第1、2章 有理数、有理数的运算（阶段复习讲义）【导图知识卡片+知识梳理+25个考点讲练+实战演练 共65题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册第一次月考知识清单

2026-2027学年人教版数学七年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第1、2章 有理数、有理数的运算 （知识梳理卡片+知识清单+25个重难点考点讲练+实战演练 共65题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】带“非”字的有理数 8 【重难点考点二】数轴的三要素及其画法 9 【重难点考点三】用数轴上的点表示有理数 11 【重难点考点四】利用数轴比较有理 13 【重难点考点五】数的大小数轴上两点之间的距离 14 【重难点考点六】数轴上点的平移（动点问题） 17 【重难点考点七】数轴上找原点 18 【重难点考点八】数轴上整点覆盖问题 20 【重难点考点九】数轴上的规律探究 21 【重难点考点十】化简多重符号 22 【重难点考点十一】相反数的应用 23 【重难点考点十二】绝对值的几何意义 25 【重难点考点十三】求一个数的绝对值 27 【重难点考点十四】绝对值非负性 28 【重难点考点十五】绝对值的其他应用 30 【重难点考点十六】有理数的大小比较 31 【重难点考点十七】有理数四则混合运算 32 【重难点考点十八】有理数四则混合运算的实际应用 34 【重难点考点十九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 36 【重难点考点二十】数轴上的翻折 38 【重难点考点二十一】乘方运算的符号规律 40 【重难点考点二十二】乘方的应用 42 【重难点考点二十三】算 “24”点 43 【重难点考点二十四】含乘方的有理数混合运算 44 【重难点考点二十五】科学记数法 46 【重难点考点二十六】近似数 46 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第1章 有理数】 知识点一 有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点二 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点三 相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点四 绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点五 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 【第2章 有理数的运算】 知识点一 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点二 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点三 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点四 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点五 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点六 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点七 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点八 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点九 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点十 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点十一 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点十二 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点十三 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点十四 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点十五 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】带“非”字的有理数 【典型例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________}； 非负数集合：{___________}； 整数集合：{___________}； 正分数集合：{___________}． 【答案】 正有理数集合：； 非负数集合：； 整数集合：； 正分数集合：． 【思路引导】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．先化简多重符号，再根据有理数的分类填写即可． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________ ； (2)分数集合：_____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________ ． 【答案】(1)、0、 (2)、、、、 (3)、、0、、 【思路引导】本题考查了有理数的分类，绝对值的性质及有理数的乘方，熟练掌握整数、分数、非负有理数的定义是解题的关键． （1）去绝对值，计算乘方后，根据整数的定义解答即可； （2）计算，根据分数的定义解答即可； （3）根据非负有理数的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 那么整数集合： 、0、 ， 故答案为：、0、； （2）解：， 分数集合： 、、、、 ， 故答案为：、、、、； （3）解：非负有理数集合： 、、0、、 ， 故答案为：、、0、、． 【重难点考点二】数轴的三要素及其画法 【典型例题】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）如图所示的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______． (2)点C表示的数是，点D表示的数是，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． (3)将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【规范解答】（1）解：点A表示的数是，点B表示的数是． （2）略 （3）解：由数轴可知，． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【思路引导】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【规范解答】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 【重难点考点三】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【思路引导】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【规范解答】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 【举一反三练习】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【思路引导】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 【重难点考点四】利用数轴比较有理 【典型例题】（24-25六年级上·山东烟台·期中）画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 【答案】， . 【思路引导】先化简题目给出的各有理数，再在数轴上表示出各数，利用数轴上右边的数总比左边的数大的性质，即可将各数按从小到大连接． 【规范解答】解 先化简各数：；， 画出数轴，在数轴上标出五个数对应的点，如图所示： 根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得． 【举一反三练习】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3) 将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 【思路引导】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； 【重难点考点五】数的大小数轴上两点之间的距离 【典型例题】（25-26七年级上·浙江丽水·期中）如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)求A、B两点之间的距离． (2)当时，求P、Q两点之间的距离． (3)运动时间为t秒时，求P、Q两点在数轴上所表示的数用含t的式子表示 【答案】(1)12 (2)9 (3)当运动时间为t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为． 【思路引导】此题考查了数轴上的动点问题，根据题意正确列出代数式是关键． （1）根据两点间的距离公式进行解答即可； （2）根据数轴上两点间距离进行解答即可； （3）根据题意正确列出代数式即可． 【规范解答】（1）解：点A对应的数是，点B对应的数是10， ，B两点之间的距离为； （2）当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ，Q两点之间的距离为； （3）根据题意得：当运动时间为t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为 【举一反三练习】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)， (2)①；②当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变 【思路引导】本题考查了数轴上的数、单项式的次数及数轴上点运动的距离计算，解题的关键是确定各点初始值，根据运动方向与速度表示出t秒后点的位置，进而计算距离． （1）根据最大负整数的定义得b，根据单项式次数的定义得c； （2）①表示出t秒后A、B的位置，作差得； ②表示出，代入式子分两种情况讨论判断即可． 【规范解答】（1）解：∵最大的负整数是， ∴； ∵单项式的次数是， ∴． 故答案为：；． （2）解：①t秒后，点A的位置：，点B的位置：， ∴． 故答案为：； ②t秒后，点B的位置为，点C的位置为， 由（2）①知， ， 将、代入得：， 当，即时： ， 此时的值不随t的变化而变化； 当，即时： ， 此时的值会随着时间t的变化而改变； 综上，当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 【重难点考点六】数轴上点的平移（动点问题） 【典型例题】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【规范解答】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 【举一反三练习】（25-26七年级上·全国·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶情况记录如下(规定向南为正，向北为负)： 第1批 第 2 批 第 3批 第 4 批 第 5 批 (1)利用数轴，请判断接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米； (2)如果该出租车每千米耗油，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1) 如数轴所示， 该驾驶员在公司向南方向10千米处 (2)在这个过程中共耗油升 【思路引导】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，熟练掌握正数和负数的意义并理清题中的数量关系是解题的关键． （1）根据题意，画出数轴，并将各记录逐个相加减，即可求出答案． （2）求出各记录绝对值之和，再乘以即可求出答案． 【规范解答】（1） 接送完第一批客人后在数轴上的位置为5， 接送完第二批客人后在数轴上的位置为， 接送完第三批客人后在数轴上的位置为， 接送完第四批客人后在数轴上的位置为， 接送完第五批客人后在数轴上的位置为， ∴ 接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司向南方向10千米处． （2）解： ． 答：在这个过程中共耗油升． 【重难点考点七】数轴上找原点 【典型例题】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【思路引导】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 【举一反三练习】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 【答案】(1) 见下图数轴O； (2)或0 (3) 各数在数轴表示如下所示： 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，关键是在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数向右移动2个单位长度即为原点的位置； （2）根据点与点的距离为2个单位长度和点表示的数是，进行分类讨论即可； （3）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵点与点的距离为2个单位长度，且点表示的数是， ∴当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，， 故答案为：或0； （3）解：， 【重难点考点八】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【思路引导】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【规范解答】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 【举一反三练习】（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为______． 【答案】3 【思路引导】本题考查了数轴上的有理数的特点，有理数的加法运算．找出和两点之间的整数，然后计算它们的和，即可解题． 【规范解答】解：数轴上在和之间的所有整数为，，，，，， 则所有整数的和为， 故答案为：3． 【重难点考点九】数轴上的规律探究 【典型例题】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【规范解答】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 【举一反三练习】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【思路引导】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【规范解答】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 【重难点考点十】化简多重符号 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥． (2)当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【思路引导】（1）根据多重符号化简规则，数负号个数，偶数个负号结果为原数，奇数个负号结果为原数相反数； （2）用奇偶判断多负号化简结果，归纳通用规律． 【规范解答】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）解：当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律略 【举一反三练习】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)，； (2)或； (3)；． 【规范解答】（1）解：点、点所表示的数分别为，， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解：图略， ，， ∴． 【重难点考点十一】相反数的应用 【典型例题】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【答案】(1)①③；②； (2) (3) 【思路引导】此题主要考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”、 “奇代数式”的定义并运用． （1）根据定义即可判定； （2）根据“偶代数式”和“奇代数式”的定义即可得到答案； （3）先证明是“奇代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，再证明是“偶代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和是，即可得到对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有② 故答案为：①③；②； （2）∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”， ∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为； （3）∵ ∴是“奇代数式”， ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0， ∵， ∴是“偶代数式” ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是， ∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是， 故答案为：． 【举一反三练习】（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则的值为_____． 【答案】1 【思路引导】结合图形找出相对面，求出与x的值，代入式子中即可解答． 本题考查了正方体相对两个面上的文字，结合图形找出相对面求出与x的值是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得的四个相邻面为，，，， 故与为相对面， 得的四个相邻面为，，，， 故与为相对面， 故与为相对面， ∵ 相对两个面上的数或式的值互为相反数， ∴  ，， ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴ ， 故答案为：1． 【重难点考点十二】绝对值的几何意义 【典型例题】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)14 (2)14或 【思路引导】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算和乘法运算： （1）根据绝对值的意义，结合，，得到，再进行加法运算即可； （2）根据有理数乘法的符号法则，得到同号，得到或，再进行加法运算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）∵，，且， ∴或， ∴或． 【举一反三练习】（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或6.5；（3）①3；，，0，1；②有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【思路引导】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值的几何意义是解题的关键； （1）根据题意可知可看作是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为，然后问题可求解； （2）同理（1）可求； （3）根据绝对值的几何意义及数轴上两点距离可进行求解①②． 【规范解答】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【重难点考点十三】求一个数的绝对值 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，是不为的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】结合绝对值判断字母符号，再根据绝对值大小判断数轴上点到原点距离，逐项判断即可． 【规范解答】解：∵，且，，且， ∴， ∴表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧， ∵， ∴表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离大， 故C选项符合题意． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【思路引导】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 【重难点考点十四】绝对值非负性 【典型例题】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题考查整式的加减运算，整式加减中的化简求值，非负数的性质，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项，进行化简，非负性求出的值，再代入化简后的结果，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式 （3）解：原式 ∵， ∴，． 则原式． 【重难点考点十五】绝对值的其他应用 【典型例题】（25-26七年级上·四川资阳·期中）云云的爸爸驾驶一辆汽车从地出发，若以为原点，向东为正，向西为负，他的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)该汽车最后停在何处？距离地多少千米？ (2)已知这种汽车每千米消耗的油量为升，问这辆汽车这次消耗汽油多少升？ 【答案】(1)该汽车最后停在地的西边，距离地千米 (2)升 【思路引导】本题考查有理数的混合运算的应用，正数和负数，绝对值的意义，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）将这些数相加，如果是正数，则在地的东方；如果是负数，则在地的西方； （2）将这些数的绝对值相加，即得出他所行驶的路程，再乘以每千米耗油量即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴该汽车最后停在地的西边，距离地千米； （2）解：∵这种汽车每千米消耗的油量为升， ∴ （升）， ∴这辆汽车这次消耗汽油升． 【举一反三练习】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）某出租车一天上午从A地出发，在东西方向的道路上营运，每次行驶的路程（单位：记录如下（向东为正，向西为负）： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，出租车在A地的哪个方向？距离A地多远？ (2)若该出租车每千米耗油升，这天上午共耗油多少升？ 【答案】(1)在A地东侧，距离A地 (2)共耗油升 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算及绝对值的应用，解题的关键是明确正负数的意义及路程与耗油量的关系． （1）将所有行驶路程相加，根据结果的正负判断方向，绝对值表示距离； （2）求出所有行驶路程的绝对值之和，再乘以每千米耗油量． 【规范解答】（1）解：． 答：出租车在A地的东方，距离A地． （2）解：总路程为： ， 耗油量为（升）． 答：这天上午共耗油升． 【重难点考点十六】有理数的大小比较 【典型例题】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上有A、B、C三个点，现将点C向左移动5个单位长度后得到点D，请回答下列问题： (1)D表示的数为________，A、D两点之间（不包括点A、D）的整数的和是________． (2)用“”把A、B、C、D表示的数连接起来为________． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加减计算，有理数比较大小，熟知相关知识是解题的关键． （1）用点C表示的数减去点C移动到点D的距离可得点D表示的数，根据点A和点D表示的数可得A、D两点之间（不包括点A、D）的整数，再把这些整数求和即可得到答案； （2）根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较出四个数的大小即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵将点C向左移动5个单位长度后得到点D，且点C表示的数为， ∴点D表示的数为， ∵点A表示的数为，点D表示的数为， ∴A、D两点之间（不包括点A、D）的整数有， ∴A、D两点之间（不包括点A、D）的整数的和是； （2）解：∵， ∴． 【举一反三练习】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价元，智能手写笔每支定价元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该商城购买平板电脑6台，智能手写笔x支（） (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的代数式表示）， 若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)， (2)按方案一购买较为合算 【思路引导】本题考查列代数式的应用，代数式求值，有理数的计算及比较大小，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键． （1）根据题意，分别按方案一和方案二列式化简即可得到答案； （2）将代入（1）中的两个代数式，求值并比较即可解决问题． 【规范解答】（1）解：按方案一购买，需付款：元， 按方案二购买，需付款：元． 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一：（元， 方案二：（元， ， 此时按方案一购买较为合算． 【重难点考点十七】有理数四则混合运算 【典型例题】（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，可得第④个等式； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）把每一项提公因数，就变成第二问的规律，利用第二问的规律可求出本题的答案． 【规范解答】（1）解：根据第①②③个等式规律可知： 第④个等式为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【举一反三练习】（26-27七年级上·广东珠海·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）先算乘法，再利用减法的性质计算即可； （2）先算括号内的算式，再计算除法． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【重难点考点十八】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】某路公交车从起点站台发车，经过四站后到达终点站，已知各站上下车的乘客人数如下（上车为正，下车为负）∶起点，，，，，终点 )． (1)请在横线上填写适当的数，并说明该数的实际意义． (2)行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？此时乘客有多少人？ (3)若该公交车的票价为每人元，则这趟出车能收入多少元？ 【答案】(1)；的实际意义是到终点站下车的乘客有人 (2)公交车行驶在站和站之间时车上的乘客最多，为人 (3)这趟出车能收入元 【思路引导】（1）根据上车为正，下车为负计算每一站到站后车上的实际人数，最后得到到达终点站之前车上的人数，即可得到答案． （2）根据（1）中的计算即可得出答案． （3）计算所有站的上车人数乘票价，即是这趟出车的总收入． 【规范解答】（1）解：起点站到站，车上人数是人， 站到站，车上人数是人， 站到站，车上人数是人， 站到站，车上人数是人， 站到终点站，车上人数是人， ∴到终点站下车的乘客有人． 故答案为：；的实际意义是到终点站下车的乘客有人； （2）解：由（1）可知，公交车行驶在站和站之间时车上的乘客最多，为人； （3）解：这趟出车总收入为：（元）． 答：这趟出车能收入元． 【举一反三练习】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油升 【思路引导】（1）将各数相加，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先求出前四次巡逻车行驶的总路程，再求出总的耗油量，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米； （2）解：， 则， 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升． 【重难点考点十九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，，为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：____，_____，_____ (2)在数轴上标出，，的相反数所对应的点的位置． (3)若，，，求，，的值． 【答案】(1)＜；＞；＞； (2) (3)，，． 【思路引导】（1）根据数轴即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解 ； （3）根据数轴分类讨论即可． 【规范解答】（1）解：根据数轴可知：， （2）略 （3），，， ，，， ，，， ，，． 【举一反三练习】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 【重难点考点二十】数轴上的翻折 【典型例题】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】(1)，1 (2)①p的值为1.5；②p的值为0.75或2或3.5 【思路引导】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负整数是，的相反数是1，据此解答即可； （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可； ②分三种情况进行分析计算． 【规范解答】（1）解：a是最大的负整数，b是a的相反数， ∴，； （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②当对折后点A到B，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点C到A，B距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点B到A，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)如图1，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． (2)若折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，此时，数轴上有两点（点在的左侧）经折叠后也重合且它们之间距离为个单位，则两点表示的数分别是________和______．（用含的代数式表示） (3)如图2，在数轴上剪下表示和4的两点间的一段纸带，并把纸带两端分别朝纸带的中间处折叠，使表示和4的两点的重合处与原点的距离为个单位，求两条折痕处对应的点所表示的数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)2 (2)； (3)和或和 【思路引导】本题主要考查了数轴、列代数式及两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据对称性找到折痕的点为原点，可以得出与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为，再结合两点之间的距离为个单位长度即可解决问题； （3）根据题意列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折痕为原点， 表示的点与2表示的点重合， 故答案为：2； （2）解：∵， ∴折痕表示的点为， ∵点在的左侧，且两点之间的距离为个单位长度， ∴点、点分别表示的数为和； 故答案为：和； （3）解：由题知， ∵折叠后表示和4的两点的重合处与原点的距离为个单位， 则当重合处在原点左侧时，重合处表示的数为， ，， ∴两条折痕处对应的点所表示的数为和； 当重合处在原点右侧时，重合处表示的数为， ，， ∴两条折痕处对应的点所表示的数为和， 综上所述，两条折痕处对应的点所表示的数为和或和． 【重难点考点二十一】乘方运算的符号规律 【典型例题】（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【规范解答】解：原式 ， ． 故选：． 【举一反三练习】（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【思路引导】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【规范解答】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． 【重难点考点二十二】乘方的应用 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【答案】(1)6 (2)解：由（1）可推知，从开始的个连续奇数的和是：． 验证猜想：时，， 时，． 验证正确． 【思路引导】（1）观察图形总结规律解答即可； （2）利用（1）得出的规律即可解决问题． 【规范解答】（1）解：由题可知： ， ， ， ， ， ∴． （2）略． 【举一反三练习】（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【思路引导】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【规范解答】解：设， 则 ∴， 即． 【重难点考点二十三】算 “24”点 【典型例题】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【思路引导】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【规范解答】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 【举一反三练习】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【规范解答】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 【重难点考点二十四】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【举一反三练习】（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】（1） （2） 【思路引导】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【重难点考点二十五】科学记数法 【典型例题】我国自主研发的人工智能DeepSeek提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2024年2月，DeepSeek的全球下载量约为380000000次．将数380000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是掌握科学记数法的表示规则，即表示为的形式时，满足，为整数，的值由原数小数点移动位数确定． 【规范解答】解：科学记数法要求表示为，其中，为整数， ∵将转化为满足条件的，可得，原数的小数点向左移动了位， ∴，即． 【举一反三练习】据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【规范解答】解：亿， ∴． 【重难点考点二十六】近似数 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东日照·期中）对于下列说法：①有理数可以分为整数、正分数、负分数和0；②立方等于本身的数是；③如果，那么；④四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千位；⑤单项式的次数是5．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数分类、有理数的乘方运算、有理数的大小比较、近似数精确度及单项式次数，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【规范解答】解：有理数可以分为整数和分数，整数包括0，故①错误； 立方等于本身的数是0和；故②错误； ，不能得到，比如时，，但；故③错误； 四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千分位；故④错误； 单项式的次数是；故⑤错误； 故选A． 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【规范解答】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 2．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【思路引导】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【规范解答】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点． 3．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（     ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 【答案】A 【思路引导】分别找出每个选项四位数的最大数字、最小数字，求二者之差，检验差能否被3整除，满足条件即为完美提取数． 【规范解答】解：A、4213，最大数字，最小数字，，是的倍数，此选项符合题意； B、5125，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； C、2369，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； D、8347，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如果，，那么A和B的关系是（     ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【思路引导】将A、B拆为含相同乘积项的形式，比较剩余部分的大小． 【规范解答】解：，， ∵ 两式相同部分为，且， ∴ ． 5．（26-27七年级上·江苏·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【思路引导】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数． 【规范解答】解：，， 当A落在16对应的点时，点C表示的数为：， 当A落在4对应的点时，点C表示的数为：． 综上所述，点点C表示的数为1或． 6．（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 【答案】或 【思路引导】根据题意，得到，再化简绝对值，求出，，再利用减法法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∴，， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 7．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）我们已经知道，表示数轴上表示数a的点到原点的距离．若，，且，则的值是_________或_________． 【答案】 3 13 【思路引导】先由绝对值的定义求出a，b的可能取值，结合得出a，b，进而代入式子计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴当，时，； 当，时，． ∴的值是3或13． 8．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 【答案】 【思路引导】先根据题目中的定义得到各数的整数部分，再进行有理数的加法运算求解即可． 【规范解答】解：由题意可得，． 9．（2026七年级上·全国·专题练习）的最大值是_______． 【答案】5 【规范解答】解：当时， ； 当时， 当时，代数式的值最大， 当时， ； 所以当时，原代数式取得最大值为5． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【思路引导】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【规范解答】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 11．（2026七年级上·全国·专题练习）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)　　，　　． (2)在数轴上标出表示，0，，的点，并用““连接起来． 