2026--2027学年人教版七年级数学上册第1-4章知识要点

人教版七年级数学上册第1—4章知识要点 第一章 有理数 1.1 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数，如3、0.5、+2。正数前可以加“+”号，也可省略不写。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数，如-3、-0.5。 0：0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 相反意义的量：把具有相反意义的一对数量，用正数和负数分别表示，如收入与支出、上升与下降、向东与向西。通常规定其中一种为正，另一种为负。 【例题】 某超市一天的收入记作正数。若收入200元记作+200元，那么支出150元应记作多少元？ 解：支出与收入是相反意义的量，规定收入为正、支出为负，所以支出150元记作-150元。 1.2 有理数及其大小比较 有理数的概念：整数和分数统称有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 按符号分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 有限小数与循环小数：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。 【例题】 把下列各数填入相应的集合：5、-3、0、0.5、-0.6、π。 解：正数集合：{5，0.5}；负数集合：{-3，-0.6}；整数集合：{5，-3，0}； 注意：π是无限不循环小数，不是有理数；而0.6是有限小数，属于有理数。 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 数轴上的点与有理数：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。一般地，设a是正数，则表示数a的点在原点右边，表示数-a的点在原点左边。 【例题】 在数轴上表示下列各数，并用“<”把它们连接起来：2、-2、-1.5、0、3.5。 解：在数轴上从左到右依次为-2、-1.5、0、2、3.5，所以 -2 < -1.5 < 0 < 2 < 3.5。 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，如2与-2互为相反数。0的相反数是0。一般地，数a的相反数是-a。 双重负号：-(-a)=a，即负号“-”成对出现可抵消。 【例题】 写出下列各数的相反数：5、-7、0、-(-3)。 解：5的相反数是-5；-7的相反数是7；0的相反数是0； 因为-(-3)=3，所以-(-3)的相反数是3的相反数，即-3。 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质：绝对值是一个距离，所以任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 【例题】 求|-5|、|0|、|−(−3)|的值。 解：|-5|=5；|0|=0；因为−(−3)=3，所以|−(−3)|=|3|=3。 有理数的大小比较：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个负数比较大小：绝对值大的反而小。也可借助数轴，右边的点表示的数总比左边的大。 【例题】 比较下列各组数的大小：(1) -2与-5；(2) -0.3与-1/3。 解：(1) |-2|=2，|-5|=5，因为2<5，所以 -2 > -5； (2) |-0.3|=0.3=3/10，|-1/3|=1/3≈0.333，因为3/10<1/3，即|-0.3|<|-1/3|，所以 -0.3 > -1/3。 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 加法法则（同号）：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 加法法则（异号）：异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 同0相加：一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c)。 【例题】 计算：(1) (-3)+(-5)；(2) (-7)+3；(3) 16+(-8)+(-16)+8。 解：(1) (-3)+(-5)=-(3+5)=-8； (2) (-7)+3=-(7-3)=-4； (3) 原式=16+(-16)+[(-8)+8]=0（运用交换律、结合律，把相反数、同号数分别结合）。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a-b=a+(-b)。减法转化为加法后，再按加法法则运算。 【例题】 计算：(1) (-9)-(-5)；(2) 1-(-3)-7。 解：(1) (-9)-(-5)=(-9)+5=-4； (2) 1-(-3)-7=1+3-7=4-7=-3。 2.2 有理数的乘法与除法 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 多个数相乘：几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时积为正，是奇数时积为负，并把绝对值相乘。 乘法运算律：交换律ab=ba；结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac。 【例题】 计算：(1) (-4)×(-6)；(2) (-3)×5；(3) 57×(-4)+57×(-6)。 解：(1) (-4)×(-6)=4×6=24（同号得正）； (2) (-3)×5=-(3×5)=-15（异号得负）； (3) 原式=57×[(-4)+(-6)]=57×(-10)=-570（逆用分配律）。 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b=a×(1/b)（b≠0）。 除法的符号：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0；0不能作除数。 【例题】 计算：(1) (-36)÷(-9)；(2) (-4/5)÷(-2/3)；(3) 24÷(-6)+(-5)×(-2)。 解：(1) (-36)÷(-9)=36÷9=4； (2) (-4/5)÷(-2/3)=(-4/5)×(-3/2)=6/5； (3) 原式=-4+10=6。 2.3 有理数的乘方 乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。即aⁿ表示n个a相乘，读作“a的n次方”，其中a叫底数，n叫指数。 幂的符号：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 易混点：(-a)ⁿ与-aⁿ含义不同，前者底数为-a，后者底数为a、只是对aⁿ取相反数。 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的。 【例题】 计算：(1) (-2)³；(2) -2³；(3) (-1)²⁰²⁴。 解：(1) (-2)³=(-2)×(-2)×(-2)=-8（负数的奇次幂为负）； (2) -2³=-(2×2×2)=-8（先算2³，再取相反数）； (3) (-1)²⁰²⁴=1（2024为偶数，负数的偶次幂为正）。 提醒：(-2)³与-2³结果相同但意义不同；当指数为偶数时区别明显，如(-2)⁴=16，而-2⁴=-16。 科学记数法：把一个大于10或小于-10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|<10，n为正整数），叫做科学记数法。n等于这个数的整数位数减1（或小数点向左移动的位数）。 【例题】 用科学记数法表示：370000与-5840000。 解：370000=3.7×10⁵（整数部分有6位，n=5）； -5840000=-5.84×10⁶。 近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际接近的数叫做近似数。近似数与准确数的接近程度用精确度表示（精确到哪一位）。取近似数常用四舍五入法。 【例题】 按要求取近似值：(1) 3.14159（精确到百分位）；(2) 2.5678（精确到0.1）。 解：(1) 3.14159精确到百分位为3.14； (2) 2.5678精确到0.1为2.6。 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 用字母表示数：字母可以表示任何数，用字母表示数能使数量关系表达得更简洁、更一般。 代数式的概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 书写规范：数字与字母相乘省略乘号且数字写在前面（如3a）；字母与字母相乘省略乘号；除法写成分数形式；带分数与字母相乘要写成假分数；1与字母相乘省略1（1×a写作a）。 【例题】 用代数式表示：(1) a的3倍与b的差；(2) 长为a、宽为b的长方形的周长；(3) 三个连续整数中中间一个为n时，其余两个。 解：(1) 3a-b；(2) 2(a+b)；(3) n-1与n+1。 3.2 代数式的值 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算所得的结果，就是代数式的值。 求值步骤：一“代”（代入数值）、二“算”（按运算顺序计算，注意符号）。 【例题】 当a=-2时，求代数式3a+5的值；当a=2、b=-3时，求a²-b的值。 解：a=-2时，3a+5=3×(-2)+5=-6+5=-1； a=2、b=-3时，a²-b=2²-(-3)=4+3=7。 第四章 整式的加减 4.1 整式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫系数，所有字母的指数的和叫次数。 多项式：几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项。多项式的次数是次数最高的项的次数。 整式：单项式与多项式统称整式。 【例题】 指出单项式-3xy²的系数与次数；指出多项式2x³-x+1的项、次数与常数项。 解：-3xy²的系数是-3，次数是1+2=3； 2x³-x+1的项是2x³、-x、1，次数是3（最高次项2x³的次数），常数项是1。 4.2 整式的加法与减法 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，几个常数项也是同类项。 合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 去括号法则：括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“-”，去括号后各项都变号。即 a+(b+c)=a+b+c，a-(b+c)=a-b-c。 整式加减的实质：去括号＋合并同类项。 【例题】 (1) 合并同类项：3x²-2x+5x²-3x；(2) 化简：3(a+b)-2(a-b)。 解：(1) 原式=(3+5)x²+(-2-3)x=8x²-5x； (2) 原式=3a+3b-2a+2b=(3-2)a+(3+2)b=a+5b。 复习建议 第一章重在概念辨析（正负数、数轴、相反数、绝对值）； 第二章是运算能力，务必熟练掌握法则并能灵活运用运算律简便计算； 第三章是“从数到式”的过渡，掌握用字母表示数与代数式的求值； 第四章是整式运算基础，是后续解方程、分式、二次根式运算的前提。 建议每章先画知识框架图，再通过例题回顾方法，最后用课后习题检验。计算题务必注意符号，含负数的运算要“慢一点、写清楚”。 学科网（北京）股份有限公司 $