1.2-1.3 一元二次方程的解法和根与系数的关系 小节复习题 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

1.2-1.3《一元二次方程的解法和根与系数的关系》小节复习题 一、单选题 1.若方程x-3)=1”的两根为2和b,且a>b,则下列结论中正确的是() A.a与b相等 B.a与b互为相反数 C.a-3是17的算术平方根 D.b-3是17的算术平方根 2.用配方法解方程x2+6x=1时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上 A.12 B.9 C.6 D.3 3.将一元二次方程x-8x+4=0化成(x+)=k的形式，则k等于（) A.-4 B.12 C.5 D.9 4.已知一元二次方程x2-10x+16=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 () A.6 B.8 C.12 D.16 5.已知关于x的一元二次方程x2+bx-1=0的较大的一根小于1，则实数b的取值范围是 A.一切实数 B.b>2 C.b>1 D.b>0 6.关于x的方程(：---+k=0,给出下列四个题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的 实根 ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的 实根 其中假命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 x+1 7.使得x2-3r+3的值为整数的无理数x的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 2+(2m+1)x+m-1=0 8.已知关于x的一元二次方程 的两个根分别是，5，且满足 x+x2+xx2=3 ,则m的值是() A.5 B.0 C.-2 D.-5 9.若方程x2+x-1=0的两实根为B,那么下列说法不正确的是( 11 A.(a-B-l)=1B.(a+3B+3)=5C.a2+B=3 D.aB=-1 22 10.已知一元二次方程-x=4的两个实数根分别为。，B,则a+B的值为() 1 1 1 1 A.2 B.-2 C.4 D.4 二、填空题 11.已知x为实数，则Vx-2+V4-x的最大值为 12.如果方程k-2-+m)=0 三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取 值范围是 2 13.已知x4-4r+7x2-8x+4=0,则x+x的值为 14.若关于的一元二次方程-(2k+x+k= 有两个不相等的实数根，则的取值范围为 x+y=7 =a1x2=a2 15.若方程组xy=9的两组解为=b,2=b,,则a,a2+bb2= 三、解答题 16.已知关于x的一元二次方程x2+mx-3x-9=0. (1)若方程不含x的一次项，求m的值和方程的解； (2)当m=-3时，求方程的解. 17.解一元二次方程 (1)x+2)-4=0 20-1+20x+1)=08)2-4x+2=0④02x2-3x+1=0 18.先阅读材料，再解决下列问题. 例如：用配方法求代数式x+4x+6的最小值. 原式=x+4r+4+2=(+2}+2 (x+2}≥0 ∴.当x=-2时，x2+4x+6有最小值是2. 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式x2-6x+12的最小值； (2)若y=-x+2x-3,当x=时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是 (3)当a,b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2-6a-10b-8c+50=0时，判断△ABC的 形状并说明理由. 19.解一元二次方程x2-4x=5时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 x2-4x=5 琪琪同学 x(x-4)=5 .a=1,b=-4,c=5 x=1 .b2-4ac=16-20=-4<0 或 x-4=5 原方程无实数根 .x=1,x2=9 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法， 琪琪同学的解 法」 (填“正确”或“错误”)； (2)请选择合适的方法解一元二次方程： 4x(2x+1)=3(2x+1) 20.已知“、P是关于x的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 11=-1 (2)若满足aB,求m的值. 参考答案 一、单选题 1.C 解：解方程x-3=17 解得5=7+3为=-7+3 .a>b ∴.a=V17+3b=-17+3 A、a≠b,A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、a-3=7,7是17的算术平方根，C选项正确： D、b-3=-7,不是17的算术平方根，D选项错误. 2.B 解：·原方程为x+6x=1, ∴，根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的 6 平方，即 =32=9 (2 等号两边应同时加上9. 3.B 解：x2-8x+4=0, x2-8x=-4 x2-8x+16=-4+16 (x-4)=12 k=12 故选：B. 4.B 解：x2-10x+16=0, (x-8)(x-2)=0 x-8=0x-2=0 或 解得x=8,=2, 即菱形的两对角线长分别为8和2， 1 所以菱形的面积2×8×2=8， 故选：B. 5.D 解：解方程x2+x-1=0得：x=6士6+4 2, .一元二次方程x2+bx-1=0的较大的一根小于1， -b+B+4<1 2 :V6+4<b+2 两边平方得：b2+4<b2+4b+4, ∴.b>0, 故选：D. 6.A 解：x2-1>0时，x>1或x<-1 x2-1=x2-1 方程化为：(-旷-(r-小+k=0@ x2-1<0 时， -1<x<1 x2-1=-(x2-1） 方程化为：(-旷+(r-小+k=0@ △=1-4K 当1-0：即<时。 x2=3±-4k 方程①的根为： 2 x=1±-4 方程②的根为： 2 3+V1-4k1-V1-4k 分析可得2 2时，即：k=0时，有5个不相等的实根 k<0 1-4k>1 时， 则1-4k>1 x2=3±-4k 3--4k<1」 2中，2 不符合题意，故有2个实数根 X-1±-41+-4>11上4<0 2中，2 ，2 均不符合题意 故k<0时，有2个实数根 0<k<4共有8个不相等的实数根 1 当1-4k=0,即k=4时， 方程①的根为：2=x 2,x=t6 方程②的根为： =2x=收 2 故共有4个不相等的实数根 1 当1-4k<0,即k>4时， 方程没有实数根 综上，方程可能有2个、4个、5个、8个实数根 故选A. 7.C 架-0 分母x-3x+3恒不为0， x+1 设x-3+3=k,其中k为整数， 整理得 k2-(3k+1)x+3k-1=0 当k=0时，得 -x-1=0 解得x=-1,是有理数，不符合要求； 当k≠0时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式： △=[-(3k+1)]了-4k(3k-1)=-3k2+10k+1≥0 即3k2-10k-1≤0， 5-27≤k≤5+27 解得3 3, k为整数，且k≠0， .k的可取值为1,2,3， 当k=1时，方程为x2-4x+2=0, 解得x=2±V2,都是无理数，符合要求； 当k=2时，方程为2x2-7x+5=0, 解得1或月，都是有理数，不轮合要求 当k=3时，方程为3x2-10x+8=0, 4 解得x=2或x=3,都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数x共有2个. 8.D 解：一元二次方程 x2+(2m+1)x+m-1=0 的两个根为，与， 小根据根与系数的关系可得+5=-(2m+)5=m-1 +x2+x2=3 -(2m++(m-1）=3 解得m=-5」 9.D 解：方程x+x-1=0的两实根为a、B, ∴.a+B=-l,p=-l: 对选项A: (a-l(B-l)=p-(a+)+1=-1-(-)+1=1 ,A正确； 对选项B: (a+3)B+3)=p+3(a+)+9=-1+3×(-1)+9=5 ,B正确； a2+B2=(a+B)2-23=(-1)2-2×(-1)=3 对选项C: ,C正确： 为淡项：方-十D不王确 10.B 1 解：：方程r-x=4, .两边乘以3，得x2-3x=12, 即x2-3x-12=0 、P分别为方程的两个实数根， a+B=3-3,明=2=-12. 1 1 2,2_2a+2p_2(a+B)2×31 ..a B ap a-122 故选：B. 二、填空题 11.2 [x-2≥0 解：由题意可得4-x≥0，解得2≤x≤4， 令'=-2+4-x(020) 则2=(N-2+V4-x)》 =x-2+2V-2)(4-x)+4-x =2+2√N-x2+6x-8 =2+2√-(x-3}2+1 .0≤-(x-3+1s1 .y的最大值为4， y的最大值为2， 即Vx-2+V4-x的最大值为2. 故答案为：2 12.3<m≤4 解：方程(x-2x2-4x+m)=0, 得到x-2=0或x2-4x+m=0, 解得：x=2或x=2±√4-m, “方程的三根可作为一个三角形的三边长， .2-V4-m>04-m≥02-V4-m+2>2+√4-m ,且 解得：3<m≤4， 故答案为：3<m≤4. 13.3 解：x4-4x3+7x2-8x+4=0, ∴.x≠0，即x≠0， .x-4x2+7x2-8r+4=0 -447-0, +430 ”x +到4}3-0 〔+经-+--0 x+2-3,x+2=1 当x+2=3时，可化为-3+2=0 △=(-3)2-4×1×2=1>0， 方程有实数根，符合题意， 2 当x+=1时，可化为x2-x+2=0 4=(-1)2-4x1×2=-7<0 ∴.方程无实数根，不符合题意， +子的值为3 1 14.k>-4且k≠0 x2-(2k+1)x+k=0 解：方程 是关于x的一元二次方程 ∴k≠0 ,方程有两个不相等的实数根， .△=B-4ac>0.其中a=k,b=-(2k+0c=k 代入得：[-(2+]-4kk>0 展开得4k2+4k+1-4k2>0, 化简得4k+1>0, 解得>1 4… 综上，k的取值范围为k>4且k0: 15.18 x+y=7 解：由方程组y=9,可知x和y是一元二次方程2-7t+9=0的两个根， 两根之和4+4=7，两根之积中=9， x =ax2=az 题目中两组解为=b和y2=b2, ∴两组解是方程的两个根互换，即4=，b=,4,=2,b=, .aa+bb,=5+t4=25, 代入5=9，得：aa+b,b=2×9=18. 三、解答题 16。(1)解：由+mr-3x-9=0得+m-3)r-9=0 方程不含x的一次项， ∴.m-3=0,解得m=3, .x2-9=0,则x2=9, =3,3=-3； (2)解：当m=-3时，方程为x2-6x-9=0 移项，得x2-6x=9 配方，得x2-6x+9=9+9 即(x-3}=18 开方，得x-3=3v√2 :3=3+325=3-32 17.(1)解：(x+2)-4=0 移项得x+2}=4 开方得x+2=2, 解得=0，x2=-4； (2)解： x2-1+2(x+1)=0 因式分解得x+(x-)+2(x+1)=0 即x+1r-1+2)=0 整理得(x+)'=0 解得==山； (3)解：x2-4x+2=0, 整理得x2-4x=-2, 配方得x2-4x+4=-2+4, 即(x-22=2 开方得x-2=±2， 解得5=2+2，x=2-V2 (4)解：2x2-3x+1=0, 因式分解得2r-x-1)=0 .2x-1=0或x-1=0, 1 解得2-1. 18.(1)解：r-6x+12=-6x+9+3=(k-3}+3 .x2-6x+12的最小值是3. (2)y=-x2+2x-3, y=-x2+2x-1-2 y=-(x-12-2 ∴.当x=1的时，y有最大值-2. 故答案为：1，大，-2. (3)a2+b2+c2-6a-10b-8c+50=0, a2-6a+9+b2-10b+25+c2-8c+16=0 (a-3)2+(b-5)+(c-4)=0 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0. a-3=0b-5=0c-4=0 解得a=3,b=5,c=4. 32+42=52, ∴.△ABC是直角三角形 19.（1)解：.乘积为5的两个因数有无数种情况， 嘉嘉由 (x-4)=5 得到x=1或x-4=5是错误的： 因x2-4x=5化为一般式是x2-4x-5=0, ∴.a=1,b=-4,c=-5, ∴.琪琪同学的解法错误； (2)解： 4x(2x+1)=3(2x+1) 移项得： 4x(2x+1)-3(2x+1)=0 (4x-3)(2x+1)=0 提取公因式得： ∴.4x-3=0或2x+1=0, 31 =4= 2· 20.(1)解：”一元二次方程+(2m+3)r+m=0 两个不相等的实数根 :△=-4ac=(2m+3y-4x1xm2=4m2+12m+9-4m2=12m+9>0 即m、3 4 +方g-l,且a+B=台m+),明=8=m (2)解：'a+Ba邸a邸a明 a 2m+3=1 ∴.m2 整理得m2-2m-3=0, 解得：%=3m,=-1 ·由(1)知m> 4 ..m=3 检验：当m=3时，m≠0，即m=3;