1.3 一元二次方程的根与系数的关系 巩固练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以一元二次方程根与系数关系为核心，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合创新的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数关系直接应用（求两根和差、由根写方程）|选择题为主，如第2题根据根构造方程，强化符号意识| |中档|代数式变形、几何应用（直角三角形边长）|解答题为主，如第7题结合判别式与根的关系，培养推理能力| |提升|新定义（倍根方程）、跨知识拓展（三次方程）|探究题为主，如第16题拓展三次方程根与系数关系，发展创新意识|

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 1一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2.已知一元二次方程的两根分别是3和－5，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 3.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则________. 4.(1)已知一元二次方程0的两个实数根为，若，则实数________. (2)已知实数是关于的方程0)的两个根，若，则的值为________. 5.方程与方程所有实数根的和等于________. 6.设是方程的两个实数根，不解方程求下列各式的值： (1) ； (2) . 7.已知关于的一元二次方程. (1) 求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两个实数根满足3，求的值. 8.已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（ ） A.－2 B.－1 C.0 D.1 9.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（ ） A. B.3 C.6 D. 10.已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则下列方程中，其两实数根分别为的是（ ） A. B. C. D. 11.若关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则________. 12.已知关于的一元二次方程的实数根满足，则的取值范围是________. 13.(1)若是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________. (2) 已知是方程的两个实数根，则代数式的值是________. 14.已知关于的一元二次方程有两个实数根. (1) 若，求及的值. (2) 是否存在实数，满足?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 15.若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. (1) 若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2) 若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求该方程的根. 16.小华在学完《一元二次方程的根与系数的关系》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣.下面是他收集的素材，请根据素材帮助他完成相应问题： 【素材1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程，一般形式为为常数，且). 【素材2】一元三次方程的解法：若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为，即原方程化为，则得方程的根为. 【素材3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为 (1) 若关于的三次方程的左边可分解为，则方程的三个根分别为________，________，________. (2) 若关于的三次方程的三个根为，探究根与系数之间的等量关系为________. (3) 利用(2)中的结论解决：若方程的三个根为，则的值为________. 答案 1.D 解析：对于方程，设其根为和，根据根与系数的关系，得，故选D. 2.B 解析：设此一元二次方程为二次项系数为1，两根分别为这个方程为.故选B. 3.－3 解析：是关于的一元二次方程的两个实数根，. 4.(1) －5 解析：一元二次方程的两个实数根为. (2) －1 解析：是关于的方程的两个根，，解得，经检验，是原分式方程的解. 5. 6 解析：方程中，，没有实数根，方程中，，有两个不相等的实数根，且两实数根之和为6.故两方程所有实数根的和为6. 6.根据题意，得. (1) . (2) . 注意： 常用变形方法： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 7. 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根. (2) 由根与系数的关系得出. ， ， ， 化简得，解得或. 8.A 解析：设方程的两根分别为，由根与系数的关系得，又关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，方程的两根分别为，由根与系数的关系得，解得.故选A. 9.D 解析：设直角三角形的两直角边分别为，斜边上的高为一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，直角三角形斜边长为，解得，即这个直角三角形的斜边上的高是，故选D. 10.C 解析：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为关于的一元二次方程的两个实数根分别为1，联立解得1)两实数根分别为的方程是，故选. 11. 0 解析：设方程的两根为，根据题意，得，解得或.当时，方程化为，无解，故舍去，的值为0. 12. 解析：依题意，得，则，解得. 13.(1) 26 解析：是关于的一元二次方程的两个实数根，. (2) 2001 解析：是方程的两个实数根，. 注意： 当所求代数式为非对称式时，一般将代数式分成两部分.一部分(常为高次项)利用根的意义将根代入原方程，整理得到一个与所求相关的结构式；另一部分利用根与系数的关系代入求解. 14.(1) 由题意：，将代入原方程得，又. (2) 设存在实数，满足，那么有，即，整理得，解得或.由(1) 可知舍去，从而.综上所述，存在符合题意. 15.(1) 设这个方程的两个根分别为和，则6，解得，即这个方程的一个根为2，将代入方程得，解得. (2) 设这个方程的两个根分别为，由题意得整理得，将代入①得，解得该方程的根为或. 16.(1) 解析：由题意可知，原方程可化为1)或或. (2) 解析：由题意可知，原方程可化为，展开整理得，与原方程比较可得. (3) 解析：利用上题结论可知，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $