1.3《一元二次方程的根与系数的关系》小节复习题2026-2027学年苏科版九年级数学上册

1.3《一元二次方程的根与系数的关系》小节复习题 一、选择题 1.已知X,x2是方程x2-3x+1=0的两个实数根，则x2的值为() A.-1 B.1 C.-3 D.3 2.已知关于x的方程x2+4x+k=0有两个同号的实数根，则k的取值范围是() A.k≥4 B.0≤k<4 C.0<k≤4 D.k>0 3.在解关于x的方程x2+bx+C=0时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错 了方程中的一次项，解得两根为-9和-1，则正确的方程为() A.x2+10x+9=0 B.x2-10x+9=0 C.x2+10x+16=0 D.x2-10x+16=0 1+5 4.已知2是方程x2-x+m=0的一个根，则方程的另一个根是() 1-5 -1-5 -1+V5 1+v5 A.2 B.2 C.2 D.2 5.已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程x2-6x+m-1=0 的两根，求m的值() A.9 B.10 C.9或10 D.-9 6.对于任意实数a,定义一种新运算“。”：a0b=2-a+b)r-a6+2),若关于r的方 程1⊙x=0,已知该方程的两个根为X,x,则x+x的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 7.已知a、b是方程2x2+9r-6=0的两个根，点P(a,b)在反比例函数y=x的图像上，则k的值 为() A.号 B.-3 C.3 n.} 8.甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到 方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为-2 和5，则原来的方程是() A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-6x-10=0 二、填空题 9.一元二次方程2x2-x-5=0的两个根分别为X1,x,则x+x= 10.若m,n分别是关于x的一元二次方程x+x-2025=0的两个根，则m2-n+1的值是 11.若一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角 三角形的周长为 12.设，是方程+br-4=0的两个根西>），若+%=3，则6= 13.从-5,0,3三个数中，选取1个数作为P的值代入方程x-px+1=0.若该方程有两个正 实数根，则选取的P的值为。 ++2sa-b 14.若a,b是一元二次方程x2+3x-1=0的两个不相等的实数根，则ab °a-b的值为 三、解答题 15.已知x,x2是方程2x2-4x+1=0的两根，求下列两个代数式的值： 1,1 (1)xx2; (2)(+2)(x2+2) 16.已知关于x的-元二次方程mr+(2m-x-2=0(m≠0) (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根. (2)若方程的两个实数根x,x2满足+x-2=m，请求出m的值. 17.矩形ABCD的边B、BC的长分别是关于x的方程+(2m-l)x+m+3=0 的根. (1)若矩形ABCD是正方形，求m的值. (2)若矩形ABCD的面积为12时，求m的值. 18.已知一元二次方程ar+br+c=0(a≠0)的求根公式为 -bt4ac(心-4ac≥0），当是 2a 一元二次方程a2+bx+c=0a≠0)的两根时，则有：①+5=- ；②5-C a· 【结论证明】请在①、②中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若x,2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，不解方程，求+的值； 【类比拓展】若，成，5是一元三次方程r+hr+cx+d=0a≠0) 的三个根，则原方程可变形为 a--x-)=0,则有：属+5台，5++5-台，5 a, a.已知一元三 1+1+1 次方程x+2x2-4r+1=0的三个根分别为p,q,r,求p+q,的值. 19.在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(OA<OB)是关于 x的方程-(2m+6)x+2m2=0 的两个实数根，C是线段B的中点，0C=35,D在线段OC上， OD=2CD (1)求OA、OB的长； (2)求直线AD的解析式； (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q,使以OAP为顶点的四边形是菱形？ 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. B 参考答案 一、选择题 1.B 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 x5=C=1 a 故选B. 2.C 解：方程x2+4x+k=0有两个实数根， .△=42-4k≥0， .k≤4， 方程x2+4x+k=0有两个同号的实数根， ∴x3=k>0 .0<k≤4， 故选：C. 3.B 解：设这个一元二次方程的两根是m、n,根据题意得 m+n=-b=10,mm=C=9 a 那么以m、n,为两根的一元二次方程就是x2-10x+9=0, 故选：B. 4.A 解：设方程x2-x+m=0的两个根分别为X1和x2, .x+x2=1 1+V5 2是方程x2-x+m=0的一个根， 1+V51-5 1- “方程的另一个根是22， 故选：A. 5.B 解：当2为腰长时，假设此时a=2, a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+m-1=0的两根， ∴.a+b=6, ∴.b=4, ∴此时等腰三角形的三边长为2,2,4，不能构成三角形，不符合题意； 当2为底边长时，则a=b, ,a,b是关于x的一元二次方程x-6x+m-1=0的两根， ∴.a+b=6,ab=m-1, ∴.2a=6, a=3, 此时等腰三角形的三边长为2,3,3，能构成三角形，符合题意，ab=m-1, ∴.9=m-1, ∴.m=10, 综上所述，m的值为10. 