第1章一元二次方程 综合测试卷(1) 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心，通过宾馆定价等实际问题、“差根方程”新定义及几何动点综合题，考查运算能力、模型意识与创新意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|概念、根的判别式、增长率问题|结合一次函数考查方程一般形式转化| |填空题|8/16|根与系数关系、“共生数”新定义|通过四位数“共生数”培养抽象能力| |解答题|74分|解方程、种植园小路设计、“差根方程”探究、几何动点|23题宾馆定价问题体现模型意识，27题“差根方程”发展创新思维，28题动点问题融合几何直观与运算能力|

第1章一元二次方程 综合测试卷(1) 考试时间：120分钟 满分：120分 成绩：________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.若关于的一元二次方程(a+2)的一个根是，则的值为（ ） A.2 B.－2 C.2或－2 D. 2.关于的方程根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3.某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4.若一元二次方程化为一般形式后为，则一次函数的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费有如下规定：若一间宿舍一个月用电量不超过，则一个月的电费为20元；若超过，则除了交20元外，超过部分按元/交.已知某宿舍3月份用电，交电费35元；4月份用电，交电费20元，则的值为（ ） A.50 B.55 C.60 D.65 6.定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算.例如：[2，3]※[4，5]=2×5+3×4=22.若关于的方程※[5－2k，有两个实数根，则的取值范围是（ ） A.且 B. C.且 D. 7.若关于的方程的两个根满足，且，则的值为（ ） A.－3 B.1 C.3 D.9 8.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是（ ） A.7 B.11 C.12 D.16 9.如图，在Rt中，.点以的速度从点出发沿边向点移动，同时点以的速度从点出发沿边向点移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止，连接.当四边形的面积为时，点的移动时间为（ ） A. B.或 C. D.或 10.若非零实数满足，且，则代数式的值为（ ） A. B. C.8 D.16 二、填空题(每小题2分，共16分) 11.若非零实数满足，则关于的一元二次方程一定有一个解为________. 12.若m，n是一元二次方程的两个实数根，则m+(n－2)的值为________. 13.若关于的一元二次方程(m－5)有实数根，则m的最大整数值是________. 14.对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”.如：四位数2156，因为，所以2156是“共生数”.现有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字大3，十位上的数字比个位上的数字的一半少1，则这个四位数个位上的数字是________. 15.已知关于的一元二次方程的解是，则关于的一元二次方程的两根之积是________. 16.如图，某军舰从军港出发匀速巡航，先沿正南方向航行200海里到点，再沿正东方向航行200海里到点，位于中点处的一渔船沿南偏东方向匀速直线航行.若该军舰的速度是渔船速度的3倍，且军舰在由点向点航行的途中与渔船相遇于点处，则相遇时渔船航行了________海里. 17.已知关于的一元二次方程.若该方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为________. 18.如图，在平面直角坐标系中，，两点在轴负半轴上，线段，()的长是关于的一元二次方程的两根，是轴负半轴上一点，连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接.当线段的长取最小值时，点的坐标为________，此时线段的长为________. 三、解答题(共74分) 19.(8分)解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 20.(6分)先化简，再求值：，其中是方程的根. 21.(6分)如图，某校有一个长20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分)，小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块.请你求出小路的宽度. 22.(6分)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1) 求的取值范围； (2) 若方程的两个根分别为，且，求的值. 23.(6分)近几年哈尔滨成了冬季游客打卡的一大圣地，冰雪大世界一票难求.哈尔滨某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出30元的各种费用；对无游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出10元的各种费用.若该宾馆希望每天获利13400元，并保证较高的人住率，则每个房间每天的定价应增加多少元? 24.(6分)已知，试判断关于的方程与有没有公共根，并说明理由. 25.(6分)已知关于的一元二次方程有两个实数根. (1) 若，求及的值； (2) 是否存在实数，满足？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 26.(8分)配方法除了可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.例如：因为，所以，即有最小值1，此时；同样，因为，所以，即有最大值6，此时. (1) 当________时，代数式有最________(填“大”或“小”)值，且为________. (2) 当________时，代数式有最________(填“大”或“小”)值，且为________. (3) 如图，矩形花园的一面靠墙(墙无限长)，另外三面用栅栏围成，所用栅栏的总长度为16m.当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 27.(10分)已知，是一元二次方程((全))的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解答下列问题： (1) 通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”： ①，②； (2) 已知关于的方程是“差根方程”，求的值； (3) 若关于的方程(都是常数，)是“差根方程”，请探究与之间的数量关系. 28.(12分)如图，在四边形中，.动点，分别从两点同时出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动. (1) 连接，则经过几秒，的长为？ (2) 连接，是否存在某一时刻，使恰好平分？若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由. 答案 1.A 注意： 二次项系数不为0. 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 解析：由题意，得又有两个实数根，所以有两个实数根，即，且，解得，且.则的取值范围是且. 7. 解析：因为，所以2).又方程的两个根分别为，且，所以.又，所以，解得.则的值为3. 8. 解析：由题意，得，所以.则原式.所以的最小值是16. 9.C 解析：设点的移动时间为s.由题意，得.又.所以点从点移动到点所需的时间为.点从点移动到点所需的时间为，即.又，且11cm，所以，解得(舍去).则点的移动时间为. 10.A 解析：由题意，得，所以可化为.又，所以.又，所以可看作一元二次方程的两个不相等实数根.所以，则 11.12.713.414.415.0 16. 125 解析：设相遇时渔船航行了海里，则军舰航行了海里.过点作于点，则.由题意，得海里，海里，海里，所以，即.因为是的中点，所以是的中位线，即海里，是的中点.所以100海里.所以海里.在Rt中，由勾股定理，得，所以，解得.当100时，，所以渔船沿正南方向航行，不符合题意，舍去.所以.则相遇时渔船航行了125海里. 17. 9或11 解析：设方程的两个整数根分别为，且，则.所以，即.因为，所以或或或，解得或或或.当时，；当时，；当时，.因为为正整数，所以不符合题意，舍去；当时，.同理，不符合题意，舍去.综上，满足条件的正整数的值为9或11. 18. 解析：解方程，得.则.所以点的坐标为.过点作轴于点，则.由旋转的性质，得，则.又，所以，即.所以(AAS).所以.设，则.所以点的坐标为.所以.所以当时，的长取最小值，且最小值为，此时点的坐标为. 19.(1) . (2) . (3) . (4) . 20.原式.解方程，得.又，所以，即.则原式. 21.设小路的宽度为.由题意，得，解得.当时，；当时，，不符合题意，舍去.则小路的宽度为. 22.(1) 由题意，得，解得.则的取值范围为. (2) 由题意，得.又，所以，解得.由(1) ，得，所以.则的值为3. 23.设每个房间每天的定价应增加元.由题意，得13400，解得.因为宾馆还需保证较高的人住率，所以.则每个房间每天的定价应增加100元. 24.这两个方程没有公共根.理由如下：解方程，得.所以此方程的根为.不妨假设这两个方程的公共根为.则把代入方程中，得，整理，得.因为，所以，解得.又2，所以，即，解得，与2矛盾.所以不是这两个方程的公共根.同理，得也不是这两个方程的公共根.则这两个方程没有公共根. 25.(1) 由根与系数的关系，得.因为，所以，即.所以，解得.则的值分别为5，3. (2) 存在.因为方程有两个实数根，所以，解得.由(1) ，得，且.又1)，所以.整理，得，解得(舍去).经检验，是原方程的解.则实数的值为2. 26.(1) 1 小 3 (2) 2 大 7 (3) 设花园与墙相邻的一边长为，则平行于墙的一边长为.所以花园的面积为.因为，所以.则当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大，且最大面积为. 27.(1) 对于方程①，解这个方程，得，所以.则方程①不是“差根方程”；对于方程②，因为，所以.则方程②是“差根方程”. (2) 解方程，得.因为方程是“差根方程”，所以1，解得.则的值为. (3) 设是一元二次方程都是常数，)的两个实数根，则.因为关于的方程是“差根方程”，所以，即.所以. 28.设运动时间为s.因为，点的速度为，点的速度为，所以点到达点所需的时间为(s)，点到达点所需的时间为(s).又动点中有一个到达终点时，另一个随之停止运动，所以的取值范围为. (1) 过点作于点，过点作于点，则.因为，所以，即.所以四边形是矩形.所以.同理，得四边形是矩形，所以.因为，所以.又，所以.又，所以.所以.因为，所以，即.又，所以.又，所以，即，解得(舍去).则经过的长为. (2) 不存在.理由如下：假设存在某一时刻，使恰好平分，则.因为，所以.所以.所以.因为，所以.由(1) ，得，所以，解得.因为，所以上述两解均不符合，假设不成立.则不存在某一时刻，使恰好平分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $