1.2（2）一元二次方程的解法（因式分解法）【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 分层设计梯度清晰，从知识梳理到中考链接层层递进，强化因式分解法应用，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|理论依据、步骤与易错点|前置概念填空，夯实抽象能力| |基础巩固|提公因式、公式法等基本方法|题型分类训练，提升运算能力| |综合提升|化简整理、解题正误辨析|纠错情境设计，培养推理意识| |拓展探究|含参数方程根的探究|开放问题设置，发展创新意识| |中考链接|中考真题应用|真实情境题组，强化应用意识|

1.2（2）一元二次方程的解法（因式分解法）【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】 提公因式法解方程 2 【题型2】 公式法因式分解解方程 3 【题型3】 移项整理后因式分解解方程 3 【题型4】 整体换元因式分解解方程 4 三.综合提升 4 【题型1】 化简整理综合解方程 4 【题型2】解题正误辨析纠错 6 四.拓展探究 8 【题型】含参数方程根的探究问题 8 五.中考链接 10 六.自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）因式分解法解方程的理论依据：若两个因式的乘积为，则这两个因式中至少有一个因式为0。即：若 ，则________。 （2）运用因式分解法解一元二次方程，必须先将方程整理，使方程右边化为________，再将左边分解为两个________的乘积。 （3）因式分解法解一元二次方程的基本步骤： ①移项整理：将方程所有项移至左边，使方程右边等于________； ②因式分解：将方程左边多项式分解为两个________的积； ③转化方程：令每个因式分别等于0，得到两个________方程； ④求解方程：分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 （4）解题核心易错点：解方程时，严禁在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会丢失________。 （5）常用因式分解解方程方法：提公因式法、________、________。 【参考答案】 二.基础巩固 【题型1】 提公因式法解方程 熟练求解 型一元二次方程，通过提取公因式将方程左边因式分解，直接求解方程的根，掌握最简因式分解解题思路。 1．（第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）方程的解是（） A． B． C． D． 3．（2026·湖南益阳·模拟预测）方程的解为_____． 4．（【新东方】【JLS009】2014学年七下因式分解练习卷（王磊））利用因式分解求解方程 （1）； （2）． 【题型2】 公式法因式分解解方程 利用平方差公式 、完全平方公式 分解多项式，解决符合公式特征的一元二次方程。 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 2．（25-26八年级下·河南漯河·期末）关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【题型3】 移项整理后因式分解解方程 针对方程右边不为0的题型，先通过移项、变号，将方程统一整理为“左边多项式、右边为0”的标准形式，再因式分解求解，夯实基础解题规范。 1．（26-27八年级·上海·暑假作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）下列数中，能使等式成立的的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）一元二次方程的解为____． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： （1）； （2）． 【题型4】 整体换元因式分解解方程 将含未知数的括号整体看作一个因式，不展开化简，直接利用整体思想提公因式或套用公式分解，简化复杂方程的求解过程。 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 2．（2026八年级下·全国·专题练习）当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________． 4．（25-26九年级上·青海·阶段检测）解方程：． 三.综合提升 【题型1】 化简整理综合解方程 针对需要先去括号、合并同类项、整理化简的非标准一元二次方程，先化简再因式分解求解，重点训练符号运算、整式化简能力，规避运算错误。 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）先化简，再求值：，其中满足方程． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知代数式和的值互为相反数，求的值． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 4．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【题型2】解题正误辨析纠错 辨析典型易错题型，重点纠正“方程两边同除含未知数整式丢根”“移项不变号”“因式分解不彻底”等常见错误，掌握规范解题流程。 1．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： （1）小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． （2）如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）下面是甲、乙两人解方程的过程，判断正确的是（   ） 甲： 乙： 移项，得， 因式分解，得， 或， ，． 整理，得， 配方，得， ， ，． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都错误 3．（2025·江西宜春·模拟预测）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． （1）解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； （2）请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 四.拓展探究 【题型】含参数方程根的探究问题 结合因式分解法，已知方程的根求参数的值，或根据方程根的情况，探究参数的取值条件；结合丢根问题，探究方程多解、漏解的成因，培养分类讨论思维。 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知某函数的图像关于直线对称，若自变量取和时对应的函数值相等，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0或1 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； （2）若 ，则______； （3）参照上面解题的思想方法解方程： ． