1.3 一元二次方程的根与系数的关系 巩固提升 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版 九上 数学 第一章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 巩固提升 考试时间：90分钟　满分：100分　年级：九年级上册 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 若一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根及c的值分别为（　　） A．2，8　　B．3，4　　C．4，8　　D．5，8 3. 设一元二次方程的两个实数根为，则的值为（　　） A．6　　B．-6　　C．12　　D．-12 4. 若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则k的值为（　　） A．2　　B．-2　　C．±2　　D．以上都不对 5. 已知是一元二次方程的两个实数根，满足不等式，则实数m的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6. 若a，b满足，，且，则代数式的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值为（　　） A．-2　　B．-1　　C．2　　D．-2或1 8. 若方程的两个根为，则的值为（　　） A．2　　B．4　　C．5　　D．6 9. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则这两个根的乘积的取值范围是（　　） A．　　B．且　　C．　　D．且 10. 已知等腰三角形ABC的底边长为4，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根，则三角形ABC的周长为（　　） A．10　　B．14　　C．10或14　　D．12 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1. 若一元二次方程的两根为，则的值为__________ 2. 设m，n是一元二次方程的两个根，则的值为__________ 3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且满足，则k的值为__________ 4. 若实数a，b满足，，则的值为__________ 5. 已知一元二次方程的两个根恰好是平行四边形ABCD的两条对角线的长，且平行四边形的一条边长为4，则另一条邻边的长的取值范围是__________ 三、解答题（共5题，共50分） 1. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．（8分） （1）若，求m的值； （2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若恰好是三角形ABC另外两边的长，求这个三角形的周长． 2. 已知关于x的一元二次方程．（10分） （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足，求k的值； （3）若直角三角形ABC的两直角边长分别为，且斜边长为，求k的值． 3. 已知关于x的一元二次方程．（10分） （1）求证：无论t为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个根中，一个根大于2，另一个根小于2，求整数t的最小值； （3）当两个根互为倒数时，求以这两个根和为边长的三角形的面积． 4. 设是关于x的一元二次方程的两个根，定义新运算，试化简A，并求出当m=0时A的值．（10分） 5. 已知实数满足一元二次方程，设，求S的最大值，并求出此时k的值．（12分） 1页 学科网（北京）股份有限公司 九年级上册数学一元二次方程提升练习参考答案 一、选择题 1. A　　2. C　　3. B　　4. B　　5. C　　6. A　　7. B　　8. B　　9. B　　10. B 二、填空题 1. 6 2. 4 3. 0 4.或 5. 三、解答题 1. （1）由根与系数的关系得：，（2分） 整理得，解得或， 又因为方程有两个实数根，判别式， 得，故（2分） （2）分两种情况讨论：①当7为腰长时，方程有一个根为7， 代入方程得：， 整理得， 解得或， 当时，原方程为，两根为3和7， 满足三边关系，周长为； 当时，原方程为，两根为7和15，， 无法构成三角形，舍去； ②当7为底边长时，，判别式，得， 此时方程为，两根为3，3，，无法构成三角形，舍去； 综上，三角形周长为17（4分） 2. （1）证明：判别式， 所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根（3分）； （2）由根与系数的关系得：，， ， 整理得， 即，解得（3分）； （3）由勾股定理得， 又， 整理得， 解得或，因为边长为正， 所以，，故舍去，得（4分）； 3. （1）证明：判别式， 所以无论t为何值，方程总有实数根（3分）； （2）设，由题意得， 当时，，代入得：，得， 故整数t的最小值为5（3分）； （3）由根与系数的关系，两根乘积， 若两根互为倒数，则，即， 得，代入原方程得，两根均为1， 因此三角形三边长为1，1，， 因为，可以构成三角形， 面积为（4分）； 4. 解：由根与系数的关系得：，（2分） 由立方和公式：（4分） 代入根与系数的关系： 当m=0时，代入得：（4分） 5. 解：因为方程有两个实根，所以需满足： （1）判别式： ， 整理得， 解得（4分）； （2）由根与系数的关系：，得，（2分） （3），（2分） 配方得恒成立（2分）； 当时，S的最大值为18（2分）； $