1.2 一元二次方程的解法——公式法和因式分解法 小节复习题2026-2027学年苏科版九年级数学上册

1.2《一元二次方程的解法一一公式法和因式分解法》小节复习题 一、选择题 1.用求根公式解一元二次方程3x2-2x=1时，a,b,c的值是（) A.a=3,b=-1,c=-2 B.a=3,b=-2,c=1 C.a=3,b=-2,c=-1 D.a=3,b=2,c=1 2在用求根公式生珍栖 2a 求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c, 得到*-34-42× 2×2 ,则她求解的一元二次方程是() A.2x2+3x-1=0 B.2x2-3x-1=0 C.-2x2-3x+1=0 D.3x2-2x-1=0 3.点P1-m3m）在第四象限，点P到轴的距离为，到y轴的距离为4，若m d,d满足 md,+4d2=4 ,则常数m的值为() 4 A.-6 B.-3 C.3 D.0 4.已知实数0满足+20吾4=0，则a+后的值为(） 2 a A.-2 B.4 C.-2或4 D.2 5.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所示，则方程 的根的情况是() n A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 2+2(m-1)x-1+m2=0 6.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值为() A.0 B.1 C.2 D.0.5 7.已知关于x的方程a(x-m)x=x-m有两个相等的实数根，若M=a2-2am, N=4n ,则 M与W的关系正确的是() A.M+N=2 B.M+N=-2 C.2M+N=0 D.M+N=0 8.已知：如图，该图形是中心对称图形，四边形ABCD是正方形，点E、F在正方形内部且 ELEF,AB=0,AE=F+5,则EF为() A.2 B.5 C.3 D.2+V5 二、填空题 9.方程=1的解是一· 10.若m+-1n++2列=4，则m+㎡- 1.已知a,6满足0*b=00+么 3,已知3*x=4,x为正数，则x= 12.等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a,b是关于x的一元二次方程 x2-6x+2+m=0 的两个实数根，则m的值为一 13.若关于x的一元二次方程+2x+m=0有实数根，则代数式Vm-2m+1+m化简的结果是_ +1 14.定义：发们鬼形数于的数成为“无限专分货”，知景是一个元是我，那 x3+. V2+1=2+1 么a就可以展成无限连分数，例如： 2+1 x=l+1 1,如果 1+1 2+ 1+,1,则 2+.… 1+. x= 三、解答题 15.解方程： (1)2x2-5x+1=0 (2)(6x-1)-2(x-1)=0 16.已知关于x的方程x2+2x-2+k=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； 1-1）】 k-4 (2)化简分式k-3产 -6k+9,并求出其取值范围. 17.定义：若关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为X,x2(x< ),分别以，为横坐标和纵坐标得到 M,）,则称点M为该一元二次方程的衍生点. (1)直接写出方程x+2x=0的衍生点M的坐标为 ； (2)已知关于的方程-2(m+1)x+m2+2m=0 ①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点M的坐标； 18.【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题. 已知关于x.y的方程+旷-2(+)8=0，求+y的值. 解：设t=x+y,则方程变形为：t2-2t-8=0 .(t-4)t+2)=0 .t=412=-2 即x+y=4或x+y=-2 (1)【引申】已知m+-刂=9，则m+r (2)【拓展】已知(：++x-)=2,求2+x的值 19.已知a+b=4. 1 (1)求a+b+1的最小值. (2)若y=6,br+ay=9,x+y=11-2ab,求a,b,x,y的值. 参考答案 一、选择题 1.C 解：3x2-2x=1, .3x2-2x-1=0 则a=3,b=-2,c=-1, 故选：C 2.B 3±√(-3)2-4×2×(-1) 解：·小慧利用求根公式求出方程的解为 2×2 .a=2,b=-3,c=-1, .该一元二次方程为2x2-3x-1=0, 故选：B 3.C P(1-m,3m） 解：点 在第四象限， 1-m>0 .3m<0, 解得：m<0, 点P到x轴的距离为，到y轴的距离为d, 4=3m=-3m,4=l-m=1-m md+4d2=4. -3m+40-m）=4 整理得：3m2+4m=0, 解得：m=0(合去)，m=- 3 故选：C 4.B 解：设k=a+2 , ,2)2 =a2+4 4 a a2, a224 a2 4 042a-4-4=0.即“中a2ta4=0 a a .k2-4-2k-4=0,即k2-2k-8=0, 解得k=-2或k=4, 当0+2，即。2+20+2=0时，此时方程无解， a a+2=4 a 故选：B 5.B 解：由数轴得：m>0,n<0, .-4n>0 ∴.△=m2-4n>0 心该方程有两个不相等的实数根. 