故选：B 6.A 解：a06=20-(a+0)r-a6+2）,1⊙x=0, :2r-+x)x-1-(c+2)=0 整理得：x2-2x-2=0, +x3=- 2=2 1 故选：A. 7.B 解：，a、b是方程2x2+9x-6=0的两个根， :ab=6 =-3 2 :点P(a,b)在反比例函数y=x的图像上， ∴.k=ab=-3. 故选B 8.B 解：设原来的方程为ar+br+c=0(a≠0)， 由题知， b 6+1=7,￡=-2×（←5）=10， ,a 所以b=-7a,c=10a, 所以原来的方程为ax2-7ar+10a=0, 则x2-7x+10=0, 故选：B. 二、填空题 9.2 解：，一元二次方程2x2-x-5=0的两个根分别为×1，， 16+6= -11 22, 1 故答案为：2. 10.2026 解：.m,n分别是关于x的一元二次方程x+x-2025=0的两个根， ∴.m2+m-2025=0,m+n=-1 ∴.m2+m=2025 :m-n+1-(m+m）-(m+m）=2025-(←）=2026 故答案为：2026 11.4+25 解：设两条直角边的长分别是×1，x, 则+=4，xx2=2, .x+x号=(x+x2)2-2x32=16-4=12 六直角三角形斜边的长是D=25 这个直角三角形的周长为： 4+2V5 故答案为：4+2V3. 12.5 解：x,x2是方程x2+bx-4=0的两个根， .X+x2=-b x+x3=3, ∴.b=-3, 原方程为x2-3x-4=0, :(x+100x-4)=0 ∴.x+1=0或x-4=0, 解得=4，x2=-1, :-6=4-(0=4+1=5 故答案为：5. 13.3 解：方程r-pr+1=0有两个正实数根 .4=b2-4ac=p2-4≥0 .p≥2或p≤-2 当P=0时，原方程无实数根，不合题意， 当p=-5时，原方程为x2+5x+1=0 -5+V21 解得 5 2都小于0，不合题意， 当p=3时，原方程为x2-3x+1=0 郁得：与535 253 2都大于0，符合题意， 故答案为：3. 14.3 解：a,b是一元二次方程x2+3x-1=0的两个不相等的实数根，， ∴.a+b=-3,ab=-1 ++2s-b a b a-b =&+a22b (a+b)(a-b) ababab a-b =a2+2ab+b21 ab a+b =(a+b)2 1 ab a+b =a+b ab 33 原式=3， 故答案为：3 三、解容题 15.（1)解：，x是方程2x2-4x+1=0的两根， -4 1 5+5=2=26=2, 上+1=+龙=2 一十 =4 ..X x2xX2 I 2； (2)解：，是方程2x2-4x+1=0的两根， *名=子26分 1 ::+20s+2) =xx2+2x1+2x2+4 =x2+2(+x2)+4 2+2x2+4 1 =8.5 16.(1)证明：：关于x的一元二次方程mr+(2m-x-2=0(m≠0) .△=(2m-1)2+8m=4m2-4m+1+8m=4m2-4m+1=(2m+1）2≥0 ∴.方程总有2个实数根； -12m=-2.5=-2 (2)解：由题意，得：+5=mm m> .+=m 3 -2+m=0 ··m m2+2m-3=0,解得：m=1m=-3. 17.解：(1)因为矩形ABCD是正方形，所以ABBC, 因为AB、BC是方程的根，方程有两个相等的实数根， .△=0， 即△=(2m-)2-4×(m2+3)=0, 架恐烟=号： (2)根据题意，方程有两个实数根，且两个根的积为12， 由一元二次方程根与系数的关系6=台可得： m+3=12 1 解得m=3, 当m=3时，△=(2×3--432+3)=-23<0，与题意不符，舍去， 故m=-3. 18. 解：[结论证明]x=b+vB-4a 2a ,=b-1b-4ac 2a b+v-4ac +b--daeb 2a 2a a 55=b+-4c.b-6-4ac_6-62-4c） 2a 2a 4a2 a [知识应用] .x2-3x+1=0, .x+x3=3,xx2=1 +对=(+}-2xx2=[(+x-2x了-2x2x2=(9-2-2=47； [类比拓展] x3+2x2-4x+1=0 ..p+g+r=-2,pg+pr+gr=-4,pqr=-1 :1+1+19+r+9g=4 p g r pqr 19.（1)解：，AB=20C=65， :.04+0B=AB2=(65=180 0A+0B=2m+6,0A×0B=2m2, :(O1+0B-201x0B=180,即（2m+6f-4m=180, .m=6,即方程为x2-18x+72=0, ￥=12，为=6， ...OA<OB, .∴.0A=6,0B=12; (2)过C作CM⊥OA于M,过D作DN⊥OA于N, NB ONMA .CM∥OB, CM AC AM1 ..OB AB OA 2 0A=6,0B=12, ∴.CM=6,AM=3,OM=3, ,C(3,6) ..OD=2CD, DN OD ON 2 ∴.CMOC OM3, ∴.DN=4,ON=2, .D(2,4) 设直线AD的解析式是y=+b, .A(6,0) [0=6k+b 代入得：4=2k+b, [k=-1 解得：b=6, ∴直线AD的解析式是y=-x+6; (3)存在， P 理击如下：：发0的坐标为2，点的坐标有60， .∠0AD=45°， 当四边形OAPQ为菱形时，O0=OA=6, “点的坐标为32,32) 当四边形0AP'O为菱形时，O0=OA=6, 点0的坐标为35，-32)， 直线AD与y轴的交点P的坐标为(0,6)， .OP"=OA=6, 当四边形OA0"P为菱形时，点的坐标为(6,6， 当四边形0P0是以O1为对角线的菱形时，点的坐标为很-)， 综上所述，以0AR为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为(35,3W2)或(32，-32) 或66或3-3)