23.1.2锐角的三角函数 正弦 同步练习 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

23.1.2锐角的三角函数正弦 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 AC 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB表示() A.sin A B.sinB C.sinC D.以上都不对 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3,BC=4,则sinB的值为() ◇ 3 4 A.5 B.5 C.4 D.3 3.已知Rt△ABC与Rt△A'B'C'关于原点位似，且相似比为1：3，若锐角∠A的正弦值为 2 3,则sinA的值为() 2 4 A.2 B.3 C.9 D.9 4.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于() B 25 5 A.√5 B.5 c.5 0 试卷第1页（共3页） 5.在△ABC中，∠C=90°，AB=10,si1= ,则BC的长为() A.2V7 B.6 C.8 D.10 3 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,sinA= 5,则tanA的值是() 3 A.4 B.3 C.5 D.5 4 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB 5,则tanA=() 3 3 4 A.3 B.4 C.5 D. 8.如图，在AABC中，AB=AC=5,sin∠ACB= 5,则BC的长是() A.3 B.6 C.8 D.9 二、填空题 ⑨.如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA3 5,且AB=15,则AC= BC= 试卷第2页（共3页） B 三、解答题 10,如图，在Ru△BC中，∠C=90a:c=3:5,求m4n8的简 A b a C 11.如图，在AABC中，AB=1PAC=2,sinB、V2 4,求BC的长. B 3 12.如图，已知aABC中，AB=BC=5,sin∠4BC= 5,求边AC的值. 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB」 D 试卷第3页（共3页） (1)sinB 可以由哪两条线段之比表示？ 2)若AC=5,CD=3,求sinB的值. 14.在菱形ABCD中，AD=5,点E在边AB上，连接DE,△FDE与△ADE关于直线 DE对称.若点F在边B的延长线上，且BF=3, EB (I)求AE的长. (2)求sin/CDF的值. 5如图，在AC中，CD是边B上的中线，和B都跟数布月加B= 5, tan4=I 3,BC=V5. (I)求AB的长； (2)求tan∠CDB的值. 16.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC边的中点，连接AD,分别过点A,C作 AE∥BC,CEI‖AD交于点E,连接DE,交AC于点O, 试卷第4页（共3页） E O D C (I)求证：四边形ADCE是矩形： 4 (②)若AB=10, sin∠COE= ,则CE的长为 试卷第5页（共3页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B A B c B A B C 1.B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即 可 【详解】解：在RIAABC中，∠C=90°， .AB为斜边， 的对边为AC ,∠B sin B= AC AB. 2.A 【分析】根据勾股定理求出AB=5,再根据正弦的定义求出结果. 【详解】解：∠C=90°，若AC=3,BC=4, .AB=VAC2+BC2=V32+42=5, ..sin B=4C 3 AB5· 3.B 【分析】位似图形的对应角相等，锐角三角函数值由角度大小决定，与边长的缩放无关 【详解】解：：Rt△ABC与Rt△AB'C'关于原点位似， 答案第1页（共2页） :.Rt△ABC与RIA'B'C相似， .∠A'=∠A, 2 ..sin 4= 3 sin /=2 . 4.C 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出4D,AB 的长，再计 算正弦即可. 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， B AD=2,BD=4,∠ADB=90° 由图可知， AB=VAD2+BD2=25 :sin∠ABC=AD=2-V5 AB2V55· 5.B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解. 【详解】解：在△ABC中，∠C=90° 答案第2页（共2页） BC sin A= AB,AB=10, Sin 4=3 , 3 ∴.BC=10×2=6 5 6.A 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，求角的正切值，勾股定理.根据正弦定义求出对边 BC 再利用勾股定理求出邻边1C,最后根据正切定文求解，即可作答 【详解】解：：在Rt△4BC中，∠C=9o°，sinA=3 5, BC 3 AB 5, AB=5, .BC=3, 则根据勾股定理，AC=√AB2-BC2=V25-9=4, BC 3 AC 4, 故选：A 7.B 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义是解答本题的关键，首先在 AC 4 Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得到AB5，然后设AC=4k,求出BC的长，最后 答案第3页（共2页） 根据正切函数的定义即可求得答案， (详解)如图，在RABC中，∠C=909,snB=41C 5 AB 六设1C=4,则B=5, .BC=V(5k)2-(4K)2=3k, ∴tanA=BC=3k3 AC 4k 4. 故选：B 8.C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角 函数，勾股定理，等腰三角形的性质；过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=9O°，根据等腰 三角形的性质可得BD=CD,根据三角函数可得AD=3,再根据勾股定理可得CD=4, 进而可求BC. 【详解】解：过A作AD⊥BC于D,则∠ADC=90°， sin∠ACB=AD-3, D AC 5 AC=5 4D=3 AC=3 .CD=4C2-AD2=4. 答案第4页（共2页） ,AB=ACAD⊥BC .∴.BC=2CD=8 故选：C 9. 129 【分析】先利用正弦的定义求出BC,再利用勾股定理求AC即可. 3 【详解】解：：在R△MBC中，已知∠C=90,sinA=亏，且AB=15, BC 3 BC 3 AB5,即155，解得：BC=9, .AC=VAB2-BC=V152-92=12 10.sin A=3,sin B=4 3 5 【分析】设a=3x,则C=5x,利用勾股定理求得b=4x,再根据三角函数的概念即可解 答 【详解】解：设a=3x,则c=5x, 在Rt△ABC中，∠C=90°， .b=Vc2-a2=4x, c-5,sinB-B=4 .sin4=a=3 c5. 答案第5页（共2页） V14+v30 11. 4 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，过点4作4ELBC,垂足为E,由mb=V2 4 可得AB= 4，进而由勾股定理可得BE=VAB2-AB2=14 ， CE=AC2-AE2=30 ， 最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的 关键. 【详解】解：过点A作AE⊥BC,垂足为E, 在RAABE中，”imB=E=V2 AB4’AB=1' AE=② 4, a空 在Rt△ACE中，：AC=V2 --阿--0 答案第6页（共2页） BC-BE+CE=14+30 4 12.AC的值为V0 【分】过点4作AD1BC,在AMD中由sn∠1BC- 5可计算出AD的值，进而求出 DC的值，再由勾股定理求出1C的值， 【详解】解：过点A作AD⊥BC,垂足为点D, A B D 在△ABD中，sin∠ABC=AD AB :sin∠ABC=3 5,AB=5, 3 AD=AB-sin B=5x3=3 5, 在RtABD中， BD=AB2-AD2 =V52-32 =4 .DC=BC-BD=5-4=1, 答案第7页（共2页） 在Rt△ADC中， AC=AD2+DC2 =V32+12 =V10 【点睛】本题考查了锐角的三角函数和勾股定理的运用，灵活运用所学知识求解是解决本题 的关键. 13.()sin B=4C-CD_4D AB BC AC Q)②sin B=4 【分析】(1)先证明∠ACD=∠B,再结合正弦的定义计算即可得出结果： (2)由勾股定理可得AD=4,再结合正弦的定义计算即可得出结果. 【详解】(I)解：·CD⊥AB, ∴.∠ADC=∠ACB=90° ∴.∠ACD=90°-∠A=∠B sin B=sin LACD=AC CD AD AB BC AC· (2)解：在RtAACD中，由勾股定理，得AD=VAC2-CD2=4, ·sinB=sin∠ACD=AD_4 AC 5 答案第8页（共2页） 14.(1)4 3 (2)5 【分析】()由轴对称的性质可得D=DF,DE1AF,即AE=EF,再根据菱形的性 质可得AD=AB=5,进而求得AF=8,再根据等腰三角形的性质求解即可； (2)利用勾股定理可得DE=3,再利用平行线的性质、等边对等角以及等量代换可得 LF=ZA, 然后根据正弦的定义求解即可. 【详解】(1)解：，△FDE与△ADE关于直线DE对称， :AD=DF,DE⊥AF ∴.AE=EF, 在菱形ABCD中，AD=5, .AD=AB=5,CD∥AB, AB=5,BF-=3 .AF=AB+BF=8. :4B=R=号4=4 (2)解：：在Rt△MDE中，AD=5,AE=4 :.DE=√AD2-AE2=3 答案第9页（共2页） .CD∥AB, .∠CDF=∠F, AD=DF, ∴.∠F=∠A, :sin∠CDF=sin∠A=DE_3 AD 5. 15.(1)5 (2)2 【分析】(1)过点C作CE⊥AB于E,如图所示，在Rt△BCE中，由正弦函数值定义列 式求得CE=1,再由勾股定理求得BE,在Rt△ACE中，由正切函数值定义列式求得 AE=3, 数形结合即可得到AB=AE+BE=3+2=5 (②)由（山中求出的线段长，结合中线性质得到D-21B=25,数形结合求出DE, 在Rt△CDE中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案. 【详解】(1)解：过点C作CE⊥AB于E,如图所示： B 设CE=x, 在RLABCE中，simB= CE5 5,则BC=5, 答案第10页（共2页） 即BC=5，解得BC=V5x BC=5 √5x=N5,解得x=1, .CE=1, 在RtBCE中，CE=l,BC=V5,则由勾股定理可得 BE=/BC-CE-(5)-P-2. 1 CE 1 在RtAACE中，tan= 3,则AE3, .CE=1 .AE=3, .AB=AE+BE=3+2=5: (2)解：：CD为中线，AB=5, :BD=)4B=25 .BE=2 .DE=BD-BE=2.5-2=0.5, 在RiCDE中，CE=,DE=05,则an2CDE===2 DE0.5 答案第11页（共2页） 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线 性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决 问题的关键. 16.(1) 证明：：AB=AC,点D是BC边的中点， .AD⊥BC, .AE∥BC,CE∥AD, ∴.四边形ADCE是平行四边形， :AD⊥BC, ∴.平行四边形ADCE是矩形； 2②)2V5 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC于点D,根据矩形的判定定理即可得到 结论： (2)过点E作EF⊥AC于F,解直角三角形即可得到结论. 【详解】(1)略 (2)解：如下图，过点E作EF⊥AC于F, 答案第12页（共2页） D .AB=10, .AC=10, :四边形ADCE是矩形， :.OE=OC=)DE=。AC=5 ·sin∠COE=4=EF 5 OE, ∴.EF=4, OF=OE2-EF2=3. 0E=0C=5, .CF=2 CE=EF2+CF2=25 故答案为2V5 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义、等腰三角形三线合一， 熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键. 答案第13页（共2页）