23.1 第1课时正切-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第23章解直角三角形 23.1锐角三角函数 第1课时正切 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,下列不等于tanB的是 () A品 五册 C.AR D D.AD B B D C D (第1题) (第2题) (第3题) 2如图，在△ADC巾，∠B=S0,AB=9AD是△ABC的巾线若an∠ADB=号，则AC的长为 () A.10 B.15 C.18 D.20 3.[2025绥化中考]如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:√2（斜面坡度是指坡面 的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度是 4万程盟如图，在Rt△ABC中，∠C=90,BC=8,amB=号，点D在BC上，且BD=AD.求 AC的长和tan∠ADC的值. B D (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5如图.AD是△ABC的中线，AD-5,an∠BAD-,SAc=15,则BC的长为 () A.35 B.65 C.2w√10 D.4√/10 (第5题) (第6题) 6.在如图所示的正方形方格纸中，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于点O,则tan∠BOD 的值为 () B. 5 C.3 D.2 73 拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 7.[2026安庆段考]如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接DE,AF相交于点 G,连接CG.若AB=4,BC=6,则tan∠GCF的值是 () A局 B号 C①ò 3√10 10 D. 10 B E (第7题) (第8题) 8.璋数学文化我国古代著名的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用四个全等的直 角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了我国古代数学的成就 如图，大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF= 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在矩形ABCD中，AD=nAB(n>1),E是AD边上一动点（点E不与点A,D重合），连接 BE,以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFGO∽矩形ABCD,EG交直线 CD于点H. (1)在点E的运动过程中，△ABE与△DEH是否始终保持相似关系？请说明理由. (2)若n=2,随着点E位置的变化，点H的位置随之发生变化，当H是线段CD的中点时，求 tan∠ABE的值. (3)连接BH,FH,当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代 数式表示). (第9题) 74 >“答案与解析”见D45/-≥0-2-≥2√(】 ∠AHG=90.又AH=AH,∴.△AHF≌△AHG N-P (ASA).∴.AF=AG..△AFG是等腰三角形.(2)如 5aw=-2p-+8≥2-2·(8】 +8 图，过点O作OL∥AB,交DF于点L,则∠AFG=∠OL,G AF=AG,∴.∠AFG=∠AGF.:∠AGF=∠OGL, 43+8.当组仅当-2p=-合，即p=一B时，△PMN .∠OGL=∠OLG..OG=OL.:OL∥AB, 的面积取得最小值，为4√3十8. △0naW以÷祭-品：图边形A议D是期 形，∴.BD=2OD.∴.BF=2OL.∴.BF=2OG.(3)如 图，过点D作DK⊥AC于点K,则∠DKA=90°.，四边 形ABCD是矩形，∴∠CDA=90°，AB=CD. ∴.∠DKA=∠CDA.∠DAK=∠CAD,.△ADK∽ △ACcD.-把0-0：s=c,DK. ① S=球·AD.又：BF=20G=弓=号 是号设D=2AC=则AD-5铝 AD_5 ② (第15题) 16.(1)△AFG是等腰三角形.理由：：AE平分∠BAC, E (第16题) .∠HAF=∠HAG.:DF⊥AE,.∠AHF= 第23章解直角三角形 23.1锐角三角函数 ∴.BD=6.:AD是△ABC的中线，∴.BC=2BD=12. ∴.AC=√AB2+BC=√9+12=15. 第1课时正切 3.153m迎水坡AB的斜面坡度i=1:√2， 1.B:在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.△ABC,△ADB,△ADC均为直角三角形，∠C+ AC=又BC=15m,·AC=15厄m·AB ∠B=90°，∠C+∠DAC=90°.∴.∠B=∠DAC.在 √AC+BCz=√/(15√2)2+15=15√3(m). R△ABD中，anB=部放A不符合题意.在R△ABC 4:在Rt△ABC中，∠C=90,BC=8,tanB=2, 中，mB-S,放C不符合题意在△AC中. mB号瓷SAC=t设DC=:C tan∠DAC= CD AD ,∠B=∠DAC,∴.tanB= 8,∴.BD=8-x.∴.AD=BD=8-x.在Rt△ADC中， ∠C=90°，AC=4,DC=x,AD=8一x,则由勾股定理，得 m∠DAC-器放D不符合题意：品不等于mB, (8-x)2=x2+4,解得x=3,即DC=3..tan∠ADC= .B符合题意 AC 4 DC-3 2By∠B=9,AB=9,m∠ADB=0-=含， 5.B如图，过点B作BH⊥AD,交AD的延长线于点 D45 H,则∠H=90°.：AD是△ABC的中线，S△Ac=15,:小正方形EFGH的面积是4，∴.小正方形EFGH的边 BD-CD-BC.SAO-SAN-15.AD-5, 长为2..易得DF-AF=2.设AF=x,则DF=x十2.由 勾股定理，得AF2+DF2=AD2,即x2十(x十2)2=10，解 &5m-号AD·BH-号×5BH=15BH=6 得x1=6,x2=-8(负值舍去).∴.AF=6,DF=8. :m∠BAD-号-盟：AH=音BH=8DH= &m∠AnF茶-g=是 9.(1)△ABE与△DEH始终保持相似关系.理由：由题 AH-AD=8-5=3..在Rt△BHD中，BD= 意，得∠A=∠D=∠BEG=90°，∴.∠AEB+∠ABE= √BH+DH=√62+32=35.∴.BC=2BD=65. ∠AEB+∠DEH=9O°.·.∠ABE=∠DEH. ∴.△ABE∽△DEH.(2)设AB=2x,则AD=4x H是线段CD的中点，AB=CD=2a,DH=x :△MaEH是-品2证解 D H 得AE=(2十√2)x或(2-√2)x.当AE=(2+√2)x时， (第5题) 6.C如图，取格点M,连接CM,DM.由网格可知，CM∥ mAE-器2：-生2，当c-g-z AB,CM⊥DM,则∠BOD=∠MCD.设正方形方格中小正 时，m∠ABE=A5=22)江=2，至.综上所述， 方形的边长为1，则由勾股定理，得CM=√1+2=√5， AB 2x DM=√32+6=35.在Rt△DCM中，tan∠MCD= 加乙A5的值为2生2安2≥ 21 (3).矩形EBFG DM-35-3tan∠BOD=tan∠MCD=3. 矩形ABCD,AD=nAB(n>1),∴.易得EG=nBE.分两 CM5 种情况讨论：如图①，当FH=BH时，∠BEH=∠FGH= 90°，BE=FG,∴.Rt△BEH≌Rt△FGH.∴.EH=GH= 号G:EH=号E:△ABE0△DEH需 -台，即DE=号AB,AE=AD-DE=号AB D (第6题) m∠ABE-能-冬如图@，当FH=BF=G 7.A:在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点， nBE=nFG时，在Rt△FGH中，由勾股定理，得HG= AB=4,BC=6,∴.AD=BC=6,CD=AB=4,AD∥BC, √FH2-FG-√n2-1FG=√n2-1BE,.EH= BE=EF=FC=2,EC=4.∴.△FGE∽△AGD.∴.= EG-HG=(n-√n2-I)BE.:△ABE△DEH, 票号-子∴那子如调过点G作GHLx于点 ∴骠器--可，即E=a-AB H,周GH/D△G△E.票畏器 :AE=AD-DE=V可AB.am∠ABE=AG 1EH=EC=×4=1,GH=子CD=×4=1 √m一.an∠ABE的值是号或m. D CH-E-H=-1=m∠r8第-含 B EHF (第7题) 8 ,大正方形ABCD的面积是100，∴.AD=10. ① D46 得a=2或a=8.当a=2时，这个等腰三角形底角的余弦 H 值是日：当a=8时，这个等腰三角形底角的余弦值是号 综上所述，这个等腰三角形底角的余弦值为或号 5.B如图，过点C作CM⊥AB于点M.设每个小方格的 边长为1.则Sam=4X5-7×3X4-7×5×1-7× 3×2=8.5,由勾股定理，得AB=√5+1=√26，AC= VF+3=5.:Sae=号xABXCM,.&5=号× F ② (第9题) V26×CM..CM=26.·sinA=CWs AC 第2课时正弦与余弦 17√26 26 17√26 1B在y=是x-3中，令x=0,则y=0-3=-3:令 5 130 y=0,则子x-3=0,解得x=4A(4,0),B(0,-3). ∴.OB=3,OA=4..AB=√OA2+OB2=√4+32= 5.sin∠0AB=OB3 AB5· (第5题) 2.A在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= 6.C根据题意，设EF=x,则AH=3x,,△ABE≌ √AB2-BC=√132-5=12.又CD是△ABC的高， △DAH,四边形EFGH为正方形，∴.AH=BE=3x, EF=HE=x,∴.AE=4x.∠AEB=90°，∴.AB= ∴.∠BCD+∠B=90°.：∠ACB=90°，∴.∠B+∠A 90.六∠BCD=∠A.在R△ABC中，c0sA=AS-号， VE+肥=n乙ABE-福禁-青 &os∠B0D=csA=0 7. √5 5 如图，取格点E,连接BE,AE,则CDBE.设小正 方形的边长为1，则AB2=12+32=10,BE=12+1=2, aB在△ADE中，：如A-器=号：设DE= AE2=2十22=8，∴.AE2+BE2=AB2.∴.△ABE是直角 4x,AD=5x,AE=3x.'BE=2,.AB=3x+2. 三角形，且∠AEB=90°.CD∥BE,.∠APD= 四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD..3x十2=5x. ∠ABE.∴.cos∠APD=cOs∠ABE BE√2√5 ∴.x=1.∴.DE=4.∴.BD=√DE+BE=√4+2= AB√/1051 26im"后号 方法归纳 在直角三角形中求三角函数值的方法 在直角三角形中，给出一个锐角的一个三角函数 (第7题) 值，求另一个三角函数值时，一般先利用锐角三角函数 方法归纳 的概念，设出参数，结合勾股定理，用含参数的式子分别 在网格中求锐角的三角函数值的方法 在网格中求某一锐角的三角函数值时，要借助网格 表示出直角三角形的三边长，再利用锐角三角函数的概 念求解 的特点，将涉及的锐角放在某个直角三角形中，先求出 直角三角形的各边长，再利用锐角三角函数的定义求出 4日或 ,设等腰三角形的底边长为a,则l5一a=3,解 锐角的三角函数值 D47