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 二、填空题 3．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 4．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 三、解答题 5．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 6．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2（2）一元二次方程的解法（因式分解法）【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】 提公因式法解方程 2 【题型2】 公式法因式分解解方程 5 【题型3】 移项整理后因式分解解方程 7 【题型4】 整体换元因式分解解方程 10 三.综合提升 13 【题型1】 化简整理综合解方程 13 【题型2】解题正误辨析纠错 17 四.拓展探究 21 【题型】含参数方程根的探究问题 21 五.中考链接 27 六.自我评价 31 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）因式分解法解方程的理论依据：若两个因式的乘积为，则这两个因式中至少有一个因式为0。即：若 ，则________。 （2）运用因式分解法解一元二次方程，必须先将方程整理，使方程右边化为________，再将左边分解为两个________的乘积。 （3）因式分解法解一元二次方程的基本步骤： ①移项整理：将方程所有项移至左边，使方程右边等于________； ②因式分解：将方程左边多项式分解为两个________的积； ③转化方程：令每个因式分别等于0，得到两个________方程； ④求解方程：分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 （4）解题核心易错点：解方程时，严禁在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会丢失________。 （5）常用因式分解解方程方法：提公因式法、________、________。 【参考答案】 （1） 或 （2）；一次因式 （3）① ；② 一次因式；③ 一元一次 （4）根 （5）平方差公式法；完全平方公式法 二.基础巩固 【题型1】 提公因式法解方程 熟练求解 型一元二次方程，通过提取公因式将方程左边因式分解，直接求解方程的根，掌握最简因式分解解题思路。 1．（第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． （1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 解：， ， ， ∴或， 解得，． 3．（2026·湖南益阳·模拟预测）方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 解：， ， ，， 4．（【新东方】【JLS009】2014学年七下因式分解练习卷（王磊））利用因式分解求解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根； （2）利用提公因式法分解因式求出方程的根. 解：（1） ； y=0或4y-3=0 ∴， 故答案为：； （2） 或 ， 故答案为：． 【点拨】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程时，给方程两边同除以y，解得，而丢掉y=0的情况． ，． 【题型2】 公式法因式分解解方程 利用平方差公式 、完全平方公式 分解多项式，解决符合公式特征的一元二次方程。 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 解：， ， 或， 解得：，． 2．（25-26八年级下·河南漯河·期末）关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 【答案】或 【分析】先解出方程的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论． 解：∵， ∴和， ∴①方程的两根6和8为直角边；②较大根8为斜边，较小根6为直角边； 当长是8的边是直角边时，则斜边； 长是8的边也可是斜边． 故斜边长是或． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． （1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【题型3】 移项整理后因式分解解方程 针对方程右边不为0的题型，先通过移项、变号，将方程统一整理为“左边多项式、右边为0”的标准形式，再因式分解求解，夯实基础解题规范。 1．（26-27八年级·上海·暑假作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）， （1）解： 或 解得或 所以，原方程的根是，． （2）解： 整理得 或 解得或 所以，原方程的根是，． （3）解： 移项，得 或 解得或 所以，原方程的根是，． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）下列数中，能使等式成立的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先将方程整理为一元二次方程一般形式，然后通过因式分解法求解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ， 或， 解得或， 选项中仅符合等式要求， 故选：． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）一元二次方程的解为____． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题关键．通过展开和移项将方程化为标准形式，然后利用因式分解法求解. 解：∵， ∴展开得， ∴移项得， ∴因式分解得， ∴或， 故答案为， 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， （1）解：移项，得， 因式分解，得， ∴， ∴； （2）解：移项，得， ， ， ∴， ∴，． 【题型4】 整体换元因式分解解方程 将含未知数的括号整体看作一个因式，不展开化简，直接利用整体思想提公因式或套用公式分解，简化复杂方程的求解过程。 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 4．（25-26九年级上·青海·阶段检测）解方程：． 【答案】，． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是因式分解法解方程，关键是通过换元得到关于的一元二次方程． 设，根据，得出，求出的值，再代入，即可得出答案． 解：设， ， ， ，， 或， ，． 三.综合提升 【题型1】 化简整理综合解方程 针对需要先去括号、合并同类项、整理化简的非标准一元二次方程，先化简再因式分解求解，重点训练符号运算、整式化简能力，规避运算错误。 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】，． 【分析】先把括号内的式子通分，计算分式减法，再计算分式除法，得出最简结果，解得出，，根据分式有意义的条件得出，，即可得出，把代入化简后的式子，即可得出答案． 解： ． ∵满足方程， ∴，， ∵有意义， ∴，， 解得：，， ∴， 当时，原式． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知代数式和的值互为相反数，求的值． 【答案】， 解：根据题意，得， 整理，得， 因式分解，得， 即或， 解得，． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先通分计算括号内部分，将除法转化为乘法约分化简，最后求出方程的解并代入最简式计算结果 ． 解： 原式 ； 解方程，得 ， 解得或， 原分式各分母不能为，因此且，舍去，得， 将代入化简后的式子，得原式． 4．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． （3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 【题型2】解题正误辨析纠错 辨析典型易错题型，重点纠正“方程两边同除含未知数整式丢根”“移项不变号”“因式分解不彻底”等常见错误，掌握规范解题流程。 1．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： （1）小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． （2）如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 【答案】（1）错误；错误；（2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：或． 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据题意可知小华没有考虑的情况，即错误，小芳在提公因式时没有变号，即错误； （2）根据解一元二次方程知识可知，利用提公因式解方程即可． （1）解：∵小华没有考虑的情况， ∴小华计算错误， ∵小芳在提公因式时没有变号，应为， ∴小芳的解法错误， 故答案为：错误；错误； （2）略 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）下面是甲、乙两人解方程的过程，判断正确的是（   ） 甲： 乙： 移项，得， 因式分解，得， 或， ，． 整理，得， 配方，得， ， ，． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．通过直接求解方程判断甲、乙过程的正确性．原方程的解为，，甲因移项错误导致解错误，乙过程正确． 解：， 移项得：， 因式分解：， ∴或， ∴,， 甲移项错误，写为，导致因式分解为，解为，，其中不是解（代入原方程不成立）； 乙整理得，配方得，解得或，正确； ∴只有乙正确， 故选：B． 3．（2025·江西宜春·模拟预测）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． （1）解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； （2）请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）降次；（2）解：都错误． 正确的解答过程如下： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是解题过程中注意符号的选择． （1）根据解一元二次方程的思想是降次直接选即可得到答案； （2）根据一元二次方程的解法直接求解即可得到答案； （1）解：解一元二次方程的基本思想是降次， 故答案为：降次； （2）略 四.拓展探究 【题型】含参数方程根的探究问题 结合因式分解法，已知方程的根求参数的值，或根据方程根的情况，探究参数的取值条件；结合丢根问题，探究方程多解、漏解的成因，培养分类讨论思维。 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知某函数的图像关于直线对称，若自变量取和时对应的函数值相等，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图像与性质，解一元二次方程，由函数关于对称，自变量取和时对应的函数值相等，则，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵函数关于 对称，自变量取和时对应的函数值相等， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴或， 故选：． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 【答案】7 【分析】观察杨辉三角中每一行第三个数字的变化规律，归纳出第行第三个数字的通项公式，建立方程求解行数． 解：由图可知：第3行从左往右数的第3个数字为1，即； 第4行从左往右数的第3个数字为3，即； 第5行从左往右数的第3个数字为6，即； 归纳规律：第行第三个数字为， 令， 整理得， 解得，（舍去）， 故数字15是从第7行中取出的． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】（1）；（2）①拼图如下： ② 【分析】（1）由面积相等列出方程，求解出的值即可； （2）①将3张A和2张C拼成一列，3张C和2张B拼成一列即可； ②由面积相等列出方程，求解出的值，再求出长方形的长即可． （1）解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； （2）①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； （2）若 ，则______； （3）参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． （1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 解： ， ∴， ∴或， ∴，， 故选：B． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 二、填空题 3．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 4．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题 5．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】， 【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可． 解：， ， ， 或， ，． 6．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或；（2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $