b等于多少时，该等式成立？ （2）要满足该等式，a，b之间有什么永恒关系？请计算说明； （3）拓展应用：如果一分式方程满足，且解是．我们称之为友好方程．请解方程：． 22．（10分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． （1）若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； （2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 23．（10分）在初中阶段，我们学过的数无论是有理数还是无理数，都统称实数．在高中阶段，我们将认识一种全新的数：虚数．一般的，每一个数都可以表示成：的形式．其中a叫做这个数的实部，叫作虚部，则顾名思义，i便是虚数．当时，这个数叫作纯虚数，当时，这个数叫作实数．例如：6可以表示为：的形式．据此回答下列问题： （1）请用的形式表示； （2）已知，请猜想的值； （3）从以下2个条件中任选一个，猜想的产生： 条件一：该方程无解；条件二：数轴在平面直角坐标系中只相当于x轴． 24．（12分）数学老师在讲一元二次方程的解法的时候，没有看讲义，不假思索地在黑板上写出了一组题目： ①；②；③；④；⑤；⑥. 然后让同学们解这些方程.说来也奇怪，没有出现一个方程无实数根的情况. （1）请仔细观察上述方程的特征，想一想为什么数学老师能“不看讲义”，又“不假思索”地写出了这组一定有实数根的一元二次方程； （2）请你也学着老师写几个这样的方程来． 参考答案 一、选择题 1．A 解：选项A：，方程两边均为整式，仅含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含分式项，不是整式方程，不符合要求． 选项C：， 含两个未知数和，不满足“一元”条件． 选项D：，当时是二次方程，但题目未明确的取值范围，若则变为一次方程，无法确定． 综上，只有选项A符合一元二次方程的定义． 故选：A． 2．A 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，， 解得：， 故选：A． 3．A 解：∵关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：A． 4．D 解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 5．A 解：如图， 由题意得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 解， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．C 解：， ， 方程化为一般式为， 方程有两个实数根， ， 解得． 故选：C． 7．A 解：，是方程的两根， ，， ． 故选：A． 8．B 解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 9．C 解：， ， ， ， 解得：， 故选：C 10．B 解：， 移项得：，故小张正确； 方程左右两边同时除以2可得：，故小王错误； 故小王负责的式子出现错误； 故选：B． 二、填空题 11． 解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 12． 解：∵x3-x=0 ∴x（x+1）（x-1）=0, 则或或 解得： 故答案为： 13．1或2 解：∵一次函数的图像不过第三象限， ∴， 当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当时，，由于， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 14． 解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 15． 解：由题意知，， 解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 16．2024 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 17．/九 解：设商家每次打折，则 ， 解得：（舍去）， 故答案为： 18． 解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 19．（1）解：， 配方，得， 即， 解得，； （2）解：， 因式分解，得， 即或， 解得，． 20．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 21．（1）解：把代入得 ， 解得． （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 令， 上式为：， ， 解得， ． 22．（1）解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为； （2）解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得， 解得：或， 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元． 23．（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴； （3）解：选择条件一，∵， ∴， ∵在实数范围内没有一个实数的平方是负数， ∴原方程无解， ∴需要定义新的数来使得原方程有解，故有虚数的产生． 选择条件二，根据数轴只能表示横轴，则实数只能在横轴上表示，那么二维平面内其他不在横轴上的点无法表示，因此需要虚数作为纵轴，进而可表示出整个二维平面内的点，故由虚数的产生． 24．（1）解：∵在一元二次方程中只要方程就有根， ∴在一元二次方程中二次项系数和常数项互为异号即可， ∵老师写的这些一元二次方程中都是二次项系数和常数项相乘得负数， ∴数学老师能“不看讲义”，由“不假思索”地写出了这组一定有实数根的一元二次方程； （2）解：还可以写出许多符合这一特点的方程，如：，，…… 学科网（北京）股份有限公司 $