故选：B 6.B 解：“关于的-元二次方程+2m-x-1+m2-0方 有两个相等的实数根， :△=[2(m-订-4×(m2-1）=0 解得：m=1, 故选：B 7.A 解：方程化为一般式为r-(am+l)x+m=0, 根据题意得△=(am+1-4am=0, .(am-=0, ∴.am-1=0, 即m= a N=4a 11 a I =4-a2 1 M=a2-2a=a2-2, a2 ∴.M+N=2 故选：A. 8.A D 解： 如图，连接AC交EF于O ”正方形MBCD 中心对称图形， .AB=AC=10, OE-1EF 0A- -AC. ,AE⊥EF, ∴△∠AEO 为直角三角形， 在Rt∠10中，由勾股定理得，4C=VAB+BC=Vi02+10=102 .0A=5V2 设EF=2x,则OE=x,AE=EF+5=2x+5, 在Rt△∠AE0中，OE2+AE2=AO2 :2+(2x+5}=(52j, 解得x=1,=-5(不合题意，舍去)， ∴.EF=1×2=2 故选：A 二、填空题 9.4=0,52=1 解：2=t, 则t2-t=0, :-)=0 ∴.t=0或t-1=0, 解得：4=0,5=1， 故答案为：4=0,42=1， 10.2 解：设㎡+心=x,则原方程为 x-1)(x+2)=4 整理得x2+x-6=0, :6x-20+3)=0 解得x=2,x=-3, .m2+n2是非负数， ∴.m2+n2=2. 故答案为：2. 21-3V13 11.2 3x+3+x=4 解：由题意得3 整理得V3x=9-x, 两边平方得3x=(9-}2, 整理得x2-21x+81=0, 解得专21+3店 621-3丽 2， 2, 当521*3缩 2时，9-x<0,故舍去， x=21-33 2, 21-313 故答案为： 2 12.6或7 解：当4为腰长时，将x=4代入原方程，得42-6×4+2+m=0, ∴.m=6, 原方程为x2-6x+8=0, 解得x=2,x2=4 又2+4=6>4， .边长为2,4,4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，关于x的一元二次方程x2-6xr+2+m=0有两个相等的实数根， .△=(-6)2-4×1×(2+m)=0 解得m=7, 原方程为x2-6x+9=0, 解得a=b=3, 又.3+3=6>4， .边长为3,3,4的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m的值为6或7 故答案为：6或7. 13.1 解：，关于x的一元二次方程x+2x+m=0有实数根， .△=4-4m≥0， ∴.m≤1， :Vm-2m+1+m=m-+m=1-m+m=l; 故答案为：1. √5+11-V5 14.2或2 x=1+1 解：根据题意，得 1+1141 1+1 1+.… 整理得x2-x-1=0, 得55 2. 1+5 经检验，x= 2是原方程的根， 5+11-V5 故答案为：2或2 三、解容题 15.(1)?解：2x2-5x+1=0, :4=（5-4×2x1=17>0 v 2×2, :专5*6 4, 4; (2)解：(x--2(x-1)=0 (x-10(x-1-2)=0,即x-0x-3)=0, ∴.x-1=0或x-3=0, =1,为=3. 16.（1)解：关于x的方程x2+2x-2+k=0有两个不等的实数根， .△=22-4×1×(-2+k)=4+8-4k>0 解得k<3. k-3-1k-4k-4k-3=k-3 (2)解：原式k-3(k-3k-3k-4 由(1)得k<3. k-3<0 17.（1)解：x2+2x=0, :(x+2)=0 .两个根为=-2，x3=0」 根据题意衍生点的定义，5为横坐标和织坐标得到点M(,)儿：<)得”+2x=0的行生点为 (-2,0) 故答案为：(-2,0). (2)解：①证明：.-2(m+)x+m2+2m=0 ∴.△=b2-4ac =[-2(m+1)]-4(m2+2m） =4(m+1）-4(m2+2m =4(m2+2m+1-4(m2+2m） =4>0 .不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； 、x2-2(m+1)x+m2+2m=x2-2(m+1)x+m(m+2)=0 ② :（t-m0x-m-2)=0 解得：=m,x2=m+2, x2-2(m+1)x+m2+2m=0 方程 的衍生点M为m,m+2): 18.(1)解：设m2+n2=t t-1=9, ∴.t=10 故答案为：10： (2)设x2+x=t :-)=2 ∴.2-t-2=0 :-2+)=0 解得：t=2或t=-1 即x2+x=2或x2+x=-1 19.(1)解：a+b=4, .∴b=4-a, .11 ab+1, =a+b+1 a(b+1) 5 a(b+1) a(4-a+1) 5 5225 -2+1 4 54 +的最小值为西5 a b+l 4 (2)解：a+b=4, .b=4-a, .x+y=11-2ab=11-2a(4-a)=2a2-8a+11=2(a-2)2+3 bx+ay=(4-a)x+ay=4x-ax+ay=9 .-ar+4y=9-4x, .(2-a)x-y) =2x-2y-ax+ay =2x-2y+9-4x =-2(x+y)+9 =-2(2a2-8a+11)+9 =-4a2+16a-13 =-4(a-2)2+3 x-y=4(a-2)-3 -2,令a-2=1, :y=6 +r--y-4g=24,即2+3j-(4-=24 (4r+9--0 整理得 2 解得t=±1， a=3,b=1,x=3,y=2或a=1,b=3,x=2,y=3.