【答案】(1)2； (2)； 【思路引导】（1）根据数轴得出，根据是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3，得出即可； （2）根据数轴上点的特点将，0，，表示在数轴上，然后再比较大小即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得； 是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3， ； （2）解：，， 在数轴上表示各数：略 用“”连接各数为：． 12．（26-27七年级上·江苏南京·单元测试）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】(1)21，7 (2)11，18 (3)如下图∶点表示孙子现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒，奶奶像孙子那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为；孙子像奶奶那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为； ∴奶奶比孙子大（岁）， ∵，， ∴孙子现在岁，奶奶现在岁． 【思路引导】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求，再根据题意可知，进而可求出的值； （2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （3）根据方法画出图形求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为， ∴， ∵， ∴， 即： （2）解：由（1）可得：点所表示的数是：； 点所表示的数是：； （3）略 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【思路引导】（1）先化简分数，然后按照有理数的乘法进行约分，计算即可求出答案． （2）先按照正负得负，负负得正化简式子，然后按照有理数的乘法分配律计算即可． （3）把写成，然后利用有理数乘法分配律进行计算即可得解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 14．（2026七年级上·河北·专题练习）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为 (3)或 【思路引导】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点M到点A，点B的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，点表示的数为 （2）解：依题意，得点到点，点的距离均为：， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为； （3）解：根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 15．（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】(1)2或8 (2)12；18 (3)如图， 小明与表姐的年龄差为： （岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为16岁，小明的年龄为12岁． 【思路引导】（1）分点M向右或向左移动两种情况讨论； （2）根据题意点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等，即可求得答案； （3）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄． 【规范解答】（1）解：当点M向右移动时，； 当点M向左移动时，， 综上，a的值为：2或8； （2）解：由题意可知：点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （3）略 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年人教版数学七年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第1、2章 有理数、有理数的运算 （知识梳理卡片+知识清单+25个重难点考点讲练+实战演练 共65题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】带“非”字的有理数 8 【重难点考点二】数轴的三要素及其画法 8 【重难点考点三】用数轴上的点表示有理数 9 【重难点考点四】利用数轴比较有理 10 【重难点考点五】数的大小数轴上两点之间的距离 11 【重难点考点六】数轴上点的平移（动点问题） 12 【重难点考点七】数轴上找原点 13 【重难点考点八】数轴上整点覆盖问题 13 【重难点考点九】数轴上的规律探究 14 【重难点考点十】化简多重符号 14 【重难点考点十一】相反数的应用 15 【重难点考点十二】绝对值的几何意义 16 【重难点考点十三】求一个数的绝对值 17 【重难点考点十四】绝对值非负性 17 【重难点考点十五】绝对值的其他应用 18 【重难点考点十六】有理数的大小比较 19 【重难点考点十七】有理数四则混合运算 19 【重难点考点十八】有理数四则混合运算的实际应用 20 【重难点考点十九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 21 【重难点考点二十】数轴上的翻折 22 【重难点考点二十一】乘方运算的符号规律 23 【重难点考点二十二】乘方的应用 24 【重难点考点二十三】算 “24”点 25 【重难点考点二十四】含乘方的有理数混合运算 25 【重难点考点二十五】科学记数法 26 【重难点考点二十六】近似数 26 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第1章 有理数】 知识点一 有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点二 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点三 相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点四 绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点五 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 【第2章 有理数的运算】 知识点一 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点二 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点三 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点四 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点五 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点六 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点七 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点八 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点九 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点十 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点十一 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点十二 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点十三 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点十四 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点十五 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】带“非”字的有理数 【典型例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________}； 非负数集合：{___________}； 整数集合：{___________}； 正分数集合：{___________}． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________ ； (2)分数集合：_____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________ ． 【重难点考点二】数轴的三要素及其画法 【典型例题】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）如图所示的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______． (2)点C表示的数是，点D表示的数是，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． (3)将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【重难点考点三】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【举一反三练习】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【重难点考点四】利用数轴比较有理 【典型例题】（24-25六年级上·山东烟台·期中）画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 【举一反三练习】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【重难点考点五】数的大小数轴上两点之间的距离 【典型例题】（25-26七年级上·浙江丽水·期中）如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)求A、B两点之间的距离． (2)当时，求P、Q两点之间的距离． (3)运动时间为t秒时，求P、Q两点在数轴上所表示的数用含t的式子表示 【举一反三练习】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【重难点考点六】数轴上点的平移（动点问题） 【典型例题】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练习】（25-26七年级上·全国·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶情况记录如下(规定向南为正，向北为负)： 第1批 第 2 批 第 3批 第 4 批 第 5 批 (1)利用数轴，请判断接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米； (2)如果该出租车每千米耗油，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【重难点考点七】数轴上找原点 【典型例题】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【举一反三练习】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 【重难点考点八】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【举一反三练习】（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为______． 【重难点考点九】数轴上的规律探究 【典型例题】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【举一反三练习】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【重难点考点十】化简多重符号 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【举一反三练习】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【重难点考点十一】相反数的应用 【典型例题】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【举一反三练习】（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则的值为_____． 【重难点考点十二】绝对值的几何意义 【典型例题】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【举一反三练习】（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【重难点考点十三】求一个数的绝对值 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，是不为的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（     ） A． B． C． D． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【重难点考点十四】绝对值非负性 【典型例题】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中a、b满足． 【重难点考点十五】绝对值的其他应用 【典型例题】（25-26七年级上·四川资阳·期中）云云的爸爸驾驶一辆汽车从地出发，若以为原点，向东为正，向西为负，他的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)该汽车最后停在何处？距离地多少千米？ (2)已知这种汽车每千米消耗的油量为升，问这辆汽车这次消耗汽油多少升？ 【举一反三练习】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）某出租车一天上午从A地出发，在东西方向的道路上营运，每次行驶的路程（单位：记录如下（向东为正，向西为负）： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，出租车在A地的哪个方向？距离A地多远？ (2)若该出租车每千米耗油升，这天上午共耗油多少升？ 【重难点考点十六】有理数的大小比较 【典型例题】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上有A、B、C三个点，现将点C向左移动5个单位长度后得到点D，请回答下列问题： (1)D表示的数为________，A、D两点之间（不包括点A、D）的整数的和是________． (2)用“”把A、B、C、D表示的数连接起来为________． 【举一反三练习】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价元，智能手写笔每支定价元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该商城购买平板电脑6台，智能手写笔x支（） (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的代数式表示）， 若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【重难点考点十七】有理数四则混合运算 【典型例题】（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【举一反三练习】（26-27七年级上·广东珠海·开学考试）计算： (1) (2) 【重难点考点十八】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】某路公交车从起点站台发车，经过四站后到达终点站，已知各站上下车的乘客人数如下（上车为正，下车为负）∶起点，，，，，终点 )． (1)请在横线上填写适当的数，并说明该数的实际意义． (2)行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？此时乘客有多少人？ (3)若该公交车的票价为每人元，则这趟出车能收入多少元？ 【举一反三练习】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【重难点考点十九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，，为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：____，_____，_____ (2)在数轴上标出，，的相反数所对应的点的位置． (3)若，，，求，，的值． 【举一反三练习】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【重难点考点二十】数轴上的翻折 【典型例题】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)如图1，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． (2)若折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，此时，数轴上有两点（点在的左侧）经折叠后也重合且它们之间距离为个单位，则两点表示的数分别是________和______．（用含的代数式表示） (3)如图2，在数轴上剪下表示和4的两点间的一段纸带，并把纸带两端分别朝纸带的中间处折叠，使表示和4的两点的重合处与原点的距离为个单位，求两条折痕处对应的点所表示的数．（用含的代数式表示） 【重难点考点二十一】乘方运算的符号规律 【典型例题】（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练习】（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【重难点考点二十二】乘方的应用 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【举一反三练习】（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【重难点考点二十三】算 “24”点 【典型例题】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【举一反三练习】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【重难点考点二十四】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【举一反三练习】（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1) ； (2) 【重难点考点二十五】科学记数法 【典型例题】我国自主研发的人工智能DeepSeek提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2024年2月，DeepSeek的全球下载量约为380000000次．将数380000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练习】据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【重难点考点二十六】近似数 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (2) ． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东日照·期中）对于下列说法：①有理数可以分为整数、正分数、负分数和0；②立方等于本身的数是；③如果，那么；④四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千位；⑤单项式的次数是5．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 2．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（     ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如果，，那么A和B的关系是（     ）． A． B． C． D．不能确定 5．（26-27七年级上·江苏·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 6．（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 7．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）我们已经知道，表示数轴上表示数a的点到原点的距离．若，，且，则的值是_________或_________． 8．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 9．（2026七年级上·全国·专题练习）的最大值是_______． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 11．（2026七年级上·全国·专题练习）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)　　，　　． (2)在数轴上标出表示，0，，的点，并用““连接起来． 12．（26-27七年级上·江苏南京·单元测试）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（2026七年级上·河北·专题练习）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 15．（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第1、2章有理数、有理数的运算 (知识梳理卡片+知识清单+25个重难点考点讲练+实战演练共65题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】带“非”字的有理数.. ........8 【重难点考点二】数轴的三要素及其画法.， 【重难点考点三】用数轴上的点表示有理数.. 【重难点考点四】利用数轴比较有理...... 【重难点考点五】数的大小数轴上两点之间的距离. ··.11 【重难点考点六】数轴上点的平移（动点问题） ·.12 【重难点考点七】数轴上找原点...... …..13 【重难点考点八】数轴上整点覆盖问题..·.· ….13 【重难点考点九】数轴上的规律探究.· ....14 【重难点考点十】化简多重符号... ....14 【重难点考点十一】相反数的应用... ··..15 【重难点考点十二】绝对值的几何意义.· …….16 【重难点考点十三】求一个数的绝对值..· .17 【重难点考点十四】绝对值非负性.... ….17 【重难点考点十五】绝对值的其他应用.. ...18 【重难点考点十六】有理数的大小比较.. ...........19 【重难点考点十七】有理数四则混合运算... ..19 【重难点考点十八】有理数四则混合运算的实际应用. ..20 【重难点考点十九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 ..21 【重难点考点二十】数轴上的翻折....... ….22 【重难点考点二十一】乘方运算的符号规律.. ..23 【重难点考点二十二】乘方的应用...... 【重难点考点二十三】算“24”点 25 【重难点考点二十四】含乘方的有理数混合运算.。 ..25 第1页共30页 【重难点考点二十五】科学记数法.. 【重难点考点二十六】近似数...· 模块 知识梳理导图指引 1.正数和负数 1.加法 3数轴 ·正数：大于0的数知+5.23，三) 法：号相，取同符号地时通 2.加法运算律 角数：在正椭面加-的数（一3.-15一号 数三素：原有。正方。单位长度 (2)合(a+b)+c=a+(仙+e :0版不是正霞。也不是鱼数， 对应 个蓝与0自道.仍用这个粒 。正数闸座的“4”可省隔不写】 公式： 3.减法 法：减击一个数，手如上文个的图反 2,有理数 o.cacc 公试：a-b=e+(-b) :正分数负分监眼新分数。 第1章 4.相反数 (3)a+0-4 4,兼法 ·有理验的分类： ·只有将号不闻的两个数互为相反数： 有理数 有数 ,0的相反皆是一a,特别地，0的相反被量0 第2章 ,几个常见数的相反数： 有理数的运算 林 分数 -4+3)=-3:-(-5)=+5:-0=0 公式ab 玉。家医分烟分信 eefeee 注：0不视作效 ☆ 5.绝对值 ·一个数的地对值是它到原点的距离体负胶)。 7.有理数的大小比较 七年级上册数学 有理数的运算总结表 -公04%网=0 方适一：数地法，石边的数总比友边的数大 注意事 阶段复习知识点梳理 。地对值处 数地表示 21 第1章有理数 8-b■@+(-b) 先家减法为起注 方法二：法别法通用于两个数) 。正数202色黄 第2章有理数的运算 ·两个正数，绝对值大的敬大 0不作味 6.科学记数法 6.倒数 一·两个负数，地对值大的登反而小 数次为正 其中100的表示减a×10心的形式 ,数服是1约两个数互为图数 监轴上右边的数总比左边的数大 科学记数法 g%10(1≤al≤10) 阳为整型 年0-2nm0me-tiw盈 的制数是（0）。1的的数屋1,0没有酯粉 7,混合运算序 3的数是子一2的数是一 2的留验量号 数轴小想示 8.运填律在简便计算中的应用 分配 的右为正方内左为负方向 ☆ ,有理数的加法法则 9.近似整与有效数字 有理数的法法 12有通数的重方 与0相，仍用遮个数 是圆 交换键：：+b=b+a 网可环数相.职为正：县可两拉相，积为 正何登与0相，得0 10.计算器的使用 结合律：(a+b)+c=a+b+ 利用运题可已 3勃a+0=a 使计更便： 生意：0不健作数 ·便用计行释约有理数 模块 知识清单 温故知新 【第1章有理数】 知识点一 有理数的分类 「正整数 「正整数 整数零 正有理数 正分数 按意义分： 有理数 负整数：按符号分：有理数零 正分数 「负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 注意：（1)零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； (2)零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数， (3)如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无 第2页共30页 限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因 而不属于有理数. 知识要点：(1)用正数、负数表示相反意义的量；(2)有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表 示 表示某种状态 0℃表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点二数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线. 知识要点：（1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π. (2)在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 知识点三相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0. 知识要点：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于 原点对称的： (2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可。 (3)多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简 结果为负， 知识点四绝对值 ()代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.数a 的绝对值记作d. (2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 知识点五有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：(1)数轴比较法；(2)法则比较法：正数大于0,0大于负数，正数大于 负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法.（4)作商比较法；(5)倒数比较法. 【第2章有理数的运算】 知识点一有理数的加法 第3页共30页 (1)有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相 反数的两个数相加得0. ③一个数同0相加，仍得这个数， (在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而确定用那一 条法则.在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”.) (2)相关运算律 交换律：atb=bta;结合律（atb)+c=t(btc)· 知识点二有理数的减法 （1)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b=a叶(-b) (2)方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符 号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律. 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算. 知识点三有理数的加减混合运算 (1)有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法. (2)方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的 和的形式. ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化 知识点四有理数的乘法法则 有理数的乘法 (1)有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 同号得正 异号得负 如：0×2=+82:中③》×3x 不 绝对值相乘 绝对值相乘 (2)任何数同零相乘，都得0. 第4页共30页 知识点五倒数的概念 （1)倒数：乘积是1的两数互为倒数. 一般地，a2=1(a≠0)，就说日(a+0)的倒数是二 (2)方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一样，非常 重要.倒数是伴随着除法运算而产生的， ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同. 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数。 知识点六有理数的乘法运算律 乘法结合律：(aXb)Xc=aX(bXc); 乘法分配律：(a十b)Xc=a×c十bXc. 知识点七多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数 有偶数个时，积为正， ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘。 ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单. 知识点八有理数除法法则 1.有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数， 用字母表示：a÷6a·(b卡0). 2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数 的绝对值的商.0 第5页共30页 除以任何一个不等于0的数，都得0 同号得正 异号得负 (-8)÷(-4)=由0-81÷1-41)=2 9÷(-3)=白091÷1-31)=-3 两数相除 个 两数相除 绝对值相除 绝对值相除 方法指引： (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0， (2)有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并 把绝对值相除”.如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分.乘 除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右. 知识点九有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点十有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算 中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点十一有理数的乘方 (1)有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂，在a”中，a叫做底数，n叫做指数.a读作a的n次方.（将a看作是a的n次方 的结果时，也可以读作a的n次幂.) (2)乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何 正整数次幂都是0. (3)方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做 加减： 知识点十二非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性， 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0. 第6页共30页 知识点十三有理数的混合运算 (1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行 计算；如果有括号，要先做括号内的运算 (2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化. 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转 化为分数进行约分计算， 2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘 积为整数的两个数分别结合为一组求解 3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算 4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便. 知识点十四近似数和有效数字 (1)有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效 数字 （2)近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等 说法 (3)规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的， 前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些， 知识点十五科学记数法一表示较大的数 （1)科学记数法：把一个大于10的数记成a×10”的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正 整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：a×10”,其中1≤a<10,n为正整数.】 (2)规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按 此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n. ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示， 只是前面多一个负号 模块三 重难点讲练能力提升 第7页共30页 【重难点考点一】带“非”字的有理数 【典型例题】(25-26七年级上·山东德州·期中)把下列各数填在相应的大括号里： 2 22 -3,3.1415,-50,-0.2,-(-28),-5.3,7,949%,元 31 正有理数集合：{ }； 非负数集合：{ }: 整数集合：{ }； 正分数集合： 【举一反三练习】(25-26七年级上·广东广州·期中)把下列各数填入相应的大括号里：10%，+川-6， -0,-26,314,(份5，-7,1 (1)整数集合： (2)分数集合：{ }: (3)非负有理数集合：{ 【重难点考点二】数轴的三要素及其画法 【典型例题】(24-25七年级上·辽宁朝阳·期末)如图所示的数轴上，每小格的宽度相等. 20→ 1 (1)填空：数轴上点A表示的数是 一一一，点B表示的数是 (2)点C表示的数是-子，点D表示的数是-1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置. (3)将A,B,C,D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接， 第8页共30页 【举一反三练习】(25-26七年级上·江苏宿迁·期末)“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有 人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每 一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来.完成下列问题： (1)填空：规定了一一一、 和 .的直线叫作数轴 (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数3+x和3一x分别对应的点B和C: A02 (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、BC、D所对应的数分别是ab cd,且满足d=a+b+c,求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O. 【重难点考点三】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】(24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测)七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究， 他们决定研究“折线数轴”. 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下，得到一条“折线数轴”.图 中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，点A与点D在数轴上的距离为45个单位长度，并表 示为AD=45 2 24 素材2动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点0 与点B之间时速度变为初始速度的一半，当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍，经过点C后立 第9页共30页 刻恢复初始速度. 问题解决： (1)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探索2：动点P从点A出发，运动18秒至点B和点C之间时，求点P表示的数？ (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间. 【举一反三练习】如图，在数轴上有三个点A、RC,请回答下列问题. A B C 5431012月45 (1)A、B、C三点分别表示、-、： (②)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是_： (3)将点A平移m(m>0)个单位长度，点A所表示的数是_· 【重难点考点四】利用数轴比较有理 【典型例题】(24-25六年级上·山东烟台·期中)画出数轴，表示下列有理数，并用“<”将各数连接 起来， -1-2.5,-1,0,-（)+3 第10页共30页 【举一反三练习】(25-26七年级上·河北唐山·期末)如图，在数轴上有A、B、C三点. B A十 5432101支3→ (1)点B表示的数是一一： (②)点D与点C到A点的距离相等且两点不重合，则点D表示的数是_一_： (3)请在数轴上描出-3，用点E表示，将点C、D、E三个点表示的数用“<”连接. 【重难点考点五】数的大小数轴上两点之间的距离 【典型例题】(25-26七年级上·浙江丽水·期中)如图，A,B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-2， 点B对应的数是10.现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发， 以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒. -2 10 B (1)求A、B两点之间的距离. (2)当t=1时，求RQ两点之间的距离. (3)运动时间为t秒时，求PQ两点在数轴上所表示的数（用含t的式子表示）. 第11页共30页 【举一反三练习】(25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测)如图：在数轴上点A表示数a,点B表示 数b,点C表示数c,己知a是-3，数b是最大的负整数，c是单项式-x2y的次数. A B (1)b=,C= (②)点A,B,C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B点C分别以每秒5 个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动.若点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点C之间 的距离表示为BC,则t秒过后： ①AB=_·(用含t的代数式表示) ②探究：8BC+3AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值. 【重难点考点六】数轴上点的平移（动点问题） 【典型例题】如图，数轴上点A,B,O表示的数分别是-6，-2,0，动点P,Q同时从点A,B出发，分别以 每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动.在运动过程中，下列数量关系一定成立的是 A B -6 -2 0 A.OQ=PQ B.0Q=2PQ C.OP=PQ D.OP=2PQ 【举一反三练习】(25-26七年级上·全国·期中)某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续 接送5批客人，行驶情况记录如下（规定向南为正， 向北为负)： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 5km 2km -4km _3km 10km (1)利用数轴，请判断接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米： (2)如果该出租车每千米耗油0.07L,那么在这个过程中共耗油多少升？ 第12页共30页 【重难点考点七】数轴上找原点 【典型例题】(25-26七年级上·江西九江·期末)如图，A,B,C,D分别是数轴上四个点，其中有一点是原 点，且AB=BC=CD=1,P,Q两点分别在线段AB,CD上，点P对应的数为a,点Q对应的数为b,且a+b=-3. 0 B D (1)该数轴的原点是点 (2)若a=3b,求线段PQ的长 【举一反三练习】(25-26七年级上·内蒙古通辽·期中)如图，数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数 是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度 A (1)在数轴上标出原点0： (2)在数轴上找一点C,使它与点A的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为一一； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“<”连接. -3,-251,5.5-(+) 【重难点考点八】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】(25-26七年级上·全国·课后作业)数轴上表示整数的点称为整数点.某数轴的单位长度为 1cm,若在这条数轴上任意画一条长2025cm的线段CD,则线段CD盖住的整数点的个数是( ) A.2025 B.2026 C.2025或2026 D.2024或2025 第13页共30页 【举一反三练习】(24-25七年级上·河南安阳·期中)数轴上在-2和3之间的所有整数的和为 【重难点考点九】数轴上的规律探究 【典型例题】(25-26七年级上·江苏镇江·期末)如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处 分别标上数字-1,0,1,2，先让圆周上表示数字-1的点与数轴上表示-2的点重合，再将圆沿着数轴向 右滚动，则数轴上表示2026的点与圆周上表示 的点重合. -3 -2 -10123→ 【举一反三练习】(25-26七年级上·河南郑州·阶段检测)正六边形ABCDEF(六条边相等)在数轴上的 位置如图所示，点A,F对应的数分别为1和O,若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转， 翻转1次后，点B所对应的数为2：…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的项点是 D C 6-内-43=2023456 【重难点考点十】化简多重符号 【典型例题】(26-27七年级上·全国·课后作业)按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①-(-2)：②+()：③-【-(-4：④-【-(+3.5：⑤-〔-【-(-5：⑥-〔-【-(+51. (2)若+5前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若-5前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 第14页共30页 【举一反三练习】(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度. (1)请指出点A、点B所表示的数分别为_、- (2)在数轴上有一点C,它与点B的距离为3个单位长度，那么点C表示的数为_； (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来. 1-6,-23-（-3.5),2. 【重难点考点十一】相反数的应用 【典型例题】(25-26七年级上·福建泉州·期中)关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与-a时， 若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代 数式x是“偶代数式”，x3是“奇代数式”. (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有一，是“奇代数式”的有一一； (将正确选项的序号填写 在横线上.①x+1;②x-x;③2x2-4 (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取-2时，代数式的值为多少？ (3)对于整式x5-x3+x2+x+1,当x分别取-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4时，这九个整式的值之 和是 【举一反三练习】(24-25七年级上·广东汕头·期中)如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或 式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则(a+c一x)2022的值 为 a-b c-d c-a a+b c+d a+b 第15页共30页 【重难点考点十二】绝对值的几何意义 【典型例题】(25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测)己知x=6,y=8. (1)若x>0,y>0,求x+y的值； (2)若xy>0,求x+y的值， 【举一反三练习】(23-24七年级上·陕西西安·阶段检测)【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思 想方法.数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础. 我们知道|4=4-0叫，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子7-3引，它的几何意 义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离：即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A B之间的距离可表示为α-b,请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题 【问题探究】 (1)若x+6=2,则x= (2)若引x+2+x-3=12,则x=_一 【问题解决】 (3)利用数轴解决以下问题： ①x一1+x+2的最小值为，此时x可以取的整数有一一一： ②x+2+|x+3引+2x-4有最小值吗？|x+2-x-5引有最大值吗？若有，请直接写出答案：若没有，请 说明理由。 第16页共30页 【重难点考点十三】求一个数的绝对值 【典型例题】(26-27七年级上·内蒙古·单元测试)已知a,b是不为0的有理数，且la=-a,b=b, la>bl,那么用数轴上的点来表示a,b时，正确的是( A.方0合→ 6.方0a c.&0b D.a0b→ 【举一反三练习】(25-26七年级上·山东德州·期中)己知点AB、CDRF在数轴上分别对应下列 各数：0，-3.51，-3.75，-(+4，-(-5)，-2 (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） -5-4-3-2-1012345 (2)用“<”号把这些数连接起来。 【重难点考点十四】绝对值非负性 【典型例题】己知a-2+b-3引=0， (1)求a+b的值. (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数. 第17页共30页 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测)化简： (1)(7a2-4a+6)-4(2-a+2a2): (2)2xy2-3xy2-2(x2y-xy2）-2x2y: (3)先化简，再求值：5ab+2(2ab-3a2)-(6ab-7a2),其中a、b满足(1+a2+b-引=0. 【重难点考点十五】绝对值的其他应用 【典型例题】(25-26七年级上·四川资阳·期中)云云的爸爸驾驶一辆汽车从A地出发，若以A为原点， 向东为正，向西为负，他的行驶记录如下（单位：千米）：+15，-25，+20，-40，-15，-35，+25，+30. (1)该汽车最后停在何处？距离A地多少千米？ 2)已知这种汽车每千米消耗的油量为0.25升，问这辆汽车这次消耗汽油多少升？ 【举一反三练习】(25-26七年级上·河南周口·阶段检测)某出租车一天上午从A地出发，在东西方向的 道路上营运，每次行驶的路程（单位：k)记录如下（向东为正，向西为负）： +5,-3,+6,-7,+2,-4,+5 (1)将最后一位乘客送到目的地时，出租车在A地的哪个方向？距离A地多远？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，这天上午共耗油多少升？ 第18页共30页 【重难点考点十六】有理数的大小比较 【典型例题】(25-26七年级上·广东广州·期中)如图，在数轴上有A、BC三个点，现将点C向左移动 5个单位长度后得到点D,请回答下列问题： AC 5-43-2-1012345 (1)D表示的数为 一一，A、D两点之间（不包括点A、D)的整数的和是 (2)用“<”把A、B、CD表示的数连接起来为 【举一反三练习】(25-26七年级上·湖南株洲·期中)“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智 能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元.商场决定开展促销活动，活动期间向 客户提供两种优惠方案 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的90%付款. 现某客户要到该商城购买平板电脑6台，智能手写笔x支(x>6) (1)若该客户按方案一购买，需付款元（用含x的代数式表示）， 若该客户按方案二购买，需付款 元.（用含x的代数式表示） (2)若x=10,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【重难点考点十七】有理数四则混合运算 【典型例题】(2026七年级上·河北·专题练习)观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善 于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①24=日-)： ®-（任-） ®-（后）： (1)按以上规律，第④个等式为：一一一 第19页共30页 ②按此规律，计算女4+6+品十®0十0文的值： (③)探究计算：计+京++品+品+品++高的值， 【举一反三练习】(26-27七年级上·广东珠海·开学考试)计算： (15-×9-月 ②异÷G-(信+引 【重难点考点十八】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】某路公交车从起点站台发车，经过A,B,C,D四站后到达终点站，己知各站上下车的乘客人 数如下（上车为正，下车为负)：起点(+20,0)，A(+12,-4),B(+8,-9),C(+6,-4),D(+2,-7),终 点(0，). (1)请在横线上填写适当的数，并说明该数的实际意义 (2)行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？此时乘客有多少人？ (3)若该公交车的票价为每人2元，则这趟出车能收入多少元？ 第20页共30页 【举一反三练习】(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车 从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶 为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米) 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 +7 -6 -5 +8 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计 算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【重难点考点十九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】(26-27七年级上·内蒙古·单元测试)已知a,b,c为有理数，且它们在数轴上的对应点的 位置如图所示 a 0b (1)用“>”或“<”填空：a0,b_0,c-0 (2)在数轴上标出a,b,c的相反数所对应的点的位置. (3)若la=5,bl=2.5,lcl=7.5,求a,b,c的值. 第21页共30页 (x(x>0) 【举一反三练习】(25-26七年级上·安徽毫州阶段检测)阅读材料x= 00x三0)即当x>0时奇= -x(x<0) 1:当x<0时，奇兰=-1，用这个结论解决下列问题： a 0 (1)已知数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则a+回- b (2)己知a,b是有理数，当ab>0时，@+回= b 3)若abc>0,则片+奇+县+ 【重难点考点二十】数轴上的翻折 【典型例题】(25-26七年级上·甘肃兰州·期末)如图1，在数轴上点A,BC从左到右依次排列，有理 数a,b,c所对应的点分别为点A,B,C.已知a是最大的负整数，b是a的相反数，c=4,请回答下列问 题： B A B C “Bp→ 图1 图2 (1)填空：a= =，b= (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p,现以P为折点，将数轴向右对折.（点P在点A的右侧， 与点B,C的相对位置不固定) ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A,B,C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值. 第22页共30页 【举一反三练习】(25-26七年级上·浙江金华·期中)数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上 画了一条数轴进行如下探究： -4-3-2-1012345之 -3-2-101234 图1 图2 (1)如图1，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示-1的点重合，则表示-2的点与表示 的点重合 (2)若折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示-4的点重合，此时，数轴上有A,B两点（点A在B的左侧）经 折叠后也重合且它们之间距离为a个单位，则A,B两点表示的数分别是 和 一，（用含a的代数 式表示) (3)如图2，在数轴上剪下表示-3和4的两点间的一段纸带，并把纸带两端分别朝纸带的中间处折叠，使表 示-3和4的两点的重合处与原点的距离为m个单位，求两条折痕处对应的点所表示的数.（用含m的代数 式表示) 【重难点考点二十一】乘方运算的符号规律 【舆型例题】（25-28八年级上·江西上饶·期末)计算月0(（一)5的结果是（) A.-哥 B.9 c.-号 D. 【举一反三练习】(25-26七年级上·全国·寒假作业)记M(①=-2， M2)=(-2)×(-2), M3)=(-2)×(-2)×(-2),…, Mm=(-2)×(-2)×…×(-2) n个 (1)填空：M⑤=-一一一，M1o00是一个一（填“正数”或“负数”）· (2)计算M(6+M)的值. 第23页共30页 (3)当Mm<0时，求2014Mm+1007M+1)的值. 【重难点考点二十二】乘方的应用 【典型例题】(26-27七年级上·全国·课后作业)如图，你能由此得出计算规律吗？ 1357911 0|o|o 1o1o O 0 (1)计算：1+3+5+7+9+11=()2. (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想. 【举一反三练习】(25-26七年级·全国·暑假作业)阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算. 计算：1+21+22+…+22017。 解：设S=1+21+22+…+22017, 则2S=21+22+23+…+22018) 所以2S-S=(21+22+23+…+22018)-(1+21+22+…+22017) =21+22+23+…+22018-1-21-22-…-22017 =22018-1, 即1+21+22+…+22017=22018-1. 按照上面的方法，计算：1+3+32+…+32023. 第24页共30页 【重难点考点二十三】算“24”点 【典型例题】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： -3 -5 +3 +4 (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最 大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号）“+”、“一”、“×”、“÷” 运算，使其结果等于24.（写出一种情况即可） 【举一反三练习】(25-26七年级上·贵州贵阳·期中)你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、 小王)中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括 号)，使运算结果为24或-24，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代 表正数，J,QK,A分别代表11,12,13,1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面 的方法凑成了24：7×(3+3÷7)=24.如果抽到的是黑桃A,方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或 -24的其中一种方法： 【重难点考点二十四】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】(2026七年级上·全国·专题练习)计算： (1)(-4)+(-7)+(-3)×(-2) ②)-2-2+[(+5)-（-2)] 第25页共30页 【举一反三练习】（2026七年级上·浙江·专题练习)计算： 1)(-32-(1)°×号-6÷←引 ②)-14-（传-）×[(-2)3-（-3)] 【重难点考点二十五】科学记数法 【典型例题】我国自主研发的人工智能DeepSeek提升了我国在全球科技领域的竞争力.截至2024年2月， DeepSeek的全球下载量约为380000000次.将数380000000用科学记数法表示为( ) A.0.38×109 B.0.38×108 C.3.8×108 D.3.8×107 【举一反三练习】据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8 时，晚会全国电视直播总收视份额达79.29%，创下13年来新高，境内全媒体总触达230.63亿次，同比增 长37.3%.若数据230.63亿用科学记数法表示为2.3063×10”，则n的值为( A.10 B.9 C.8 D.7 【重难点考点二十六】近似数 【典型例题】(26-27七年级上·全国·课后作业)用计算器计算（精确到十分位）： (1)56.2+7.41×(-2.12): (2)2.914-1.68: (2)(3.91-1.45)2÷(-5.62)+49.34. 第26页共30页 【举一反三练习】(25-26七年级上·山东日照·期中)对于下列说法：①有理数可以分为整数、正分数、 负分数和0：②立方等于本身的数是士1；③如果a>b,那么a2>b2;④四舍五入得到的近似数0.983，它 的精确度是精确到千位：⑤单项式π2xy的次数是5.其中正确的有( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 模块四 优选真题实战演练 1. (26-27七年级上·江苏南通·阶段检测)己知数轴上两点AB分别表示数-3和5.数轴上两点的距 离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为5-(-3)川=8.点P从点A出发沿数 轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动.当两 点相遇时，点P表示的数是( A.0.2 B.1.8 C.2.6 D.3.2 2.(25-26七年级上·河南信阳·阶段检测)正六边形ABCDEF(六条边相等)在数轴上的位置如图所示， 点A,F对应的数分别为1和O,若正六边形ABCDEF绕项点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后， 点B所对应的数为2…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是( ) D C B 6-543-210123456 A.点A B.点B C.点C D.点D 3.(26-27七年级上·福建莆田·阶段检测)【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差 叫做这个数的”提取差”.若一个正整数的提取差是3的倍数，则称这个数为”完美提取数”.例如527中 最大的数字是7，最小的数字是2，提取差为7-2=5,5不是3的倍数，所以527不是“完美提取数”.下 列各数中，是”完美提取数”的是( A.4213 B.5125 C.2369 D.8347 4.(25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试)如果A=98765×87654,B=98764×87655,那么A和B 的关系是( A.A=B B.A>B C.A<B D.不能确定 5.(26-27七年级上·江苏·阶段检测)如图，一条数轴上有点A、RC,其中点AB表示的数分别是-14， 10,现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 第27页共30页 B A.1 B.-3 C.1或-5 D.1或-4 6.(26-27七年级上广西崇左阶段检测)在数轴上，a所表示的点在b所表示的点的左边，且Ia=3,b=1, 则a一b的值为_一 7.(26-27七年级上·江苏南通·阶段检测)我们已经知道，a表示数轴上表示数a的点到原点的距离.若 Ia=8,Ibl=5,且a+b>0,则a-b的值是 或 8.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测)将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为[x], 比如[2.51=2周=0，那么[-3.51+3.51=一 9.(2026七年级上·全国·专题练习)x-2-x-7的最大值是 10.(25-26七年级下·江苏泰州·期中)如图，长方形0ABC的边0A在数轴上，0为原点，长方形0ABC 的面积为12,0C边长为3，将长方形0ABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为0'A'B'C',移动后的 长方形0'A′B'C′与原长方形0ABC重叠部分的面积恰好等于原长方形0ABC面积的一半时，数轴上点A 表示的数为 B A 11.(2026七年级上·全国·专题练习)已知有理数a,b,其中数a在如图所示的数轴上对应点M,b是负 数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3. M -5-4-3-2-01克3 (1)a=-,b=-· (②)在数轴上标出表示-三0，小-1，一b的点，并用“<“连接起来。 第28页共30页 12.(26-27七年级上·江苏南京·单元测试)【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm的木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm)上，它的两端M,W分别落在点A, B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点W 移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4. 04 B 25→ (1)由此可得，CD=_cm,a的值为_cm. (2)图中点A所表示的数是_，点B所表示的数是_· 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁 的老寿星了.”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路. 13.（2026七年级上·全国·专题练习)计算： (1)(+2)×(-1到)×(+2)×（-4)： ②层+()-(-×(-60)： (3)9×(-7). 14 14.（2026七年级上·河北·专题练习)我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点A、B,若数轴上存 在一点M,且点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”.根据上述定义， 解答下列问题： 第29页共30页 (1)若数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为一一一； (2)若数轴上点A与点B的“雅中点”M表示的数为2，A、B两点的距离为9（点A在点B的左侧)，求点A和 点B表示的数： (3)已知数轴上点A、C、D表示的数分别是-6，-4，-2，点B在点C、D之间运动（点B可与点C、D重合）.设 点M表示的数为m,且点M为点A与点B的“雅中点”，求m可取的整数. 15.(26-27七年级上·江苏常州·阶段检测)综合应用： -3-2-1012345678 图1 0 6A(0BS24→ 图2 04812162024→ 图3 (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M,点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N,且点W表示 的数是5，那么a的值是-； (2)如图2，有一根木尺PTSQ放置在数轴上，它的两个顶点，点不点S分别落在数轴上的AB两点处.将 木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应 的数为6（单位：cm),利用所学知识可以求出点A表示的数为一，点B表示的数为一； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁； 你若是我现在这么大，我就20岁啦.”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第(2)小 题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程. 第30页共30页null